Диапазон функции

редактировать

f {\ displaystyle f}

f

- это функция из домена Xв кодомен Y. Желтый овал внутри Y - это изображение из

f {\ displaystyle f}

f

. Иногда "диапазон" относится к изображению, а иногда к кодомену.

В математике диапазон функции может относиться к любому из двух близких связанные понятия:

codomain функции
изображение функции

Содержание

1 Терминология
2 Уточнение и пример
3 См. Также
4 Примечания и ссылки
5 Библиография

Терминология

Поскольку термин «диапазон» может иметь разные значения, считается хорошей практикой определять его первым раз он используется в учебнике или статье. В старых книгах, когда они используют слово «диапазон», оно обычно используется для обозначения того, что сейчас называется codomain. Более современные книги, если они вообще используют слово «диапазон», обычно используют его для обозначения того, что сейчас называется изображением. Чтобы избежать путаницы, в ряде современных книг вообще не используется слово «диапазон».

Уточнение и пример

Для функции

f: X → Y {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to Y}

f \ двоеточие X \ to Y

с domain $X {\ displaystyle X}$ $X$ , диапазон $f {\ displaystyle f}$ $f$ , иногда обозначается как $ran ⁡ (f) {\ displaystyle \ operatorname {ran} (f)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ran} (f)}$ или $Range ⁡ (f) {\ displaystyle \ operatorname {Range} (f)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Range} (f)}$ , может относиться к кодомену или целевому набору $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ (т. е. набору, в который весь вывод $f {\ displaystyle f}$ $f$ ограничено падением) или $f (X) {\ displaystyle f (X)}$ $f (X)$ , изображение домена $f {\ displaystyle f}$ $f$ под $f {\ displaystyle f}$ $f$ (т. е. подмножество $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ , состоящее всех фактических выходов $f {\ displaystyle f}$ $f$ ). Изображение функции всегда является подмножеством кодомена функции.

В качестве примера двух различных вариантов использования рассмотрим функцию $f (x) = x 2 {\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ $f (x) = x ^ {2}$ , как он используется в реальном анализе (то есть как функция, которая вводит действительное число и выводит его квадрат). В этом случае его codomain - это набор действительных чисел $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , но его изображение - это набор неотрицательных действительных чисел $R + { \ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$ $\ mathbb {R} ^ {+}$ , поскольку $x 2 {\ displaystyle x ^ {2}}$ $x^{2}$ никогда не является отрицательным, если $x {\ displaystyle x}$ $x$ реально. Для этой функции, если мы используем «диапазон» для обозначения кодомена, это относится к $R {\ displaystyle \ mathbb {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {}}}$ ; если мы используем «диапазон» для обозначения изображения, это относится к $R + {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$ $\ mathbb {R} ^ {+}$ .

Во многих случаях изображение и кодомен могут совпадать. Например, рассмотрим функцию $f (x) = 2 x {\ displaystyle f (x) = 2x}$ $f (x) = 2x$ , которая вводит действительное число и выводит его двойное значение. Для этой функции кодомен и изображение одинаковы (оба являются набором действительных чисел), поэтому диапазон слов однозначен.

См. Также

Примечания и ссылки

Библиография

Чайлдс (2009). Конкретное введение в высшую алгебру. Тексты для бакалавриата по математике (3-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-74527-5. OCLC 173498962.
Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Вайли. ISBN 978-0-471-43334-7. OCLC 52559229.
Хангерфорд, Томас У. (1974). Алгебра. Тексты для выпускников по математике. 73. Springer. ISBN 0-387-90518-9. OCLC 703268.
Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ (2-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 0-07-054236-8.