Нули и полюсы

В В комплексном анализе (раздел математики) нули голоморфных функций - то есть точки z, где f (z) = 0 - играют важную роль.

Для мероморфных функций, в частности, существует двойственность между нулями и полюсами. Функция f комплексной переменной z является мероморфной в окрестности точки z 0, если либо f, либо ее обратная функция 1 / f голоморфен в некоторой окрестности z 0 (то есть, если f или 1 / f дифференцируемо в окрестности z 0). Если z 0 является нулем 1 / f, то это полюс f.

Таким образом, полюс - это определенный тип особенности функции, рядом с которым функция ведет себя относительно регулярно, в отличие от существенных особенностей, таких как 0 для функция логарифмирования и точки ветвления, например 0 для комплексной функции квадратного корня.

Содержание

• 1 Определения
• 2 На бесконечности
• 3 Примеры
• 4 Функция на кривой
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Определения

A функция комплексной переменной z голоморфна в открытой области U, если она дифференцируема по z в каждой точке U. Эквивалентно, она голоморфна, если она аналитическая, то есть если его ряд Тейлора существует в каждой точке U и сходится к функции в некоторой окрестности точки. Функция является мероморфной в U, если каждая точка U имеет такую ​​окрестность, что либо f, либо 1 / f голоморфны в ней.

A ноль мероморфной функции f - это комплексное число z такое, что f (z) = 0. полюс функции f является нулем 1 / f.

Если функция f является мероморфной в окрестности точки $z\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{0\}\}$комплексной плоскости, тогда существует целое число n такое, что

$(z\; -\; z\; 0)\; nf\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (z-z\_\; \{0\})\; ^\; \{n\}\; f\; (z)\}$

голоморфен и не равен нулю в окрестность $z\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{0\}\}$(это следствие аналитического свойства). Если n>0, то $z\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{0\}\}$является полюсом порядка (или кратности) n числа f. Если n < 0, then $z\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{0\}\}$является нулем порядка $|\; п\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; n\; |\}$из f. Простой ноль и простой полюс - это термины, используемые для обозначений нулей и полюсов порядка $|\; п\; |\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; n\; |\; =\; 1.\}$Степень иногда используется как синоним порядка.

Эта характеристика нулей и полюсов подразумевает, что нули и полюсы изолированы, то есть каждый ноль или полюс имеет окрестность, которая не содержит никаких других нулей и полюсов.

Поскольку порядок нулей и полюсов определяется как неотрицательное число n и симметрия между ними, часто полезно рассматривать полюс порядка n как ноль порядка –n и нуль порядка n как полюс порядка –n. В этом случае точка, которая не является ни полюсом, ни нулем, рассматривается как полюс (или ноль) порядка 0.

Мероморфная функция может иметь бесконечно много нулей и полюсов. Так обстоит дело с гамма-функцией (см. Изображение в информационном окне), которая является мероморфной во всей комплексной плоскости и имеет простой полюс у каждого неположительного целого числа. Дзета-функция Римана также мероморфна во всей комплексной плоскости с единственным полюсом порядка 1 в точке z = 1. Ее нули в левой полуплоскости - это все отрицательные четные числа, а Римана гипотеза - это гипотеза, что все остальные нули расположены вдоль Re (z) = 1/2.

В окрестности точки $z\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{0\},\}$ненулевая мероморфная функция f является суммой ряда Лорана с не более чем конечной главной частью (члены с отрицательными значениями индекса):

$f\; (z)\; =\; \sum \; k\; \ge \; -\; nak\; (z\; -\; z\; 0)\; k,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; \backslash \; geq\; -n\}\; a\_\; \{k\}\; (z-z\_\; \{0\})\; ^\; \{k\},\}$

где n - целое число, а $a\; -\; n\; \ne \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \_\; \{-\; n\}\; \backslash \; neq\; 0.\}$Опять же, если n>0 (сумма начинается с $a\; -\; |\; n\; |\; (z\; -\; z\; 0)\; -\; |\; n\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \_\; \{-\; |\; n\; |\}\; (z-z\_\; \{0\})\; ^\; \{-\; |\; n\; |\}\}$, главная часть состоит из n членов), один имеет полюс порядка n, и если n ≤ 0 (сумма начинается с $a\; |\; n\; |\; (z\; -\; z\; 0)\; |\; n\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{|\; n\; |\}\; (z-z\_\; \{0\})\; ^\; \{|\; n\; |\}\}$, принципала нет часть) один имеет нуль порядка $|\; п\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; n\; |\}$.

На бесконечности

Функция $z\; \mapsto \; f\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; mapsto\; f\; (z)\}$мероморфна на бесконечности если он мероморфен в некоторой окрестности бесконечности (то есть вне некоторого диска ) и существует целое число n такое, что

$lim\; z\; \to \; \infty \; f\; (z)\; zn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\; z\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (z)\}\; \{z\; ^\; \{n\}\}\}\}$

существует и является ненулевым комплексным числом.

В этом случае точка на бесконечности является полюсом порядка n, если n>0, и нулем порядка $|\; п\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; n\; |\}$if n < 0.

Например, многочлен степени n имеет полюс степени n на бесконечности.

Комплексная плоскость, продолженная бесконечно удаленной точкой, называется сферой Римана.

Если функция f является мероморфной на всей сфере Римана, то она имеет конечное число нулей и полюсов, а сумма порядков его полюсов равна сумме порядков его нулей.

Каждая рациональная функция мероморфна на всей сфере Римана, и в этом случае сумма порядков нулей или полюсов является максимумом из степеней числителя и знаменатель.

Примеры

Полюс порядка 9 на бесконечности для комплексной полиномиальной функции степени 9, например $f\; (z)\; =\; z\; 9\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; z\; ^\; \{9\}\}$

• Функция

$f\; (z)\; =\; 3\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{z\}\}\}$

мероморфна на вся сфера Римана. Он имеет полюс порядка 1 или простой полюс в точке $z\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; 0,\}$и простой ноль в бесконечности.

• Функция

$f\; (z)\; знак\; равно\; z\; +\; 2\; (z\; -\; 5)\; 2\; (z\; +\; 7)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{z\; +\; 2\}\; \{(z-5)\; ^\; \{2\}\; (z\; +\; 7)\; ^\; \{\; 3\}\}\}\}$

мероморфен на всей сфере Римана. Он имеет полюс порядка 2 в точке $z\; =\; 5,\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; 5,\}$и полюс порядка 3 в точке $z\; =\; -\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; -7.\; \}$. Он имеет простой ноль в точке $z\; =\; -\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; -2,\}$и четверной ноль в бесконечности.

• Функция

$f\; (z)\; =\; z\; -\; 4\; ez\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{z-4\}\; \{e\; ^\; \{z\}\; -1\}\}\}$

мероморфен во всей комплексной плоскости, но не на бесконечности. Он имеет полюса порядка 1 в точке $z\; =\; 2\; \pi \; ni\; для\; n\; \in \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; 2\; \backslash \; pi\; ni\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$. Это можно увидеть, записав ряд Тейлора из $ez\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{z\}\}$вокруг начала координат.

• Функция

$f\; (z)\; =\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; z\}$

имеет единственный полюс на бесконечности порядка 1 и единственный ноль в начале координат.

Все приведенные выше примеры, кроме третьего, являются рациональными функциями. Для общего обсуждения нулей и полюсов таких функций см. График «Полюс – ноль» § Системы с непрерывным временем.

Функция на кривой

Понятие нулей и полюсов естественным образом распространяется на функции на комплексная кривая, то есть комплексное аналитическое многообразие размерности один (над комплексными числами). Простейшими примерами таких кривых являются комплексная плоскость и риманова поверхность. Это расширение осуществляется путем передачи структур и свойств через диаграммы, которые являются аналитическими изоморфизмами.

Точнее, пусть f будет функцией от комплексной кривой M до комплексных чисел. Эта функция голоморфна (соответственно мероморфна) в окрестности точки z из M, если существует карта $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$такая, что $f\; \circ \; \varphi \; -\; 1\; \{\; \backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; circ\; \backslash \; phi\; ^\; \{-\; 1\}\}$голоморфен (соответственно мероморфен) в окрестности $\varphi \; (z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (z).\}$Тогда z - полюс или ноль порядка n, если то же самое верно для $\varphi \; (z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (z).\}$

Если кривая компактная, а функция f мероморфна на всей кривой, то количество нулей и полюсов конечно, а сумма порядки полюсов равны сумме порядков нулей. Это один из основных фактов, которые используются в теореме Римана – Роха.

См. Также

• Теория управления # Стабильность
• Конструкция фильтра
• Фильтр (обработка сигналов)
• Теорема Гаусса – Лукаса
• Теорема Гурвица (комплексный анализ)
• Теорема Мардена
• Критерий устойчивости Найквиста
• График полюс – ноль
• Остаток (комплексный анализ)
• Теорема Руше
• Гипотеза Сендова

Литература

• Конвей, Джон Б. (1986). Функции одной комплексной переменной И. Спрингер. ISBN 0-387-90328-3.
• Конвей, Джон Б. (1995). Функции одной комплексной переменной II. Springer. ISBN 0-387-94460-5.
• Хенрици, Питер (1974). Прикладной и вычислительный комплексный анализ 1. John Wiley Sons.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик У. «Полюс». MathWorld.