Аналитическая функция

В математике аналитическая функция является функцией который локально задается сходящимся степенным рядом. Существуют как реальные аналитические функции, так и комплексные аналитические функции, категории, которые в чем-то похожи, но в другом различаются. Функции каждого типа бесконечно дифференцируемы, но сложные аналитические функции обладают свойствами, которые обычно не выполняются для реальных аналитических функций. Функция является аналитической тогда и только тогда, когда ее ряд Тейлора около x 0 сходится к функции в некоторой окрестности для каждого x 0 в его область.

• 1 Определения
• 2 Примеры
• 3 Альтернативные характеристики
• 4 Свойства аналитических функций
• 5 Аналитичность и дифференцируемость
• 6 Реальные и сложные аналитические функции
• 7 Аналитические функции нескольких переменных
• 8 См. Также
• 9 Примечания
• 10 Ссылки
• 11 Внешние ссылки

Формально функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является реальным аналитическим на открытом наборе $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$в вещественной строке, если для любого $x\; 0\; \in \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; in\; D\}$можно написать

$f\; (x)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; an\; (x\; -\; x\; 0)\; n\; =\; a\; 0\; +\; a\; 1\; (x\; -\; x\; 0)\; +\; a\; 2\; (x\; -\; x\; 0)\; 2\; +\; a\; 3\; (x\; -\; x\; 0)\; 3\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\; \backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; left\; (x-x\_\; \{0\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; =\; a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; (x-x\_\; \{0\})\; +\; a\_\; \{2\}\; (x-x\_\; \{0\})\; ^\; \{2\}\; +\; a\_\; \{3\}\; (x-x\_\; \{0\})\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

, в котором коэффициенты $a\; 0,\; a\; 1,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\},\; a\_\; \{1\},\; \backslash \; dots\}$являются действительными числами, а серия - сходящийся к $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$для $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в окрестности $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$.

В качестве альтернативы аналитическая функция - это бесконечно дифференцируемая функция такая, что ряд Тейлора в любой точке $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$в своей области

$T\; (x)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; f\; (n)\; (x\; 0)\; n!\; (Икс\; -\; Икс\; 0)\; n\; \{\backslash \; Displaystyle\; T\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; ^\; \{(n)\}\; (x\_\; \{0\})\}\; \{n!\}\; \}\; (x-x\_\; \{0\})\; ^\; \{n\}\}$

сходится к $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$для $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в окрестности $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$точечно. Набор всех вещественных аналитических функций на данном наборе $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$часто обозначается $C\; \omega \; (D)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash ,\; \backslash \; omega\}\; (\; D)\}$.

Функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, определенная на некотором подмножестве реальной прямой, называется вещественно-аналитической в ​​точке $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, если существует соседство $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$из $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, в котором $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является аналитическим.

Определение комплексной аналитической функции получается заменой в определениях, приведенных выше, «вещественное» на «комплексное» и «вещественная прямая» на «комплексная плоскость». Функция является комплексно-аналитической тогда и только тогда, когда она голоморфна, т.е. это сложно дифференцируемо. По этой причине термины «голоморфный» и «аналитический» часто используются как синонимы для таких функций.

Типичными примерами аналитических функций являются:

• Все элементарные функции :
  • Все многочлены : если многочлен имеет степень n, любые члены степени выше n в его разложении в ряд Тейлора должны немедленно обращаться в нуль до 0, и поэтому этот ряд будет тривиально сходящимся. Более того, каждый многочлен представляет собой свой собственный ряд Маклорена.
  • . экспоненциальная функция является аналитической. Любой ряд Тейлора для этой функции сходится не только для x, достаточно близкого к x 0 (как в определении), но и для всех значений x (действительных или комплексных).
  • тригонометрические функции, логарифм и степенные функции аналитичны на любом открытом наборе своей области.
• Большинство специальных функций (по крайней мере, в некоторый диапазон комплексной плоскости):
  • гипергеометрические функции
  • функции Бесселя
  • гамма-функции

Типичными примерами функций, которые не являются аналитическими, являются:

• Функция абсолютного значения, когда определенные на множестве действительных или комплексных чисел не везде аналитичны, потому что они не дифференцируемы в 0. Кусочно определенные функции (функции, заданные разными формулами в разных областях) обычно не аналитичны там, где встречаются части.
• Комплексно-сопряженная функция z → z * не является комплексно-аналитической, хотя ее ограничение действительной прямой является тождественной функцией и, следовательно, вещественно-аналитической, и это вещественная аналитика как функция от $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}$до $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\; \}$.
• Другие неаналитические гладкие функции и, в частности, любая гладкая функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$с компактной опорой, т.е. $f\; \in \; C\; 0\; \infty \; (R\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; C\_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\})\}$, не может быть аналитическим на $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$.

Следующие условия эквивалентны:

1. $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является вещественным аналитиком на открытом множестве $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$.

2. Существует комплексное аналитическое расширение $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$до открытого множества $G\; \subset \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$который содержит $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$.

3. $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$действительно гладкий, и для каждого компактного набора $K\; \subset \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \backslash \; subset\; D\}$там существует константа $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$такая, что для каждого $x\; \in \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; K\}$и любого неотрицательного целого числа $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$выполняется следующая граница

$|\; д\; к\; е\; д\; х\; к\; (х)\; |\; \le \; C\; k\; +\; 1\; k!\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{k\}\; f\}\; \{dx\; ^\; \{k\}\}\}\; (x)\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; C\; ^\; \{k\; +\; 1\}\; k!\}$

Комплексные аналитические функции в точности эквивалентны голоморфным функциям, и поэтому их гораздо легче охарактеризовать.

В случае аналитической функции с несколькими переменными (см. Ниже) реальная аналитичность может быть охарактеризована с помощью преобразования Фурье – Броса – Ягольницера.

В случае многих переменных вещественные аналитические функции удовлетворяют прямое обобщение третьей характеристики. Пусть $U\; \subset \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$- открытое множество, и пусть $f:\; U\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; U\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$.

Тогда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является вещественным аналитиком для $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$тогда и только тогда. если $f\; \in \; C\; \infty \; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (U)\}$и для каждого компактного $K\; \subseteq \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \backslash \; substeq\; U\; \}$существует константа $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$такая, что для каждого мультииндекса $\alpha \; \in \; Z\; \ge \; 0\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{\backslash \; geq\; 0\}\; ^\; \{n\}\}$выполняется следующая оценка

$sup\; x\; \in \; K\; |\; \partial \; \alpha \; f\; \partial \; x\; \alpha \; (x)\; |\; \le \; C\; |\; \alpha \; |\; +1\; \alpha !\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sup\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; K\}\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\}\; (x)\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; C\; ^\; \{\; |\; \backslash \; alpha\; |\; +1\}\; \backslash \; alpha!\}$

• Суммы, произведения и композиции аналитических функций являются аналитическими.
• обратная аналитической функции, которая нигде не равна нулю, является аналитической, как и обратная обратимая аналитическая функция, производная которой нигде не равна нулю. (См. Также теорему об обращении Лагранжа.)
• Любая аналитическая функция гладкая, то есть бесконечно дифференцируемая. Обратное неверно для вещественных функций; фактически, в определенном смысле аналитические функции разрежены по сравнению со всеми действительными бесконечно дифференцируемыми функциями. Для комплексных чисел верно обратное, и фактически любая функция, дифференцируемая один раз на открытом множестве, является аналитической на этом множестве (см. «аналитичность и дифференцируемость» ниже).
• Для любого открытого множества Ω ⊆ C множество A (Ω) всех аналитических функций u: Ω → C является Пространство Фреше относительно равномерной сходимости на компактах. Тот факт, что равномерные пределы на компактах аналитических функций аналитичны, является простым следствием теоремы Мореры. Множество $A\; \infty \; (\; \Omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; A\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; (\backslash \; Omega)\}$всех ограниченных аналитических функций с нормой супремума является банаховым пробел.

Полиномиальное канно t равняется нулю в слишком большом количестве точек, если только это не нулевой многочлен (точнее, количество нулей не превышает степени многочлена). Аналогичное, но более слабое утверждение справедливо для аналитических функций. Если набор нулей аналитической функции ƒ имеет точку накопления внутри своей области, то ƒ равно нулю всюду на компоненте связности, содержащем точку накопления. Другими словами, если (r n) - это последовательность различных чисел, такая что ƒ (r n) = 0 для всех n и эта последовательность сходится к точке r в области определения D, то ƒ тождественно равна нулю на связной компоненте D, содержащей r. Это известно как Принцип постоянства.

Кроме того, если все производные аналитической функции в точке равны нулю, функция постоянна на соответствующем компоненте связности.

Эти утверждения подразумевают, что, хотя аналитические функции имеют больше степеней свободы, чем полиномы, они по-прежнему довольно жесткие.

Как отмечалось выше, любая аналитическая функция (действительная или комплексная) бесконечно дифференцируема (также известна как гладкая или C). (Обратите внимание, что эта дифференцируемость относится к действительным переменным; сравните комплексные производные ниже.) Существуют гладкие вещественные функции, которые не являются аналитическими: см. неаналитическая гладкая функция. На самом деле таких функций много.

Ситуация совершенно иная, если рассматривать сложные аналитические функции и сложные производные. Можно доказать, что любая комплексная функция, дифференцируемая (в комплексном смысле) в открытом множестве, является аналитической. Следовательно, в комплексном анализе термин аналитическая функция является синонимом голоморфной функции.

Реальные и сложные аналитические функции имеют важные различия (можно заметить это даже из-за их различного отношения к дифференцируемости). Аналитичность сложных функций является более ограничивающим свойством, так как оно имеет более строгие необходимые условия, а комплексные аналитические функции имеют большую структуру, чем их аналоги в вещественной строке.

Согласно теореме Лиувилля, любые ограниченные комплексная аналитическая функция, определенная на всей комплексной плоскости, постоянна. Соответствующее утверждение для вещественных аналитических функций с заменой комплексной плоскости вещественной линией явно неверно; это показано как

$f\; (x)\; =\; 1\; x\; 2\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +1\}\}.\}$

Кроме того, если сложная аналитическая функция определена в открытом шаре вокруг точка x 0, его разложение в степенной ряд в x 0 сходится во всем открытом шаре (голоморфные функции аналитичны ). Это утверждение для вещественных аналитических функций (открытый шар означает открытый интервал реальной прямой, а не открытый диск комплексной плоскости) в общем случае неверно; функция из приведенного выше примера дает пример для x 0 = 0 и шара с радиусом больше 1, поскольку ряд по степеням 1 - x + x - x... расходится при | x |>1.

Любая вещественная аналитическая функция на некотором открытом множестве на вещественной прямой может быть расширена до комплексной аналитической функции на некотором открытом множестве комплексной плоскости. Однако не каждую вещественную аналитическую функцию, определенную на всей действительной прямой, можно расширить до комплексной функции, определенной на всей комплексной плоскости. Функция ƒ (x), определенная в параграфе выше, является контрпримером, поскольку она не определена для x = ± i. Это объясняет, почему ряд Тейлора (x) расходится при | x |>1, т. Е. радиус конвергенции равен 1, потому что комплексированная функция имеет полюс на расстоянии 1 от точки оценки 0 и никаких других полюсов внутри открытого диска радиуса 1 вокруг точка оценки.

Аналитические функции нескольких переменных можно определить с помощью степенных рядов этих переменных (см. степенный ряд ). Аналитические функции нескольких переменных обладают некоторыми из тех же свойств, что и аналитические функции одной переменной. Однако, особенно для сложных аналитических функций, новые и интересные явления обнаруживаются при работе в двух или более измерениях:

• Нулевые наборы сложных аналитических функций более чем в одной переменной никогда не дискретны из-за Теорема Хартогса о продолжении.
• Области голоморфности для однозначных функций состоят из произвольных открытых множеств. Однако в нескольких комплексных переменных характеристика областей голоморфности приводит к понятию псевдовыпуклости.

• уравнения Коши – Римана
• Голоморфная функция
• Теорема Пэли – Винера
• Квази -аналитическая функция
• Бесконечные композиции аналитических функций

• Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной I. Тексты для выпускников по математике 11 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90328-6. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Кранц, Стивен ; Parks, Harold R. (2002). A Primer of Real Analytic Functions (2-е изд.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4264-1. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. «Аналитическая функция». MathWorld.
• Решатель для всех нулей комплексной аналитической функции, лежащих в прямоугольной области, Иван Б. Иванов