Z-преобразование

В математике и обработка сигналов используется Z-преобразование преобразует сигнал с дискретным временем, представляет собой последовательность из действительных или комплексных чисел, в комплексную частоту. -домен представление.

Его можно рассматривать как эквивалент в дискретном времени преобразования Лапласа. Это сходство исследуется в теории исчисления шкалы времени.

Содержание

• 1 История
• 2 Определение
  • 2.1 Двустороннее Z-преобразование
  • 2.2 Одностороннее Z-преобразование
• 3 Обратное Z-преобразование
• 4 Область конвергенции
  • 4.1 Пример 1 (без ROC)
  • 4.2 Пример 2 (причинный ROC)
  • 4.3 Пример 3 (анти-причинный ROC)
  • 4.4 Вывод из примеров
• 5 Свойства
• 6 Таблица общих пар Z-преобразователей
• 7 Связь с преобразованием Фурье
• 8 Связь с преобразованием Лапласа
  • 8.1 Билинейное преобразование
  • 8.2 Преобразование в звездочку
• 9 Линейная константа -уравнение разности коэффициентов
  • 9.1 Передаточная функция
  • 9.2 Нули и полюсы
  • 9.3 Выходной сигнал
• 10 См. также
• 11 Ссылки
• 12 Дополнительная литература
• 13 Внешние ссылки

История

Основная идея, теперь известная как Z-преобразование, была известна Лапласу, и она была повторно представлена ​​в 1947 году У. Гуревич и другие способы обработки систем контроля выборки данных, используемых с радаром. Это дает способ решения линейных разностных уравнений с постоянным коэффициентом . Позже это было названо «z-преобразованием» Рагаццини и Заде в контрольной группе выборочных данных в Колумбийском университете в 1952 году.

Модифицированный или расширенное Z-преобразование было позже разработано и популяризировано Э. I. Jury.

Идея, содержащаяся в Z-преобразовании, а также известна математической литературе как метод порождающих функций, который можно проследить еще в 1730 году, когда он введен de Муавр в сочетании с теорией вероятностей. С математической точки Z-преобразование также рассматривать можно как ряд Лорана, в котором рассматривается последовательное рассмотрение как разложение (Лорана) аналитической функции.

Определение

Z-преобразование может быть определено как одностороннее или двустороннее преобразование.

Двустороннее Z-преобразование

Двустороннее или двустороннее Z-преобразование сигнала дискретного времени $x\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [n]\}$- это формальной степенной ряд $X\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (z)\}$определяется как

$X\; (z)\; =\; Z\; \{x\; [n]\}\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; Икс\; [N]\; Z\; -\; N\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; (z)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{Z\}\}\; \backslash \; \{x\; [n]\; \backslash \}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; [\; n]\; z\; ^\; \{-\; n\}\}$

(Уравнение 1)

где $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- целое число, а $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$, как правило, комплексное число :

$z\; =\; A\; ej\; \varphi \; =\; A\; \cdot \; (cos\; \; \varphi \; +\; j\; sin\; \; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; Ae\; ^\; \{j\; \backslash \; phi\}\; =\; A\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; соз\; \{\backslash \; phi\}\; +\; j\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; phi\})\}$

где $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$- величина $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$, $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$- это мнимая единица, а $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$- комплексный аргумент (также регистрируется как угол или фаза) в радианах.

О дностороннее Z-преобразование

В качестве альтернативы, в случаях, когда $x\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [n]\}$определяется только для $n\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; 0\}$, одностороннее или одностороннее Z-преобразование определяет как

$X\; (z)\; =\; Z\; \{x\; [n]\}\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; x\; [n]\; z\; -\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (z)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{Z\}\}\; \backslash \; \{x\; [n]\; \backslash \}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; [n]\; z\; ^\; \{-\; n\}.\}$

(Eq.2)

В обработка сигналов это определение может сообщить для оценки Z-преобразования единичной импульсной характеристики дискретного времени причинная система.

Важным примером одностороннего Z-преобразование является функцией, генерирующей вероятность, где компонент $x\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [n]\}$- это вероятность того, что дискретная случайная величина значение принимает $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, функция функции $X\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (z)\}$обычно записывается как $X\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (s)\}$в терминах $s\; =\; z\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; z\; ^\; \{-\; 1\}\}.$. Свойства Z-преобразований (см. Ниже) имеют полезную интерпретацию в контексте теории вероятностей.

.

Обратное Z-преобразование

Обратное Z-преобразование:

$x\; [n]\; =\; Z\; -\; 1\; \{X\; (z)\}\; =\; 1\; 2\; \pi \; j\; \oint \; CX\; (z)\; zn\; -\; 1\; dz\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\; [n]\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{Z\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; \{X\; (z)\; \backslash \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; j\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; X\; (z)\; z\; ^\; \{n-1\}\; dz\}$

(уравнение 3)

где C - замкнутый путь против часовой стрелки, охватывающий начало координат и полностью находящийся в области конвергенции (ROC). В случае, когда ROC является причинным (см. пример 2), это означает, что путь C должен охватывать все полюса $X\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (z)\}$.

Частный случай этого контурного интеграла возникает, когда C - единичная окружность. Этот контур можно использовать, когда ROC включает единичную окружность, что всегда гарантируется, когда $X\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (z)\}$устойчиво, то есть когда все полюса внутри единичного круга. С этим контуром обратное Z-преобразование упрощается до обратного дискретного преобразования Фурье или ряда Фурье периодических значений Z-преобразования по единичной окружности:

$x\; [n]\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; -\; \pi \; +\; \pi \; X\; (ej\; \omega )\; ej\; \omega \; nd\; \omega .\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [n]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; pi\}\; ^\; \{+\; \backslash \; pi\}\; X\; (e\; ^\; \{j\; \backslash \; omega\})\; e\; ^\; \{j\; \backslash \; omega\; n\}\; d\; \backslash \; omega.\}$

Z-преобразование с конечным диапазоном n и конечным равномерно распределенных значений z может быть вычислено с помощью алгоритма БПФ Блустейна. дискретное преобразование Фурье (DTFT) - не путать с дискретным преобразованием Фурье (DFT) - является частным случаем такого Z-преобразования, получится ограничением z до лежать на единичном круге.

Область сходимости

Область сходимости (ROC) - это набор точек на комплексной плоскости, для сходится суммирование Z-преобразования.

Пример 1 (без ROC)

Пусть x [n] = (0,5). Раскладывая x [n] на интервале (−∞, ∞), получается

$x\; [n]\; =\; \{\cdots ,\; 0,5\; -\; 3,\; 0,5\; -\; 2,\; 0,5\; -\; 1,\; 1,\; 0,5,\; 0,5\; 2,\; 0,5\; 3,\; \cdots \}\; =\; \{\cdots ,\; 2\; 3,\; 2\; 2,\; 2,\; 1,\; 0,5,\; 0,5\; 2,\; 0,5\; 3,\; \cdots \}.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [n]\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; cdots,\; 0,5\; ^\; \{-\; 3\},\; 0,5\; ^\; \{-\; 2\},\; 0,5\; ^\; \{-\; 1\},\; 1,0,5,0,\; 5\; ^\; \{2\},\; 0,5\; ^\; \{3\},\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right\; \backslash \}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; cdots,\; 2\; ^\; \{3\},\; 2\; ^\; \{2\},\; 2,1,0.5,0.5\; ^\; \{2\; \},\; 0.5\; ^\; \{3\},\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Г показывает сумму

$\sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; [n]\; z\; -\; n\; \to \; \infty .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; [n]\; z\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; infty.\}$

Следовательно, не существуют значения z, удовлетворяющие этим условию.

Пример 2 (причинный ROC)

ROC показан синим цветом, единичный круг - серым пунктиром, а круг | z | = 0,5 отображается в виде черного пунктирного круга

Пусть $x\; [n]\; =\; 0,5\; nu\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [n]\; =\; 0,5\; ^\; \{n\}\; u\; [n]\; \backslash \}$(где u - ступенчатая функция Хевисайда ). Раскладывая x [n] на интервале (−∞, ∞), получается

$x\; [n]\; =\; \{\cdots ,\; 0,\; 0,\; 0,\; 1,\; 0,5,\; 0,5\; 2,\; 0,5\; 3,\; \cdots \}.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [n]\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; cdots,\; 0,0,0,1,0.5,0.5\; ^\; \{2\},\; 0,5\; ^\; \{3\},\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Г демонстрирует на сумму

$n\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; [n]\; z\; -\; n\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 0,5\; nz\; -\; n\; =\; n\; =\; 0\; \infty \; (0,5\; z)\; n\; =\; 1\; 1\; -\; 0,5\; z\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; [n]\; z\; ^\; \{-\; n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; 0,5\; ^\; \{\; n\}\; z\; ^\; \{-n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{0.5\}\; \{z\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 1-0.5z\; ^\; \{-1\}\}\}.\}$

Последнее равенство из бесконечного геометрического ряда, и равенство выполняется, только если | 0.5z | < 1 which can be rewritten in terms of z as |z|>0,5. Таким образом, ROC равенство | z |>0,5. В этом случае ROC - это комплексная плоскость с диском радиуса 0,5 в исходной точке, «вырубленным».

Пример 3 (антикаузальный ROC)

ROC показан синим цветом, единичный круг как пунктирный серый круг и круг | z | = 0,5 отображается пунктирным черным кружком

Пусть $x\; [n]\; =\; -\; (0,5)\; nu\; [-\; n\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [n]\; =\; -\; (0,5)\; ^\; \{n\; \}\; u\; [-n-1]\; \backslash \}$(где u - ступенчатая функция Хевисайда ). Раскладывая x [n] на интервале (−∞, ∞), получаем

$x\; [n]\; =\; \{\cdots ,\; -\; (0.5)\; -\; 3,\; -\; (0.5)\; -\; 2,\; -\; (0.5)\; -\; 1,\; 0,\; 0,\; 0,\; 0,\; \cdots \}.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [n]\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; cdots,\; -\; (0,5)\; ^\; \{-\; 3\},\; -\; (0,5)\; ^\; \{-\; 2\},\; -\; (0,5)\; ^\; \{-\; 1\},\; 0,0,0,\; 0,\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Г показывает сумму

$\sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; [n]\; z\; -\; n\; =\; -\; n\; =\; -\; \infty \; -\; 1\; 0,\; 5\; nz\; -\; n\; =\; -\; \sum \; m\; =\; 1\; \infty \; (z\; 0,5)\; m\; =\; -\; 0,5\; -\; 1\; z\; 1\; -\; 0,5\; -\; 1\; z\; =\; -\; 1\; 0,5\; z\; -\; 1\; -\; 1\; =\; 1\; 1\; -\; 0,\; 5\; z\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; [n]\; z\; ^\; \{-\; n\}\; =\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{-\; 1\; \}\; 0,5\; ^\; \{n\}\; z\; ^\; \{-\; n\}\; =\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{0.5\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{m\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{0.5\; ^\; \{-1\}\; z\}\; \{1-0.5\; ^\; \{-\; 1\}\; z\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{0.5z\; ^\; \{-\; 1\}\; -1\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{1-0.5z\; ^\; \{-1\}\}\}.\}$

Используя бесконечный геометрический ряд , опять же равенство выполняется, только если | 0.5z | < 1 which can be rewritten in terms of z as |z| < 0.5. Thus, the ROC is |z| < 0.5. In this case the ROC is a disc centered at the origin and of radius 0.5.

Что отличает этот пример от предыдущего, так это только ROC. Это сделано намеренно, чтобы обеспечить выполнение одного результата преобразования преобразования.

Вывод из примеров

Примеры 2 и 3 ясно показывают, что Z-преобразование X (z) для x [n] является уникальным тогда и только тогда, когда задается ROC. Создание графика полюс - ноль для причинно-следственного и антикаузального случая показывает, что ROC для любого случая не включает полюс, равный 0,5. Это распространяется на случаи с использованием полюсами: КР никогда не будет содержать полюсов.

В примере 2 причинная система дает ROC, который включает | z | = ∞, в то время как антикаузальная система в примере 3 дает ROC, который включает | z | = 0.

ROC показан синим кольцом 0,5 < |z| < 0.75

В системе с помощью полюсами можно иметь ROC, который не включает ни | z | = ∞ ни | z | = 0. ROC создает круговую полосу. Например,

$x\; [n]\; =\; 0,5\; nu\; [n]\; -\; 0,75\; nu\; [-\; n\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [n]\; =\; 0,5\; ^\; \{n\}\; u\; [n]\; -0,\; 75\; ^\; \{n\}\; u\; [-n-1]\}$

имеет полюса 0,5 и 0,75. ROC будет 0,5 < |z| < 0.75, which includes neither the origin nor infinity. Such a system is called a mixed-causality system as it contains a causal term (0.5)u[n] and an anticausal term −(0.75)u[−n−1].

. Стабильность системы также можно определить, зная только ROC. Если ОКР содержит единичную окружность (т.е. | z | = 1), то система устойчива. В указанной выше системе причинная система (пример 2) устойчива, поскольку | z |>0,5 содержит единичный круг.

Предположим, что нам предоставлено Z-преобразование системы без ROC (т.е. неоднозначное x [n]). Мы можем определить уникальный x [n] при условии, что нам нужно следующее:

• Стабильность
• Причинность

Для стабильности ROC должен содержать единичный круг. Если нам нужна причинная система, тогда ROC должен содержать бесконечность, функция будет системы правосторонней последовательностью. Если нам нужна антикаузальная система, тогда ROC должен содержать источник, функция системы будет левой последовательностью. Если нам нужна и стабильность, и причинность, все полюса системной функции должны находиться внутри единичного круга.

Затем можно найти уникальный x [n].

Свойства

Свойства z-преобразования

	Временная область	Z-домен	Доказательство	ROC
Нотация	$Икс\; [n]\; =\; Z\; -\; 1\; \{X\; (z)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [n]\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{Z\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; \{X\; (z)\; \backslash \}\}$	$X\; (z)\; =\; Z\; \{x\; [n]\}\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (z)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{Z\}\}\; \backslash \; \{x\; [n]\; \backslash \}\}$
Линейность	$a\; 1\; x\; 1\; [n]\; +\; a\; 2\; x\; 2\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; x\_\; \{1\}\; [n]\; +\; a\_\; \{2\}\; x\_\; \{2\}\; [n]\}$	$a\; 1\; X\; 1\; (z)\; +\; a\; 2\; Икс\; 2\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; X\_\; \{1\}\; (z)\; +\; a\_\; \{2\}\; X\_\; \{2\}\; (z)\}$	$X\; (z)\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; (a\; 1\; x\; 1\; (\; n)\; +\; a\; 2\; x\; 2\; (n))\; z\; -\; n\; =\; a\; 1\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; 1\; (n)\; z\; -\; n\; +\; a\; 2\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; 2\; (n)\; z\; -\; n\; знак\; равно\; a\; 1\; Икс\; 1\; (z)\; +\; a\; 2\; Икс\; 2\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; X\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (a\_\; \{1\}\; x\_\; \{1\}\; (n)\; +\; a\_\; \{2\}\; x\_\; \{2\}\; (n))\; z\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash \backslash \; =\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\_\; \{1\}\; (n)\; z\; ^\; \{-\; n\}\; +\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\_\; \{2\}\; (n)\; z\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash \backslash \; =\; a\_\; \{1\}\; X\_\; \{1\}\; (z)\; +\; a\_\; \{2\}\; X\_\; \{2\}\; (z)\; \backslash \; end\; \{al\; ign\}\}\}$	Содержит ROC 1 ∩ ROC 2
Расширение времени	$Икс\; К\; [N]\; =\; \{Икс\; [г],\; N\; =\; К\; р\; 0,\; N\; \notin \; KZ\; \{\backslash \; Displaystyle\; x\_\; \{K\}\; [n]\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; x\; [r],\; n\; =\; Kr\; \backslash \backslash \; 0,\; n\; \backslash \; notin\; K\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$ с $KZ:\; =\; \{К\; р:\; r\; \in \; Z\}\; \{\backslash \; Displaystyle\; K\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}:\; =\; \backslash \; \{Kr:\; r\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \}\}$	$X\; (z\; K)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (z\; ^\; \{K\})\}$	$XK\; (z)\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; K\; (n)\; z\; -\; n\; =\; \sum \; r\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; (r)\; z\; -\; r\; K\; =\; \sum \; r\; =\; -\; \infty \; \infty \; Икс\; (г)\; (z\; К)\; -\; р\; знак\; равно\; Икс\; (z\; К)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; X\_\; \{K\}\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\_\; \{K\}\; (n)\; z\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{r\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; (r)\; z\; ^\; \{-\; rK\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{r\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; (r)\; (z\; ^\; \{K\})\; ^\; \{-\; r\}\; \backslash \backslash \; =\; X\; (z\; ^\; \{K\})\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$	$R\; 1\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{K\}\}\}$
Прореживание	$x\; [K\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [Kn]\}$	$1\; K\; \sum \; p\; =\; 0\; K\; -\; 1\; Икс\; (Z\; 1\; К\; \cdot \; е\; -\; я\; 2\; \pi \; К\; п)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{K\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; 0\}\; ^\; \{K-1\}\; X\; \backslash \; left\; (z\; ^\; \{\; \backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{K\}\}\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{-\; i\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{K\}\}\; p\}\; \backslash \; right)\}$	ohio-state.edu или ee.ic. ac.uk
Задержка по времени	$x\; [n\; -\; k]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [nk]\}$ с $k>0\; \{\backslash \; displaystyle\; k>0\}$и	$z\; -\; К\; Икс\; (z)\; \{\backslash \; Displaystyle\; z\; ^\; \{-k\}\; X\; (z)\}$		ROC, кроме z = 0, если k>0, и z = ∞, если k < 0
опережение по времени	$x\; [n\; +\; k]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [n\; +\; k]\}$ с $k>0\; \{\backslash \; displaystyle\; k>0\}$	Двустороннее Z-преобразование: $zk\; X\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; ^\; \{k\}\; X\; (z)\}$Одностороннее Z-преобразование: $zk\; X\; (z)\; -\; zk\; \sum \; n\; =\; 0\; к\; -\; 1\; Икс\; [N]\; Z\; -\; N\; \{\backslash \; Displaystyle\; z\; ^\; \{k\}\; X\; (z)\; -z\; ^\; \{k\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{k-1\}\; x\; [n]\; z\; ^\; \{-\; n\}\}$
Первая разница в обратном направлении	$x\; [n]\; -\; x\; [n\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [n]\; -x\; [n-1]\}$ с x [n] = 0 для n <0	$(1\; -\; z\; -\; 1)\; X\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (1-z\; ^\; \{-\; 1\})\; X\; (z)\}$		Содержимое переситечения ROC X 1 (z) и z ≠ 0
Первое отличие вперед	$x\; [n\; +\; 1]\; -\; x\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [n\; +\; 1]\; -x\; [n]\}$	$(z\; -\; 1)\; X\; (\; z)\; -\; zx\; [0]\; \{\backslash \; displaystyle\; (z-1)\; X\; (z)\; -zx\; [0]\}$
Реверс времени	$x\; [-\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [-n]\}$	$Икс\; (z\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (z\; ^\; \{-\; 1\})\}$	$Z\; \{x\; (-\; n)\}\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; (-\; n)\; z\; -\; n\; =\; \sum \; m\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; (м)\; zm\; знак\; равно\; \sum \; м\; знак\; равно\; -\; \infty \; \infty \; Икс\; (м)\; (Z\; -\; 1)\; -\; м\; знак\; равно\; Икс\; (Z\; -\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{Z\}\; \}\; \backslash \; \{х\; (-n)\; \backslash \}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; (-n)\; z\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; (m)\; z\; ^\; \{m\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; (m)\; \{(z\; ^\; \{-\; 1\})\}\; ^\; \{-\; m\}\; \backslash \backslash \; =\; X\; (z\; ^\; \{-\; 1\})\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$
Масштабирование в z-области	$тревога\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{n\}\; x\; [n]\}$	$Икс\; (a\; -\; 1\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (a\; ^\; \{-\; 1\}\; z)\}$	$Z\; \{тревога\; [n]\}\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; тревога\; (n)\; z\; -\; N\; знак\; равно\; \sum \; N\; знак\; равно\; -\; \infty \; \infty \; Икс\; (N)\; (а\; -\; 1\; Z)\; -\; N\; знак\; равно\; Икс\; (а\; -\; 1\; Z)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{Z\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{a\; ^\; \{n\; \}\; x\; [n]\; \backslash \; right\; \backslash \}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\; ^\; \{n\}\; x\; (n)\; z\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; (n)\; (a\; ^\; \{-\; 1\}\; z)\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash \backslash \; =\; X\; (a\; ^\; \{-\; 1\}\; z)\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\}$
Комплексное спряжение	$x\; \ast \; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{*\}\; [n]\}$	$X\; \ast \; (z\; \ast )\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{*\}\; (z\; ^\; \{*\})\}$	$Z\; \{x\; \ast \; (n)\}\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; \ast \; (n)\; z\; -\; n\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; [x\; (n)\; (z\; \ast )\; -\; n]\; \ast \; =\; [\; \sum \; N\; =\; -\; \infty \; \infty \; Икс\; (N)\; (Z\; *)\; -\; N]\; *\; =\; Икс\; *\; (Z\; *)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{Z\}\}\; \backslash \; \{x\; ^\; \{*\}\; (п)\; \backslash \}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{*\}\; (n)\; z\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; [x\; (n)\; (z\; ^\; \{*\})\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash \; right]\; ^\; \{*\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\; \}\; x\; (n)\; (z\; ^\; \{*\})\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash \; right]\; ^\; \{*\}\; \backslash \backslash \; =\; X\; ^\; \{*\}\; (z\; ^\; \{*\})\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$
Вещественная часть	$Re\; \; \{x\; [n]\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; \backslash \; \{x\; [n]\; \backslash \}\}$	$1\; 2\; [X\; (z)\; +\; X\; \ast \; (z\; \ast )]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [X\; (z)\; +\; X\; ^\; \{*\}\; (z\; ^\; \{*\})\; \backslash \; right]\}$
Мнимая часть	$Im\; \; \{x\; [n]\; \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Im\}\; \backslash \; \{x\; [n]\; \backslash \}\}$	$1\; 2\; j\; [X\; (z)\; -\; X\; \ast \; (z\; \ast )]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2j\}\}\; \backslash \; left\; [X\; (z)\; -X\; ^\; \{*\}\; (z\; ^\; \{*\})\; \backslash \; right]\}$
Дифференциация	$nx\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; nx\; [n]\}$	$-\; zd\; X\; (z)\; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; -z\; \{\backslash \; frac\; \{dX\; (z)\}\; \{dz\}\}\}$	$Z\; \{nx\; (n)\}\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; nx\; (n)\; z\; -\; n\; =\; z\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; nx\; (n)\; z\; -\; n\; -\; 1\; =\; -\; z\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; Икс\; (\; N)\; (-\; NZ\; -\; N\; -\; 1)\; =\; -\; Z\; \sum \; N\; =\; -\; \infty \; \infty \; Икс\; (N)\; DDZ\; (Z\; -\; N)\; =\; -\; ZD\; X\; (Z)\; DZ\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; Z\}\}\; \backslash \; \{nx\; (n)\; \backslash \}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; nx\; (n)\; z\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash \backslash \; =\; z\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; nx\; (n)\; z\; ^\; \{-\; n-1\}\; \backslash \backslash \; =\; -\; z\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; (n)\; (-nz\; ^\; \{\; -\; n-1\})\; \backslash \backslash \; =\; -\; z\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; (n)\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dz\}\}\; (z\; ^\; \{-\; n\})\; \backslash \; \backslash \; =\; -\; z\; \{\backslash \; frac\; \{dX\; (z)\}\; \{dz\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$	ROC, если $X\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (z)\}$рационально; ROC, возможно, исключая границу, если $X\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (z)\}$иррационально
Свертка	$x\; 1\; [n]\; \ast \; x\; 2\; [n\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\; [n]\; *\; x\_\; \{2\}\; [n]\}$	$X\; 1\; (z)\; X\; 2\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\}\; (z)\; X\_\; \{2\}\; (z)\; \}$	$Z\; \{x\; 1\; (n)\; \ast \; x\; 2\; (n)\}\; =\; Z\; \{\sum \; l\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; 1\; (l)\; x\; 2\; (n\; -\; l)\}\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; [\sum \; l\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; 1\; (l)\; x\; 2\; (n\; -\; l)]\; z\; -\; n\; =\; \sum \; l\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; 1\; (l)\; [\sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; 2\; (n\; -\; l)\; z\; -\; n]\; Знак\; равно\; [\sum \; l\; =\; -\; \infty \; \infty \; Икс\; 1\; (L)\; Z\; -\; L]\; [\sum \; N\; =\; -\; \infty \; \infty \; Икс\; 2\; (N)\; Z\; -\; N]\; =\; Икс\; 1\; (Z)\; Икс\; 2\; (Z)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{Z\}\}\; \backslash \; \{x\_\; \{1\}\; (n)\; *\; x\_\; \{2\}\; (n)\; \backslash \}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{Z\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; sum\; \_\; \{l\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\_\; \{1\}\; (l)\; x\_\; \{2\}\; (nl)\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{l\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\_\; \{1\}\; (l)\; x\_\; \{2\}\; (nl)\; \backslash \; right]\; z\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{l\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\_\; \{1\}\; (l)\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\_\; \{2\}\; (nl)\; z\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; [\backslash \; сумма\; \_\; \{l\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\_\; \{1\}\; (l)\; z\; ^\; \{-\; l\}\; \backslash \; right]\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\_\; \{2\}\; (n)\; z\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; X\_\; \{1\}\; (z)\; X\_\; \{2\}\; (\; z)\; \backslash \; en\; d\; \{выровнено\}\}\}$	Содержит ROC 1 ∩ ROC 2
Взаимная корреляция	$rx\; 1,\; x\; 2\; =\; x\; 1\; \ast \; [-\; n]\; \ast \; x\; 2\; [n\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\}\}\; =\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{*\}\; [-\; n]\; *\; x\_\; \{2\}\; [n]\}$	$R\; x\; 1,\; x\; 2\; (z)\; =\; Икс\; 1\; *\; (1\; z\; *)\; Икс\; 2\; (z)\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\_\; \{x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\}\}\; (z)\; =\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{z\; ^\; \{*\}\}\})\; X\_\; \{2\}\; (z)\}$		Содержит пересечение ROC $X\; 1\; (1\; z\; \ast )\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\}\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{z\; ^\; \{*\; \}\}\})\}$и $Икс\; 2\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{2\}\; (z)\}$
Накопление	$\sum \; k\; =\; -\; \infty \; nx\; [k]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{к\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{n\}\; x\; [k]\}$	$1\; 1\; -\; z\; -\; 1\; X\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-z\; ^\; \{-\; 1\}\; \}\}\; X\; (z)\}$	$\sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; \sum \; k\; =\; -\; \infty \; nx\; [k]\; z\; -\; n\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; (x\; [n]\; +\; \cdots \; +\; x\; [-\; \infty ])\; z\; -\; N\; знак\; равно\; Икс\; [Z]\; (1\; +\; Z\; -\; 1\; +\; Z\; -\; 2\; +\; \cdots )\; знак\; равно\; Икс\; [Z]\; \sum \; J\; =\; 0\; \infty \; Z\; -\; J\; =\; X\; [Z]\; 1\; 1\; -\; Z\; -\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\; \backslash \; begin\; \{выровнено\}\; \backslash sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; i\; nfty\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{n\}\; x\; [k]\; z\; ^\; \{-\; n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\; \}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (x\; [n]\; +\; \backslash \; cdots\; +\; x\; [-\; \backslash \; infty])\; z\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash \backslash \; =\; X\; [z]\; \backslash \; left\; (1\; +\; z\; ^\; \{-\; 1\}\; +\; z\; ^\; \{-\; 2\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; X\; [z]\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; inf\; ty\}\; z\; ^\; \{-\; j\}\; \backslash \backslash \; =\; X\; [z]\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{1-z\; ^\; \{-\; 1\}\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$
Умножение	$x\; 1\; [n]\; Икс\; 2\; [N]\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\_\; \{1\}\; [N]\; X\_\; \{2\; \}\; [N]\}$	$1\; Дж\; 2\; \pi \; \oint \; CX\; 1\; (v)\; Икс\; 2\; (zv)\; v\; -\; 1\; dv\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{j2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; X\_\; \{\; 1\}\; (v)\; X\_\; \{2\}\; (\{\backslash \; tfrac\; \{z\}\; \{v\}\})\; v\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; v\}$		-

Теорема Парсеваля

$\sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; 1\; [n]\; Икс\; 2\; *\; [N]\; =\; 1\; J\; 2\; \pi \; \oint \; С\; \; Икс\; 1\; (v)\; Икс\; 2\; *\; (1\; v\; *)\; v\; -\; 1\; dv\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\_\; \{1\}\; [n]\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{*\}\; [n]\; \backslash \; quad\; =\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{j2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; X\_\; \{1\}\; (v)\; X\_\; \{2\}\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{v\; ^\; \{*\}\}\})\; v\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; v\}$

Теорема о начальном значении : Если x [n] причинно, то

$x\; [0]\; =\; lim\; z\; \to \; \infty \; X\; (z).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [0]\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{z\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; X\; (z).\}$

Теорема об окончательном значении : если полюса (z - 1) X (z) находятся внутри единичной окружности, то

$x\; [\infty ]\; =\; lim\; z\; \to \; 1\; (z\; -\; 1)\; X\; (z).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [\backslash \; infty]\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{z\; \backslash \; to\; 1\}\; (z-1)\; X\; (z).\}$

Таблица общих пар Z-преобразований

Здесь:

- это ступенчатая функция (или функция Хевисайда) и

$\delta :\; n\; \mapsto \; \delta \; [n]\; =\; \{1,\; n\; =\; 0\; 0,\; n\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta:\; n\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; delta\; [n]\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 1,\; n\; =\; 0\; \backslash \backslash \; 0,\; n\; \backslash \; neq\; 0\; \backslash \; end\; \{cases\}\; \}\}$

- это единичная импульсная функция с дискретным временем (см. дельта-функция Дирака, которая является версией с непрерывным временем). Две функции выбираются вместе, так что функция единичного шага представляет собой накопление (промежуточный итог) единичной импульсной функции.

	Сигнал, $x\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [n]\}$	Z-преобразование, $X\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (z)\}$	ROC
1	$\delta \; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; [n]\}$	1	все z
2	$\delta \; [n\; -\; n\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; [n-n\_\; \{0\}]\}$	$z\; -\; n\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; ^\; \{-\; n\_\; \{0\}\}\}$	$z\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; neq\; 0\}$
3	$u\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; [n]\; \backslash ,\}$	$1\; 1\; -\; z\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-z\; ^\; \{-\; 1\}\}\}\}$	$|\; z\; |>1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |>1\}$
4	$-\; и\; [-\; n\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; -u\; [-n-1]\}$	$1\; 1\; -\; z\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-z\; ^\; \{\; -\; 1\}\}\}\}$
5	$nu\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; nu\; [n]\}$	$z\; -\; 1\; (1\; -\; z\; -\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{z\; ^\; \{-\; 1\}\}\; \{(1-z\; ^\; \{-\; 1\})\; ^\; \{2\}\}\}\}$	$|\; z\; |>1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |>1\}$
6	$-\; nu\; -\; n\; -\; 1]\; \{display\; -nu\; [-n-1]\; \backslash ,\}$	$z\; -\; 1\; (1\; -\; z\; -\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{-\; 1\}\}\; \{(1\; -z\; ^\; \{-\; 1\})\; ^\; \{2\}\}\}\}$
7	$n\; 2\; u\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{2\}\; u\; [n]\}$	$z\; -\; 1\; (1\; +\; z\; -\; 1)\; (1\; -\; z\; -\; 1)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; z\; ^\; \{-\; 1\}\; (1\; +\; z\; ^\; \{-\; 1\})\}\; \{(1-z\; ^\; \{-\; 1\})\; ^\; \{3\}\}\}\}$	$|\; z\; |>1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |>1\; \backslash ,\}$
8	$-\; n\; 2\; u\; [-\; n\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; -n\; ^\; \{2\}\; u\; [-n-1]\; \backslash ,\}$	$z\; -\; 1\; (1\; +\; z\; -\; 1)\; (1\; -\; z\; -\; 1)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{-\; 1\}\; (1\; +\; z\; ^\; \{-\; 1\})\}\; \{(1-z\; ^\; \{-\; 1\})\; ^\; \{3\}\}\; \}\}$
9	$n\; 3\; u\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{3\}\; u\; [n]\}$	$z\; -\; 1\; (1\; +\; 4\; z\; -\; 1\; +\; z\; -\; 2)\; (1\; -\; z\; -\; 1)\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{-\; 1\}\; (1\; +\; 4z\; ^\; \{-\; 1\}\; +\; z\; ^\; \{-\; 2\})\}\; \{(1-z\; ^\; \{-1\})\; ^\; \{\; 4\}\}\}\}$	$|\; z\; |>1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |>1\; \backslash ,\}$
10	$-\; n\; 3\; u\; [-\; n\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; -n\; ^\; \{3\}\; u\; [-n\; -1]\}$	$z\; -\; 1\; (1\; +\; 4\; z\; -\; 1\; +\; z\; -\; 2)\; (1\; -\; z\; -\; 1)\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{-\; 1\}\; (1\; +\; 4z\; ^\; \{-\; 1\}\; +\; z\; ^\; \{-\; 2\})\}\; \{(1-z\; ^\; \{-\; 1\})\; ^\; \{4\}\}\}\}$
11	$anu\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{n\}\; u\; [n]\}$	$1\; 1\; -\; az\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-az\; ^\; \{-\; 1\}\}\}\}$	$|\; z\; |>|\; а\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |>|\; a\; |\}$
12	$-\; anu\; [-\; n\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; -a\; ^\; \{n\}\; u\; [-n-1]\}$	$1\; 1\; -\; az\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-az\; ^\; \{-\; 1\}\}\}\}$
13	$нану\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; na\; ^\; \{n\}\; u\; [n]\}$	$az\; -\; 1\; (1\; -\; az\; -\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{az\; ^\; \{-\; 1\}\}\; \{(1-az\; ^\; \{-\; 1\})\; ^\; \{2\}\}\}\}$	$|\; z\; |>|\; а\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |>|\; а\; |\}$
14	$-\; nanu\; [-\; n\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; -na\; ^\; \{n\}\; u\; [-n-1]\}$	$az\; -\; 1\; (1\; -\; az\; -\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{az\; ^\; \{-\; 1\}\}\; \{(\; 1-\; az\; ^\; \{-\; 1\})\; ^\; \{2\}\}\}\}$
15	$n\; 2\; ану\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{2\}\; a\; ^\; \{n\}\; u\; [n]\}$	$az\; -\; 1\; (1\; +\; az\; -\; 1)\; (1\; -\; az\; -\; 1)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{az\; ^\; \{-\; 1\}\; (1\; +\; az\; ^\; \{-\; 1\})\}\; \{(1-az\; ^\; \{-\; 1\})\; ^\; \{3\}\}\}\}$	$|\; z\; |>|\; а\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |>|\; a\; |\}$
16	$-\; n\; 2\; anu\; [-\; n\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; -n\; ^\; \{2\}\; a\; ^\; \{n\}\; u\; [-n-1]\}$	$az\; -\; 1\; (1\; +\; az\; -\; 1)\; (1\; -\; az\; -\; 1)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{az\; ^\; \{-\; 1\}\; (1\; +\; az\; ^\; \{-\; 1\})\}\; \{(1-az\; ^\; \{-\; 1\})\; ^\; \{3\}\}\}\}$
17	$(n\; +\; m\; -\; 1\; m\; -\; 1)\; anu\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{c\}\; n\; +\; m\; -1\; \backslash \backslash \; m-1\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; a\; ^\; \{n\; \}\; u\; [n]\}$	$1\; (1\; -\; az\; -\; 1)\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1\; -az\; ^\; \{-\; 1\})\; ^\; \{m\}\}\}\}$для положительного целого числа $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$	$|\; z\; |>|\; a\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |>|\; a\; |\}$
18	$(-\; 1)\; m\; (-\; n\; -\; 1\; m\; -\; 1)\; ану\; [-\; n\; -\; m]\; \{\backslash \; displaystyle\; (-1)\; ^\; \{m\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{c\}\; -n-1\; \backslash \backslash \; m-1\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; a\; ^\; \{n\}\; u\; [-nm]\}$	$1\; (1\; -\; az\; -\; 1)\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1-az\; ^\; \{-\; 1\})\; ^\; \{m\}\}\}\}$, для положительного целого числа $м\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$
19	$соз\; \; (\omega \; 0\; n)\; u\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; n)\; u\; [n]\}$	$1\; -\; z\; -\; 1\; cos\; \; (\omega \; 0)\; 1\; -\; 2\; z\; -\; 1\; соз\; \; (\omega \; 0)\; +\; z\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1-z\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\})\}\; \{1-2z\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\})\; +\; z\; ^\; \{-\; 2\}\}\}\}$	$|\; z\; |>1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |>1\}$
20	$грех\; \; (\omega \; 0\; n)\; u\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; n)\; u\; [n]\}$	$z\; -\; 1\; sin\; \; (\omega \; 0)\; 1-\; 2\; Z\; -\; 1\; соз\; \; (\omega \; 0)\; +\; Z\; -\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\})\}\; \{1-2z\; ^\; \{-1\}\; \backslash \; cos\; (\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\})\; +\; z\; ^\; \{-\; 2\}\}\}\}$	$|\; z\; |>1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |>1\}$
21	$cos\; \; (\omega \; 0\; n)\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; ^\; \{n\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; n)\; u\; [n]\}$	$1\; -\; az\; -\; 1\; cos\; \; (\omega \; 0)\; 1\; -\; 2\; az\; -\; 1\; cos\; \; (\omega \; 0)\; +\; a\; 2\; z\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1-az\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\})\}\; \{1-2az\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\})\; +\; a\; ^\; \{2\}\; z\; ^\; \{-\; 2\}\}\}\}$	$|\; z\; |>|\; а\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |>|\; a\; |\}$
22	$грех\; \; (\omega \; 0\; n)\; u\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{n\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; n)\; u\; [n]\}$	$az\; -\; 1\; грех\; \; (\omega \; 0)\; 1-2\; az\; -\; 1\; cos\; \; (\; \omega \; 0)\; +\; a\; 2\; z\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{az\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\})\}\; \{1-2az\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\; \})\; +\; a\; ^\; \{2\}\; z\; ^\; \{-\; 2\}\}\}\}$	$|\; z\; |>|\; a\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |>|\; a\; |\}$

Связь с Фурье преобразователя и рядом>

Для значений $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$в области $|\; z\; |\; =\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; |\; z\; |\; =\; 1\}$, известный как единичный круг, мы можем выразить преобразование как функцию единственной действительной переменной ω, определив $z\; =\; ej\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; e\; ^\; \{j\; \backslash \; омега\}\}$. Двустороннее преобразование сводится к ряду Фурье :

$\sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; [n]\; z\; -\; n\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; [n]\; e\; -\; j\; \omega \; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; [n]\; \backslash \; z\; ^\; \{-\; n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; [n]\; \backslash \; e\; ^\; \{-j\; \backslash \; omega\; n\; \},\}$

(уравнение 4)

, которое также известно как дискретное преобразование Фурье (DTFT) для $x\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [n]\}$последовательность. Эта 2π-периодическая функция представляет собой периодическое суммирование преобразование Фурье, что делает ее широко используемым инструментом анализа. Чтобы понять это, пусть $X\; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (f)\}$будет преобразованием Фурье любой функции, $x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\}$, чьи выборки в некотором интервале T равны x [n]. Тогда ДВПФ следовать x [n] можно записать следующим образом.

$n\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; (n\; T)\; x\; [n]\; e\; -\; j\; 2\; \pi \; f\; n\; T\; ⏟\; DTFT\; =\; 1\; T\; \sum \; k\; =\; -\; \infty \; \infty \; X\; (f\; -\; k\; /\; T).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; overbrace\; \{x\; (nT)\}\; ^\; \{x\; [n]\}\; \backslash \; e\; ^\; \{-\; j2\; \backslash \; pi\; fnT\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{DTFT\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; X\; (fk\; /\; T).\}$

(уравнение 5)

Когда T имеет измерения в секундах, $f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; f\}$имеет единицу измерения герц. Сравнение двух серий показывает, что $\omega \; =\; 2\; \pi \; f\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; omega\; =\; 2\; \backslash \; pi\; fT\}$- это нормализованная частота с единицами радиан на образце. Значение ω = 2π соответствует $f\; =\; 1\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; f\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}\}$Гц. А теперь с заменой $f\; =\; \omega \; 2\; \pi \; T,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; f\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\}\; \{2\; \backslash \; pi\; T\}\},\}$уравнение 4 можно выразить через преобразование Фурье: X (•) :

$\sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; [n]\; e\; -\; j\; \omega \; n\; =\; 1\; T\; \sum \; k\; =\; -\; \infty \; \infty \; X\; (\omega \; 2\; \pi \; T\; -\; k\; T)\; ⏟\; X\; (\omega \; -\; 2\; \pi \; k\; 2\; \pi \; T).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; [n]\; \backslash \; e\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; omega\; n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; underbrace\; \{X\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; omega\}\; \{2\; \backslash \; pi\; T\}\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{k\}\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{X\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; -2\; \backslash \; pi\; k\}\; \{2\; \backslash \; pi\; T\}\}\; \backslash \; right)\}.\}$

(уравнение 6)

При изменении членов T членов Уравнение 5 перемещаются дальше друг от друга или ближе друг к другу по оси f. Однако в Eq.6центры остаются на расстоянии 2π друг от друга, а их ширина расширяется или сжимается. Когда последовательность x (nT) представляет собой импульсную характеристику системы LTI, эти функции также известны как ее частотная характеристика. Когда последовательность $x\; (n\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (nT)\}$является периодической, ее DTFT расходуется на одной или нескольких частотах гармоник и ноль на всех других частотах. Это часто выражается в использовании вариативных амплитуд дельта функций Дирака на частотах гармоник. Из-за период существует только конечное число уникальных амплитуд, которые легко вычисляются с помощью гораздо более простого дискретного преобразования Фурье (DFT). (См. DTFT § Периодические данные.)

Связь с преобразованием Лапласа

Билинейное преобразование

Может Дизайн билинейное преобразование для преобразование фильтров с непрерывным временем (представленных в области Лапласа) в фильтры с дискретным временем (представленные в Z-области) и наоборот. Используется следующая замена:

$s\; =\; 2\; T\; (z\; -\; 1)\; (z\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{T\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{(z-1)\}\; \{(z\; +\; 1)\}\}\}$

для некоторой функции $H\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (s)\}$в области Лапласа в функции $H\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (\; z)\}$в Z-области (преобразование Тастина ) или

$z\; =\; es\; T\; \approx \; 1\; +\; s\; T\; /\; 2\; 1\; -\; s\; T\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; e\; ^\; \{sT\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; sT\; /\; 2\}\; \{1-sT\; /\; 2\}\}\}$

из Z-области в область Лапласа. Посредством билинейного преобразования комплексная s-плоскость (преобразования Лапласа) отображается в комплексную z-плоскость (z-преобразования). Хотя это отображение (обязательно) является нелинейным, оно полезно тем, что отображает всю ось $j\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; omega\}$s-плоскости на единичную окружность в z-плоскости. Таким образом, преобразование Фурье (которое представляет собой преобразование Лапласа, вычисляемое по оси $j\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; omega\}$) становится преобразованием Фурье с дискретным временем. Это предполагает, что преобразование Фурье существует; то есть ось $j\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; omega\}$находится в области сходимости преобразования Лапласа.

Преобразование, помеченное звездочкой

При заданном одностороннем Z-преобразовании X (z) функции с временной дискретизацией соответствующее преобразование со звездочкой производит преобразование Лапласа и восстанавливает зависимость от параметра выборки, T :

$X\; \ast \; (s)\; =\; X\; (z)\; |\; z\; =\; es\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bigg.\}\; X\; ^\; \{*\}\; (s)\; =\; X\; (z)\; \{\backslash \; bigg\; |\}\; \_\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; e\; ^\; \{sT\}\}\}$

Обратное преобразование Лапласа представляет собой математическую абстракцию, известную как функция с импульсной выборкой.

Линейное уравнение разности постоянных коэффициентов

Уравнение линейной разности постоянных коэффициентов (LCCD) представляет собой представление линейной системы на основе уравнения авторегрессионного скользящего среднего.

$\sum \; п\; знак\; равно\; 0\; N\; Y\; [N\; -\; п]\; \alpha \; п\; знак\; равно\; \sum \; Q\; знак\; равно\; 0\; M\; Икс\; [N\; -\; Q]\; \beta \; Q\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; 0\}\; ^\; \{N\}\; y\; [np]\; \backslash \; alpha\; \_\; \{p\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{q\; =\; 0\}\; ^\; \{M\}\; x\; [nq]\; \backslash \; beta\; \_\; \{q\}\}$

Обе части приведенного выше уравнения можно разделить на α 0, если оно не равно нулю, нормализуя α 0 = 1 и уравнение LCCD может быть записано

$y\; [n]\; =\; \sum \; q\; =\; 0\; M\; x\; [n\; -\; q]\; \beta \; q\; -\; \sum \; p\; =\; 1\; N\; y\; [n\; -\; p]\; \alpha \; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; [n]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{q\; =\; 0\}\; ^\; \{M\}\; x\; [nq]\; \backslash \; beta\; \_\; \{q\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; y\; [np]\; \backslash \; alpha\; \_\; \{p\}.\}$

Эта форма уравнения LCCD позволяет сделать более явным, что «текущий» выход y [n] является функцией прошлых выходов y [n-p], текущего входа x [n], и предыдущие входы x [n − q].

Передаточная функция

Выполнение Z-преобразования приведенного выше уравнения (с использованием законов линейности и сдвига по времени) дает

$Y\; (z)\; \sum \; p\; =\; 0\; N\; z\; -\; p\; \alpha \; p\; Знак\; равно\; Икс\; (z)\; \sum \; Q\; знак\; равно\; 0\; M\; Z\; -\; Q\; \beta \; Q\; \{\backslash \; Displaystyle\; Y\; (z)\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; 0\}\; ^\; \{N\}\; z\; ^\; \{-\; p\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{p\}\; =\; X\; (z)\; \backslash \; sum\; \_\; \{q\; =\; 0\}\; ^\; \{M\}\; z\; ^\; \{-\; q\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{q\}\}$

и перестановка результатов в

$H\; (z)\; =\; Y\; (z)\; X\; (z)\; =\; \sum \; q\; =\; 0\; M\; z\; -\; q\; \beta \; q\; \sum \; p\; =\; 0\; N\; z\; -\; p\; \alpha \; p\; =\; \beta \; 0\; +\; z\; -\; 1\; \beta \; 1\; +\; z\; -\; 2\; \beta \; 2\; +\; \cdots \; +\; z\; -\; M\; \beta \; M\; \alpha \; 0\; +\; z\; -\; 1\; \alpha \; 1\; +\; Z\; -\; 2\; \alpha \; 2\; +\; \cdots \; +\; Z\; -\; N\; \alpha \; N.\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Y\; (z)\}\; \{X\; (z)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{q\; =\; 0\}\; ^\; \{M\}\; z\; ^\; \{-\; q\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{q\}\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; 0\}\; ^\; \{N\}\; z\; ^\; \{-\; p\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{p\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\; \_\; \{0\}\; +\; z\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{1\}\; +\; z\; ^\; \{-\; 2\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; z\; ^\; \{-\; M\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{M\}\; \}\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{0\}\; +\; z\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; +\; z\; ^\; \{-\; 2\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; z\; ^\; \{-\; N\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{N\}\; \}\}.\}$

Нули и полюсы

Из основные теоремы алгебры числитель имеет M корней (соответ ствующих нулям H), а знаменатель имеет N корней (соответствующие к столбам). Переписав передаточную функцию в терминах нулей и полюсов

$H\; (z)\; =\; (1\; -\; q\; 1\; z\; -\; 1)\; (1\; -\; q\; 2\; z\; -\; 1)\; \cdots \; (1\; -\; q\; MZ\; -\; 1)\; (1\; -\; п\; 1\; Z\; -\; 1)\; (1\; -\; п\; 2\; Z\; -\; 1)\; \cdots \; (1\; -\; п\; NZ\; -\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(1-q\_\; \{1\}\; z\; ^\; \{-\; 1\})\; (1-q\_\; \{2\}\; z\; ^\; \{-\; 1\})\; \backslash \; cdots\; (1-q\_\; \{M\}\; z\; ^\; \{-\; 1\})\}\; \{(1-p\_\; \{1\}\; z\; ^\; \{-1\})\; (1-p\_\; \{2\}\; z\; ^\; \{-\; 1\})\; \backslash \; cdots\; (1-p\_\; \{N\}\; z\; ^\; \{-\; 1\})\}\}\}$

где q k - k-й ноль, а p k - k-й полюс. Нули и полюсы обычно являются сложными, и когда они нанесены на комплексную плоскость (z-плоскость), это называется графиком полюс - ноль.

Кроме того, могут существовать нули и полюсы в точках z = 0 и z = ∞. Мы примем во внимание эти полюса и нули, а также нули и полюсы многократного порядка, количество нулей и полюсов всегда будет одинаковым.

Разлагая знаменатель на множители, можно использовать разложение частичного дроби, которое затем может быть преобразовано обратно во временную область. Это приведет к появлению импульсной характеристики и линейного уравнения разности постоянных коэффициентов системы.

Выходной ответ

Если такая система H (z) управляется сигналом X (z), то на выходе будет Y (z) = H (z) X (z). Выполняя разложение частичной дроби на Y (z) и затем выполняя обратное Z-преобразование, можно найти выходной сигнал y [n]. На практике часто бывает полезно дробно разложить $Y\; (z)\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{Y\; (z)\}\; \{z\}\}\}$перед умножением этого количества на z, чтобы генерировать форму Y (z), которые имеют члены с легко вычислимыми обратными Z-преобразованиями.

См. Также

• Расширенное Z-преобразование
• Билинейное преобразование
• Разностное уравнение (рекуррентное соотношение)
• Дискретная свертка
• Дискретное преобразование Фурье
• Конечный импульсный ответ
• Формальный степенной ряд
• Производящая функция
• Преобразование производственной функции
• Преобразование Лапласа
• Ряд Лорана
• Функция создания вероятности
• Звездное преобразование
• Преобразование Зака ​​
• Дзета-функция регуляризация

Ссылки

Дополнительная литература

• Refaat El Attar, Lecture Notes on Z-Transform, Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 1-4116-1979-X.
• Огата, Кацухико, Системы управления дискретным временем, 2-е изд., Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 0-13-034281-5.
• Алан В. Оппенгейм и Рональд В. Шафер (1999). Обработка сигналов в дискретном времени, 2-е издание, Серия Prentice Hall Signal Processing. ISBN 0-13-754920-2.

Внешние ссылки

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Числовая инверсия Z-преобразования
• Таблица Z-преобразования некоторых распространенных преобразований Лапласа
• Запись Mathworld в Z-преобразовании
• Потоки Z-преобразования в Comp.DSP
• График взаимосвязи между Преобразованием Лапласа s-плоскость в Z- плоскость Z-преобразования
• Видеообъяснение Z-преобразования для инженеров
• Что такое z-преобразование?