Простой идеал

редактировать

A Диаграмма Хассе части решетки идеалов целых чисел

Z. {\ displaystyle \ mathbb {Z}.}

{\ displaystyle \ mathbb { Z}.}

Пурпурные узлы указывают на простые идеалы. Пурпурный и зеленый узлы - это полупервичные идеалы, а пурпурные и синие узлы - первичные идеалы.

В алгебре первичный идеал является подмножество кольца , которое разделяет многие важные свойства простого числа в кольце целых чисел. Простые идеалы для целых чисел - это наборы, которые содержат все кратные данного простого числа, вместе с нулевым идеалом.

Примитивные идеалы простые, а простые идеалы оба первичны и полупервичный.

Содержание

1 Простые идеалы для коммутативных колец
- 1.1 Примеры
- 1.2 Непримеры
- 1.3 Свойства
- 1.4 Использует
2 простых идеала для некоммутативных колец
- 2.1 Примеры
3 Важные факты
4 Связь с максимальностью
5 Ссылки
6 Дополнительная литература

Простые идеалы для коммутативных колец

идеал P коммутативного кольца R является простым, если оно имеет следующие два свойства:

Если a и b - два элемента R, так что их произведение ab является элементом P, то a находится в P или b находится в P,
P не является всем кольцом R.

Это обобщает следующее свойство простых чисел: если p является простым числом и если p делит a произведение ab двух целых чисел, тогда p делит a или p делит b. Поэтому мы можем сказать, что

натуральное число n является простым числом тогда и только тогда, когда

n Z {\ displaystyle n \ mathbb {Z}}

{\ displaystyle n \ mathbb {Z }}

является простым идеалом в

Z. {\ displaystyle \ mathbb {Z}.}

{\ displaystyle \ mathbb { Z}.}

Примеры

Простой пример: в кольце $R = Z, {\ displaystyle R = \ mathbb {Z},}$ ${\ Displaystyle R = \ mathbb {Z},}$ подмножество четных чисел является простым идеалом.

Для уникальной области факторизации (UFD) $R {\ displaystyle R}$ $R$ , любой неприводимый элемент $r ∈ R {\ displaystyle r \ in R}$ $р \ in R$ генерирует простой идеал $(r) {\ displaystyle (r)}$ $(r)$ . критерий Эйзенштейна для областей целостности (следовательно, UFD) является эффективным инструмент для определения, является ли элемент в кольце многочленов неприводимым. Например, возьмем неприводимый многочлен $f (x 1,…, xn) {\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ $f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})$ в кольце многочленов $F [x 1,…, xn] {\ displaystyle \ mathbb {F} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F } [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ над некоторым полем $F {\ displaystyle \ mathbb {F}}$ $\ mathbb {F}$ .

Если R обозначает кольцо $C [X, Y] {\ displaystyle \ mathbb {C} [X, Y]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} [ X, Y]}$ из многочленов от двух переменных с комплексными коэффициентами, то идеал, порожденный многочленом Y - X - X - 1, является простым идеалом (см. эллиптическая кривая ).

В кольце $Z [X ] {\ displaystyle \ mathbb {Z} [X]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [X]}$ всех многочленов с целыми коэффициентами, идеал, порожденный 2 и X, является простым идеалом. Он состоит из всех тех многочленов, постоянный коэффициент которых четен.

В любом кольце R максимальный идеал - это идеал M, который является максимальным во множестве всех собственных идеалов кольца R, т. Е. M содержится в ровно два идеала кольца R, а именно само M и все кольцо R. Ev Каждый максимальный идеал фактически прост. В области главных идеалов каждый отличный от нуля простой идеал максимален, но в общем случае это неверно. Для UFD $C [x 1,…, xn] {\ displaystyle \ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ , Nullstellensatz Гильберта утверждает, что каждый максимальный идеал имеет вид $(x 1 - α 1,…, xn - α n) {\ displaystyle (x_ {1} - \ alpha _ {1}, \ ldots, x_ {n} - \ alpha _ { n})}$ ${\ displaystyle (x_ {1} - \ alpha _ {1}, \ ldots, x_ {n} - \ alpha _ {n})}$ .

Если M - гладкое многообразие, R - кольцо гладких вещественных функций на M, а x - точка в M, то множество всех гладких функций f с f ( x) = 0 образует простой идеал (даже максимальный идеал) в R.

Непримеры

Рассмотрим композицию следующих двух частных

C [x, y] → C [x, y] (Икс 2 + Y 2-1) → С [Икс, Y] (Икс 2 + Y 2-1, Икс) {\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y] \ к {\ гидроразрыва {\ mathbb {C } [x, y]} {(x ^ {2} + y ^ {2} -1)}} \ to {\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {(x ^ {2} + y ^ {2} -1, x)}}}

{\ displaystyle \ mathbb {C } [x, y] \ to {\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {(x ^ {2} + y ^ {2} -1)}} \ to {\ frac {\ mathbb { C} [x, y]} {(x ^ {2} + y ^ {2} -1, x)}}}

Хотя первые два кольца являются областями целостности (на самом деле первое является UFD), последнее не является областью целостности, поскольку оно изоморфно

C [ x, y] (x 2 + y 2 - 1, x) ≅ C [y] (y 2 - 1) ≅ C × C {\ displaystyl e {\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {(x ^ {2} + y ^ {2} -1, x)}} \ cong {\ frac {\ mathbb {C} [y] } {(y ^ {2} -1)}} \ cong \ mathbb {C} \ times \ mathbb {C}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {(x ^ {2} + y ^ {2} -1, x)}} \ cong {\ frac {\ mathbb {C} [y]} {(y ^ {2} -1)}} \ cong \ mathbb {C} \ times \ mathbb {C}}

, показывающий, что идеал

(x 2 + y 2 - 1, x) ⊂ C [x, y] {\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -1, x) \ subset \ mathbb {C} [x, y]}

{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -1, x) \ subset \ mathbb {C} [x, y]}

не является простым. (См. Первое свойство, перечисленное ниже.)

Другой не пример - идеал $(2, x 2 + 5) ⊂ Z [x] {\ displaystyle (2, x ^ {2} +5) \ подмножество \ mathbb {Z} [x]}$ ${\ displaystyle (2, x ^ {2} +5) \ subset \ mathbb {Z} [x]}$ , поскольку мы имеем

x 2 + 5 - 2 ⋅ 3 = (x - 1) (x + 1) ∈ (2, x 2 + 5) {\ displaystyle x ^ {2} + 5-2 \ cdot 3 = (x-1) (x + 1) \ in (2, x ^ {2} +5)}

{\ displaystyle x ^ {2} + 5- 2 \ cdot 3 = (x-1) (x + 1) \ in (2, x ^ {2} +5)}

, но ни один

x - 1 {\ displaystyle x-1}

x-1

x + 1 {\ displaystyle x + 1}

Икс + 1

не являются элементами идеала.

Свойства

Идеал I в кольце R (с единицей) простое тогда и только тогда, когда фактор-кольцо R / I является областью целостности. В частности, коммутативное кольцо является областью целостности тогда и только тогда, когда (0) является простым идеалом.
Идеал I является простым тогда и только тогда, когда его теоретико-множественное дополнение мультипликативно замкнуто.
Каждое ненулевое кольцо содержит хотя бы один первичный идеал (на самом деле оно содержит хотя бы один максимальный идеал), что является прямым следствием теоремы Крулля.
В более общем смысле, если S - любое мультипликативно замкнутое множество в R, то лемма, по существу принадлежащая Круллю, показывает, что существует идеал в R, максимальный относительно того, что он не пересекается с S, и, более того, идеал должен быть простым. В дальнейшем это можно обобщить на некоммутативные кольца (см. Ниже). В случае {S} = {1} мы имеем теорему Крулля, и это восстанавливает максимальные идеалы R. Другой прототипной m-системой является множество, {x, x, x, x,...} всех положительных степеней не- нильпотентного элемента.
Множество всех простых идеалов (спектр кольца) содержит минимальные элементы (называемые минимальным простым числом ). Геометрически они соответствуют неприводимым компонентам спектра.
прообраз простого идеала при гомоморфизме колец является первичным идеалом.
Сумма двух первичных идеалов не обязательно простое. В качестве примера рассмотрим кольцо $C [x, y] {\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y]}$ с простыми идеалами P = (x + y - 1) и Q = (x) (идеалы, порожденные x + y - 1 и x соответственно). Их сумма P + Q = (x + y - 1, x) = (y - 1, x), однако, не является простой: y - 1 = (y - 1) (y + 1) ∈ P + Q, но два ее множителя не. В качестве альтернативы фактор-кольцо имеет делители нуля, поэтому оно не является областью целостности и, следовательно, P + Q не может быть простым.
Простой идеал не эквивалентен тому, что его нельзя разложить на два идеала, например. $(x, y 2) ⊂ R [x, y] {\ displaystyle (x, y ^ {2}) \ subset \ mathbb {R} [x, y]}$ ${\ displaystyle (x, y ^ {2}) \ subset \ mathbb {R} [x, y]}$ нельзя факторизовать но не является простым.
В коммутативном кольце R, содержащем не менее двух элементов, если каждый собственный идеал прост, то кольцо является полем. (Если идеал (0) простой, то кольцо R является областью целостности. Если q - любой ненулевой элемент из R, а идеал (q) простой, то он содержит q и тогда q обратим.)
Ненулевой главный идеал является простым тогда и только тогда, когда он порождается простым элементом. В UFD каждый отличный от нуля простой идеал содержит простой элемент.

Использует

Одно использование простых идеалов встречается в алгебраической геометрии, где многообразия определяются как нулевые наборы идеалов в кольца многочленов. Оказывается, неприводимые многообразия соответствуют простым идеалам. В современном абстрактном подходе мы начинаем с произвольного коммутативного кольца и превращаем множество его простых идеалов, также называемое его спектром, в топологическое пространство и, таким образом, можем определять обобщения многообразий так называемые схемы, которые находят применение не только в геометрии, но и в теории чисел.

Введение простых идеалов в алгебраическую теорию чисел было важный шаг вперед: было осознано, что важное свойство уникальной факторизации, выраженное в фундаментальной теореме арифметики, не выполняется в каждом кольце целых алгебраических чисел, но замена была найдена, когда Ричард Дедекинд заменил элементы идеалами, а простые элементы - простыми идеалами; см. Дедекиндова область.

Первичные идеалы для некоммутативных колец

Понятие первичного идеала может быть обобщено на некоммутативные кольца с помощью коммутативного определения «идеального». Вольфганг Круль выдвинул эту идею в 1928 году. Следующее содержание можно найти в текстах, таких как Goodearl's и Lam. Если R - кольцо (возможно, некоммутативное) и P - идеал в R, отличный от самого R, мы говорим, что P является простым, если для любых двух идеалов A и B кольца R:

Если произведение идеалов AB содержится в P, то хотя бы один из A и B содержится в P.

Можно показать, что это определение эквивалентно коммутативному определению в коммутативных кольцах. Легко проверить, что если идеал некоммутативного кольца R удовлетворяет коммутативному определению простого числа, то он также удовлетворяет некоммутативной версии. Идеал P, удовлетворяющий коммутативному определению простого числа, иногда называют вполне первичным идеалом, чтобы отличать его от других просто первичных идеалов в кольце. Совершенно простые идеалы - это простые идеалы, но обратное неверно. Например, нулевой идеал в кольце матриц размера n × n над полем является простым идеалом, но не полностью простым.

Это близко к исторической точке зрения на идеалы как на идеальные числа, как на кольцо $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ «A содержится в P» - это еще один способ сказать «P делит A», а единичный идеал R представляет собой единицу.

Эквивалентные формулировки простоты идеала P ≠ R включают следующие свойства:

Для всех a и b в R, (a) (b) ⊆ P влечет a ∈ P или b ∈ P.
Для любых двух правых идеалов в R из AB ⊆ P следует A ⊆ P или B ⊆ P.
Для любых двух левых идеалов в R из AB ⊆ P следует A ⊆ P или B ⊆ P.
Для любых элементов a и b из R, если aRb ⊆ P, то a ∈ P или b ∈ P.

Простые идеалы в коммутативных кольцах характеризуются наличием мультипликативно замкнутых дополнений в R, и с небольшими изменениями аналогичная характеризация может быть сформулирована для простых идеалов в некоммутативных кольцах. Непустое подмножество S ⊆ R называется m-системой, если для любых a и b в S существует r в R такое, что arb находится в S. Затем следующий элемент может быть добавлен в список эквивалентные условия, приведенные выше:

Дополнение R ∖ P является m-системой.

Примеры

Любой примитивный идеал прост.
Как и в случае коммутативных колец, максимальные идеалы простые, а также простые идеалы содержат минимальные простые идеалы.
Кольцо является первичным кольцом тогда и только тогда, когда нулевой идеал является первичным идеалом, и, кроме того, кольцо является область тогда и только тогда, когда нулевой идеал является полностью первичным идеалом.
Еще один факт из коммутативной теории, отраженный в некоммутативной теории, состоит в том, что если A - ненулевой R-модуль, а P - максимальный элемент в poset из аннигилятор идеалов подмодулей A, то P простое.

Важные факты

Лемма об исключении простых чисел. Если R коммутативное кольцо, а A - подкольцо (возможно, без единицы), а I 1,..., I n - коллектор В случае идеалов R с не более чем двумя членами, непростыми, то, если A не содержится ни в каком I j, он также не содержится в union I 1,..., I n. В частности, A может быть идеалом R.
Если S - любая m-система в R, то лемма, по существу принадлежащая Круллю, показывает, что существует идеал I в R, максимальный относительно того, что он не пересекается с S, и, кроме того, идеал I должен быть простым (простоту I можно доказать следующим образом. Если $a, b ∉ I {\ displaystyle a, b \ not \ in I}$ ${\ displaystyle a, b \ not \ in I}$ , то там существуют элементы $s, t ∈ S {\ displaystyle s, t \ in S}$ ${\ displaystyle s, t \ in S}$ такие, что $s ∈ I + (a), t ∈ I + (b) {\ displaystyle s \ in I + (a), t \ in I + (b)}$ ${\ displaystyle s \ in I + (a), t \ in I + (b)}$ по максимальному свойству I. Мы можем взять $r ∈ R {\ displaystyle r \ in R}$ $р \ in R$ с $srt ∈ S {\ displaystyle srt \ in S}$ ${\ displaystyle srt \ in S}$ . Теперь, если $(a) (b) ⊂ I {\ displaystyle (a) (b) \ subset I}$ ${\ displaystyle (a) (b) \ subset I}$ , тогда $srt ∈ (I + (a)) r (I + (b)) ⊂ I + (a) (b) ⊂ I {\ displaystyle srt \ in (I + (a)) r (I + (b)) \ subset I + (a) (b) \ subset I}$ ${\ displaystyle srt \ in (I + (a)) r (I + (b)) \ subset I + ( a) (b) \ подмножество I}$ ; противоречие). В случае {S} = {1} мы имеем теорему Крулля, и это восстанавливает максимальные идеалы R. Другой прототипной m-системой является множество, {x, x, x, x,...} всех положительных степеней не- нильпотентного элемента.
Для простого идеала P дополнение R ∖ P обладает еще одним свойством, помимо того, что является m-системой. Если xy принадлежит R ∖ P, то и x, и y должны быть в R ∖ P, поскольку P - идеал. Множество, содержащее делители его элементов, называется насыщенным .
Для коммутативного кольца R существует своего рода обратное для предыдущего утверждения: если S - любое непустое насыщенное и мультипликативно замкнутое подмножество в R, дополнение R ∖ S является объединением простых идеалов в R.
Пересечение элементов нисходящей цепочки простых идеалов является первичным идеалом, а в коммутативном кольце объединение элементов восходящей цепочки простых идеалов это главный идеал. С помощью леммы Цорна из этих наблюдений следует, что у множества простых идеалов коммутативного кольца (частично упорядоченного по включению) есть максимальные и минимальные элементы.

Связь с максимальностью

Простые идеалы могут часто производятся как максимальные элементы определенных наборов идеалов. Например:

Идеальный максимум относительно наличия пустого пересечения с фиксированной m-системой является простым.
Идеальным максимумом среди аннигиляторов подмодулей фиксированного R-модуля M является простое число.
В коммутативном кольце максимальный идеал относительно неглавности прост.
В коммутативном кольце максимальный идеал относительно того, что он не счетно порожден, является простым.

Ссылки

Дополнительная литература

Goodearl, KR; Warfield, RB, Jr. (2004), Введение в некоммутативные нётеровы кольца, London Mathematical Society Student Texts, 61 (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, стр. Xxiv + 344, doi : 10.1017 / CBO9780511841699, ISBN 0-521-54537-4, MR 2080008 CS1 maint: несколько имен: авторов list (ссылка )
Джейкобсон, Натан (1989), Базовая алгебра. II (2-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company, стр. xviii + 686, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787
Каплански, Ирвинг (1970), Коммутативные кольца, Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon Inc., стр. X + 180, MR 0254021
Лам, TY (2001), Первый курс некоммутативных колец, Graduate Texts in Mathematics, 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xx + 385, doi : 10.1007 / 978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439, Zbl 0980.16001
Lam, TY ; Reyes, Manuel L. (2008), «Принцип простого идеала в коммутативной алгебре», J. Alge бюстгальтер, 319 (7): 3006–3027, doi : 10.1016 / j.jalgebra.2007.07.016, ISSN 0021-8693, MR 2397420, Zbl 1168.13002
, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]