Кольцевой элемент, который можно умножить на ненулевой элемент, чтобы получить 0
В аннотация алгебра, элемент a кольца R называется левым делителем нуля, если существует ненулевой x такой, что ax = 0, или эквивалентно если отображение из R в R, которое отправляет x в ax, не является инъективным (один к одному ). Аналогично, элемент a кольца называется правым делителем нуля, если существует ненулевое y такое, что ya = 0. Это частный случай делимости в кольцах. Элемент, который является левым или правым делителем нуля, просто называется делителем нуля . Элемент a, который является как левым, так и правым делителем нуля, называется двусторонним делителем нуля (ненулевой x такой, что ax = 0, может отличаться от ненулевого y такого, что ya = 0). Если кольцо коммутативно, то левый и правый делители нуля совпадают.
Элемент кольца, который не является левым делителем нуля, называется левым обычным или левым отменяемым . Точно так же элемент кольца, который не является правым делителем нуля, называется правым регулярным или правым сокращаемым . Элемент кольца, который может сокращаться слева и справа и, следовательно, не является делителем нуля, называется обычным или сокращаемым, или ненулевым делителем . Дивизор нуля, который не равен нулю, называется ненулевым делителем нуля или нетривиальным делителем нуля . Если в R нет нетривиальных делителей нуля, то R является областью.
Содержание
- 1 Примеры
- 1.1 Односторонний делитель нуля
- 2 Непримеры
- 3 Свойства
- 4 Ноль как делитель нуля
- 5 Делитель нуля на модуле
- 6 См. Также
- 7 Примечания
- 8 Ссылки
- 9 Дополнительная литература
Примеры
- В кольцо , класс остатка является делителем нуля, поскольку .
- Единственный делитель нуля кольца из целых чисел равен .
- A нильпотентный элемент ненулевого кольца всегда является двусторонним делителем нуля.
- идемпотентный элемент кольца всегда является двусторонним делителем нуля, поскольку .
- Кольцо из матриц над полем имеет ненулевые делители нуля, если . Примеры делителей нуля в кольце матриц (над любым ненулевым кольцом ) показаны здесь:
- .
- A прямое произведение двух или более ненулевых колец всегда имеет ненулевые делители нуля. Например, в с каждым ненулевое значение, , поэтому - делитель нуля.
Односторонний делитель нуля
- Рассмотрим кольцо (формальных) матриц с и . Тогда и . Если , то является левым делителем нуля тогда и только тогда, когда четно, поскольку , и это правый делитель нуля тогда и только тогда, когда даже по аналогичным причинам. Если любое из равно , то это двусторонний делитель нуля.
- Вот еще один пример кольца с элементом, который является делителем нуля только с одной стороны. Пусть будет набором всех последовательностей целых чисел . В качестве кольца возьмем все аддитивные карты от до с точечное сложение и состав в качестве кольцевых операций. (То есть наше кольцо - это , кольцо эндоморфизма аддитивная группа .) Три примера элементов этого кольца - сдвиг вправо , сдвиг влево , и отображение проекции на первый фактор . Все три из этих аддитивных карт не равны нулю, а составные части и оба равны нулю, поэтому - левый делитель нуля, а - правый делитель нуля в кольце аддитивные карты из в . Однако не является правым делителем нуля, а не является левым делителем нуля: составное - это идентификатор. - двусторонний делитель нуля, поскольку , а не в каком-либо направлении.
Непримеры
- Кольцо целых чисел по модулю простого числа не имеет делителей нуля, кроме 0. Поскольку каждый ненулевой элемент является единицей, это кольцо является конечным полем.
- В более общем смысле, делительное кольцо имеет нет делителей нуля, кроме 0.
- A ненулевое коммутативное кольцо, у которого единственный делитель нуля равен 0, называется областью целостности.
Свойства
- В кольце n-by- n матриц над полем, левый и правый делители нуля совпадают; это в точности особые матрицы. В кольце матриц размером n на n над областью целостности делители нуля - это в точности матрицы с определителем ноль.
- Левый или правый делитель нуля никогда не может быть units, потому что если a обратимо и ax = 0, то 0 = a0 = aax = x для некоторого ненулевого x.
- Элемент отменяемый на сторона, на которой это регулярно. То есть, если a является левым регулярным, ax = ay подразумевает, что x = y, и аналогично для правого регулярного.
Ноль как делитель нуля
Нет необходимости в отдельном соглашении относительно этого случая a = 0, потому что определение применяется и в этом случае:
- Если R - кольцо, отличное от нулевого кольца, то 0 является (двусторонним) делителем нуля, потому что 0 · a = 0 = a · 0, где a - ненулевой элемент R.
- Если R является нулевым кольцом, в котором 0 = 1, то 0 не является делителем нуля, потому что там не является ненулевым элементом, который при умножении на 0 дает 0.
Такие свойства необходимы для того, чтобы сделать следующие общие утверждения верными:
- В коммутативном кольце R набор ненулевых делителей равен мультипликативный набор в R. (Это, в свою очередь, важно для определения полного факторкольца.) То же самое верно для набора не левых делителей нуля и множество неделителей нуля вправо в произвольном кольце, коммутативном или нет.
- В коммутативном Noe терианова кольца R, набор делителей нуля представляет собой объединение связанных простых идеалов кольца R.
Некоторые ссылки предпочитают исключать 0 как делитель нуля по соглашению, но тогда они должны вводить исключения в только что сделали два общих заявления.
Делитель нуля на модуле
Пусть R будет коммутативным кольцом, пусть M будет R- модулем, и пусть a будет элементом R. Один говорит, что a является M-правильным, если "умножение на" карту равно инъективен, и что a является делителем нуля на M в противном случае. Набор M-регулярных элементов является мультипликативным множеством в R.
Специализация определений «M-регулярных» и «делителей нуля на M» для случая M = R восстанавливает определения "регулярного" и "делителя нуля", данные ранее в этой статье.
См. Также
Примечания
Ссылки
- ^N. Бурбаки (1989), Алгебра I, главы 1–3, Springer-Verlag, p. 98
- ^Чарльз Лански (2005), Концепции абстрактной алгебры, American Mathematical Soc., Стр. 342
- ^Николя Бурбаки (1998). Алгебра I. Springer Science + Business Media. п. 15.
- ^ (1980), Коммутативная алгебра, 2-е издание, The Benjamin / Cummings Publishing Company, Inc., стр. 12
Дополнительная литература
- , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
- Майкл Хазевинкель ; Надежда Губарени; Надежда Михайловна Губарени; Владимир В. Кириченко. (2004), Алгебры, кольца и модули, Vol. 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0
- Weisstein, Eric W. "Делитель нуля". MathWorld.