Серия Лорана

редактировать

Степенный ряд, обобщенный для разрешения отрицательных степеней

Ряд Лорана определяется относительно конкретной точки c и пути интегрирования γ. Путь интегрирования должен лежать в кольце, обозначенном здесь красным цветом, внутри которого f (z) голоморфен (аналитический ).

В математике символ Ряд Лорана комплексной функции f (z) представляет собой представление этой функции в виде степенного ряда, который включает члены отрицательной степени. Его можно использовать для выражения сложных функций в случаях, когда Расширение серии Тейлора не может быть применено. Серия Лорана была названа в честь и впервые опубликована Пьером Альфонсом Лораном в 1843 году. Карл Вейерштрасс, возможно, обнаружил ее первым в статья написана в 1841 году, но не была опубликована до его смерти.

Ряд Лорана для комплексной функции f (z) относительно точки c определяется выражением:

f (z) = ∑ n Знак равно - ∞ ∞ an (z - c) n, {\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} (zc) ^ {n},}

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ { п = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} (zc) ^ {n},}

, где a n и c - константы, причем n определяется линейным интегралом, который обобщает интеграл Коши fo rmula :

a n = 1 2 π i ∮ γ f (z) (z - c) n + 1 d z. {\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {\ gamma} {\ frac {f (z)} {(zc) ^ {n + 1}}} \, dz.}

{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {\ gamma} {\ frac {f (z)} {(zc) ^ {n + 1}}} \, dz.}

Путь интегрирования $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ проходит против часовой стрелки вокруг жордановой кривой, охватывающей c и лежащей в кольце A, в котором $f (z) {\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ является голоморфным (аналитическим). Расширение для $f (z) {\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ будет тогда действительным в любом месте внутри кольца. Кольцо показано красным на рисунке справа вместе с примером подходящего пути интегрирования, обозначенным $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ . Если мы возьмем $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ как круг $| z - c | = ϱ {\ displaystyle | zc | = \ varrho}$ $| zc | = \ varrho$ , где $r < ϱ < R {\displaystyle r<\varrho$ $r <\ varrho <R$ , это просто вычисление комплексных коэффициентов Фурье ограничения $f {\ displaystyle f}$ $f$ по $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ . Тот факт, что эти интегралы не меняются при деформации контура $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ , является непосредственным следствием теоремы Грина.

. Можно также получить ряд Лорана для сложная функция f (z) в $z = ∞ {\ displaystyle z = \ infty}$ ${\ displaystyle z = \ infty}$ . Однако это то же самое, что и при $R → ∞ {\ displaystyle R \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle R \ rightarrow \ infty}$ (см. Пример ниже).

На практике вышеприведенная интегральная формула может не предлагать наиболее практичный метод вычисления коэффициентов $an {\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ для данной функции $f (z) {\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ ; вместо этого часто собирают вместе ряды Лорана, комбинируя известные разложения Тейлора. Поскольку расширение Лорана функции уникально, когда оно существует, любое выражение этой формы, которое фактически равно данной функции $f (z) {\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ в некотором кольце должно быть разложение Лорана $f (z) {\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ .

Содержание

1 Сходящийся ряд Лорана
2 Уникальность
3 Многочлены Лорана
4 Основная часть
5 Умножение и сумма
6 См. Также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Конвергентная серия Лорана

e и приближения Лорана: см. Текст для обозначения. По мере увеличения отрицательной степени ряда Лорана он приближается к правильной функции.

e и его приближения Лорана с возрастанием отрицательной степени. Окрестности вокруг нулевой сингулярности никогда не могут быть аппроксимированы.

Ряды Лорана с комплексными коэффициентами являются важным инструментом комплексного анализа, особенно для исследования поведения функций вблизи сингулярностей.

. Например, функция $f (x) = e - 1 / x 2 {\ displaystyle f (x) = e ^ {- 1 / x ^ {2}}}$ $е (х) = е ^ {- 1 / х ^ {2}}$ с $f ( 0) = 0 {\ displaystyle f (0) = 0}$ $f (0) = 0$ . Как действительная функция, она везде бесконечно дифференцируема; как комплексная функция, однако, она не дифференцируема при x = 0. Заменяя x на −1 / x в степенном ряду для экспоненциальной функции, мы получаем его ряд Лорана, который сходится и равно f (x) для всех комплексных чисел x, кроме особенности x = 0. На графике напротив показано e черным цветом и его аппроксимации Лорана

∑ n = 0 N (- 1) nx - 2 nn! {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {N} (- 1) ^ {n} \, {x ^ {- 2n} \ over n!}}

\ sum _ {n = 0} ^ {N} (- 1) ^ {n} \, {x ^ { -2n} \ over n!}

для N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 50. При N → ∞ аппроксимация становится точной для всех (комплексных) чисел x, за исключением особенности x = 0.

В более общем смысле, ряд Лорана может использоваться для выражения голоморфные функции, определенные на кольце, так же, как степенной ряд используется для выражения голоморфных функций, определенных на диске.

Предположим

∑ n = - ∞ ∞ an (z - c) n {\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} (zc) ^ {n}}

\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} (zc) ^ { n}

- заданная серия Лорана с комплексными коэффициентами a n и комплексным центром c. Тогда существует уникальный внутренний радиус rи внешний радиус R такие, что:

Ряд Лорана сходится на открытом кольце A ≡ {z: r < |z − c| < R}. To say that the Laurent series converges, we mean that both the positive degree power series and the negative degree power series converge. Furthermore, this convergence will be uniform на компактах. Наконец, сходящийся ряд определяет голоморфную функцию f (z) на открытом кольце.
Вне кольца ряд Лорана расходится. То есть в каждой точке внешнего A, положительный степенной ряд или отрицательный степенной ряд расходятся.
На границе кольца, нельзя сделать общее утверждение, кроме как сказать, что существует по крайней мере одна точка на внутренней границе и одна точка на внешней границе такие, что f (z) не может быть голоморфно продолжена в эти точки.

Возможно, что r может быть нулем или R может быть бесконечным; с другой стороны, не обязательно верно, что r меньше R. Эти радиусы можно вычислить следующим образом:

r = lim sup n → ∞ | а - п | 1 n, 1 R = lim sup n → ∞ | а п | 1 п. {\ displaystyle {\ begin {align} r = \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} | a _ {- n} | ^ {\ frac {1} {n}}, \\ {1 \ over R} = \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} | a_ {n} | ^ {\ frac {1} {n}}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} r = \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} | a_ {-n} | ^ {\ frac {1} {n}}, \\ {1 \ over R} = \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} | a_ {n} | ^ {\ frac {1} {n}}. \ end {align}}}

Мы считаем R бесконечным, когда последний lim sup равен нулю.

И наоборот, если мы начнем с кольца формы A ≡ {z: r < |z − c| < R} and a holomorphic function f(z) defined on A, then there always exists a unique Laurent series with center c which converges (at least) on A and represents the function f(z).

В качестве примера рассмотрим следующую рациональную функцию вместе с ее частичной дробью расширение:

f (z) = 1 (z - 1) (z - 2 i) = 1 + 2 i 5 (1 z - 1 - 1 z - 2 i). {\ Displaystyle f (z) = {\ frac {1} {(z-1) (z-2i)}} = {\ frac {1 + 2i} {5}} \ left ({\ frac {1} { z-1}} - {\ frac {1} {z-2i}} \ right).}

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {(z-1) (z-2i)}} = {\ frac { 1 + 2i} {5}} \ left ({\ frac {1} {z-1}} - {\ frac {1} {z-2i}} \ right).}

Эта функция имеет особенности при z = 1 и z = 2i, где знаменатель выражения равен нулю, а выражение поэтому не определено. Ряд Тейлора относительно z = 0 (который дает степенной ряд) будет сходиться только в круге радиуса 1, поскольку он «попадает» в сингулярность в 1.

Однако есть три возможных разложения Лорана около 0, в зависимости от радиуса z:

Одна серия определена на внутреннем диске, где | z | < 1; it is the same as the Taylor series,
$F (Z) знак равно 1 + 2 я 5 ∑ N знак равно 0 ∞ (1 (2 я) N + 1 - 1) Z N. {\ displaystyle f (z) = {\ frac {1 + 2i} {5}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {(2i) ^ {n + 1}}} - 1 \ right) z ^ {n}.}$ ${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1 + 2i} {5}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {(2i) ^ {n + 1}}} - 1 \ right) z ^ {n}.}$
Это следует из формы частичной дроби функции, а также формулы для суммы геометрического ряда, $1 z - a = - 1 a ∑ N = 0 ∞ (za) n {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {za}} = - {\ frac {1} {a}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ tfrac {z} {a}} \ right) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {za}} = - {\ frac {1} {a}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ tfrac {z} {a}} \ right) ^ {n}}$ для $| z | < | a | {\displaystyle |z|<|a|}$ ${\ displaystyle | z | <| a |}$ .
Вторая серия определена в среднем кольце, где 1 < |z| is caught between the two singularities:
$f (z) = 1 + 2 i 5 (∑ n = 1 ∞ z - n + ∑ n = 0 ∞ 1 (2 i) n + 1 zn). {\ displaystyle f (z) = {\ frac {1 + 2i} {5}} \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} z ^ {- n} + \ sum _ {n = 0 } ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2i) ^ {n + 1}}} z ^ {n} \ right).}$ ${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1 + 2i} {5}} \ слева (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} z ^ {- n} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2i) ^ {n + 1 }}} z ^ {n} \ right).}$
Здесь мы используем альтернативную форму суммирования геометрического ряда, $1 z - a = 1 z ∑ N = 0 ∞ (az) n {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {za}} = {\ frac {1} {z}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {a} {z}} \ right) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {za}} = {\ frac {1} {z}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {a} {z}} \ right) ^ {n}}$ для $| а | < | z | {\displaystyle |a|<|z|}$ ${\ displaystyle | a | <| z |}$ .
Третья серия определена на бесконечном внешнем кольце, где 2 < |z| < ∞, (which is also the Laurent expansion at $z = ∞ {\ displaystyle z = \ infty}$ $z = \ infty$ )
$f (z) = 1 + 2 i 5 ∑ n = 1 ∞ (1 - (2 я) п - 1) г - п. {\ displaystyle f (z) = {\ frac {1 + 2i} {5}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1- (2i) ^ {n-1} \ right) z ^ {- n}.}$ ${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1 + 2i} {5}} \ sum _ {n = 1} ^ { \ infty} \ left (1- (2i) ^ {n-1} \ right) z ^ {- n}.}$
Этот ряд может быть получен с использованием геометрического ряда, как и раньше, или путем выполнения полиномиального деления в столбик числа 1 на (x - 1) (x - 2i) без остановки с остатком, но продолжающимся до x членов; действительно, «внешний» ряд Лорана рациональной функции аналогичен десятичной форме дроби. («Внутреннее» разложение в ряд Тейлора можно получить аналогичным образом, просто изменив порядок членов в алгоритме деления.)

Случай r = 0; т.е. голоморфная функция f (z), которая может быть неопределенной в одной точке c, особенно важна. Коэффициент a −1 разложения Лорана такой функции называется остатком функции f (z) в особенности c; он играет важную роль в теореме о вычетах. В качестве примера рассмотрим

f (z) = e z z + e 1 z. {\ displaystyle f (z) = {e ^ {z} \ over z} + e ^ {\ frac {1} {z}}.}

f (z) = {e ^ {z} \ over z} + e ^ {\ frac {1} {z}}.

Эта функция голоморфна везде, кроме z = 0.

Чтобы определить разложение Лорана относительно c = 0, мы используем наши знания о рядах Тейлора экспоненциальной функции :

f (z) = ⋯ + (1 3!) Z - 3 + (1 2 !) z - 2 + 2 z - 1 + 2 + (1 2!) z + (1 3!) z 2 + (1 4!) z 3 + ⋯. {\ displaystyle f (z) = \ cdots + \ left ({1 \ over 3!} \ right) z ^ {- 3} + \ left ({1 \ over 2!} \ right) z ^ {- 2} + 2z ^ {- 1} +2+ \ left ({1 \ over 2!} \ Right) z + \ left ({1 \ over 3!} \ Right) z ^ {2} + \ left ({1 \ over 4!} \ Right) z ^ {3} + \ cdots.}

{\ displaystyle f (z) = \ cdots + \ left ({1 \ over 3!} \ right) z ^ {- 3} + \ left ({1 \ over 2!} \ right) z ^ {- 2} + 2z ^ { -1} +2+ \ left ({1 \ over 2!} \ Right) z + \ left ({1 \ over 3!} \ Right) z ^ {2} + \ left ({1 \ over 4!} \ справа) z ^ {3} + \ cdots.}

Мы находим, что остаток равен 2.

Один пример расширения около $z = ∞ {\ displaystyle z = \ infty}$ ${\ displaystyle z = \ infty}$ :

f (z) = 1 + z 2 - z = z (1 + 1 z 2 - 1) = z (1 2 z 2 - 1 8 z 4 + 1 16 z 6 - ⋯) = 1 2 z - 1 8 z 3 + 1 16 z 5 - ⋯. {\ displaystyle f (z) = {\ sqrt {1 + z ^ {2}}} - z = z \ left ({\ sqrt {1 + {\ frac {1} {z ^ {2}}}}}} -1 \ right) = z \ left ({\ frac {1} {2z ^ {2}}} - {\ frac {1} {8z ^ {4}}} + {\ frac {1} {16z ^ { 6}}} - \ cdots \ right) = {\ frac {1} {2z}} - {\ frac {1} {8z ^ {3}}} + {\ frac {1} {16z ^ {5}} } - \ cdots.}

{\ displaystyle f (z) = {\ sqrt {1 + z ^ {2}}} - z = z \ left ({\ sqrt {1 + {\ frac {1} {z ^ {2}}}}} - 1 \ right) = z \ left ({\ frac {1} {2z ^ {2}}} - {\ frac {1} {8z ^ {4}}} + {\ frac {1} {16z ^ {6}}} - \ cdots \ right) = {\ frac {1} {2z}} - {\ frac {1} {8z ^ {3}}} + {\ frac {1 } {16z ^ {5}}} - \ cdots.}

Единственность

Предположим, что функция f (z) голоморфна в кольце r < |z − c| < R has two Laurent series:

f (z) = ∑ n = - ∞ ∞ an (z - c) n = ∑ n знак равно - ∞ ∞ bn (z - c) n. {\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} (zc) ^ {n} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} b_ {n} (zc) ^ {n}.}

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} (zc) ^ {n} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} b_ {n} (zc) ^ {n }.}

Умножьте обе стороны на $(z - c) - k - 1 {\ displaystyle (zc) ^ {- k-1}}$ ${\ displaystyle (zc) ^ {- k-1}}$ , где k - произвольное целое число, и проинтегрировать на пути γ внутри кольца,

∮ γ ∑ n = - ∞ ∞ an (z - c) n - k - 1 dz = ∮ γ ∑ n = - ∞ ∞ bn (z - c) n - k - 1 dz. {\ Displaystyle \ oint _ {\! \! \! \ gamma} \, \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} (zc) ^ {nk-1} \, dz = \ oint _ {\! \! \! \ gamma} \, \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} b_ {n} (zc) ^ {nk-1} \, dz.}

{\ displaystyle \ oint _ {\! \! \! \ gamma} \, \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} (zc) ^ {nk-1} \, dz = \ oint _ {\! \! \! \ gamma} \, \ sum _ {n = - \ infty } ^ {\ infty} b_ {n} (zc) ^ {nk-1} \, dz.}

Ряд сходится равномерно на $r + ϵ ≤ | z - c | ≤ R - ϵ {\ displaystyle r + \ epsilon \ leq | zc | \ leq R- \ epsilon}$ $r + \ epsilon \ leq | zc | \ leq R- \ epsilon$ , где ε - положительное число, достаточно маленькое для того, чтобы γ содержался в суженном замкнутом кольце, поэтому интегрирование и суммирование можно поменять местами. Подставив тождество

∮ γ (z - c) n - k - 1 dz = 2 π i δ nk {\ displaystyle \ oint _ {\! \! \! \ Gamma} \, (zc) ^ {nk- 1} \, dz = 2 \ pi i \ delta _ {nk}}

{\ displaystyle \ oint _ {\! \! \! \ Gamma} \, (zc) ^ {nk-1} \, dz = 2 \ pi i \ delta _ {nk} }

в сумме дает

ak = bk. {\ displaystyle a_ {k} = b_ {k}.}

{\ displaystyle a_ {k} = b_ {k}.}

Следовательно, серия Лорана уникальна.

Многочлены Лорана

A Многочлен Лорана - это ряд Лорана, в котором только конечное число коэффициентов отличны от нуля. Многочлены Лорана отличаются от обычных многочленов тем, что они могут иметь члены отрицательной степени.

Основная часть

Основная часть ряда Лорана - это ряд членов с отрицательной степенью, то есть

∑ k = - ∞ - 1 ak ( г - в) к. {\ displaystyle \ sum _ {k = - \ infty} ^ {- 1} a_ {k} (zc) ^ {k}.}

\ сумма _ {к = - \ infty} ^ {- 1} a_ {k} (zc) ^ {k}.

Если главная часть f является конечной суммой, то f имеет полюс в c порядка, равного (отрицательной) степени самого высокого члена; с другой стороны, если f имеет существенную особенность в точке c, главная часть является бесконечной суммой (что означает, что она имеет бесконечно много ненулевых членов).

Если внутренний радиус сходимости ряда Лорана для f равен 0, то f имеет существенную особенность в точке c тогда и только тогда, когда главная часть является бесконечной суммой, и имеет полюс в противном случае.

Если внутренний радиус сходимости положительный, f может иметь бесконечно много отрицательных членов, но все же быть регулярным в c, как в приведенном выше примере, и в этом случае он представлен другим рядом Лорана в круге примерно c.

Ряды Лорана только с конечным числом отрицательных членов хорошо себя ведут - они представляют собой степенные ряды, разделенные на $zk {\ displaystyle z ^ {k}}$ $z ^ {k}$ , и могут быть проанализированы аналогично - в то время как ряды Лорана с бесконечным числом отрицательных членов имеют сложное поведение на внутреннем круге сходимости.

Умножение и сумма

Ряды Лорана, как правило, нельзя умножать. Алгебраически выражение для членов произведения может включать бесконечные суммы, которые не обязательно сходятся (нельзя брать свертку целочисленных последовательностей). Геометрически два ряда Лорана могут иметь неперекрывающиеся кольца сходимости.

Два ряда Лорана только с конечным числом отрицательных членов могут быть перемножены: алгебраически все суммы конечны; геометрически они имеют полюса в точке c и внутренний радиус сходимости 0, так что они оба сходятся в перекрывающемся кольцевом пространстве.

Таким образом, при определении формального ряда Лорана требуется ряд Лорана только с конечным числом отрицательных членов.

Точно так же сумма двух сходящихся рядов Лорана не обязательно должна сходиться, хотя она всегда определяется формально, но сумма двух ограниченных ниже рядов Лорана (или любого ряда Лорана на проколотом диске) имеет непустой кольцо сходимости.

Кроме того, для поля $F {\ displaystyle F}$ $F$ , посредством суммы и умножения, определенных выше, формальный ряд Лорана будет формировать поле $F ((x)) {\ displaystyle F ((x))}$ ${\ displaystyle F ((x))}$ , которое также является полем дробей кольца $F [[x]] {\ displaystyle F [[x] ]}$ ${\ displaystyle F [[x]]}$ из формальных степенных рядов.

См. Также

ряд Пюизо
Теорема Миттаг-Леффлера
Формальный ряд Лорана - ряды Лорана, рассматриваемые формально, с коэффициентами из произвольное коммутативное кольцо, без учета сходимости и только с конечным числом отрицательных членов, так что умножение всегда определяется.
Z-преобразование - частный случай, когда берется ряд Лорана значение около нуля широко используется в анализе временных рядов.
Ряд Фурье - замена $z = e π iw {\ displaystyle z = e ^ {\ pi iw}}$ $z = e ^ { \ pi iw}$ преобразует В ряд Лорана в ряд Фурье или наоборот. Это используется в расширении q-ряда j-инварианта.
аппроксимации Паде - другой метод, используемый, когда ряд Тейлора нежизнеспособен

Ссылки

Внешние ссылки