Войти
| Эмми Нётер | |
|---|---|
 | |
| Родилась | Амали Эмми Нётер. (1882-03 гг. -23) 23 марта 1882 г.. Эрланген, Бавария, Германская империя |
| Умер | 14 апреля 1935 (1935-04-14) (53 года). Брин- Мор, Пенсильвания, США |
| Национальность | Немец |
| Alma mater | Университет Эрлангена |
| Известен как | |
| Награды | Премия Мемориала Аккермана - Тойбнера (1932) |
| Научная карьера | |
| Поля | Математика и физика |
| Учреждения | |
| Диссертация | О полных системах инвариантов для тернарных биквадратных форм (1907) |
| Докторант | Пол Гордан |
| Докторанты | |
Амали Эмми Нётер (немецкий: ; 23 марта 1882 г. - 14 апреля 1935 г.) был немцем математиком, внесшим важный важный в абстрактную алгебру. У нее также есть знаменитая теорема математической физики, известная как теорема Нётер. Она неизменно использовала имя «Эмми Нётер» в своей жизни и публикациях. Павел Александров, Альберт Эйнштейн, Жан Дьедонне, Герман Вейль и Норберт Винер описывали ее как самая важная женщина в истории математики. Как один из ведущих математиков своего времени, она разработала теории колец, полей и алгебр. В физике теорема Нётер объясняет связь между симметрией и законами сохранения.
Нётер родилась в еврейской семье во франконских странах. город Эрланген ; ее отец был математиком, Макс Нётер. Изначально она планировала преподавать французский и английский после сдачи необходимых экзаменов, но вместо этого изучала математику в Универсальность Эрлангена, где читал лекции ее отец. После завершения диссертации в 1907 году под руководством Пола Гордана она проработала в Математическом институте Эрлангена без оплаты семь лет. В то время женщин в степени исключали с академических должностей. В 1915 году Дэвид Гильберт и Феликс Кляйн пригласили ее работать на математическом факультете в Геттингенском университете, всемирно известном центре математических исследований. Однако философский факультет возразил, и она четыре года читала лекции под именем Гильберта. Ее хабилитация была одобрена в 1919 году, что ей получить звание приват-доцент..
Нётер оставалась ведущим членом Геттингенского математического факультета до 1933 года; ее учеников иногда называли «мальчиками Нётер». В 1924 году голландский математик Б. Л. ван дер Варден присоединился к ее кругу и вскоре стал ведущим исследователем идей Нётер; ее работа легла в основу второго тома его влиятельного учебника 1931 года Современная алгебра. К моменту ее выступления на пленарном языке на Международный конгресс математиков в 1932 г. в Цюрихе ее алгебраическая проницательность признана во всем мире. В следующем году нацистское правительство Германии уволило евреев с университетских должностей, чтобы занять должность в Колледж Брин-Мор в Пенсильвании. В 1935 году она перенесла операцию по поводу кисты яичника и несмотря на признаки выздоровления, умерла через дня в возрасте 53 лет.
Математические работы Нётер были разделены на три эпохи. ". В первом (1908–1919) она внесла вклад в теорию алгебраических инвариантов и числовых полей. Ее работа по дифференциальным инвариантам в вариационном исчислении, теорема Нётер была названа «одной из самых важных математических теорем, когда-либо доказанных и направляющих современной современной физики». Во вторую эпоху (1920–1926) она начала работу, которая «изменила [абстрактной] алгебры». классической статье 1921 года Idealtheorie in Ringbereichen (Теория идеалов в кольцевых доменах) Разработала теорию идеалов в коммутативных кольцах в инструмент с широким кольцом спектром приложений. 753>, и объекты, удовлетворяющие ему, были названы Нётерианом в ее. В третью эпоху (1927–1935) она опубликовала работы по некоммутативным алгебрам и гиперкомплексным числам и объединила теорию представлений групп с тео рией модули и идеалов. Из собственных публикаций, Нётер была щедра на свои идеи, и ей приписывают несколько исследований, опубликованных другими математиками, даже в областях, далеких от ее основной работы, таких как алгебраическая топология.
Нётер выросла в баварском городе Эрланген, изображено здесь, на открытке 1916 года 
Эмми Нётер с братьями Альфредом, Фрицем и Робертом до 1918 года Эмми Нётер родилась 23 марта 1882 года, первая из четырех т детей. Ее имя было «Амалия», в честь ее матери и бабушки по отцовской линии, но она начала использовать свое второе имя в молодом возрасте.
Она не выделялась в учебе, хотя была известна своей умной и дружелюбной принадлежностью. Она была близорукой и в детстве разговаривала с несовершеннолетним шепелявкой. Спустя время рассказала историю о юной Нётер, которая быстро решила головоломку на детском празднике, проявив логическую проницательность в этом раннем возрасте. Ее учили готовить и убирать, как и большинство девочек того времени, и она брала уроки игры на фортепиано. Ни одним из этих занятий она не занималась с энтузиазмом, хотя любила танцевать.
У нее было три младших брата: старший, Альфред, родился в 1883 году, получил степень доктора химии от Эрланген в 1909 году, но умер девять лет спустя. Фриц Нётер, родившийся в 1884 году, известен своими академическими достижениями; после учебы в Мюнхене он заработал себе репутацию в прикладной математике. Самый младший, Густав Роберт, родился в 1889 году. О его жизни известно очень мало; он страдал от хронической болезни и умер в 1928 году.
Пол Гордан руководил докторской диссертацией Нётер по инвариантам биквадратных форм. Нётер рано проявил мастерство в Французский и английский. Весной 1900 года она сдала экзамен для учителей этих языков и получила общий балл sehr gut (очень хорошо). Благодаря своим достижениям она предпочла продолжить обучение в Университете Эрлангена.
Это было нетрадиционное решение; двумя годами ранее Академический сенат университета объявил, что разрешение смешанного образования «свергнет весь академический порядок». Нётер, одной из двух женщин в университете с 986 студентами, было разрешено только одитировать занятия, а не участвовать полностью, и требовалось разрешение отдельных профессоров, чьи лекции она хотела бы посетить. Несмотря на эти препятствия, 14 июля 1903 г. она сдала выпускной экзамен в Realgymnasium в Нюрнберге.
В течение зимнего семестра 1903–1904 гг. Она училась в Геттингенском университете, посещая лекции, которые читал астроном Карл Шварцшильд и математики Герман Минковски, Отто Блюменталь, Феликс Клейн и Дэвид Гильберт. Вскоре после этого ограничения на участие женщин в этом университете были отменены.
Нётер вернулась в Эрланген. Официально она снова поступила в университет в октябре 1904 года и заявила о своем намерении сосредоточиться исключительно на математике. Под руководством Пола Гордана она написала диссертацию «Uber die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form» («О полных системах инвариантов для тернарных биквадратных форм», 1907). Гордан был членом «вычислительной» школы исследователей инвариантов, диссертация Нётер закончилась из более чем 300 явно разработанных инвариантов. Позднее этот подход к инвариантам был заменен более абстрактным общим подходом, впервые предложенным Гильбертом. Хотя он был хорошо принят, Нётер позже описала свою диссертацию и ряд аналогичных работ, которые она подготовила, как «чушь».
следующие семь лет (1908–1915) она преподавала в Математическом институте Университета Эрлангена бесплатно, иногда заменяя своего отца, когда он был слишком болен, чтобы читать лекции. В 1910 и 1911 годах она опубликовала расширение своей дипломной работы с трех чисел до n чисел.
Нётер иногда использовал открытки, чтобы обсудить абстрактную алгебру со своим коллегой, Эрнстом Фишером. Эта карта отштампована 10 апреля 1915 года. Гордан ушел в отставку 1910 года, но время от времени продолжал преподавать вместе со своим преемником Эрхардом Шмидтом, который вскоре после этого ушел на должность в Бреслау. Гордан полностью ушел с преподавания в 1911 году, когда прибыл преемник Шмидта Эрнст Фишер ; Гордан умерла годом позже, в декабре 1912 года.
Согласно Герману Вейлю, Фишер оказал большое влияние на Нётер, в частности, познакомив ее с работами Дэвида Гильберта. С 1913 по 1916 год были расширены и применены к математическим объектам методы Гильберта, такие как поля рациональных функций и инварианты конечных групп. Этот этап знаменует собой начало ее занятия абстрактной алгеброй, областью математики, в она внесет революционный вклад.
Нётер и Фишер разделяли живое увлечение математикой и часто обсуждали лекции спустя долгое время после их окончания; Известно, что Нётер отправляла Фишер открытки, продолжая свой ход математических мыслей.
Весной 1915 года Дэвид Гильберт пригласил Нётер вернуться в Геттингенский университет. и Феликс Кляйн. Однако их попытка завербовать ее была заблокирована филологами и историками из числа философских факультетов: женщины, настаивали они, не должны становиться приватдозентенами. Один преподаватель возразил: «Что подумают наши солдаты, когда они вернутся в университет и обнаружат, что им нужно учиться у ног женщины?» Гильберт возмутился, заявив: «Я не вижу, чтобы пол кандидата был аргументом против ее признания приват-доцентом. В конце концов, мы университет, а не баня ».
В 1915 году Дэвид Гильберт пригласил Нётер подключиться к математическому факультету Гёттингена, оспаривая взгляды некоторых своих коллег, что женщине нельзя разрешать преподавать в университете. Нётер уехала в Гёттинген в конце апреля; две недели спустя ее мать внезапно умерла в Эрлангене. Ранее она получала медицинскую помощь по заболеваниям глаз, но его природа и влияние на ее смерть неизвестны. Примерно в то же время отец Нётер ушел на пенсию, и ее брат присоединился к армии, чтобы служить в Первой мировой войне. Она вернулась в Эрланген на несколько недель, в основном чтобы заботиться о своем стареющем отце.
В первые годы преподавания в Геттингене у нее не было официальной должности, и ей не платили; ее семья оплачивала проживание и питание, а также поддерживала ее академическую работу. Ее лекции часто рекламировались под именем Гильберта, и Нётер оказывала «помощь».
Однако вскоре после прибытия в Геттинг он проявил свои способности, доказав теорему, известную как теорема Нётер, которая показывает, что сохранение закон связан с любым дифференцируемой симметрией физической системы. Документ был представлен коллегой Ф. Кляйном 26 июля 1918 г. на код Королевского общества наук в Геттингене. По-видимому, Нётер не представила его сама, потому что не была членом общества. Американские физики Леон М. Ледерман и Кристофер Т. Хилл утверждают в книге «Симметрия и прекрасная Вселенная», что теорема Нётер определенно является одной из самых важных математических теорем, когда-либо доказанных в качестве руководства. развитие современной физики, возможно, наравне с теоремой Пифагора ".
Математический факультет в Геттингенском университете разрешил Нётер получить квалификацию в 1919 году, через четыре года после того, как она получила начал читать лекции в школе. Когда закончилась Первая мировая война, немецкая революция 1918–1919 гг. внесла существенные изменения в социальные отношения, в том числе больше прав женщин. В 1919 году Геттингенский университет разрешил Нётер, чтобы продолжить ее абилитацию (право на занятие должности). Ее устный экзамен был проведен в конце мая, и она успешно прошла лекцию по абилитации в июне 1919 года.
Три года спустя она получила письмо из [de ], прусский министр по делам Науки, искусства и народного образования, в котором он присвоил ей титул nicht beamteter ausserordentlicher Professor (незарегистрированный профессор с ограниченными внутренними административными правами и функциями). Этобыла неоплачиваемая «экстраординарная» профессура, а не более высокая «обычная» профессура, которая была должностью государственной службы. Несмотря на признание важности ее работы, должность по-прежнему не обеспечивает зарплаты. Лекции Нётер не платили до тех пор, пока год спустя она не была назначена на специальную должность в Lehrbeauftragte für Algebra.
Хотя теорема Нётер оказала значительное влияние на классическую и квантовую математику. механики, среди математиков ее больше всего помнят за ее вклад в абстрактную алгебру. В своем предисловии к «Собранию статей Нётер» Натан Якобсон писал, что
Развитие абстрактной алгебры, которое является одним из самых ярких нововведений математики двадцатого века, во многом обязано - в опубликованныхях, в лекциях и в личном влиянии на своих современников.
Иногда она позволяет своим коллегам получать признание за свои идеи, помогая им получать свою карьеру за счет своих собственных.
Работы Нётер по алгебре началась в 1920 году. В сотрудничестве с В. Шмейдлером она опубликовала статью о теории идеалов, в которой они определили левый и правый идеалы в це.
В следующем году она опубликовала статью под названием Idealtheorie в Рингберихене, в следующем году. которая проанализировала условия восходящей цепи в (отношении математических) идеалов. Известный алгебраист Ирвинг Каплански назвал эту работу «революционной»; публикация дала начало термину «нётерское кольцо » и названию некоторых других математических объектов нётерским.
. В 1924 году молодой голландский математик Б.Л. ван дер Варден прибыл в Геттингенский университет. Он сразу же начал работать с Нётер, которая предоставила бесценные методы абстрактной концептуализации. Позднее Ван дер Варден сказал, что ее оригинальность «абсолютна вне всякого сравнения». В 1931 году он опубликовал современную алгебру, центральный текст в этой области; второй том во многом заимствован из работ Нётер. Хотя Нётер и не добивался признания, он включил в седьмое издание примечание, «частично основанное на лекциях Э. Артина и Э. Нётер ».
Визит Ван дер Вардена был крупным из-за сближения математиков со всего мира в Геттинген, который стал крупным математических и физических исследований. С 1926 по 1930 год русский тополог Павел Александров читал лекции в университете, и они с Нётер быстро стали хорошими друзьями. Он начал называть ее der Noether, используя мужской немецкий артикль как выражение нежности, чтобы показать свое уважение. Она пыталась организовать для него место в Геттингене в качестве обычного профессора, но смогла только помочь ему получить стипендию от Фонда Рокфеллера. Они регулярно встречались и с удовольствием обсуждали пересечения алгебры и топологии. В своем мемориальном обращении 1935 года Александров назвал Эмми Нётер «величайшей женщиной-математиком всех времен».
В дополнение к ее математическим знаниям, Нётер уважали за ее внимание других. Хотя она иногда грубо поступала по отношению к тем, кто с ней не соглашался, тем не менее, она приобрела репутацию постоянного помощника и терпеливого руководства для новых учеников. Ее преданность математической точности заставила одного коллегу назвать ее «строгим критиком», но она сочетала это требование точности с заботливым отношением. Позже коллега описал ее так:
Совершенно неэгоистичная и свободная от тщеславия, она никогда ничего не требовала для себя, но прежде всего продвигала работы своих учеников.
Нётер ок. 1930 В Геттингене Нётер руководила более чем дюжиной докторантов; ее первой была Грета Херманн, которая защитила диссертацию в феврале 1925 года. Позже она благоговейно отзывалась о своей «диссертации-матери». Нётер также руководила Максом Дойрингом, который отличился как студент и продолжал вносить свой вклад в область арифметической геометрии ; Ганс Фиттинг, запомнившийся по теореме Фиттинга и лемме Фиттинга ; и Цзэн Цзюнчжи (также переведенный на английский как «Chiungtze C. Tsen»), который доказал теорему Цена. Она также тесно сотрудничала с Вольфгангом Круллем, который значительно продвинул коммутативную алгебру с его Hautilealsatz и его теорией размерностей для коммутативных колец.
Ее скромный образ жизни сначала был связан с тем, что ей не платили за работу; однако даже после того, как в 1923 году университет начал выплачивать ей небольшую зарплату, она продолжала жить простой и скромной жизнью. Позже ей платили более щедро, но половину своей зарплаты она отложила в наследство своему племяннику Готфрид Э. Нётер.
Биографы предполагают, что она в основном не заботилась о внешности и манерах,превращает второе кольцо в модуль над первым. Часто первое кольцо - это поле.
Такие слова, как «элемент» и «операция объединения» представляют собой очень общими и могут использовать многим реальным и абстрактным ситуациям. Любой набор вещей, который подчиняется всем правилам для одной (или двух) операций (операций), по определению группы (или кольцом) и подчиняется всем теоремам о группах (или кольцах). Целые числа, а также операции сложения и умножения - лишь один из примеров. Например, элементы могут быть слова компьютерных данных, где первая операция объединения является исключающей логикой или, а вторая - ическим соединением. Теоремы абстрактной алгебры сильны, потому что они общие; они управляют системами. Можно было бы представить, что мало что может быть получен из данного набора свойств, с определенными небольшими такими характеристиками, но именно в этом и заключался дар Нётер конструкции максимум, который может быть получен из данного набора свойств, или, наоборот, определить минимальный набор основных свойств. отвечает за конкретное наблюдение. В отличие от большинства математиков, она не делала абстракций, общие известные примеры; скорее, она работала непосредственно с абстракциями. В некрологе Нётер ее ученик ван дер Варден напомнил, что
максиму, которой руководствовалась Эмми Нётер в своей работе, можно было бы сформулировать следующим образом: «Любые отношения между числами, функциями и операциями становятся прозрачными, общедоступными и полностью продуктивными только после того, как того., как они были изолированы от своих конкретных и сформулированных как универсальные концепции ».
Это начальная математика (чисто концептуальная математика), которая была характерна для Нётер. Этот стиль математики был принят другими математиками, особенно в (тогда новой) области абстрактной алгебры.
Целые числа образуют коммутативное кольцо, элементы которого являются целыми числами, а операции объединения - это сложение и умножение. Любая пара целых чисел может быть сложена или умножена, всегда получается другое целое число, и первая операция, сложение, является коммутативной, т. Е. Для любых элементов a и b в кольце, a + b = b + a. Вторая операция, умножение, также является коммутативной, но это означает, что в сочетании с b может отличаться от b в сочетании с a. Примеры некоммутативных колец включают в себя матрицы и кватернионы. Целые числа не образуют делительное кольцо, потому что вторую операцию не всегда можно инвертировать; не целого числа такое, что 3 × a = 1.
Целые числа имеют дополнительные свойства, которые не распространяются на все коммутативные кольца. Важным примером является фундаментальная теорема арифметики, в которой говорится, что каждое положительное целое число может быть однозначно разложено на простые числа. Уникальные факторизации не всегда существуют в других кольцах, но Нётер нашла теорему уникальной факторизации, которая теперь называется теоремой Ласкера - Нётер, для идеалов многих колец. Большая часть работы Нётер заключалась в определении того, какие свойства действительно выполняются для всех колец, в разработке новых аналогов старых теорем о целых числах и в определении минимального набора допущений, необходимых для определения характеристик колец.
Таблица 2 из диссертации Нётер по теории инвариантов. В этой таблице собраны 202 из 331 инвариантов тройных биквадратных форм. Эти формы градуируются по двум переменным x и u. В горизонтальном направлении направления инварианты с возрастанием оценок по x, а в вертикальном направлении - с оценками по u. Большая часть работ Нётер в первую эпоху ее карьеры была связана с теорией инвариантов, в основном. Теория инвариантов связана с постоянными (инвариантными) при группе преобразователями. В качестве повседневного примера, если вращается жесткая мера, координаты (x 1, y 1, z 1) и (x 2, y 2, z 2) его конечные точки изменяются, но его длина L, заданная формулой L = Δx + Δy + Δz, остается прежней. Теория инвариантов активной областью исследований в конце девятнадцатого века, частично вызванной программой Феликса Кляйна Эрланген, согласно которой различные типы геометрии должны соответствовать своим инвариантами относительно преобразований, например, перекрестным отношением проективной геометрии.
Примером инварианта является дискриминант B - 4 AC двоичная квадратичная форма x·A x+ y·B x+ y·C y, где x и y - это качество, а «· » - это точка продукта или "внутренний продукт " для векторов. A, B и C являются линейными операторами над векторми - матрицами.
Дискриминант называется «инвариантным обычно», потому что он не изменяется линейными заменами x → a x + b y, y → c x + d y с определителем ad - bc = 1. Эти подстановки образуют специальную линейную группу SL2.
. Можно запросить все многочлены из A, B и C, которые не изменились под SL 2 ; они называются инвариантами бинарных квадратичных форм и оказываются полиномами от дискриминанта.
В более общем смысле можно запросить инварианты однородных многочленов A 0 xy +... + A r xy более высокой степени, которые будут определенными многочленами в коэффициенте A 0,..., A r и в более общем смысле можно задать аналогичный вопрос для однородных многочленов от более чем двух чисел.
Одной из основных целей теории инвариантов было решение «проблемы конечного базиса». Сумма или произведение любых двух инвариантов инвариантна, и проблема конечного базиса спрашивала, можно ли получить все инварианты, начав с конечного списка инвариантов, называемых генераторов, а сложив или умножив генераторы вместе. Например, дискриминант дает конечный базис (с одним элементом) для инвариантов бных квадратичных форм.
Советник Нётер, Пол Гордан, был известен как «король теории инвариантов», и его главным вкладом в математику было его решение 1870 г. проблемы конечного базиса для инвариантов однородных многочленов от двух чисел. Он доказал это, предложив конструктивный метод поиска всех инвариантов и их генераторов, но не смог применить этот конструктивный подход для инвариантов от трех или более переменных. В 1890 году Дэвид Гильберт доказал аналогичное утверждение для инвариантов однородных многочленов от любого числа чисел. Более того, его метод работал не только для специальной линейной группы, но и для некоторых из ее подгрупп, таких как специальная ортогональная группа.
теория Галуа касаются преобразований числовых полей, которые переставляют корни уравнения. Рассмотрим полиномиальное уравнение переменной x степени n, в котором коэффициенты взяты из некоторого основного поля, которое может быть, например, полем действительных чисел, рациональные числа или целые по модулю 7. Может быть, а может и не быть выбора x, при котором этот полином оценивается в ноль. Такие варианты, если они существуют, называются корнями. Если многочлен равен x + 1, а поле представляет собой действительное число, то многочлен не имеет корней, поскольку любой выбор x делает многочлен больше или равным единице. Однако, если поле расширено, то многочлен может иметь корни, а если он достаточно расширен, то он всегда имеет количество корней, равное его степень.
Продолжая предыдущий пример, если поле увеличивает до комплексных чисел, то многочлен получает два корня, + i и −i, где i - это мнимая единица, то есть, я = -1. В более общем смысле поле расширения, в котором многочлен может быть разложен на его корни, известно как поле расщепления многочлена.
Группа Галуа полинома - это набор всех преобразователей поля расщепления, которые сохраняют поле и корни полинома. (На математическом жаргоне эти преобразования называются автоморфизмами.) Группа Галуа x + 1 состоит из двух элементов: тождественное преобразование, которое отправляет каждое комплексное число самому себе, и комплексное сопряжение, которое переводит + i в −i. Группа Галуа не изменяет поле, она оставляет коэффициенты многочлена неизменными, поэтому она должна оставить набор всех корней. Однако каждый корень может перейти к другому корню, поэтому преобразование определяет перестановку n корней между собой. Значение группы Галу вытекает из фундаментальной теоремы теории Галуа, которая доказывает, что поля, лежащие между основным полем и полем расщепления, находятся во взаимно однозначном соответствии с подгруппами группы Галуа.
В 1918 году Нётер опубликовала статью по обратной задаче Галуа. Вместо определения группы Галуа преобразователей данного и ее расширения, можно найти расширение поля, используемое в качестве группы Галуа, для данного поля и группы. Она свела это к «проблема Нётер », которая спрашивает, действует ли фиксированное поле подгруппы G из группы перестановок Snна поле k (x 1,..., x n) всегда является чистым трансцендентным расширением поля k. (Впервые она представила эту проблему в статье 1913 года, где она показала проблему своему коллеге Фишеру.) Она показала, что это верно для n = 2, 3 или 4. В 1969 году она нашла контр- пример к проблеме Нётер, с n = 47 и G циклической группой порядка 47 (хотя эта группа может быть реализована как группа Галуа над рациональнымичислами другими методами). Обратная проблема Галуа остается нерешенной.
Нётер была доставлена в Геттинген в 1915 году Давидом Гильбертом и Феликсом Кляйном, которые хотели ее опыт в теории инвариантов помог им в понимании общей теории относительности, геометрической теории гравитации, разработанной в основном Альбертом Эйнштейном. Гильберт заметил, что сохранение энергии, по-видимому, нарушается в общей теории относительности, потому что гравитационная энергия сама может притягиваться. Нётер предоставила разрешение этого парадокса и фундаментальный инструмент современной теоретической физики с помощью первой теоремы Нётер, которую она доказала в 1915 году, но не опубликовала до 1918 года. решил проблему для общей теории относительности. Получив ее работу, Эйнштейн написал Гильберту:
Вчера я получил от мисс Нётер очень интересную статью об инвариантах. Меня впечатляет, что такие вещи можно понять в таком общем смысле. Старая гвардия в Геттингене должна извлечь уроки у мисс Нётер! Кажется, она знает свое дело.
Например, если физическая система ведет себя одинаково независимо от того, как она ориентирована в сфере, физические законы, управляющие ею, являются вращательно-симметричными; исходя из этой симметрии, теорема Нётер показывает, что угловой момент должен системы сохраняться. Сама физическая система не обязательно должна быть симметричной; зазубренный астероид, падающий в космосе , сохраняет угловой момент, несмотря на свою асимметрию. Скорее, симметрия физических законов, управляющих системой, отвечает за закон сохранения. Другой пример: если физический эксперимент приводит к одинаковым результатам в любом месте и в любое время, то его законы симметричны относительно непрерывных перемещений в пространстве и времени; по теореме Нётер эти симметрии учитывают законы сохранения импульса и энергии в этой системе соответственно.
Теорема Нётер стала фундаментальный инструмент современной теоретической физики, как из-за понимания законов сохранения, так и в качестве практического инструмента вычислений. Ее теорема позволяет исследователям определять сохраняющиеся величины из наблюдаемых симметрий физической системы. И наоборот, это облегчает описание физической системы на основе классов гипотетических физических законов. Для иллюстрации предположим, что обнаружено новое физическое явление. Теорема Нётер обеспечивает проверку теоретических моделей явления:
Если теория имеет непрерывную симметрию, то теорема Нётер гарантирует, что теория имеет сохраняющуюся величину, и для того, чтобы теория была правильной, это сохранение должно наблюдаться в экспериментах
В эту эпоху Нётер прославилась своим умением использовать восходящие (Teilerkettensatz) или нисходящие (Vielfachenkettensatz) условия цепочки. Последовательность непустых подмножеств A1, A 2, A 3 и т. Д. Из набора S обычно называется восходящим, если каждое из них является подмножеством следующего
И наоборот, последовательность подмножеств S называется убывающей, если каждое из них содержит следующее подмножество:
Цепочка становится постоянной после конечного числа шагов, если существует n такое, что 
Условия восходящей и нисходящей цепочек являются общими, что означает, что они могут применяться ко многим типам математических объектов - и на первый взгляд они могут показаться не очень эффективными. Однако Нётер показала, как использовать такие условия с максимальной пользой.
Например: как использовать условия цепочки, чтобы показать, что каждый набор подобъектов имеет максимальный / минимальный элемент или что сложный объект может быть сгенерирован меньшим числом элементов. Эти выводы часто являются решающими шагами в доказательстве.
Многие типы объектов в абстрактной алгебре могут удовлетворять условиям цепочки, и обычно, если они удовлетворяют условию возрастающей цепочки, в ее честь они называются Нётерианскими. По определению нётерово кольцо удовлетворяет условию возрастающей цепочки на его левом и правом идеалах, тогда как нётерова группа определяется как группа, в которой каждая строго возрастающая цепочка подгрупп конечна. Модуль Нётерана - это модуль , в котором каждая строго возрастающая цепочка подмодулей становится постоянной после конечного числа шагов. Нётерово пространство - это топологическое пространство, в котором каждая строго возрастающая цепочка открытых подпространств становится постоянной после конечного числа шагов; это определение делает спектр нётерова кольца нётеровым топологическим пространством.
Условие цепочки часто «наследуется» подобъектами. Например, все подпространства нётерова пространства сами нётеровы; все подгруппы и фактор-группы нётеровой группы также нётеровы; и mutatis mutandis то же самое верно для подмодулей и фактормодулей нётерова модуля. Все факторкольца нётерова кольца нётеровы, но это не обязательно верно для его подкольца. Условие цепочки также может быть унаследовано комбинациями или расширениями нётерского объекта. Например, конечные прямые суммы нётеровых колец являются нётеровыми, как и кольцо формальных степенных рядов над нётеровым кольцом.
Другое применение таких условий цепочки находится в нётеровой индукции, также известной как хорошо обоснованной индукции, которая является обобщением математической индукции. Он часто используется для сведения общих утверждений о коллекциях объектов к утверждениям о конкретных объектах в этой коллекции. Предположим, что S - частично упорядоченное множество. Один из способов доказательства утверждения об объектах S состоит в том, чтобы предположить существование контрпримера и вывести противоречие, тем самым доказав контрпозитив исходного утверждения. Основная посылка нётеровой индукции состоит в том, что каждое непустое подмножество S содержит минимальный элемент. В частности, множество всех контрпримеров содержит минимальный элемент, минимальный контрпример. Поэтому, чтобы доказать исходное утверждение, достаточно доказать что-то, казалось бы, гораздо более слабое: для любого контрпримера существует контрпример меньшего размера.
Статья Нётер, Idealtheorie in Ringbereichen (Теория идеалов в кольцевых доменах, 1921), является фундаментом общей коммутативной теория колец, и дает одно из первых общих определений коммутативного кольца. До ее работы большинство результатов по коммутативной алгебре ограничивалось специальными примерами коммутативных колец, такими как кольца полиномов над полями или кольца целых алгебраических чисел. Нётер доказала, что в кольце, удовлетворяющем условию возрастающей цепи на идеалах , каждый идеал конечно порожден. В 1943 году французский математик Клод Шевалле ввел термин нётеровское кольцо для описания этого свойства. Основным результатом статьи Нётер 1921 года является теорема Ласкера – Нётер, которая расширяет теорему Ласкера о примарном разложении идеалов полиномиальных колец на все нётеровы кольца. Теорема Ласкера – Нётер может рассматриваться как обобщение фундаментальной теоремы арифметики, которая утверждает, что любое положительное целое число может быть выражено как произведение простых чисел, и что это разложение уникальный.
Работа Нётер Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern (Абстрактная структура теории идеалов в алгебраических числовых и функциональных полях, 1927) охарактеризовала кольца, в которых идеалы имеют уникальную факторизацию в простые идеалы, как Дедекиндовы домены : целые домены, которые являются нётеровыми, 0- или 1- мерными, и интегрально замкнутыми в своих полях частных. В этой статье также содержатся так называемые теоремы об изоморфизме, которые описывают некоторые фундаментальные естественные изоморфизмы, а также некоторые другие основные результаты о нётеровых и артиновых модулях.
В 1923–1924 годах Нётер применила свою идеальную теорию к теории исключения в формулировке, которую она приписала своему ученику Курту Хентцельту. Она показала, что фундаментальные теоремы о факторизации многочленов могут быть перенесены напрямую. Традиционно теория исключения занимается исключением одной или нескольких переменных из системы полиномиальных уравнений, обычно методом результирующих.
Для иллюстрации систему уравнений часто можно записать в форме M v= 0, где матрица (или линейное преобразование ) M (без переменной x), умноженная на вектор v (который имеет только ненулевые степени x), равна нулевому вектору, 0 . Следовательно, определитель матрицы M должен быть равен нулю, обеспечивая новое уравнение, в котором переменная x была исключена.
Такие методы, как оригинальное неконструктивное решение Гильбертом проблемы конечного базиса, нельзя было использовать для получения количественной информации об инвариантах. действия группы, и, более того, они не распространялись на все действия группы. В своей статье 1915 года Нётер нашла решение проблемы конечного базиса для конечной группы преобразований G, действующих в конечномерном векторном пространстве над полем нулевой характеристики. Ее решение показывает, что кольцо инвариантов порождается однородными инвариантами, степень которых меньше или равна порядку конечной группы; это называется границей Нётер . В ее статье приведены два доказательства границы Нётер, оба из которых также работают, когда характеристика поля взаимно проста с | G |! (факториал порядка | G | группы G). Степени образующих не обязательно должны удовлетворять границе Нётер, когда характеристика поля делит число | G |, но Нётер не смогла определить, верна ли эта оценка, когда характеристика поля делит | G |! но не | G |. В течение многих лет определение истинности или ложности этой границы для данного конкретного случая было открытой проблемой, называемой «пробелом Нётер». В конечном итоге она была независимо решена Флейшманном в 2000 году и Фогарти в 2001 году, которые оба показали, что оценка остается верной.
В своей статье 1926 года Нётер распространила теорему Гильберта на представления конечной группы над любым полем; новый случай, который не вытекает из работы Гильберта, - это когда характеристика поля делит порядок группы. Результат Нётер был позже распространен Уильямом Хабушем на все редуктивные группы, доказав гипотезу Мамфорда. В этой статье Нётер также представила лемму о нормализации Нётер, показывающую, что конечно порожденная область A над полем k имеет набор {x 1,..., x n } из алгебраически независимых элементов, таких что A является целым над k [x 1,..., x n ].
Непрерывная деформация (гомотопия ) кофейной чашки в пончик (тор ) и обратно Как отмечают Павел Александров и Герман Вейль в своих некрологах, вклад Нётер в топологию иллюстрирует ее щедрость с идеями и то, как ее идеи могут трансформировать целые области математики. В топологии математики изучают свойства объектов, которые остаются неизменными даже при деформации, такие как их связность. Старая шутка гласит, что «тополог не может отличить пончик от кофейной кружки», поскольку они могут непрерывно деформироваться друг в друга.
Нётер приписывают фундаментальные идеи, которые привели к развитию алгебраической топологии из более ранней комбинаторной топологии, в частности, идеи групп гомологии. Согласно рассказу Александрова, Нётер посещала лекции, прочитанные Хайнцем Хопфом и им летом 1926 и 1927 годов, где «она постоянно делала наблюдения, часто глубокие и тонкие», и он продолжает это:
Когда... она впервые познакомилась с систематическим построением комбинаторной топологии, она сразу заметила, что было бы целесообразно непосредственно изучить группы алгебраических комплексов и циклов данного многогранника и подгруппа группы циклов, состоящая из циклов, гомологичных нулю; вместо обычного определения чисел Бетти она предложила сразу же определить группу Бетти как дополнительную (факторную) группу группы всех циклов по подгруппе циклов, гомологичных нулю. Это наблюдение теперь кажется самоочевидным. Но в те годы (1925–1928) это была совершенно новая точка зрения.
Предложение Нётер об изучении топологии алгебраически было немедленно принято Хопфом, Александровым и другими, и стало частой темой обсуждения среди математиков. Геттингена. Нётер заметила, что ее представление о группе Бетти упрощает понимание формулы Эйлера – Пуанкаре, и собственная работа Хопфа по этому вопросу «несет на себе отпечаток этих замечаний Эмми Нётер». Нётер упоминает свои собственные идеи топологии только в качестве отступления в публикации 1926 года, где она цитирует их как приложение теории групп.
. Этот алгебраический подход к топологии также был независимо разработан в Австрии. В курсе 1926–1927 годов, прочитанном в Вена, Леопольд Виеторис определил группу гомологии, которая была разработана Вальтером Майером, в аксиоматическое определение в 1928 году.
Гельмут Хассе работал с Нётер и другими, чтобы основать теорию центральных простых алгебр.Much work on hypercomplex numbers and group representations was carried out in the nineteenth and earlyдвадцатого века, но остались разрозненными. Нётер объединила эти результаты и дала первую общую теорию представлений групп и алгебр.
Вкратце, Нётер объединила структурную теорию ассоциативных алгебр и теорию представлений групп в единую арифметическую теорию модули и идеалы в кольцах, удовлетворяющие условиям возрастающей цепочки. Эта единственная работа Нётер имела фундаментальное значение для развития современной алгебры.
Нётер также внесла свой вклад в ряд других достижений в области область алгебры. Вместе с Эмилем Артином, Ричардом Брауэром и Гельмутом Хассе она основала теорию центральных простых алгебр.
Статья Нётер, Хельмут Хассе, а Ричард Брауэр относится к алгебрам с делением, которые представляют собой алгебраические системы, в которых возможно деление. Они доказали две важные теоремы: локально-глобальную теорему, утверждающую, что если конечномерная центральная алгебра с делением над числовым полем распадается локально всюду, то она разбивается глобально (это тривиально), и из этого вывели их Хаупцац («основная теорема»):
каждая конечномерная центральная алгебра с делением над полем алгебраических чисел F разбивается на циклическое циклотомическое расширение.
Эти теоремы позволяют классифицировать все конечномерные центральные алгебры с делением по заданному числовому полю. Последующая работа Нётер показала, как частный случай более общей теоремы, что все максимальные подполя алгебры с делением D являются полями расщепления. Эта статья также содержит теорему Сколема – Нётер, которая утверждает, что любые два вложения расширения поля k в конечномерную центральную простую алгебру над k сопряжены. Теорема Брауэра – Нётер дает характеристику полей расщепления центральной алгебры с делением над полем.
Кампус Эмми Нётер в Университете Зигена является домом для его факультетов математики и физики. Работа Нётер по-прежнему актуальна для развитие теоретической физики и математики, и она неизменно считается одним из величайших математиков двадцатого века. В своем некрологе коллега-алгебраист Б.Л. ван дер Варден говорит, что ее математическая оригинальность была «абсолютной вне всякого сравнения», а Герман Вейль сказал, что Нётер «своими работами изменила лицо алгебры ». При жизни и даже сегодня Нётер была охарактеризована как величайшая женщина-математик в истории человечества такими математиками, как Павел Александров, Герман Вейль и Жан Дьедонне.
В письме в The New York Times, Альберт Эйнштейн писал:
По мнению наиболее компетентных современных математиков, Фройлейн Нётер была самым значительным творческим математиком гений производился с тех пор, как началось высшее образование женщин. В области алгебры, которой наиболее одаренные математики занимались веками, она открыла методы, которые доказали огромную важность в развитии современного молодого поколения математиков.
2 января 1935 года несколько за несколько месяцев до ее смерти математик Норберт Винер написал, что
мисс Нётер... величайшая женщина-математик из когда-либо живших; и величайшая женщина-ученый из всех ныне живущих, и ученый, по крайней мере, в плане мадам Кюри.
На выставке на Всемирной выставке 1964 года, посвященной современным математикам, Нётер была единственной женщиной, представленной среди выдающихся математиков современного мира.
Нётер была отмечена в нескольких мемориалах,
Художественная литература Эмми Наттер, профессор физики в книге «Божественный патент» Рэнсом Стивенс, на основе Эмми Нётер.
Вдали от дома,
| Дата | Имя студента | Название диссертации и перевод на английский | Университет | Опубликовано | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1911-12- 16 | Falckenberg, Hans | Verzweigungen von Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen
| Эрланген | Лейпциг 1912 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1916-03-04 | Зайдельманн, Фриц | Die Gesamtheit der kubischen und biquadratischen Gleichungen mit Affekt bei trustbigem Rationalitätsbereich
|
