Изображение (математика)

Набор всех значений функции f - это функция из домена X в домен Y. Желтый овал внутри Y находится изображение f.

В математике изображение функции функции представляет собой набор всех выходных значений, которые она может произвести.

В более общем смысле, оценка данной функции f в каждом элементе данного подмножества A ее домена дает набор, называемый «изображением A ниже (или через) f ". Точно так же обратное изображение (или прообраз ) данного подмножества B в кодомене f, является набором всех элементов домена, которые отображаются в члены B.

Изображение и инверсное изображение также могут быть определены для общих двоичных отношений, а не только для функций.

• 1 Определение
  • 1.1 Изображение элемента
  • 1.2 Изображение подмножества
  • 1.3 Изображение функции
  • 1.4 Обобщение на бинарные отношения
• 2 Инверсное изображение
• 3 Обозначение для изображения и инверсии
  • 3.1 Обозначение стрелки
  • 3.2 Обозначение звездочкой
  • 3.3 Другая терминология
• 4 Примеры
• 5 Свойства
  • 5.1 Общие положения
  • 5.2 Несколько функций
  • 5.3 Множественные подмножества домена или кодомена
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки

Слово «изображение» используется тремя связанными способами. В этих определениях f: X → Y - это функция из набора X в набор Y.

Изображение элемента

Если x является членом X, тогда изображение x под f, обозначенное f (x), является значением f при применении к x. f (x) также известен как результат f для аргумента x.

Изображение подмножества

Изображение подмножества A ⊆ X под f, обозначенное $f\; [A]\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; [A]\}$, - это подмножество Y, которое можно определить с помощью нотации конструктора множеств следующим образом:

$f\; [A]\; =\; \{f\; (x)\; \mid \; x\; \in \; A\}\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; [A]\; =\; \backslash \; \{f\; (x)\; \backslash \; mid\; x\; \backslash \; in\; A\; \backslash \}\}$

Если нет риска путаницы, $f\; [A]\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; [A]\}$просто записывается как $е\; (А)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A)\}$. Это обычное соглашение; предполагаемое значение должно быть выведено из контекста. Это делает f [.] Функцией, домен которой является набором мощности X (набор всех подмножеств X), и чей codomain - это набор мощности Y. Подробнее см. § Обозначение ниже.

Изображение функции

Изображение функции - это изображение всей ее области, также известной как диапазон функции.

Обобщение на бинарные отношения

Если R - произвольное бинарное отношение на X × Y, то множество {y∈Y | xRy для некоторого x∈X} называется изображением или диапазоном R. Двойным образом множество {x∈X | xRy для некоторого y∈Y} называется областью R.

Пусть f - функция от X до Y. прообраз или прообраз множества B ⊆ Y под f, обозначаемый $f\; -\; 1\; [B]\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; [B]\}$, является подмножеством X определяется как

$f\; -\; 1\; [B]\; =\; \{x\; \in \; X\; |\; f\; (x)\; \in \; B\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; [B]\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; X\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; f\; (x)\; \backslash \; in\; B\; \backslash \}.\}$

Другие обозначения включают f (B) и f (B). Инверсный образ синглтона, обозначаемый f [{y}] или f [y], также называется волокном над y или набором уровней <304.>из y. Набор всех слоев над элементами Y представляет собой семейство наборов, индексированных Y.

Например, для функции f (x) = x, прообраз {4} будет {- 2, 2}. Опять же, если нет риска путаницы, f [B] можно обозначить как f (B), и f также можно рассматривать как функцию от набора степеней Y к множеству степеней X. Обозначение f должно не следует путать с этим для обратной функции, хотя он совпадает с обычным для биекций в том, что прообраз B при f является образом B при f.

Традиционные обозначения, использованные в предыдущем разделе, могут сбивать с толку. Альтернативой является указание явных имен для изображения и прообраза как функций между наборами степеней:

Обозначение стрелки

• $f\; \to :\; P\; (X)\; \to \; P\; (Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; rightarrow\}\; :\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; (X)\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; (Y)\}$с $f\; \to \; (A)\; =\; \{f\; (a)\; |\; a\; \in \; A\}\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; rightarrow\}\; (A)\; =\; \backslash \; \{f\; (a)\; \backslash ;\; |\; \backslash ;\; a\; \backslash \; in\; A\; \backslash \}\}$
• $f\; \leftarrow :\; P\; (Y)\; \to \; P\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; leftarrow\}:\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; (Y)\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; (X)\}$с $f\; \leftarrow \; (B)\; =\; \{\; a\; \in \; X\; |\; е\; (а)\; \in \; B\}\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; leftarrow\}\; (B)\; =\; \backslash \; \{a\; \backslash \; in\; X\; \backslash ;\; |\; \backslash ;\; f\; (a)\; \backslash \; in\; B\; \backslash \}\}$

Звездное обозначение

• $f\; \star :\; P\; (X)\; \to \; P\; (Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; star\}:\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; (X)\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; (Y)\}$вместо из $f\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; rightarrow\}\}$
• $f\; \star :\; P\; (Y)\; \to \; P\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; star\}:\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; (Y)\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; (X)\}$вместо $f\; \leftarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; leftarrow\}\}$

Другая терминология

• Альтернативное обозначение для f [A] используется в математической логике и теории множеств - это f "A.
• В некоторых текстах изображение f называется диапазоном f, но это использование следует избегать, потому что слово "диапазон" также обычно используется для обозначения кодомена f.

1. f: {1, 2, 3} → {a, b, c, d} определяется как $f\; (x)\; =\; \{a,\; если\; x\; =\; 1\; a,\; если\; x\; =\; 2\; c,\; если\; x\; =\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\}\; a,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; x\; =\; 1\; \backslash \backslash \; a,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; x\; =\; 2\; \backslash \backslash \; c,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; x\; =\; 3.\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right.\}$Изображение множества {2, 3} под f это f ({2, 3}) = {a, c}. Образ функции f есть {a, c}. Прообраз a равен f ({a}) = {1, 2}. Прообраз {a, b} также {1, 2}. Прообраз {b, d} - это пустой набор {}.
2. f: R→ R, определенный как f (x) = x. Образ {−2, 3} под f - это f ({- 2, 3}) = {4, 9}, а образ f - это R . Прообраз {4, 9} под f равен f ({4, 9}) = {−3, −2, 2, 3}. Прообраз множества N = {n ∈ R | n < 0} under f is the empty set, because the negative numbers do not have square roots in the set of reals.
3. f: R→ Rопределяется как f (x, y) = x + y. волокна f ({a}) являются концентрическими кружки вокруг origin, самого начала и пустого набора, в зависимости от того, a>0, a = 0 или < 0, respectively.
4. Если M - многообразие, а π: TM → M - каноническая проекция из касательного расслоения TM на M, тогда слои π являются касательными пространства Tx(M) для x∈M. Это также пример расслоения волокон.
5. Фактор-группа - это гомоморфное изображение.

Контрпримеры на основе. f:ℝ → ℝ, x↦x, показывающие., что равенство обычно требуется. не соблюдается для некоторых законов:
f (A 1∩A2) ⊊ f (A 1) ∩ f (A 2)
f (f (B 3)) ⊊ B 3
f (f (A 4)) ⊋ A 4

General

Для каждой функции $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; е:\; X\; \backslash \; rightarrow\; Y\}$и все подмножества $A\; \subseteq \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; substeq\; X\}$и $B\; \subseteq \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; substeq\; Y\; \}$, сохраняются следующие свойства:

Изображение	Прообраз
$f\; (X)\; \subseteq \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (X)\; \backslash \; substeq\; Y\}$	$f\; -\; 1\; (Y)\; =\; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (Y)\; =\; X\}$
$f\; (f\; -\; 1\; (Y))\; =\; f\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (Y))\; =\; е\; (X)\}$	$f\; -\; 1\; (f\; (X))\; =\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (f\; (X))\; =\; X\}$
$f\; (f\; -\; 1\; (B))\; \subseteq \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B))\; \backslash \; substeq\; B\}$. (равно, если $B\; \subseteq \; f\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; substeq\; f\; (X)\}$, например, $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$is s urjective)	$f\; -\; 1\; (f\; (A))\; \supseteq \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (f\; (A))\; \backslash \; supseteq\; A\}$. (равно, если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$инъективно)
$f\; (f\; -\; 1\; (B))\; =\; B\; \cap \; f\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B))\; =\; B\; \backslash \; cap\; f\; (X)\}$	$(f\; |\; A)\; -\; 1\; (B)\; знак\; равно\; A\; \cap \; е\; -\; 1\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; (f\; \backslash \; vert\; \_\; \{A\})\; ^\; \{-\; 1\}\; (B)\; =\; A\; \backslash \; cap\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B)\}$
$е\; (е\; -\; 1\; (е\; (A)))\; =\; е\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (f\; (A)))\; =\; f\; (A)\}$	$f\; -\; 1\; (е\; (е\; -\; 1\; (В)))\; =\; е\; -\; 1\; (В)\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (е\; (е\; ^\; \{-\; 1\}\; (В)))\; =\; е\; ^\; \{-\; 1\}\; (В)\}$
$f\; (A)\; =\; \varnothing \; \iff \; A\; =\; \varnothing \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A)\; =\; \backslash \; varnothing\; \backslash \; Leftrightarrow\; A\; =\; \backslash \; varnothing\}$	$f\; -\; 1\; (B)\; =\; \varnothing \; \iff \; B\; \subseteq \; Y\; \setminus \; f\; (\; Икс)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B)\; =\; \backslash \; varnothing\; \backslash \; Leftrightarrow\; B\; \backslash \; substeq\; Y\; \backslash \; setminus\; f\; (X)\}$
$f\; (A)\; \supseteq \; B\; \iff \; \exists \; C\; \subseteq \; A:\; f\; (C)\; =\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A)\; \backslash \; supseteq\; B\; \backslash \; Leftrightarrow\; \backslash \; exists\; C\; \backslash \; substeq\; A:\; f\; (C)\; =\; B\}$	$f\; -\; 1\; (B)\; \supseteq \; A\; \iff \; f\; (A)\; \subseteq \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-1\}\; (B)\; \backslash \; supseteq\; A\; \backslash \; Leftrightarrow\; f\; (A)\; \backslash \; substeq\; B\}$
$f\; (A)\; \supseteq \; f\; (X\; \setminus \; A)\; \iff \; f\; (A)\; =\; f\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A)\; \backslash \; supseteq\; f\; (X\; \backslash \; setminus\; A)\; \backslash \; Leftrightarrow\; f\; (A)\; =\; f\; (X)\}$	$f\; -\; 1\; (B)\; \supseteq \; f\; -\; 1\; (Y\; \setminus \; B)\; \iff \; f\; -\; 1\; (B)\; =\; X\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B)\; \backslash \; supseteq\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (Y\; \backslash \; setminus\; B)\; \backslash \; Leftrightarrow\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B)\; =\; X\}$
$f\; (X\; \setminus \; A)\; \supseteq \; f\; (Икс)\; \setminus \; е\; (A)\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (X\; \backslash \; setmin\; нас\; A)\; \backslash \; supseteq\; f\; (X)\; \backslash \; setminus\; f\; (A)\}$	$f\; -\; 1\; (Y\; \setminus \; B)\; =\; X\; \setminus \; f\; -\; 1\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (Y\; \backslash \; setminus\; B)\; =\; Икс\; \backslash \; setminus\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B)\}$
$f\; (A\; \cup \; f\; -\; 1\; (B))\; \subseteq \; f\; (A)\; \cup \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A\; \backslash \; cup\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B))\; \backslash \; substeq\; f\; (A)\; \backslash \; чашка\; B\}$	$f\; -\; 1\; (f\; (A)\; \cup \; B)\; \supseteq \; A\; \cup \; f\; -\; 1\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (f\; (A)\; \backslash \; чашка\; B)\; \backslash \; supseteq\; A\; \backslash \; чашка\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B)\}$
$f\; (A\; \cap \; f\; -\; 1\; (B))\; =\; f\; (A)\; \cap \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A\; \backslash \; cap\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B))\; =\; е\; (A)\; \backslash \; cap\; B\}$	$f\; -\; 1\; (f\; (A)\; \cap \; B)\; \supseteq \; A\; \cap \; f\; -\; 1\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (f\; (A)\; \backslash \; cap\; B)\; \backslash \; supseteq\; A\; \backslash \; cap\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B)\}$

Также:

• $f\; (A)\; \cap \; B\; =\; \varnothing \; \iff \; A\; \cap \; f\; -\; 1\; (B)\; =\; \varnothing \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A)\; \backslash \; cap\; B\; =\; \backslash \; varnothing\; \backslash \; Leftrightarrow\; A\; \backslash \; cap\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B)\; =\; \backslash \; varnothing\}$

Несколько функций

Для функций $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; rightarrow\; Y\}$и $g:\; Y\; \to \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; g:\; Y\; \backslash \; rightarrow\; Z\}$с подмножествами $A\; \subseteq \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; substeq\; X\}$и $C\; \subseteq \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \backslash \; substeq\; Z\}$, сохраняются следующие свойства:

• $(g\; \circ \; f)\; (А)\; знак\; равно\; г\; (е\; (А))\; \{\backslash \; Displaystyle\; (г\; \backslash \; CIRC\; F)\; (А)\; =\; г\; (е\; (А))\}$
• $(г\; \circ \; е)\; -\; 1\; (С)\; =\; е\; -\; 1\; (г\; -\; 1\; (C))\; \{\backslash \; displaystyle\; (g\; \backslash \; circ\; f)\; ^\; \{-\; 1\}\; (C)\; =\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (g\; ^\; \{-\; 1\}\; (C))\}$

Множественные подмножества домена или кодомена

Для функции $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; rightarrow\; Y\}$и подмножеств $A\; 1,\; A\; 2\; \subseteq \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{1\; \},\; A\_\; \{2\}\; \backslash \; substeq\; X\}$и $B\; 1,\; B\; 2\; \subseteq \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{1\},\; B\_\; \{2\}\; \backslash \; substeq\; Y\}$, выполняются следующие свойства:

Изображение	Прообраз
$A\; 1\; \subseteq \; A\; 2\; \Rightarrow \; f\; (A\; 1)\; \subseteq \; f\; (A\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{1\}\; \backslash \; substeq\; A\_\; \{2\}\; \backslash \; Стрелка\; вправо\; f\; (A\_\; \{1\})\; \backslash \; substeq\; f\; (A\_\; \{2\})\}$	$B\; 1\; \subseteq \; B\; 2\; \Rightarrow \; f\; -\; 1\; (B\; 1)\; \subseteq \; f\; -\; 1\; (B\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{1\}\; \backslash \; Substeq\; B\_\; \{2\}\; \backslash \; Rightarrow\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B\_\; \{1\})\; \backslash \; substeq\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B\_\; \{2\})\}$
$f\; (A\; 1\; \cup \; A\; 2)\; =\; f\; (A\; 1)\; \cup \; е\; (A\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A\_\; \{1\}\; \backslash \; cup\; A\_\; \{2\})\; =\; f\; (A\_\; \{1\})\; \backslash \; cup\; f\; (A\_\; \{2\})\}$	$f\; -\; 1\; (B\; 1\; \cup \; В\; 2)\; знак\; равно\; е\; -\; 1\; (В\; 1)\; \cup \; е\; -\; 1\; (В\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B\_\; \{1\}\; \backslash \; чашка\; B\_\; \{2\})\; =\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B\_\; \{1\})\; \backslash \; cup\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B\_\; \{2\})\}$
$f\; (A\; 1\; \cap \; A\; 2)\; \subseteq \; f\; (\; A\; 1)\; \cap \; е\; (A\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A\_\; \{1\}\; \backslash \; cap\; A\_\; \{2\})\; \backslash \; substeq\; f\; (A\_\; \{1\})\; \backslash \; cap\; f\; (A\_\; \{2\})\}$. (равно, если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$инъективно)	$f\; -\; 1\; (B\; 1\; \cap \; B\; 2)\; =\; f\; -\; 1\; (B\; 1)\; \cap \; f\; -\; 1\; (B\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B\_\; \{1\}\; \backslash \; cap\; B\_\; \{2\})\; =\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B\_\; \{1\})\; \backslash \; cap\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B\_\; \{2\})\}$
$f\; (A\; 1\; \setminus \; A\; 2)\; \supseteq \; е\; (A\; 1)\; \setminus \; е\; (A\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A\_\; \{1\}\; \backslash \; setminus\; A\_\; \{2\})\; \backslash \; supseteq\; f\; (A\_\; \{1\})\; \backslash \; setminus\; f\; (A\_\; \{\; 2\})\}$. (равно, если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$инъективно)	$f\; -\; 1\; (B\; 1\; \setminus \; B\; 2)\; =\; f\; -\; 1\; (B\; 1)\; \setminus \; е\; -\; 1\; (В\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B\_\; \{1\}\; \backslash \; setminus\; B\_\; \{2\})\; =\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B\_\; \{1\})\; \backslash \; setminus\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (\; B\_\; \{2\})\}$
$е\; (A\; 1\; △\; A\; 2)\; \supseteq \; е\; (A\; 1)\; △\; е\; (A\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A\_\; \{1\}\; \backslash \; треугольник\; A\_\; \{2\})\; \backslash \; supseteq\; f\; (A\_\; \{1\})\; \backslash \; треугольник\; f\; (A\_\; \{2\})\}$. (равно, если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$инъективно)	$f\; -\; 1\; (B\; 1\; △\; B\; 2)\; =\; е\; -\; 1\; (В\; 1)\; △\; е\; -\; 1\; (В\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B\_\; \{1\}\; \backslash \; треугольник\; B\_\; \{2\})\; =\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B\_\; \{1\})\; \backslash \; треугольник\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B\_\; \{2\})\}$

Результаты, связывающие изображения и прообразы с (логическим ) алгебра пересечения и union работает для любого набора подмножеств, а не только для пар подмножеств:

• $f\; (\bigcup \; s\; \in \; SA\; s)\; =\; \bigcup \; s\; \in \; S\; f\; (A\; s)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigcup\; \_\; \{s\; \backslash \; in\; S\}\; A\_\; \{s\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{s\; \backslash \; in\; S\}\; f\; (A\_\; \{s\})\}$
• $f\; (\bigcap \; s\; \in \; SA\; s)\; \subseteq \; \bigcap \; s\; \in \; S\; е\; (A\; s)\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; \backslash \; влево\; (\backslash \; bigcap\; \_\; \{s\; \backslash \; in\; S\}\; A\_\; \{s\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; substeq\; \backslash \; bigcap\; \_\; \{s\; \backslash \; in\; S\}\; f\; (\; A\_\; \{s\})\}$
• $е\; -\; 1\; (\bigcup \; s\; \in \; SB\; s)\; =\; \bigcup \; s\; \in \; S\; f\; -\; 1\; (B\; s)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigcup\; \_\; \{s\; \backslash \; in\; S\}\; B\_\; \{s\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{s\; \backslash \; in\; S\}\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B\_\; \{s\})\}$
• $f\; -\; 1\; (\bigcap \; s\; \in \; SB\; s)\; =\; \bigcap \; s\; \in \; S\; е\; -\; 1\; (B\; s)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigcap\; \_\; \{s\; \backslash \; in\; S\}\; B\_\; \{s\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; bigcap\; \_\; \{s\; \backslash \; in\; S\}\; f\; ^\; \{-\; 1\; \}\; (B\_\; \{s\})\}$

(Здесь S может быть бесконечным, даже бесконечно бесконечным.)

В отношении алгебры подмножеств, описанной выше, функция обратного изображения является гомоморфизмом решетки, в то время как функция изображения является только гомоморфизмом полурешетки (т. е. не всегда сохраняет пересечения).

• Биекция, инъекция и сюръекция
• Изображение (теория категорий)
• Ядро функции
• Установить инверсию

• Артин, Майкл (1991). Алгебра. Прентис Холл. ISBN 81-203-0871-9.
• Блит, Т.С. (2005). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры. Springer. ISBN 1-85233-905-5..
• ; Майнард, Фредерик (2016). Основы сходимости топологии. Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
• Халмос, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств. Университетская серия по математике. Компания ван Ностранд. Zbl 0087.04403.

• Келли, Джон Л. (1985). Общая топология. Тексты для выпускников по математике. 27(2-е изд.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси : Прентис Холл, Инк.. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.

Эта статья включает материал из Fiber на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.