Делитель нуля

редактировать

Кольцевой элемент, который можно умножить на ненулевой элемент, чтобы получить 0

В аннотация алгебра, элемент a кольца R называется левым делителем нуля, если существует ненулевой x такой, что ax = 0, или эквивалентно если отображение из R в R, которое отправляет x в ax, не является инъективным (один к одному ). Аналогично, элемент a кольца называется правым делителем нуля, если существует ненулевое y такое, что ya = 0. Это частный случай делимости в кольцах. Элемент, который является левым или правым делителем нуля, просто называется делителем нуля . Элемент a, который является как левым, так и правым делителем нуля, называется двусторонним делителем нуля (ненулевой x такой, что ax = 0, может отличаться от ненулевого y такого, что ya = 0). Если кольцо коммутативно, то левый и правый делители нуля совпадают.

Элемент кольца, который не является левым делителем нуля, называется левым обычным или левым отменяемым . Точно так же элемент кольца, который не является правым делителем нуля, называется правым регулярным или правым сокращаемым . Элемент кольца, который может сокращаться слева и справа и, следовательно, не является делителем нуля, называется обычным или сокращаемым, или ненулевым делителем . Дивизор нуля, который не равен нулю, называется ненулевым делителем нуля или нетривиальным делителем нуля . Если в R нет нетривиальных делителей нуля, то R является областью.

Содержание

  • 1 Примеры
    • 1.1 Односторонний делитель нуля
  • 2 Непримеры
  • 3 Свойства
  • 4 Ноль как делитель нуля
  • 5 Делитель нуля на модуле
  • 6 См. Также
  • 7 Примечания
  • 8 Ссылки
  • 9 Дополнительная литература

Примеры

  • В кольцо Z / 4 Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} / 4 \ mathbb { Z} , класс остатка 2 ¯ {\ displaystyle {\ overline {2}}}{\ overline {2}} является делителем нуля, поскольку 2 ¯ × 2 ¯ = 4 ¯ = 0 ¯ {\ displaystyle {\ overline {2}} \ times {\ overline {2}} = {\ overline {4}} = {\ overline {0}}}{\ overline {2} } \ times {\ overline {2}} = {\ overline {4}} = {\ overline {0}} .
  • Единственный делитель нуля кольца Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} из целых чисел равен 0 {\ displaystyle 0}{\ displaystyle 0} .
  • A нильпотентный элемент ненулевого кольца всегда является двусторонним делителем нуля.
  • идемпотентный элемент e ≠ 1 {\ displaystyle e \ neq 1}e \ neq 1 кольца всегда является двусторонним делителем нуля, поскольку e (1 - e) = 0 = (1 - e) e {\ displaystyle e (1- е) = 0 = (1-e) e}e (1-e) = 0 = (1-e) e .
  • Кольцо из n × n {\ displaystyle n \ times n}n \ раз n матриц над полем имеет ненулевые делители нуля, если n ≥ 2 {\ displaystyle n \ geq 2}n \ geq 2 . Примеры делителей нуля в кольце матриц 2 × 2 {\ displaystyle 2 \ times 2}2 \ раз 2 (над любым ненулевым кольцом ) показаны здесь:
    (1 1 2 2) (1 1 - 1 - 1) = (- 2 1 - 2 1) (1 1 2 2) = (0 0 0 0), {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 1 \\ 2 2 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 1 \\ - 1 -1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -2 1 \\ - 2 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 1 \ \ 2 2 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 0 \\ 0 0 \ end {pmatrix}},}{\ begin {pmatrix} 1 1 \\ 2 2 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 1 \\ - 1 -1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -2 1 \\ - 2 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 1 \\ 2 2 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 0 \\ 0 0 \ end {pmatrix}},
    (1 0 0 0) (0 0 0 1) = (0 0 0 1) ( 1 0 0 0) = (0 0 0 0) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 0 \\ 0 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 0 \\ 0 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 0 \\ 0 0 \ end {pmatrix}}}{\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 0 \\ 0 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 0 \\ 0 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 0 \\ 0 0 \ end {pmatrix}} .
  • A прямое произведение двух или более ненулевых колец всегда имеет ненулевые делители нуля. Например, в R 1 × R 2 {\ displaystyle R_ {1} \ times R_ {2}}{\ displaystyle R_ {1} \ times R_ {2}} с каждым R i {\ displaystyle R_ {i}}R_ {i} ненулевое значение, (1, 0) (0, 1) = (0, 0) {\ displaystyle (1,0) (0,1) = (0,0)}{\ displaystyle (1,0) (0,1) = (0,0)} , поэтому (1, 0) {\ displaystyle (1,0)}(1,0) - делитель нуля.

Односторонний делитель нуля

  • Рассмотрим кольцо (формальных) матриц (ху 0 Z) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x y \\ 0 z \ end {pmatrix}}}{\ begin {pmatrix} x y \\ 0 z \ end {pmatrix}} с x, z ∈ Z {\ displaystyle x, z \ в \ mathbb {Z}}x, z \ in \ mathbb {Z} и y ∈ Z / 2 Z {\ displaystyle y \ in \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}y \ in \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} . Тогда (xy 0 z) (ab 0 c) = (xaxb + yc 0 zc) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x y \\ 0 z \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a b \\ 0 c \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} xa xb + yc \\ 0 zc \ end {pmatrix}}}{\ begin {pmatrix} x y \\ 0 z \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a b \\ 0 c \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} xa xb + yc \\ 0 zc \ end {pmatrix}} и (ab 0 c) (xy 0 z) = (xaya + zb 0 zc) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a b \\ 0 c \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x y \\ 0 z \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} xa ya + zb \\ 0 zc \ end {pmatrix}}}{\ begin {pmatrix} a b \\ 0 c \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix } x y \\ 0 z \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} xa ya + zb \\ 0 zc \ end {pmatrix}} . Если x ≠ 0 ≠ z {\ displaystyle x \ neq 0 \ neq z}{\ displaystyle x \ neq 0 \ neq z} , то (xy 0 z) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x y \\ 0 z \ end {pmatrix}}}{\ begin {pmatrix} x y \\ 0 z \ end {pmatrix}} является левым делителем нуля тогда и только тогда, когда x {\ displaystyle x}xчетно, поскольку ( ху 0 z) (0 1 0 0) знак равно (0 Икс 0 0) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x y \\ 0 z \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \ end {pmatrix }} = {\ begin {pmatrix} 0 x \\ 0 0 \ end {pmatrix}}}{\ begin {pmatrix} x y \\ 0 z \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \ e nd {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 x \\ 0 0 \ end {pmatrix}} , и это правый делитель нуля тогда и только тогда, когда z {\ displaystyle z}z даже по аналогичным причинам. Если любое из x, z {\ displaystyle x, z}x, z равно 0 {\ displaystyle 0}{\ displaystyle 0} , то это двусторонний делитель нуля.
  • Вот еще один пример кольца с элементом, который является делителем нуля только с одной стороны. Пусть S {\ displaystyle S}Sбудет набором всех последовательностей целых чисел (a 1, a 2, a 3,...) {\ Displaystyle (а_ {1}, а_ {2}, а_ {3},...)}{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3},...)} . В качестве кольца возьмем все аддитивные карты от S {\ displaystyle S}Sдо S {\ displaystyle S}Sс точечное сложение и состав в качестве кольцевых операций. (То есть наше кольцо - это E nd (S) {\ displaystyle \ mathrm {End} (S)}\ mathrm {End} (S) , кольцо эндоморфизма аддитивная группа S {\ displaystyle S}S.) Три примера элементов этого кольца - сдвиг вправо R (a 1, a 2, a 3,...) = (0, a 1, a 2,...) {\ Displaystyle R (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3},...) = (0, a_ {1 }, a_ {2},...)}{\ displaystyle R ( a_ {1}, a_ {2}, a_ {3},...) = (0, a_ {1}, a_ {2},...)} , сдвиг влево L (a 1, a 2, a 3,...) = (a 2, a 3, a 4,...) {\ displaystyle L (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3},...) = (a_ {2}, a_ {3}, a_ {4 },...)}{\ displaystyle L (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3},...) = (a_ {2}, a_ {3}, a_ {4},...)} , и отображение проекции на первый фактор P (a 1, a 2, a 3,...) = (A 1, 0, 0,...) {\ displaystyle P (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3},...) = (a_ {1}, 0,0,...)}{\ displaystyle P (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3},...) = (a_ {1}, 0,0,...)} . Все три из этих аддитивных карт не равны нулю, а составные части LP {\ displaystyle LP}LP и PR {\ displaystyle PR}PR оба равны нулю, поэтому L {\ displaystyle L}L - левый делитель нуля, а R {\ displaystyle R}R - правый делитель нуля в кольце аддитивные карты из S {\ displaystyle S}Sв S {\ displaystyle S}S. Однако L {\ displaystyle L}L не является правым делителем нуля, а R {\ displaystyle R}R не является левым делителем нуля: составное LR {\ displaystyle LR}LR- это идентификатор. RL {\ displaystyle RL}RL - двусторонний делитель нуля, поскольку RLP = 0 = PRL {\ displaystyle RLP = 0 = PRL}RLP = 0 = PRL , а LR = 1 {\ displaystyle LR = 1}LR = 1 не в каком-либо направлении.

Непримеры

Свойства

  • В кольце n-by- n матриц над полем, левый и правый делители нуля совпадают; это в точности особые матрицы. В кольце матриц размером n на n над областью целостности делители нуля - это в точности матрицы с определителем ноль.
  • Левый или правый делитель нуля никогда не может быть units, потому что если a обратимо и ax = 0, то 0 = a0 = aax = x для некоторого ненулевого x.
  • Элемент отменяемый на сторона, на которой это регулярно. То есть, если a является левым регулярным, ax = ay подразумевает, что x = y, и аналогично для правого регулярного.

Ноль как делитель нуля

Нет необходимости в отдельном соглашении относительно этого случая a = 0, потому что определение применяется и в этом случае:

  • Если R - кольцо, отличное от нулевого кольца, то 0 является (двусторонним) делителем нуля, потому что 0 · a = 0 = a · 0, где a - ненулевой элемент R.
  • Если R является нулевым кольцом, в котором 0 = 1, то 0 не является делителем нуля, потому что там не является ненулевым элементом, который при умножении на 0 дает 0.

Такие свойства необходимы для того, чтобы сделать следующие общие утверждения верными:

  • В коммутативном кольце R набор ненулевых делителей равен мультипликативный набор в R. (Это, в свою очередь, важно для определения полного факторкольца.) То же самое верно для набора не левых делителей нуля и множество неделителей нуля вправо в произвольном кольце, коммутативном или нет.
  • В коммутативном Noe терианова кольца R, набор делителей нуля представляет собой объединение связанных простых идеалов кольца R.

Некоторые ссылки предпочитают исключать 0 как делитель нуля по соглашению, но тогда они должны вводить исключения в только что сделали два общих заявления.

Делитель нуля на модуле

Пусть R будет коммутативным кольцом, пусть M будет R- модулем, и пусть a будет элементом R. Один говорит, что a является M-правильным, если "умножение на" карту M → a M {\ displaystyle M {\ stackrel {a} {\ to}} M}M {\ stackrel {a} {\ to}} M равно инъективен, и что a является делителем нуля на M в противном случае. Набор M-регулярных элементов является мультипликативным множеством в R.

Специализация определений «M-регулярных» и «делителей нуля на M» для случая M = R восстанавливает определения "регулярного" и "делителя нуля", данные ранее в этой статье.

См. Также

Примечания

Ссылки

  1. ^N. Бурбаки (1989), Алгебра I, главы 1–3, Springer-Verlag, p. 98
  2. ^Чарльз Лански (2005), Концепции абстрактной алгебры, American Mathematical Soc., Стр. 342
  3. ^Николя Бурбаки (1998). Алгебра I. Springer Science + Business Media. п. 15.
  4. ^ (1980), Коммутативная алгебра, 2-е издание, The Benjamin / Cummings Publishing Company, Inc., стр. 12

Дополнительная литература

Последняя правка сделана 2021-06-23 08:42:22
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте