Войти
| Ричард Дедекинд | |
|---|---|
 | |
| Родился | ( 1831-10-06)6 октября 1831 г. Брауншвейг, герцогство Брауншвейг |
| Умер | 12 февраля 1916 г. (1916-02-12)(84 года) Брауншвейг, Германская империя |
| Национальность | Немецкий |
| Альма-матер | Collegium Carolinum Геттингенского университета |
| Известен | Дедекиндово разрезание Аксиомы Дедекинда-Пеано Абстрактная алгебра Алгебраическая теория чисел Действительные числа Логицизм |
| Научная карьера | |
| Поля | Математика Философия математики |
| Докторант | Карл Фридрих Гаусс |
Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (6 октября 1831 - 12 февраля 1916) был немецким математиком, внесшим важный вклад в теорию чисел, абстрактную алгебру (особенно теорию колец ) и аксиоматические основы арифметики. Его самый известный вклад - определение действительных чисел через понятие сокращения Дедекинда. Он также считается пионером в развитии современной теории множеств и философии математики, известной как логицизм.
Отцом Дедекинда был Юлиус Левин Ульрих Дедекинд, администратор Collegium Carolinum в Брауншвейге. Его матерью была Кэролайн Генриетта Дедекинд (урожденная Эмпериус), дочь профессора Коллегиума. У Ричарда Дедекинда было трое старших братьев и сестер. Став взрослым, он никогда не использовал имена Юлий Вильгельм. Он родился в Брауншвейге (часто называемом «Брауншвейг» по-английски), где он прожил большую часть своей жизни, а затем умер там же.
Впервые он посетил Collegium Carolinum в 1848 году, а затем перешел в Геттингенский университет в 1850 году. Там Дедекинда преподавал теорию чисел профессор Мориц Штерн. Гаусс все еще преподавал, хотя в основном на начальном уровне, и Дедекинд стал его последним учеником. Дедекинд получил докторскую степень в 1852 году за диссертацию под названием Über die Theorie der Eulerschen Integrale («К теории эйлеровых интегралов »). Этот тезис не проявил таланта, очевидного в последующих публикациях Дедекинда.
В то время Берлинский университет, а не Геттинген, был главным центром математических исследований в Германии. Таким образом, Дедекинд уехал в Берлин на два года обучения, где он и Бернхард Риман были современниками; они оба были удостоены степени хабилитации в 1854 году. Дедекинд вернулся в Геттинген, чтобы преподавать в качестве приват-доцента, читая курсы теории вероятностей и геометрии. Некоторое время он учился у Петера Густава Лежена Дирихле, и они стали хорошими друзьями. Из-за сохраняющейся слабости своих математических знаний он изучал эллиптические и абелевы функции. И все же он был первым в Геттингене, кто читал лекции по теории Галуа. Примерно в это же время он стал одним из первых, кто понял важность понятия группы для алгебры и арифметики.
В 1858 году он начал преподавать в Политехнической школе в Цюрихе (ныне ETH Zürich). Когда Collegium Carolinum был преобразован в Technische Hochschule (Технологический институт) в 1862 году, Дедекинд вернулся в свой родной Брауншвейг, где он провел остаток своей жизни, преподавая в Институте. Он вышел на пенсию в 1894 году, но время от времени преподавал и продолжал публиковаться. Он никогда не был женат, вместо этого жил со своей сестрой Юлией.
Дедекинд был избран членом Берлинской (1880 г.) и Римской академий, а также Французской академии наук (1900 г.). Он получил почетные докторские степени университетов Осло, Цюриха и Брауншвейга.
Дедекинд, до 1886 г. Впервые преподавая математику в Политехнической школе, Дедекинд разработал понятие, теперь известное как разрез Дедекинда (немецкий: Schnitt), которое теперь является стандартным определением действительных чисел. Идея сокращения состоит в том, что иррациональное число делит рациональные числа на два класса ( множества ), причем все числа одного класса (большего) строго больше, чем все числа другого (меньшего) класса. Например, квадратный корень из 2 определяет все неотрицательные числа, квадраты которых меньше 2, а отрицательные числа относятся к меньшему классу, а положительные числа, квадраты которых больше 2, к большему классу. Каждое место на числовой прямой содержит рациональное или иррациональное число. Таким образом, нет пустых мест, разрывов или разрывов. Дедекинд опубликовал свои мысли об иррациональных числах, а Дедекинд урезал в своей брошюре «Stetigkeit und irrationale Zahlen» («Непрерывность и иррациональные числа»); в современной терминологии, Vollständigkeit, полнота.
Дедекинд определил два набора как «похожие», когда между ними существует взаимно однозначное соответствие. Он обратился к подобию, чтобы дать первое точное определение бесконечного множества : множество бесконечно, когда оно «подобно своей собственной части», в современной терминологии, равнозначно одному из своих собственных подмножеств. Таким образом, множество N из натуральных чисел может быть показано, что похоже на подмножество N, члены которого являются квадратами каждого члена N, ( N → N 2):
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10... ↓ N2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100...
Работа Дедекинда в этой области предвосхитила работу Георга Кантора, которого обычно считают основателем теории множеств. Точно так же его вклад в основы математики предвосхитил более поздние работы основных сторонников логицизма, таких как Готтлоб Фреге и Бертран Рассел.
Дедекинд редактировал собрание сочинений Лежена Дирихле, Гаусса и Римана. Изучение Дедекиндом работ Лежена Дирихле привело его к более позднему изучению полей и идеалов алгебраических чисел. В 1863 году он опубликовал лекции Лежена Дирихле по теории чисел под названием Vorlesungen über Zahlentheorie («Лекции по теории чисел»), о которых было написано, что:
Хотя книга, несомненно, основана на лекциях Дирихле, и хотя сам Дедекинд на протяжении всей своей жизни называл книгу Дирихле, сама книга была полностью написана Дедекиндом, по большей части после смерти Дирихле.
- Эдвардс, 1983.Издания Vorlesungen 1879 и 1894 годов включали дополнения, в которых вводилось понятие идеала, лежащее в основе теории колец. (Слово «кольцо», введенное позже Гильбертом, не встречается в работе Дедекинда.) Дедекинд определил идеал как подмножество набора чисел, составленного из целых алгебраических чисел, удовлетворяющих полиномиальным уравнениям с целыми коэффициентами. Эта концепция получила дальнейшее развитие в руках Гильберта и, особенно, Эмми Нётер. Идеалы обобщать Эрнст Эдуард куммеровы «s идеальные числа, изобретенные в рамках 1843 попытки Куммера доказать Великую теорему Ферма. (Таким образом, можно сказать, что Дедекинд был самым важным учеником Куммера.) В статье 1882 года Дедекинд и Генрих Мартин Вебер применили идеалы к римановым поверхностям, дав алгебраическое доказательство теоремы Римана – Роха.
В 1888 году он опубликовал небольшую монографию под названием Was sind und was sollen die Zahlen? («Что такое числа и для чего они нужны?» Ewald 1996: 790), в которое входило его определение бесконечного множества. Он также предложил аксиоматическую основу для натуральных чисел, примитивными понятиями которых были число один и функция-преемник. В следующем году Джузеппе Пеано, цитируя Дедекинда, сформулировал эквивалентный, но более простой набор аксиом, ставших теперь стандартными.
Дедекинд внес и другие вклады в алгебру. Например, около 1900 года он написал первые статьи о модульных решетках. В 1872 году, отдыхая в Интерлакене, Дедекинд встретил Георга Кантора. Так начались прочные отношения взаимного уважения, и Дедекинд стал одним из первых математиков, которые восхищались работой Кантора о бесконечных множествах, оказавшись ценным союзником в спорах Кантора с Леопольдом Кронекером, который философски возражал против трансфинитных чисел Кантора.
Основная литература на английском языке:
Основная литература на немецком языке:
Есть онлайн-библиография вторичной литературы по Дедекинду. Также см. «Введение» Стилвелла к Дедекинду (1996).
