Объединение (теория множеств)

редактировать
Объединение двух множеств:. A ∪ B {\ displaystyle ~ A \ cup B}~ A \ чашка B Объединение трех наборов:. A ∪ B ∪ C {\ displaystyle ~ A \ cup B \ cup C}~ A \ cup B \ cup C Объединение A, B, C, D и E - это все, кроме белой области.

В теории множеств, объединение (обозначается ∪) набора sets - это набор всех элементов в коллекции. Это одна из основных операций, с помощью которых наборы могут быть объединены и связаны друг с другом.

Для объяснения символов использовал я В этой статье обратитесь к таблице математических символов.

Содержание
  • 1 Объединение двух множеств
  • 2 Алгебраические свойства
  • 3 Конечное объединение
  • 4 Произвольное объединение
    • 4.1 Обозначения
  • 5 См. Также
  • 6 Примечания
  • 7 Внешние ссылки
Объединение двух наборов

Объединение двух наборов A и B - это набор элементов, которые находятся в A, в B, или в обоих A и B. В символах

A ∪ B = {x: x ∈ A или x ∈ B} {\ displaystyle A \ cup B = \ {x: x \ in A {\ text {или} } x \ in B \}}A \ cup B = \ {x: x \ in A \ text {или} x \ in B \} .

Например, если A = {1, 3, 5, 7} и B = {1, 2, 4, 6, 7}, то A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Более сложный пример (включающий два бесконечных набора):

A = {x - четное целое число больше 1}
B = {x - нечетное целое число больше 1 }
A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6,…} {\ displaystyle A \ cup B = \ {2,3,4,5,6, \ dots \}}A \ чашка B = \ {2,3,4,5,6, \ точки \}

Как другой пример, число 9 не содержится в объединении набора простых чисел {2, 3, 5, 7, 11,...} и набора четных чисел {2, 4, 6, 8, 10,...}, потому что 9 не является ни простым, ни четным.

Наборы не могут иметь повторяющиеся элементы, поэтому объединение наборов {1, 2, 3} и {2, 3, 4} равно {1, 2, 3, 4}. Наличие нескольких одинаковых элементов не влияет на мощность набора или его содержимого.

Алгебраические свойства

Двоичное объединение - это ассоциативная операция; то есть для любых множеств A, B и C

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C. {\ displaystyle A \ cup (B \ cup C) = (A \ cup B) \ cup C.}{\ displaystyle A \ cup (B \ cup C) = (A \ cup B) \ cup C.}

Операции можно выполнять в любом порядке, круглые скобки можно без двусмысленности опускать (т. е. любой из выше может быть выражено эквивалентно как A ∪ B ∪ C). Точно так же объединение является коммутативным, поэтому наборы могут быть записаны в любом порядке.

Пустой набор является элементом идентичности для операции союза. То есть A ∪ ∅ = A для любого множества A. Это следует из аналогичных фактов о логической дизъюнкции.

, поскольку множества с объединениями и пересечениями образуют булеву алгебру пересечение распределяется по объединению

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) {\ displaystyle A \ cap (B \ cup C) = (A \ cap B) \ cup (A \ cap C)}A \ cap (B \ cup C) = (A \ cap B) \ cup (A \ cap C)

и объединение распределяет на пересечении

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) {\ displaystyle A \ cup (B \ cap C) = (A \ cup B) \ cap (A \ cup C)}A \ cup (B \ cap C) = (A \ cup B) \ крышка (A \ чашка C) .

В рамках данного универсального набора объединение может быть записано в терминах операций пересечения и дополнения как

A ∪ B = (AC ∩ BC) C {\ displaystyle A \ cup B = \ left (A ^ {C} \ cap B ^ {C} \ right) ^ {C}}A \ cup B = \ left ( A ^ C \ cap B ^ C \ right) ^ C

где верхний индекс обозначает дополнение по отношению к универсальному множеству .

Конечные объединения

Можно взять объединение нескольких множеств одновременно. Например, объединение трех множеств A, B и C содержит все элементы A, все элементы B и все элементы C, и ничего больше. Таким образом, x является элементом A ∪ B ∪ C тогда и только тогда, когда x содержится хотя бы в одном из A, B и C.

A конечное объединение - это объединение конечного числа множеств; фраза не означает, что объединяемое множество является конечным множеством.

Произвольными объединениями

Самым общим понятием является объединение произвольного набора множеств, иногда называемое бесконечным объединением. Если M является набором или классом, элементы которого являются наборами, то x является элементом объединения Mтогда и только тогда, когда существует по крайней мере один элемент A из M такой, что x является элементом A. В символах:

x ∈ ⋃ M ⟺ ∃ A ∈ M, x ∈ A. {\ displaystyle x \ in \ bigcup \ mathbf {M} \ iff \ exists A \ in \ mathbf {M}, \ x \ in A.}{\ displaystyle x \ in \ bigcup \ mathbf {M} \ iff \ существует A \ in \ mathbf {M}, \ x \ in A.}

Эта идея включает предыдущие разделы, например, A ∪ B ∪ C - объединение набора {A, B, C}. Кроме того, если M является пустым набором, то объединение M является пустым набором.

Обозначения

Обозначения для общей концепции могут значительно различаться. Для конечного объединения множеств S 1, S 2, S 3,…, S n {\ displaystyle S_ {1}, S_ {2}, S_ {3}, \ dots, S_ {n}}{\ displaystyle S_ {1}, S_ {2}, S_ {3}, \ dots, S_ {n}} часто пишут S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 ∪ ⋯ ∪ S n {\ displaystyle S_ {1} \ cup S_ {2} \ cup S_ {3} \ cup \ dots \ cup S_ { n}}S_1 \ cup S_2 \ cup S_3 \ cup \ dots \ cup S_n или ⋃ i = 1 n S i {\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} S_ {i}}{\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} S_ {i}} . Различные общие обозначения для произвольных союзов включают ⋃ M {\ displaystyle \ bigcup \ mathbf {M}}\ bigcup \ mathbf {M} , ⋃ A ∈ MA {\ displaystyle \ bigcup _ {A \ in \ mathbf {M}} A}\ bigcup_ {A \ in \ mathbf {M}} A и ⋃ i ∈ IA i {\ displaystyle \ bigcup _ {i \ in I} A_ {i}}\ bigcup_ {i \ in I} A_ {i} . Последнее из этих обозначений относится к объединению коллекции {A i: i ∈ I} {\ displaystyle \ left \ {A_ {i}: i \ in I \ right \}}\ left \ {A_i: i \ in I \ right \} , где I - набор индексов и A i {\ displaystyle A_ {i}}A_ {i} - набор для каждого i ∈ I {\ displaystyle i \ in I}i \ in I . В случае, если набор индексов I является набором натуральных чисел, используется запись ⋃ i = 1 ∞ A i {\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty } A_ {i}}\ bigcup_ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i } , который аналогичен последовательному бесконечным суммам.

Когда символ "∪" помещается перед другими символами (вместо между ними), он обычно отображается как больший размер.

См. Также
  • значок Портал математики
Примечания
  1. ^Вайсштейн, Эрик У. «Союз». Математический мир Вольфрама. Архивировано из оригинала 07.02.2009. Проверено 14 июля 2009 г.
  2. ^ «Операции над множеством | Объединение | Пересечение | Дополнение | Разница | Взаимоисключающие | Разделы | Закон Де Моргана | Распределительный закон | Декартово произведение». www.probabilitycourse.com. Проверено 5 сентября 2020 г.
  3. ^ Верещагин Николай Константинович; Шен, Александр (01.01.2002). Теория основных множеств. American Mathematical Soc. ISBN 9780821827314.
  4. ^деХаан, Лекс; Коппелаарс, Мультфильмы (2007-10-25). Прикладная математика для специалистов по базам данных. Апресс. ISBN 9781430203483.
  5. ^Халмос, П. Р. (27 ноября 2013 г.). Наивная теория множеств. Springer Science Business Media. ISBN 9781475716450.
  6. ^Дасгупта, Абхиджит (11.12.2013). Теория множеств: Введение в наборы реальных точек. Springer Science Business Media. ISBN 9781461488545.
  7. ^«Конечное объединение конечных множеств является конечным - ProofWiki». proofwiki.org. Архивировано из оригинала 11 сентября 2014 г. Получено 29 апреля 2018 г.
  8. ^ Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Андре, Ричард Стрит (2014-08-01). Переход к высшей математике. Cengage Learning. ISBN 9781285463261.
  9. ^«Исчерпывающий список символов теории множеств». Математическое хранилище. 2020-04-11. Проверено 5 сентября 2020 г.
Внешние ссылки
На Викискладе есть средства массовой информации, относящиеся к Union (теория множеств).
Последняя правка сделана 2021-06-20 11:09:10
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте