Радикал идеала

В коммутативной теории колец, ветви математики, радикал идеала $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$- это идеал такой, что элемент $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$находится в радикале тогда и только тогда, когда некоторая степень $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$находится в $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$(принятие радикала называется радикализация). Радикальный идеал (или полупервичный идеал ) - это идеал, равный своему собственному радикалу. Радикал первичного идеала является первичным идеалом.

Эта концепция обобщается на некоммутативные кольца в статье Полупервичное кольцо.

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Свойства
• 4 Приложения
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Цитаты
• 8 Ссылки

Радикал идеала $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$в коммутативном кольце $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, обозначается $рад\; \; (I)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{rad\}\; (I)\}$или $I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\}\; \}$, определяется как

$I\; =\; \{r\; \in \; R\; \mid \; rn\; \in \; I\; для\; некоторого\; n\; \in \; Z\; +\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\}\; =\; \backslash \; \{r\; \backslash \; in\; R\; \backslash \; mid\; r\; ^\; \{n\}\; \backslash \; in\; I\; \backslash \; \{\backslash \; hbox\; \{для\; некоторых\}\}\; \backslash \; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{+\}\; \backslash !\; \backslash \},\}$

(обратите внимание, что $I\; \subset \; I\; \{\; \backslash \; displaystyle\; I\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\}\}$). Интуитивно $I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\}\}$получается путем извлечения всех корней элементов $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$внутри кольца $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$. Эквивалентно, $I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\}\}$- это прообраз идеала нильпотентных элементов (нильрадикал ) в частном кольцо $R\; /\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; /\; I\}$(через естественную карту $\pi :\; R\; \to \; R\; /\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \backslash \; двоеточие\; R\; \backslash \; к\; R\; /\; I\}$). Последнее показывает, что $I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\}\}$сам по себе является идеалом.

Если радикал $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$конечно генерируется, тогда некоторая степень $I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\}\}$содержится в $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$. В частности, если $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$и $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$являются идеалами нётерского кольца, то $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$и $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$имеют один и тот же радикал тогда и только тогда, когда $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$содержит некоторую степень $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$и $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$содержит некоторую степень $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \}$.

Если идеал $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$совпадает со своим собственным радикалом, то $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$называется радикальным идеалом или полупервичный идеал.

• Рассмотрим кольцо $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$из целых чисел.

1. радикал идеала $4\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$целых чисел, кратных $4\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\}$равно $2\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$.
2. Радикал $5\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; 5\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$равен $5\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; 5\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$.
3. Радика l из $12\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; 12\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$равно $6\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; 6\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$.
4. В общем, радикал $m\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$равно $r\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$, где $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- произведение всех различных простых множителей из $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$, наибольшего без квадратов множитель $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$(см. радикал целого числа ). Фактически, это обобщается на произвольный идеал (см. Раздел Свойства ).

• Рассмотрим идеал $I\; =\; (y\; 4)\; \subset \; C\; [x,\; y].\; \{\backslash \; Displaystyle\; I\; =\; (y\; ^\; \{4)\; \})\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y].\}$Показать $I\; =\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\}\; =\; (y)\}\; -\; тривиально$(с использованием базового свойства $I\; n\; =\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\}\}$), но мы предлагаем несколько альтернативных методов. Радикал $I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\}\}$соответствует нильрадикалу $0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 0\}\}\}$частного кольца $R\; =\; C\; [x,\; y]\; /\; (y\; 4),\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y]\; /\; (y\; ^\; \{4\}),\}$который является пересечением всех первичных идеалов факторкольца. Он содержится в радикале Джекобсона, который является пересечением всех максимальных идеалов, которые являются ядра гомоморфизмов в поля. Любой морфизм кольца $R\; \to \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$должен иметь $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$в кере nel, чтобы иметь четко определенный морфизм (если мы сказали, например, что ядро ​​должно быть $(x,\; y\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y-1)\}$композиция $C\; [x,\; y]\; \to \; R\; \to \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y]\; \backslash \; to\; R\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$будет $(x,\; y\; 4,\; y\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y\; ^\; \{4\},\; y-1)\}$что то же самое, что попытаться заставить $1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; =\; 0\}$). Поскольку $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$алгебраически замкнут, любой морфизм $R\; \to \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\}$должен быть факторизован через $C,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\},\}$, поэтому у нас есть только вычисление пересечения $\{ker\; \; (\Phi ):\; \Phi \; \in \; Hom\; (R,\; C)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; ker\; (\backslash \; Phi):\; \backslash \; Phi\; \backslash \; in\; \{\backslash \; text\; \{Hom\}\}\; (R,\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\; \backslash \}\}$, чтобы вычислить радикал $(0).\; \{\backslash \; displaystyle\; (0).\}$Затем мы находим, что $0\; =\; (y)\; \subset \; R.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{0\}\}\; =\; (y)\; \backslash \; subset\; R.\}$

В этом разделе будет продолжено соглашение о том, что I является идеалом коммутативного кольца $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$:

• Всегда верно, что $I\; =\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\}\}$, т.е. радикализация операция идемпотентная. Кроме того, $I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\}\}$- наименьший радикальный идеал, содержащий $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$.
• $I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\; \}\}\}$- это пересечение всех простых идеалов из $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, содержащих $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$

  $I\; =\; \bigcap \; p\; простое\; число\; R\; ⊋\; p\; \supseteq \; I\; p,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\}\; =\; \backslash \; bigcap\; \_\; \{\backslash \; scriptscriptstyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{c\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \{\backslash \; text\; \{prime\}\}\; \backslash \backslash \; R\; \backslash \; supsetneq\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \backslash \; supseteq\; I\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\},\}$

  и, таким образом, радикал простого идеала равен сам. Доказательство: с одной стороны, каждый простой идеал радикален, поэтому это пересечение содержит $I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\}\}$. Предположим, что $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$является элементом $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, которого нет в $I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; I\}\}\}$, и пусть $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$будет набором $\{rn\; \mid \; n\; =\; 0,\; 1,\; 2,...\; \}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{r\; ^\; \{n\}\; \backslash \; mid\; n\; =\; 0,1,2,...\; \backslash \}.\}$По определению $I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\; \}\}$, $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$не должно пересекаться с $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$. $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$также мультипликативно замкнутый. Таким образом, согласно варианту теоремы Крулля существует простой идеал $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\}$, содержащий $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$и по-прежнему не пересекается с $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$(см. простой идеал ). Поскольку $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\}$содержит $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$, но не $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, это показывает, что $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$не находится на пересечении простых идеалов, содержащих $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$. Это завершает доказательство. Утверждение можно немного усилить: радикал $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$является пересечением всех простых идеалов $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, которые являются минимальным среди тех, которые содержат $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$.
• Специализируясь на последней точке, нильрадикал (набор всех нильпотентных элементов) равен пересечению все простые идеалы $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$

  $0\; =\; NR\; =\; \bigcap \; p\; ⊊\; R\; prime\; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{0\}\}\; =\; \{\backslash \; mathfrak\; \{N\}\}\; \_\; \{R\}\; =\; \backslash \; bigcap\; \_\; \{\backslash \; scriptscriptstyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \backslash \; subsetneq\; R\; \{\backslash \; text\; \{prime\}\}\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}.\}$

  Это свойство эквивалентно предыдущему с помощью естественного отображения $\pi :\; R\; \to \; R\; /\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \backslash \; двоеточие\; R\; \backslash \; to\; R\; /\; I\}$что дает биекцию $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$

  $\{идеалы\; J\; \mid \; R\; \supseteq \; J\; \supseteq \; I\}\; \rightleftharpoons \; u\; \{идеалы\; J\; \mid \; J\; \subseteq \; R\; /\; I\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\; \}\; \{ccc\}\; \backslash \; left\; \backslash \; lbrace\; \{\backslash \; text\; \{ideals\}\}\; J\; \backslash \; mid\; R\; \backslash \; supseteq\; J\; \backslash \; supseteq\; I\; \backslash \; right\; \backslash \; rbrace\; \{\backslash \; overset\; \{u\}\; \{\backslash \; rightleftharpoons\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; lbrace\; \{\backslash \; text\; \{ideals\}\}\; J\; \backslash \; mid\; J\; \backslash \; substeq\; R\; /\; I\; \backslash \; right\; \backslash \; rbrace,\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

  определено $u:\; J\; \mapsto \; J\; /\; I\; =\; \{r\; +\; I\; \mid \; r\; \in \; J\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; двоеточие\; J\; \backslash \; mapsto\; J\; /\; I\; =\; \backslash \; lbrace\; r\; +\; I\; \backslash \; mid\; r\; \backslash \; in\; J\; \backslash \; rbrace.\}$
• идеал $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$в кольцо $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$является радикальным тогда и только тогда, когда частное кольцо $R\; /\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; /\; I\}$редуцирован.
• Радикал однородного идеала однороден.
• Радикал пересечения идеалов равен пересечению их радикалов: $I\; \cap \; J\; =\; I\; \cap \; J\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\; \backslash \; cap\; J\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\}\; \backslash \; cap\; \{\backslash \; sqrt\; \{J\}\}\}$.
• Радикал первичного идеала прост. Если радикал идеала $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$максимален, то $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$первичен.
• Если $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$- идеал, $I\; n\; =\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\}\}$. Поскольку простые идеалы являются радикальными идеалами, $pn\; =\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\}$для любого простой идеал $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\}$.
• Пусть $I,\; J\; \{\backslash \; displaystyle\; I,\; J\}$- идеалы кольца $R\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; R\}$. Если $I,\; J\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\},\; \{\backslash \; sqrt\; \{J\}\}\}$являются comaximal, то $I,\; J\; \{\backslash \; displaystyle\; I,\; J\}$являются comaximal.
• Пусть $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$будет конечно сгенерированным модулем над нётеровым кольцом $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$. Тогда

$ann\; R\; \; (M)\; =\; \bigcap \; p\; \in \; supp\; \; M\; p\; =\; \bigcap \; p\; \in \; ass\; \; M\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; operatorname\; \{ann\}\; \_\; \{R\}\; (M)\}\}\; =\; \backslash \; bigcap\; \_\; \{\{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{supp\}\; M\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; =\; \backslash \; bigcap\; \_\; \{\{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{ass\}\; M\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{\; p\}\}\}$

где $supp\; \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{supp\}\; M\}$- это поддержка для $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$и $ass\; \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ass\}\; M\}$- это набор связанных простых чисел из $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$.

Основная мотивация в изучении радикалов - это Nullstellensatz Гильберта в коммутативной алгебре. Одна из версий этой знаменитой теоремы утверждает, что для любого идеала $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$в кольце многочленов $k\; [x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Bbbk\; [x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}]\}$над алгебраически замкнутым полем $k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Bbbk\}$, один имеет

$I\; \; (V\; \; (J))\; =\; J\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{I\}\; (\backslash \; operatorname\; \{V\}\; (J))\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{J\; \}\}\}$

где

$V\; \; (J)\; =\; \{x\; \in \; kn\; |\; е\; (x)\; =\; 0\; для\; всех\; f\; \in \; J\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{V\}\; (J)\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; \backslash \; Bbbk\; ^\; \{n\}\; \backslash \; |\; \backslash \; f\; (x)\; =\; 0\; \{\backslash \; t\_dv\; \{для\; всех\; \}\}\; f\; \backslash \; in\; J\; \backslash \}\}$

и

$I\; \; (V)\; =\; \{f\; \in \; k\; [x\; 1,\; x\; 2,\dots \; xn]\; |\; f\; (x)\; =\; 0\; для\; всех\; x\; \in \; V\}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{I\}\; (V)\; =\; \backslash \; \{е\; \backslash \; in\; \backslash \; Bbbk\; [x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots\; x\_\; \{n\}]\; \backslash \; |\; \backslash \; f\; (x)\; =\; 0\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\; для\; всех\}\}\; x\; \backslash \; in\; V\; \backslash \}.\}$

Геометрически это означает, что если разновидность $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$вырезана полиномом уравнения $f\; 1\; =\; 0,\dots ,\; fr\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\}\; =\; 0,\; \backslash \; ldots,\; f\_\; \{r\}\; =\; 0\}$, тогда единственные другие многочлены, которые исчезают на $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$- это те, которые находятся в радикале идеала $(f\; 1,\dots ,\; fr)\; \{\backslash \; displaystyle\; (f\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; f\_\; \{r\})\; \}$.

Другими словами: композиция $I\; \; (V\; \; (-))\; =\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{I\}\; (\backslash \; operatorname\; \{V\}\; (-))\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; \}\}\}$- это оператор замыкания на множестве идеалов кольца.

• радикал Джекобсона
• Нильрадикал кольца
• Действительный радикал

• M. Атия, И.Г. Макдональд, Введение в коммутативную алгебру, Аддисон-Уэсли, 1994. ISBN 0-201-40751-5
• Эйзенбуд, Дэвид, Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001