Реальный анализ

Математика действительных чисел и действительных функций Первые четыре частичные суммы ряда Фурье для прямоугольная волна. Ряды Фурье - важный инструмент в анализе.

В математике, настоящий анализ - это ветвь математического анализа, изучающая поведение действительные числа, следовать и серии действительных чисел и действительные функции. Некоторые особые свойства последовательностей и функций с действующими значениями, которые изучает настоящий анализ, включают сходимость, пределы, непрерывность, гладкость, дифференцируемость и интегрируемость.

Реальный анализ отличается от комплексного анализа, который занимается изучением комплексных чисел и их функций.

Содержание

• 1 Область действия
  • 1.1 Построение действительных чисел
  • 1.2 Порядковые свойства действующих чисел
  • 1.3 Топологические свойства действующих чисел
  • 1.4 Последовательности
  • 1.5 Пределы и сходимость
    • 1.5. 1 Равномерная и точечная сходимость для последовательностей функций
  • 1.6 Компактность
  • 1.7 Непрерывность
    • 1.7.1 Равномерная непрерывность
    • 1.7.2 Абсолютная непрерывность
  • 1.8 Дифференциация
  • 1.9 Последовательность
    • 1.9.1 Ряд Тейлора
    • 1.9.2 Ряд Фурье
  • 1.10 Интегрирование
    • 1.10.1 Интегрирование Римана
    • 1.10.2 Интегрирование Лебега и мера
  • 1.11 Распения
  • 1.12 Связь с комплексным анализом
• 2 Важные результаты
• 3 Обобщения и дополнительные области математики
• 4 См. также
• 5 Ссылки
• 6 Библиография
• 7 Внешние ссылки

Область применения

Построение действующих чисел

Теоремы реального связного связаны со структурой действующей числовой прямой. Система действительных чисел состоит из несчетного числа ($R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$) вместе с двумя двоичными операциями, обозначенными + и ⋅, и заказ, обозначенный <. The operations make the real numbers a поле, и наряду с порядком, упорядоченное поле. Система действительных чисел - это уникальное полное упорядоченное поле в том смысле, что любое другое полное упорядоченное поле изоморфно ему. Интуитивно полнота означает, что в реальных числах нет «пробелов». В частности, это свойство отличает действительные числа от других упорядоченных полей (например, рациональных чисел $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$) и имеет решающее для доказательства нескольких свойств функции действительных чисел. Полноту вещественных чисел удобно выражать как свойство наименьшей часто верхней границы (см. Ниже).

Есть несколько способов формализовать определение вещественных чисел. Современные подходы состоят из списка аксиом и доказательства существования для них модели, которая имеет структуру выше свойств. Более того, можно показать, что любые две модели изоморфны, что означает, что все модели имеют такие же свойства, и что можно забыть, как модель построена для использования действительных чисел.

Порядковые свойства действующих чисел

Действительные числа имеют различные теоретико-решеточные свойства, которые отсутствуют в комплексных числах. Кроме того, действительные числа образуют упорядоченное поле , в котором количество и произведения положительных чисел также положительны. Кроме действительного числа упорядочены так: всего, а действительное число имеет свойство наименьшей верхней границы :

Каждое непустое подмножество $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, имеющий верхнюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу, которая также является действительным числом.

Эти свойства теории порядка приводят к ряду фундаментальных результатов в аналитическом анализе, таких как теорема о монотонной сходимости, теорема о промежуточном значении и Теорема о среднем значении.

Однако, хотя результаты настоящего анализа указаны для действительных чисел, многие из этих результатов представлены на другие математические объекты. В частности, идеи в функциональном анализе и многих операторов обобщают свойства действительных чисел - такие обобщения включают теории пространств Рисса и положительных агентов.. Кроме того, математики рассматривают действительные и мнимые части сложных последовательностей или посредством точечной оценки последовательностей оператора.

Топологические свойства действительных чисел

Многие из теорем реального анализа являются следствиями топологических свойств действительных чисел прямой. Описанные выше методы работы с указанными выше указанными данными. Как и топологическое пространство , действующие числа имеют стандартную топологию, которая представляет собой топологию порядка, индуцированную порядком . В качестве альтернативы, определив функцию метрики или расстояния $d:\; R\; \times \; R\; \to \; R\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \_\; \{\backslash \; geq\; 0\; \}\}$с использованием функций абсолютного значения как $d\; (x,\; y)\; =\; |\; х\; -\; у\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (x,\; y)\; =\; |\; x-y\; |\}$, действительные числа становятся прототипом метрического пространства. Топология, индуцированная метрикой $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$, идентичной стандартной топологии, индуцированной порядком . Теоремы, подобные теореме о промежуточном значении, которые по сути являются топологическими по своей природе, часто могут быть доказаны в более общих условиях метрических или топологических пространств, а не в $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\; \}\}$только. Часто такие тенденции быть короче или проще по сравнению с классическими доказательствами, использующими прямые методы.

Последовательности

A последовательность - это функция, домен, которая является счетным, полностью упорядоченным набором. Доменом обычно рассматривают двунаправленные числа , хотя иногда удобно рассматривать двунаправленные числа, проиндексированные набором всех целых чисел, включая отрицательные индексы.

Интересная в анализе последовательность с действующими значениями, здесь индексированная натуральными числами, представляет собой карту $a:\; N\; \to \; R,\; n\; \mapsto \; an\; \{\backslash \; displaystyle\; a:\; \backslash \; mathbb\; \{N\; \}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\},\; \backslash \; n\; \backslash \; mapsto\; a\_\; \{n\}\}$. Каждый $a\; (n)\; =\; an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (n)\; =\; a\_\; \{n\}\}$регистрируется как термин (или, реже, элемент ) следовать. Последовательность редко обозначается явно как функция; вместо этого, по соглашению, он почти всегда обозначается как упорядоченный ∞-кортеж с отдельными терминами или общим термином, заключенным в круглые круглые:

$(an)\; =\; (an)\; n\; \in \; N\; =\; (a\; 1,\; a\; 2,\; a\; 3,\; \cdots )\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{n\})\; =\; (a\_\; \{n\})\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; =\; (a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; a\_\; \{3\},\; \backslash \; cdots)\; \}$.

Последовательность, которая стремится к пределу (т. Е. $lim\; n\; \to \; \infty \; an\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\}$существует) называется сходящимся ; в противном случае это расходящийся . (Подробнее см. В разделе о пределах и сходимости.) Последовательность с действительным знаком $(an)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{n\})\}$является ограниченной, если существует $M\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$такой, что для всех $n\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$. Последовательность с действительным знаком $(an)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{n\})\}$- это монотонно возрастающая или убывающая, если

$a\; 1\; \le \; a\; 2\; \le \; a\; 3\; \le \dots \; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; leq\; a\_\; \{3\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; ldots\}$или $a\; 1\; \ge \; a\; 2\; \ge \; a\; 3\; \ge \dots \; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; geq\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; geq\; a\_\; \{3\}\; \backslash \; geq\; \backslash \; ldots\}$

соответственно. Если выполняется что-либо, последовательность называется монотонной . Монотонность является строгой, если цепные неравенства все еще сохраняются с $\le \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; leq\}$или $\ge \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; geq\}$заменено на < or>.

Дана последовательность $(an)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{n\})\}$, другая последовательность $(bk)\; \{\backslash \; displaystyle\; (b\_\; \{k\})\}$- это подпоследовательность из $(an)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{n\})\}$, если $bk\; =\; ank\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{k\; \}\; =\; a\_\; \{n\_\; \{k\}\}\}$для всех целых положительных чисел $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$и $(nk)\; \{\backslash \; displaystyle\; (n\_\; \{k\; \}))\}$- это строго возрастающая последовательность натуральных чисел.

Пределы и сходимость

Грубо говоря, предел - это, к которому «приближается» функция или последовательность когда ввод или индекс приближается к некоторому значению. (Это значение может быть других символов $\pm \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; \backslash \; infty\}$при рассмотрении функций поведения или неограниченном увеличении или уменьшении.) Идея является ограничением фундаментального для исчисления (и математического анализа в целом), и его формальное определение, в своей очереди, используется для определения таких понятий, как непрерывность, производные, и интегралы. (Фактически, изучение предельного поведения использовалось как характеристика, которая отличает исчисление и математический анализ от других разделов математики.)

Понятие предела было неформально введено для функций Ньютоном и Лейбниц, в конце 17 века, за построение исчисления бесконечно малых. Для последовательности концепции была введена Коши, а в конце 19-го века стала более строгой Больцано и Вейерштрассом, которые дали современные ε-δ определение, которое следует.

Определение. Пусть $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$будет работать с действительным знаком, определенным на $E\; \subset \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$. Мы говорим, что $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$стремится к $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$как $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$приближается к $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$или к пределу $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$так какприближается к $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$равно $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$если для любого $ϵ>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon>0\}$, существует $\delta >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta>0\}$таким образом, чтобы все $xyle\; xyle\; E\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; E\}$, означает, что . Мы записываем это символически как

$f\; (x)\; \to \; L\; как\; x\; \to \; x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; to\; L\; \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{as\}\}\; \backslash \; \backslash \; x\; \backslash \; to\; x\_\; \{0\}\}$или $lim\; x\; \to \; x\; 0\; f\; (x)\; =\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; x\_\; \{0\}\}\; f\; (x)\; =\; L\}$.

Интуитивно это определение может думать следующим образом: мы говорим, что $f\; (x)\; \to \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; to\; L\}$as $x\; \to \; x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; до\; x\_\; \{0\; \}\}$, когда для любого положительного числа $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$, независимо от того, насколько он мал, мы всегда можем найти $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$, поэтому мы можем защитить, что $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$и $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$меньше чем $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$друг от друга, если $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$(в домене $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$) - действительное число, которое меньше $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$от $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\; \}\}$, но отличается от $x\; 0\; \{\backslash \; displaysty\; ле\; x\_\; \{0\}\}$. Целью последнего условия, которое соответствует условию , является обеспечение того, $lim\; x\; \to \; x\; 0\; f\; (x)\; =\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; x\_\; \{0\}\}\; f\; (x)\; =\; L\}$ничего не говорит о самом значении $f\; (x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\_\; \{0\})\}$. Фактически, $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$даже не обязательно должен находиться в домене $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, $lim\; x\; \to \; Икс\; 0\; е\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{х\; \backslash \; к\; х\_\; \{0\}\}\; F\; (х)\}$существовать.

В нескольких ином, но родственном контексте ограничении использования к поведению следовать $(an)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{n\})\}$когда $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \}$становится большим.

Определение. Пусть $(a\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{n\})\}$будет последовательностью с действительным знаком. Мы говорим, что $(an)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{n\})\}$сходится к $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$if, для любого $ϵ>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon>0\}$, существует натуральное число $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$такое, что $n\; \ge \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; N\}$означает, что . Мы записываем это символически как

$an\; \to \; a\; как\; n\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; to\; a\; \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{as\}\}\; \backslash \; \backslash \; n\; \backslash \; к\; \backslash \; infty\}$или $lim\; n\; \to \; \infty \; an\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; =\; a\}$;

если $(an)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{n\})\}$не сходится, мы говорим, что $(an)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{n\})\}$расходится .

Обобщая функция действующей переменной модели, небольшая модификация (замена $(an)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{n\})\}$и член $\{\backslash \; disp\; Laystyle\; a\_\; \{n\}\}$по функциям $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и значению $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$и натуральные числа $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$вещественными числами $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$и $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$соответственно) дает определение предела для $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$как $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$неограниченно увеличивается, обозначенный $lim\; x\; \to \; \infty \; е\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Lim\; \_\; \{х\; \backslash \; к\; \backslash \; infty\}\; F\; (х)\}$. Изменение неравенства $x\; \ge \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; geq\; M\}$на $x\; \le \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; leq\; M\}$дает соответствующее определение предела $е\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$как $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$неограниченно уменьшается, $lim\; x\; \to \; -\; \infty \; е\; (x)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; -\; \backslash \; infty\}\; f\; (x)\}$.

Иногда полезно сделать вывод, что последовательность сходится, даже если значение, к которому она сходится, неизвестно или не имеет значения. В этих случаях полезна концепция реализации Коши.

Определение. Пусть $(a\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{n\})\}$будет последовательностью с действительным знаком. Мы говорим, что $(an)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{n\})\}$является последовательностью Коши, если для любого $ϵ>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon>0\}$существует натуральное число $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$такое, что $m,\; n\; \ge \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; m,\; n\; \backslash \; geq\; N\}$подразумевает, что .

Можно показать, что последовательность с действующими значениями является последовательностью Коши, тогда и только тогда, когда она сходится, что действительные числа выражаются тем, что действительные числа наделены стандартной метрикой, $(R,\; |\; \cdot \; |)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{R\},\; |\; \backslash \; cdot\; |)\}$, является полным метрическим пространством., последовательность Коши не должна сходиться.

Кроме того, для дей стволовых последовательностей, которые являются монотонными, можно показать, что последовательность ограничена тогда и тогда, когда она сходится.

Равномерная и поточечная сходимость последовательностей функций

Помимо последовательностей чисел, можно также говорить о последовательностях функций на $E\; \subset \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, то есть бесконечные упорядоченные функции функций $fn:\; E\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{n\}:\; E\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, обозначенные $(fn)\; n\; Знак\; равно\; 1\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; (f\_\; \{n\})\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$, и их свойства сходимости. Однако в случае последовательностей функций необходимо различать два вида сходимости, известная как поточечная сходимость и равномерная сходимость.

Грубо говоря, поточечная сходимость функций $fn\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{n\}\}$к предельной функции $f:\; E\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; E\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, обозначается $fn\; \to \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{n\}\; \backslash \; rightarrow\; f\}$, просто означает, что для любого $x\; \in \; E\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; E\}$, $fn\; (x)\; \to \; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{n\}\; (x)\; \backslash \; to\; f\; (x)\}$как $n\; \to \; \infty \; \{\; \backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}$. Напротив, равномерная сходимость является более сильным типом сходимости в том смысле, равномерно сходящейся последовательностью функций также сходится поточечно, но не наоборот. Равномерная сходимость требует, чтобы члены семейства функций $fn\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{n\}\}$попадали в некоторую ошибку $ϵ>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon>0\}$из $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$для каждого значения $x\; \in \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; E\}$, когда $n\; \ge \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; N\}$, для некоторого целого $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$. Чтобы семейство функций сходилось равномерно, иногда обозначается как $fn\; \rightrightarrows \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{n\}\; \backslash \; rightrightarrows\; f\}$, такое значение $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$должно существовать для любого $ϵ>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon>0\}$задано, неважно наскол ько маленький. Интуитивно мы можем визуализировать эту ситуацию, представив, что для достаточно большого $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$функции $f\; N,\; f\; N\; +\; 1,\; f\; N\; +\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{N\},\; f\_\; \{N\; +\; 1\},\; f\_\; \{N\; +\; 2\},\; \backslash \; ldots\}$все заключены в «трубу» шириной $2\; ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; epsilon\}$примерно $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$(то есть между $f\; -\; ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; f-\; \backslash \; epsilon\}$и $f\; +\; ϵ\; \{\; \backslash \; displaystyle\; f\; +\; \backslash \; epsilon\}$) для каждого значения в их домене $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$.

Различие между поточечной и равномерной сходимостью важно при обмене желателен порядок двух ограничивающих операций (например, взятие предела, производной или интеграла): для того, чтобы обмен был правильным, многие теоремы реального анализа требовной сходимости. Например, последовательность непрерывных функций (см. ниже ) гарантированно сходится к непрерывной предельной функции, если сходимость является равномерной, в то время как предельная функция. Карлу Вейерштрассу обычно приписывают четкое определение концепции единой конвергенции и полное исследование ее последствий.

Компактность

Компактность - это концепция из общей топологии, которая играет важную роль во многих теоремах реального анализа. Свойство компактности является обобщением понятия замкнутости и ограниченности множества. (В контексте реального анализа эти понятия эквивалентны: множество в евклидовом пространстве компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.) Вкратце, замкнутое множество содержит всю свою границу указывает, в то время как набор ограничен, если существует действительное число такое, что расстояние между любыми двумя точками набора меньше этого числа. В $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$замкнутые и ограниченные и, следовательно, компактные множества включают пустое множество, любое конечное число точек, закрытые интервалы, и их конечные союзы. Однако этот список не является исчерпывающим; например, набор $\{1\; /\; n:\; n\; \in \; N\}\; \cup \; \{0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{1\; /\; n:\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; \backslash \}\; \backslash \; cup\; \backslash \; \{0\}\; \backslash \}$- компакт; троичное множество Кантора $C\; \subset \; [0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \backslash \; subset\; [0,1]\}$- еще один пример компактного задавать. С другой стороны, набор $\{1\; /\; n:\; n\; \in \; N\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{1\; /\; n:\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; \backslash \}\}$не компактен, потому что он ограничен, но не замкнут, поскольку граничная точка 0 не является членом множества. Множество $[0,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; \backslash \; infty)\}$также не компактно, потому что оно замкнуто, но не ограничено.

Для подмножеств действительных чисел существует несколько эквивалентных определений компактности.

Определение. Множество $E\; \subset \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$компактно, если оно замкнуто и ограничено.

Это определение также справедливо для евклидова пространства любой конечной размерности, $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$, но не действует для метрических пространства в целом. Эквивалентность определения с определением компактности на основе подпокрытий, приведенным далее в этом разделе, известна как теорема Гейне-Бореля.

Более общее определение, которое применяется ко всем метрическим пространствам, использует понятие подпоследовательности (см. выше).

Определение. Набор $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$в метрическом пространстве является компактным, если каждая последовательность в $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$имеет сходящуюся подпоследовательность.

Это конкретное свойство известно как подпоследовательная компактность. В $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$множество субпоследовательно компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено, что делает это определение эквивалентным приведенному выше. Субсеквенциальная компактность эквивалентна определению компактности на основе подпокрытий для метрических пространств, но не для топологических пространств в целом.

Наиболее общее определение компактности основано на понятии открытых покрытий и дополнительных покрытий, которое применимо к топологическим пространствам (и, следовательно, к метрическим пространствам и $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$как особые случаи). Короче говоря, набор открытых множеств $U\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}$называется открытой крышкой набора $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, если объединение этих наборов является надмножеством $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. Говорят, что эта открытая обложка имеет конечное подпокрытие, если можно найти конечную подколлекцию $U\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}$, которая также охватывает $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \}$.

Определение. Набор $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$в топологическом пространстве является компактным, если каждая открытая крышка $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$имеет конечное подпокрытие.

Компактные наборы хорошо себя ведут в отношении таких свойств, как сходимость и непрерывность. Например, любая последовательность Коши в компактном метрическом пространстве сходится. В качестве другого примера, образ компактного метрического пространства при непрерывном отображении также компактен.

Функция непрерывности

A от набора действительных чисел до действительных чисел может быть представлена ​​графиком в декартовой плоскости ; такая функция является непрерывной, если, грубо говоря, график представляет собой единую непрерывную кривую без «дырок» или «скачков».

Есть несколько способов сделать эту интуицию математически точной. Можно дать несколько определений разной степени общности. В случаях, когда применимы два или более определения, легко показать, что они эквивалентны друг другу, поэтому можно использовать наиболее удобное определение, чтобы определить, является ли данная функция непрерывной или нет. В первом определении, приведенном ниже, $f:\; I\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; I\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$- это функция, определенная на невырожденном интервале $I\; \{\; \backslash \; displaystyle\; I\}$набора действительных чисел в качестве его домена. Некоторые возможности включают $I\; =\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, весь набор действительных чисел, открытый интервал или закрытый интервал $I\; =\; [a,\; b]\; =\; \{x\; \in \; R\; |\; a\; \le \; x\; \le \; b\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; [a,\; b]\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; a\; \backslash \; leq\; x\; \backslash \; leq\; b\; \backslash \}.\}$Здесь $a\; \{\; \backslash \; displaystyle\; a\}$и $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$- разные действительные числа, и мы исключаем случай $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$, в частности, пустой или состоящий только из одной точки.

Определение. Если $I\; \subset \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$- невырожденный интервал, мы говорим, что $f:\; I\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; I\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$непрерывно в $p\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; I\}$если $lim\; x\; \to \; pf\; (x)\; =\; f\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; p\}\; f\; (x)\; =\; f\; (p)\}$. Мы говорим, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является непрерывной картой, если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$непрерывно на каждом $p\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; I\}$.

В отличие от требований для $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$иметь ограничение в точке $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$, которые не ограничивают поведение самого $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$, следующие два условия, помимо существования $lim\; x\; \to \; pf\; (x)\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; p\}\; f\; (x)\}$, также должны выполняться, чтобы $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, чтобы быть непрерывным в $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$: (i)$f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$должен быть определен в $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$, то есть $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$находится в домене $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$; и (ii)$f\; (x)\; \to \; f\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; to\; f\; (p)\}$as $x\; \to \; p\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; to\; p\}$. Приведенное выше определение фактически применяется к любому домену $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$, который не содержит изолированной точки или, что эквивалентно, $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$где каждый $p\; \in \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; E\}$является предельной точкой из $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$. Более общее определение применяется к $f:\; X\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$с общей областью $X\; \subset \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$следующее:

Определение. Если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- произвольное подмножество $R\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, мы говорим, что $f:\; X\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$равно непрерывно в $p\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; X\}$, если для любого $ϵ>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon>0\}$, существует $\delta >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta>0\}$такой, что для всех $x\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; X\}$, означает, что . Мы говорим, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является непрерывной картой, если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$непрерывно на каждом $p\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; X\}$.

Следствием этого определения является то, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$тривиально непрерывен в любой изолированной точке $p\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; X\}$. Такой несколько неинтуитивный подход к изолированным точкам необходим для обеспечения того, чтобы наше определение непрерывности для функций на действительной прямой соответствовало наиболее общему определению непрерывности для отображений между топологическими пространствами (которое включает метрических пространств и $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, в частности, как особые случаи). Это определение, выходящее за рамки нашего обсуждения реального анализа, приводится ниже для полноты картины.

Определение. Если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$являются топологическими пространствами, мы говорим, что $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; Y\}$непрерывно в $p\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; X\}$если $f\; -\; 1\; (V)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (V)\}$является окрестностью из $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$для каждой окрестности $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$из $f\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (p)\}$в $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$. Мы говорим, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является непрерывным отображением, если $f\; -\; 1\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (U)\; \}$открыто в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$для каждого $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$открыто в $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$.

(Здесь $f\; -\; 1\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (S)\}$относится к прообразу из $S\; \subset \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; subset\; Y\}$в рамках $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$.)

Единая непрерывность

Определение. Если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$является подмножеством вещественных чисел, мы говорим, что функция $f:\; X\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$является равномерно непрерывным on$X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, если для любого $ϵ>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon>0\}$существует $\delta >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta>0\}$таким образом, чтобы для всех $x,\; y\; \in \; X\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x,\; y\; \backslash \; in\; X\}$, означает, что .

Явно, когда функция равномерно непрерывна на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, выбор $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$необходим для выполнения определение должно работать для всего $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$для данного $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$. Напротив, когда функция непрерывна в каждой точке $p\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; X\}$(или считается непрерывной на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$), выбор $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$может зависеть как от $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$, так и от $p\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; p\}$. В отличие от простой непрерывности, равномерная непрерывность - это свойство функции, имеющее смысл только в определенной области; говорить о равномерной непрерывности в одной точке $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$бессмысленно.

На компактном множестве легко показать, что все непрерывные функции равномерно непрерывны. If $E\; \{\backslash displaystyle\; E\}$is a bounded noncompact subset of $R\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbb\; \{R\}\; \}$, then there exists $f\; :\; E\; \to \; R\; \{\backslash displaystyle\; f:E\backslash to\; \backslash mathbb\; \{R\}\; \}$that is continuous but not uniformly continuous. As a simple example, consider $f\; :\; (\; 0,\; 1)\; \to \; R\; \{\backslash displaystyle\; f:(0,1)\backslash to\; \backslash mathbb\; \{R\}\; \}$defined by $f\; (\; x)\; =\; 1\; /\; x\; \{\backslash displaystyle\; f(x)=1/x\}$. By choosing points close to 0, we can always make $|\; f\; (x)\; -\; f\; (y)\; |>ϵ\; \{\backslash displaystyle\; |f(x)-f(y)|>\backslash epsilon\; \}$for any single choice of $\delta >0\; \{\backslash displaystyle\; \backslash delta>0\}$, for a given $ϵ>0\; \{\backslash displaystyle\; \backslash epsilon>0\}$.

Absolute continuity

Definition.Let $I\; \subset \; R\; \{\backslash displaystyle\; I\backslash subset\; \backslash mathbb\; \{R\}\; \}$be an interval on the real line. A function $f\; :\; I\; \to \; R\; \{\backslash displaystyle\; f:I\backslash to\; \backslash mathbb\; \{R\}\; \}$is said to be absolutely continuouson$I\; \{\backslash displaystyle\; I\}$if for every positive number $ϵ\; \{\backslash displaystyle\; \backslash ep\; silon\; \}$, there is a positive number $\delta \; \{\backslash displaystyle\; \backslash delta\; \}$such that whenever a finite sequence of pairwise disjoint sub-intervals $(\; x\; 1,\; y\; 1),\; (\; x\; 2,\; y\; 2),\; \dots ,\; (\; x\; n,\; y\; n)\; \{\backslash displaystyle\; (x\_\{1\},y\_\{1\}),(x\_\{2\},y\_\{2\}),\backslash ldots,(x\_\{n\},y\_\{n\})\}$of $I\; \{\backslash displaystyle\; I\}$satisfies

then

Absolutely continuous functions are continuous: consider the case n = 1 in this definition. The collection of all absolutely continuous functions on I is denoted AC(I). Absolute continuity is a fundamental concept in the Lebesgue theory of integration, allowing формулировка обобщенной версии основной теоремы исчисления, которая применяется к интегралу Лебега.

Дифференциация

Понятие производной функции или дифференцируемости происходит от концепции приближения функции вблизи заданной точки с использованием «наилучшего» линейного приближения. Это приближение, если оно существует, является уникальным и задается линией, касательной к функции в данной точке $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, а наклон линии является производной функции в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$.

A функции $f:\; R\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$дифференцируема в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, если предел

$f\; \text{'}(a)\; =\; lim\; h\; \to \; 0\; f\; (a\; +\; h)\; -\; f\; (a)\; h\; \{\; \backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(a)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (a\; +\; h)\; -f\; (a)\}\; \{h\}\}\}$

существует. Этот предел известен как производная от $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$и функции $f\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}\}$, возможно, определенный только на подмножестве $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, является производной (или производная функция ) of$f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$. Если производная существует везде, функция называется дифференцируемой .

Как простое следствие определения, $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является непрерывным в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, если он дифференцируем там. Следовательно, дифференцируемость является более сильным условием регулярности (условие, описывающее «гладкость» функции), чем непрерывность, и функция может быть непрерывной на всей действительной прямой, но не дифференцируемой нигде (см. нигде не дифференцируемая непрерывная функция Вейерштрасса ). Можно обсудить существование производных более высокого порядка также, найдя производная от производной функции и т. д.

Можно классифицировать функции по их классу дифференцируемости . Класс $C\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{0\}\}$(иногда $C\; 0\; ([a,\; b])\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{0\}\; ([a,\; b])\}$, чтобы указать интервал применимости) из всех непрерывных функций. Класс $C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{1\}\}$состоит из всех дифференцируемых функций, производная которые непрерывна; такие функции называются непрерывно дифференцируемыми . Таким образом, функция $C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{1\}\}$- это в точности функция, производная которой существует и имеет класс $C\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{0\}\}$. В общем, классы $C\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{k\}\}$могут быть рекурсивно путем объявления $C\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{0\}\}$как набор всех непрерывных функций и объявление $C\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{k\}\}$для любого положительного целого числа $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$- набор всех дифференцируемых функций, производная которых находится в $C\; k\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{k-1\}\}$. В частности, $C\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{k\}\}$содержится в $C\; k\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{k-1\}\}$для каждого $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, и есть примеры, показывающие, что это ограничение является строгим. Класс $C\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$- это пересечение множеств $C\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{k\}\}$as $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$изменяется для неотрицательных целых чисел, входящих в этот класс известных как гладкие функции . Класс $C\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash \; omega\}\}$состоит из всех аналитических функций и строго содержит в $C\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\; \}\}$(см. функция рельефа для гладкой функции, которая не является аналитической).

Серия

Ряд формализует неточное представление о суммировании бесконечной последовательности чисел. Идея о том, что суммирование «бесконечного» числа может привести к конечному результату, была нелогичной для древних греков и привела к формулировке парадоксов Зеноном и другими философами. Современное понятие значения значения ряду избегает иметь дело с неточно определенным понятием добавить «бесконечного» числа терминов. Вместо этой первой конечной суммы $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$стандартных членов, используемых, как частичная сумма, и понятие предела применяют к частичных сумм как $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$неограниченно растут. Серии присваивается значение этого лимита, если он существует.

Учитывая (бесконечную) последовательность $(an)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{n\})\}$, мы можем выделить серию как формальный математический объект $a\; 1\; +\; a\; 2\; +\; a\; 3\; +\; \cdots \; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; an\; \{\backslash \; textstyle\; a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; +\; a\_\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{\; n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\}$, иногда просто записывается как $\sum \; an\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; a\_\; \{n\}\}$. частичные суммы ряд $\sum \; an\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; a\_\; \{n\}\}$- это число $sn\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; naj\; \{\backslash \; textstyle\; s\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{j\}\}$. Ряд $\sum \; an\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; a\_\; \{n\}\}$называется сходящимся, если последовательность состоит из его частичных сумм, $(sn)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; s\_\; \{n\})\}$, сходится; в противном случае это расходящийся . сумма сходящегося ряда определяется как число $s\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; sn\; \{\backslash \; textstyle\; s\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; s\_\; \{n\}\}$.

Слово «сумма» используется здесь в метафорическом смысле как сокращение для определения предела использование частичных терминов и не интерпретироваться как простое «добавление» бесконечного числа терминов. Например, в отличие от поведения конечных сумм, перестановка конечного ряда может привести к сходимости к другому (см. Статью о теореме перестановки Римана для дальнейшего обсуждения).

Пример одного сходящегося ряда геометрический ряд, который составляет основу из знаменитых парадоксов Зенона :

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; 2\; n\; =\; 1\; 2\; +\; 1\; 4\; +\; 1\; 8\; +\; \cdots \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{4\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; =\; 1\}$.

Напротив, гармонический ряд известен со времен средневековья. чтобы быть расходящимся рядом:

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; n\; =\; 1\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 3\; +\; \cdots \; =\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; n\}\}\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; =\; \backslash \; infty\}$.

(Здесь "$=\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \backslash \; infty\}$"- это просто условное обозначение, указывающее, что частичное количество неограниченно растут.)

Ряд $\sum \; an\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; a\_\; \{n\}\}$считается абсолютно сходящимся, если $\sum \; |\; а\; п\; |\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; |\; a\_\; \{n\}\; |\}$сходится. Сходящийся $\sum \; a\; n\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; a\_\; \{n\}\}$, для которого $\sum \; |\; а\; п\; |\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; |\; a\_\; \{n\}\; |\}$расходится, как говорят, сходятся условно (или неабсолютно ). Легко показать, что абсолютная сходимость ряда влечет его сходимость. С другой стороны, пример условно сходящегося ряда:

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; n\; -\; 1\; n\; =\; 1\; -\; 1\; 2\; +\; 1\; 3\; -\; 1\; 4\; +\; log\; =\; log\; \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n-1\}\}\; \{n\}\}\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\; \}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; =\; \backslash \; log\; 2\}$.

Ряд Тейлора

Ряд Тейлора действительного или комплексная функция ƒ (x), которая является бесконечно дифференцируемой с действительным или комплексным числом a степенным рядом

$е\; (а)\; +\; f\; \prime \; (а)\; 1!\; (х\; -\; а)\; +\; е\; ″\; (а)\; 2!\; (х\; -\; а)\; 2\; +\; е\; (3)\; (а)\; 3!\; (х\; -\; а)\; 3\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (a)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(a)\}\; \{1!\}\}\; (xa)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{f\text{'}\; \text{'}(a)\}\; \{2!\}\}\; (xa)\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{f\; ^\; \{(3)\}\; (a)\}\; \{3!\}\}\; (xa)\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots.\}$

который может быть записан в более компактной сигма-нотации как

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; f\; (n)\; (a)\; n!\; (Икс\; -\; а)\; п\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; сумма\; \_\; \{п\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{е\; ^\; \{(п)\}\; (а)\}\; \{п!\}\}\; \backslash ,\; (Ха)\; ^\; \{п\; \}\}$

где n! обозначает факториал число n, а (a) обозначает n-ю производную числа ƒ, вычисленную в точке a. Производная нулевого порядка ƒ определяется как сама, а также (x - a) и 0! оба как 1. В случае, когда a = 0, ряд также рядом Маклорена.

Ряд Тейлора относительно точки может расходиться, сходиться только в точке a, сходиться для всех x таких, что (наибольшее такое R, для которого гарантируется сходимость, называется радиусом сходимости) или сходиться на всей действительной прямой. Даже сходящийся ряд Тейлора может сходиться к значению, отличному от значения функции в этой точке. Если ряд Тейлора в точке имеет ненулевой радиус сходимости и суммируется с функцией на диске сходимости , то функция является аналитической. Аналитические функции обладают фундаментальными свойствами. В частности, аналитическая функция используемой альтернативной функции продолжается. Таким образом, экспоненциальная функция , логарифм , тригонометрические функции и их обратные расширяются на функции комплексного переменная.

Ряд Фурье

Ряд Фурье разлагает периодические функции или периодические сигналы на сумму (возможно бесконечного) набора простых осциллирующих функций, а именно синусов и косинусов (или комплексные экспоненты ). Изучение рядов Фурье обычно происходит в рамках математика >математический анализ >анализ Фурье.

Интегрирование

Интегрирование - это формализация проблема нахождения области, ограниченной кривой, и связанной с ней проблемы определения кривой или заключенного в поверхности. Основная стратегия решения проблем этого типа была известна древним грекам и китайцам и была известна как метод исчерпания. Вообще говоря, желаемая площадь ограничена сверху и снизу, соответственно, за счет более точного описания и вписывания многоугольных приближений, точные площади могут быть вычислены. Рассматривая приближения, состоящие из всех большего и большего («бесконечного») числа меньших и меньших («бесконечно») частей, можно вывести площадь, ограниченную кривую, поскольку верхняя и нижняя границы, определяемые приближения, сходятся вокруг общего значения.

В этой стратегии можно легко увидеть определение интеграла Римана, в котором интеграл считается существующим, если верхняя и нижняя сумма Римана (Дарбу) сходятся к общему значению как более тонкому и более тонкие прямоугольные срезы («уточнения» »). Интеграл Лебега определен с учетом аналогичных основных идей. По сравнению с интегралом Римана более сложный интеграл Лебега позволяет определять и вычислять площадь (или длину, объем и т. Д.; В общем, называемую «мерой») для намного более сложных и нерегулярных подмножествклидова пространства, хотя все еще существуют «неизмеримые» подмножества, для которых нельзя назначить площадь.

Интегрирование Римана

Интеграл Римана определяется в терминах сумм Римана функций по отношению к тегированным разбиениям интервала. Пусть $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$будет закрытым интервалом реальной линии; затем раздел с тегами $P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; cal\; \{P\}\}\}$из $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$- конечная последовательность

$a\; =\; x\; 0\; \le \; t\; 1\; \le \; x\; 1\; \le \; t\; 2\; \le \; x\; 2\; \le \; \cdots \; \le \; xn\; -\; 1\; \le \; tn\; \le \; xn\; =\; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; leq\; t\_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; x\_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; t\_\; \{2\}\; \backslash \; leq\; x\_\; \{2\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; cdots\; \backslash \; leq\; x\_\; \{n-1\}\; \backslash \; leq\; t\_\; \{n\; \}\; \backslash \; leq\; x\_\; \{n\}\; =\; б.\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Это разбивает интервал $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$на $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$подинтервалы $[xi\; -\; 1,\; xi]\; \{\backslash \; displaystyle\; [x\_\; \{i-1\},\; x\_\; \{i\}]\}$проиндексировано $i\; =\; 1,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; n\}$, каждый из которых «помечен» выделенной точкой $ti\; \in \; [xi\; -\; 1,\; xi]\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; [x\_\; \{i-1\},\; x\_\; \{i\}]\}$. Для функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, ограниченной $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$, мы определяем Сумма Римана из $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$помеченного раздела $P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; cal\; \{P\}\}\}$as

$\sum \; я\; знак\; равно\; 1\; nf\; (ti)\; \Delta \; я,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; f\; (t\_\; \{i\})\; \backslash \; Delta\; \_\; \{i\},\}$

где $\Delta \; я\; =\; xi\; -\; xi\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{i\}\; =\; x\_\; \{i\}\; -x\_\; \{i-1\}\}$- ширина подинтервала $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$. Таким образом, каждый член суммы представляет собой площадь прямоугольника с высотой, равной значению функции в выделенной точке данного подинтервала, и шириной, такой же, как ширина подинтервала. сетка такого помеченного раздела - это ширина самого большого подинтервала, образованного разделом, $|\; |\; \Delta \; i\; |\; |\; =\; макс.\; я\; =\; 1,\dots ,\; n\; \Delta \; я\; \{\backslash \; displaystyle\; ||\; \backslash \; Delta\; \_\; \{i\}\; ||\; =\; \backslash \; max\; \_\; \{i\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; n\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{i\}\}$. Мы говорим, что интеграл Римана для $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$на $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$равно $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, если для любого $ϵ>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon>0\}$существует $\delta >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta>0\}$, чтобы любого раздела с тегами $P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; cal\; \{P\}\}\}$с сеткой , у нас

Иногда обозначается как $R\; \int \; a\; b\; f\; =\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{R\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; =\; S\}$. Когда выбранные теги дают максимальное (соответственно минимальное) значение каждого интервала, сумма Римана известна как верхняя (соответственно нижняя) сумма Дарбу . Функция является интегрируемой по Дарбу, если верхняя и нижняя сумма Дарбу могут быть произвольно близки друг к другу для достаточно маленькой сетки. Хотя это определение придает интегралу Дарбу видимость частного случая интеграла Римана, на самом деле они эквивалентны в том смысле, что эта функция интегрируема по Дарбу тогда и только тогда, когда она интегрирует по Риману, а значения интегралы равны. Фактически, учебники по исчислению и анализу часто объединяют эти два понятия, вводят определение интеграла Дарбу как интеграла, что определение первого немного проще в применении.

фундаментальная теорема исчисления утверждает, что интегрирование и дифференцирование обратных операций в определенном смысле.

Интегрирование и мера Лебега

Интегрирование Лебега - это математическая конструкция, которая расширяет интеграл до более широкого класса функций; он также расширяет домены, в которые могут быть включены эти функции. Концепция меры, абстракции длины, площади или объема, в центральной интеграле Лебега теории вероятности <740 Распределения

Распределения (или обобщенные функции ) - это объекты, которые обобщают функции. Распределения позволяют дифференцировать функции производные, которые не существуют в классическом смысле. В частности, любая локально интегрируемая функция имеет производную по распределению.

Связь со сложным анализом

Реальный анализ - это область анализа, изучающая такие понятия, как следовать и их пределы, непрерывность, дифференциация, интеграция и выполнять функции. По определению, реальный анализ фокусируется на действительных числах, включая положительные и отрицательные бесконечность, чтобы сформировать расширенную действительную линию. Реальный анализ связан с комплексным анализом, который изучает в целом те же свойства комплексных чисел. В комплексном анализе естественно определить дифференцирование через голоморфные функции, которые обладают рядом полезных свойств, как повторяемость, выразимость как степенной ряд, и удовлетворяющие формулирующие интегральной ряд Коши.

В анализе анализа обычно более естественно рассматривать дифференцируемые, гладкие или гармонические функции, которые более широко применимы, но могут не обладать некоторыми более мощными свойствами голоморфных функций. Однако такие результаты, как фундаментальная теорема алгебры, проще, если выразить их в терминах комплексных чисел.

Методы из теории аналитических функций комплексной часто используемые в анализируемых данных - например, вычисление реальных интегралов с исчисления остатков.

Важные результаты

Важные результаты включают теоремы Больцано - Вейерштрасса и Гейне - Бореля, теоремы о промежуточном значении и теоремы о среднем значении, теорема Тейлора, основная теорема исчисления, теорема Арзела-Асколи, теорема Стоуна-Вейерштрасса, лемма Фату и монотонная сходимость и преобладали теоремы сходимости.

Обобщения и связанные области математики

Различные идеи из реального анализа могут быть обобщены от реальной линии к более широким или более абстрактные контексты. Эти обобщения связывают реальный анализ с другими дисциплинами и субдисциплинами. Например, обобщение таких идей, как непрерывные функции и компактность из реального анализа, на метрические пространства и топологические пространства соединяет реальный анализ с областью общей топологии, в то время как обобщение от конечных евклидовых пространств до бесконечномерных аналоговых аналогов к концепциям банаховых пространств и гильбертовых пространств и, в более общем смысле, к функциональному анализу. Георг Кантор изучает множеств и последовательных действительных чисел, отображающих между ними фундаментальных проблем реального анализа породил наивную теорию множеств. Изучение вопросов сходимости для последовательностей функций в конечном итоге привело к анализу Фурье как субдисциплине математического анализа. Исследование результатов обобщения различных функций комплексной модели произошло появление концепции голоморфных функций и возникновения комплексного анализа как еще одной отдельной дисциплины анализа. С другой стороны, обобщение интегрирования от римановского к пониманию Лебега привело к формулировке абстрактных пространств с мерой, фундаментальной концепции в теории меры. Наконец, обобщение интегрирования от вещественной прямой до кривых и поверхностей в многомерном пространстве привело к изучению форма исчисления, дальнейшее обобщение и формализация которого сыграли роль в эволюции концепций дифференциальные и гладкие (дифференцируемые) многообразия в дифференциальной геометрии и других связанных геометрии рии и топологии.

См. также

• Список тем реального анализа
• Исчисление шкалы времени - объединение реального анализа с исчислением конечных разностей
• Реальная функция многих чисел
• Реальное координатное пространство
• Комплексный анализ

Литература

Библиография

• Эбботт, Стивен (2001). Понимание анализа. Тексты для бакалавриата по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
• Алипрантис, Хараламбос Д. ; Буркиншоу, Оуэн (1998). Принципы реального анализа (3-е изд.). Академический. ISBN 0-12-050257-7.
• Бартл, Роберт Г. ; Шерберт, Дональд Р. (2011). Введение в реальный анализ (4-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-43331-6.
• Брессуд, Дэвид (2007). Радикальный подход к реальному анализу. MAA. ISBN 978-0-88385-747-2.
• Браудер, Эндрю (1996). Математический анализ: введение. Тексты для бакалавриата по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
• Карозерс, Нил Л. (2000). Реальный анализ. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521497565.
• Данджелло, Фрэнк; Сейфрид, Майкл (1999). Вводный реальный анализ. Брукс Коул. ISBN 978-0-395-95933-6.
• Колмогоров А.Н. ; Фомин, С.В. (1975). Вводный реальный анализ. Перевод Ричарда А. Сильвермана. Dover Publications. ISBN 0486612260. Проверено 2 апреля 2013 г.
• Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Вальтер Рудин Студенческая серия по высшей математике (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу – Хилл. ISBN 978-0-07-054235-8.
• Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Спивак, Майкл (1994). Исчисление (3-е изд.). Хьюстон, Техас: Publish or Perish, Inc. ISBN 091409890X.

Внешние ссылки

• Как мы попали отсюда сюда: история реального анализа Роберт Роджерс и Юджин Боман
• Первый курс анализа Дональд Яу
• Анализ WebNotes Джон Линдси Орр
• Интерактивный реальный анализ Берт Г. Ваксмут
• Первый курс анализа Джона О'Коннора
• Математический анализ I Элиаса Закона
• Математический анализ II Элиаса Закона
• Тренч, Уильям Ф. (2003). Введение в реальный анализ (PDF). Прентис Холл. ISBN 978-0-13-045786-8.
• Самые ранние известные применения некоторых слов математики: Исчисление и анализ
• Базовый анализ: Введение в реальный анализ Иржи Лебль
• Темы в реальном и функциональном анализе от Джеральд Тешл, Венский университет.