Серия Пюизо

редактировать

Степенный ряд с рациональными показателями

В математике, Серия Пюизо являются обобщением степенного ряда, которое учитывает отрицательные и дробные показатели неопределенного T. Впервые они были введены Исааком Ньютоном в 1676 году и заново открыты Виктором Пюизо в 1850 году. Например, серия

T - 2 + 2 T - 1/2 + T 1 / 3 + 2 T 11/6 + T 8/3 + 2 T 25/6 + T 5 + 2 T 13/2 + ⋯ {\ displaystyle T ^ {- 2} + 2T ^ {- 1/2} + T ^ {1/3} + 2T ^ {11/6} + T ^ {8/3} + 2T ^ {25/6} + T ^ {5} + 2T ^ {13/2} + \ cdots}

{\ displaystyle T ^ {- 2} + 2T ^ {- 1/2} + T ^ {1 / 3} + 2T ^ {11/6} + T ^ {8/3} + 2T ^ {25/6} + T ^ {5} + 2T ^ {13/2} + \ cdots}

- это ряд Пюизо в Т.

теореме Пюизо, иногда также называемой теоремой Ньютона – Пюизо, утверждающей, что для данного полиномиального уравнения $P ( x, y) = 0 {\ displaystyle P (x, y) = 0}$ $P (x, y) = 0$ , его решения по y, рассматриваемые как функции от x, могут быть расширены как ряды Пюизо, которые сходятся в некоторой окрестности начала координат (за исключением 0 в случае решения, которое стремится к бесконечности в начале координат). Другими словами, каждая ветвь алгебраической кривой может быть локально (в терминах x) описана рядом Пюизо.

Множество рядов Пюизо над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 само по себе является алгебраически замкнутым полем, называемым полем серии Пюизо . Это алгебраическое замыкание поля серии Лорана. Это утверждение также упоминается как теорема Пюизо, будучи выражением исходной теоремы Пюизо на современном абстрактном языке. Ряды Пюизо обобщены с помощью серии Хана.

Содержание

1 Формальное определение
- 1.1 Оценка и порядок
- 1.2 Алгебраическая замкнутость ряда Пюизо
2 Разложение Пюизо алгебраических кривых и функций
- 2.1 Алгебраические кривые
- 2.2 Аналитическая сходимость
3 Обобщения
- 3.1 Поле Леви-Чивита
- 3.2 Ряд Хана
4 Примечания
5 См. Также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Формальное определение

Если K - это поле (например, комплексные числа ), то мы можем определить поле ряда Пюизо с коэффициентами в K неформально как набор выражений вида

f = ∑ k = k 0 + ∞ ck T k / n {\ displaystyle f = \ sum _ {k = k_ {0}} ^ {+ \ infty} c_ {k} T ^ {k / n}}

f = \ sum_ {k = k_0} ^ {+ \ infty} c_k T ^ {k / n}

, где $n {\ displaystyle n}$ $n$ - положительное целое число, а $k 0 {\ displaystyle k_ {0}}$ $k_ {0}$ - произвольное целое число. Другими словами, ряды Пюизо отличаются от ряда Лорана тем, что они допускают дробные показатели неопределенности, если эти дробные показатели имеют ограниченный знаменатель (здесь n). Как и в случае с рядами Лорана, ряды Пюизо допускают отрицательные показатели неопределенности, если эти отрицательные показатели ограничены снизу (здесь $k 0 {\ displaystyle k_ {0}}$ $k_ {0}$ ). Сложение и умножение соответствуют ожидаемым: например,

(T - 1 + 2 T - 1/2 + T 1/3 + ⋯) + (T - 5/4 - T - 1/2 + 2 + ⋯) Знак равно T - 5/4 + T - 1 + T - 1/2 + 2 + ⋯ {\ displaystyle (T ^ {- 1} + 2T ^ {- 1/2} + T ^ {1/3} + \ cdots) + (T ^ {- 5/4} -T ^ {- 1/2} +2+ \ cdots) = T ^ {- 5/4} + T ^ {- 1} + T ^ {- 1/2 } +2+ \ cdots}

{\ displaystyle (T ^ {- 1} + 2T ^ {- 1/2} + T ^ {1/3} + \ cdots) + (T ^ {- 5/4} -T ^ {- 1/2} +2 + \ cdots) = T ^ {- 5/4} + T ^ {- 1} + T ^ {- 1/2} +2+ \ cdots}

(T - 1 + 2 T - 1/2 + T 1/3 + ⋯) ⋅ (T - 5/4 - T - 1/2 + 2 + ⋯) Знак равно Т - 9/4 + 2 Т - 7/4 - Т - 3/2 + Т - 11/12 + 4 Т - 1/2 + ⋯ {\ Displaystyle (Т ^ {- 1} + 2T ^ {- 1/2} + T ^ {1/3} + \ cdots) \ cdot (T ^ {- 5/4} -T ^ {- 1/2} +2+ \ cdots) = T ^ {- 9/4 } + 2T ^ {- 7/4} -T ^ {- 3/2} + T ^ {- 11/12} + 4T ^ {- 1/2} + \ cdots}

{\ displaystyle (T ^ {- 1} + 2T ^ {- 1/2} + T ^ {1/3} + \ cdots) \ cdot (T ^ {- 5/4} -T ^ {- 1/2} +2+ \ cdots) = T ^ {- 9/4} + 2T ^ {- 7/4} -T ^ {- 3 / 2} + T ^ {- 11/12 } + 4T ^ {- 1/2} + \ cdots}

Их можно определить сначала «обновление» знаменателя показателей до некоторого общего знаменателя N, а затем выполнение операции в соответствующем поле формального ряда Лорана $T 1 / N {\ displaystyle T ^ {1 / N}}$ ${\ displaystyle T ^ {1 / N}}$ .

В другом словами, поле ряда Пюизо с коэффициентами в K представляет собой объединение полей $K ((T 1 / n)) {\ displaystyle K (\! (T ^ {1 / n}) \!)}$ $K (\! (T ^ {1 / n}) \!)$ (где n находится в пределах положительных целых чисел), где каждый элемент объединения является полем формального ряда Лорана в диапазоне $T 1 / n {\ displaystyle T ^ {1 / n}}$ $T ^ {1 / n}$ (рассматривается как неопределенный), и где каждое такое поле рассматривается как подполе из тех, у которых n больше, путем переписывания дробных показателей для использования большего знаменателя (так, например, $T 1/2 {\ displaystyle T ^ {1 / 2}}$ $T ^ {1/2}$ идентифицируется с $T 15/30 {\ displaystyle T ^ {15/30}}$ $T^{15/30}$ ).

Это дает формальное определение поля серии Пюизо: это прямой предел прямой системы, индексированный по ненулевым натуральным числам n, упорядоченным по делимости, все объекты которого равны $K ((T)) {\ displaystyle K (\! (T) \!)}$ $K (\! (T) \!)$ (поле формального ряда Лорана, которое мы перепишем как $K ((T n)) {\ displaystyle K (\! (T_ {n}) \!)}$ $K(\!(T_n)\!)$ для ясности) с морфизмом $K ((T m)) → K ((T n)) {\ displaystyle K (\! (T_ {m}) \!) \ к K (\! (T_ {n}) \!)}$ $K (\! (T_m) \!) \ В K (\! (T_n) \!)$ задано, когда m делит n на $T m ↦ (T n) n / m {\ displaystyle T_ {m} \ mapsto (T_ {n}) ^ {n / m}}$ $T_m \ mapsto (T_n) ^ {n / m}$ .

Оценка и порядок

Ряд Пюизо над полем K образуют -значное поле с группой значений $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ (рациональные ) : оценка $v (f) {\ displaystyle v (f)}$ $v(f)$ из ряда

f = ∑ k = k 0 + ∞ ck T k / n {\ displaystyle f = \ сумма _ {k = k_ {0}} ^ {+ \ infty} c_ {k} T ^ {k / n}}

f = \ sum_ {k = k_0} ^ {+ \ infty} c_k T ^ {k / n}

, как указано выше, определяется как наименьшее рациональное $k / n {\ displaystyle k / n}$ $k / n$ такой, что коэффициент $ck {\ displaystyle c_ {k}}$ $c_ {k}$ члена с показателем $k / n {\ displaystyle k / n}$ $k / n$ не равно нулю (с обычным соглашением, что оценка 0 равна + ∞). Рассматриваемый коэффициент $c k {\ displaystyle c_ {k}}$ $c_ {k}$ обычно называется коэффициентом оценки f.

Эта оценка, в свою очередь, определяет (инвариантное к переносу) расстояние (которое является ультраметрическим ), следовательно, топология в области Пюизо ряд, позволяя расстоянию от f до 0 быть $exp ⁡ (- v (f)) {\ displaystyle \ exp (-v (f))}$ $\ exp (-v (f))$ . Это апостериори оправдывает обозначение

f = ∑ k = k 0 + ∞ ck T k / n {\ displaystyle f = \ sum _ {k = k_ {0}} ^ {+ \ infty} c_ {k} T ^ {k / n}}

f = \ sum_ {k = k_0} ^ {+ \ infty} c_k T ^ {k / n}

, поскольку рассматриваемый ряд действительно сходится к f в поле рядов Пюизо (в отличие от рядов Хана, которые нельзя рассматривать как сходящиеся ряды).

Если базовое поле K упорядочено, то поле ряда Пюизо над K также естественно («лексикографически ») упорядочено следующим образом: ненулевое значение Ряд Пюизе f с 0 объявляется положительным, если его коэффициент оценки таков. По сути, это означает, что любая положительная рациональная степень неопределенного T становится положительной, но меньшей, чем любой положительный элемент в базовом поле K.

Если базовое поле K наделено оценкой w, тогда мы можем построить другую оценку на поле ряда Пюизо над K, позволив оценке $w ^ (f) {\ displaystyle {\ hat {w}} (f)}$ $\ hat w (f)$ быть $ω ⋅ v + вес (ck), {\ displaystyle \ omega \ cdot v + w (c_ {k}),}$ $\ omega \ cdot v + w (c_k),$ где $v = k / n {\ displaystyle v = k / n}$ $v = k / n$ - ранее определенная оценка ( $ck {\ displaystyle c_ {k}}$ $c_ {k}$ - первый ненулевой коэффициент), а ω - бесконечно большая (другими словами, группа значений из $w ^ {\ displaystyle {\ hat {w}}}$ $\ hat w$ равно $Q × Γ {\ displaystyle \ mathbb {Q} \ times \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ times \ Gamma}$ заказано лексикографически, где Γ - группа значений w). По сути, это означает, что ранее определенная оценка v корректируется на бесконечно малую сумму, чтобы учесть оценку w, заданную в базовом поле.

Алгебраическая замкнутость рядов Пюизо

Одно важное свойство рядов Пюизо выражается следующей теоремой, приписываемой Пюизо (для $K = C {\ displaystyle K = \ mathbb {C }}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {C}}$ ), но это подразумевается тем, что Ньютон использовал многоугольник Ньютона еще в 1671 году и поэтому известен либо как теорема Пюизо, либо как Ньютон– Теорема Пюизо:

Теорема : Если K - алгебраически замкнутое поле характеристики нуль, то поле рядов Пюизо над K является алгебраическим замыканием поля формальных рядов Лорана над K.

Грубо говоря, доказательство, по существу, проводится путем изучения многоугольника Ньютона уравнения и извлечения коэффициентов один за другим с использованием оценочной формы метода Ньютона. Если алгебраические уравнения могут быть решены алгоритмически в базовом поле K, то коэффициенты решений ряда Пюизо могут быть вычислены в любом заданном порядке.

Например, уравнение $X 2 - X = T - 1 {\ displaystyle X ^ {2} -X = T ^ {- 1}}$ $X ^ 2 - X = T ^ {- 1}$ имеет решения

Икс = Т - 1/2 + 1 2 + 1 8 Т 1/2 - 1 128 Т 3/2 + ⋯ {\ Displaystyle X = T ^ {- 1/2} + {\ frac {1} {2} } + {\ frac {1} {8}} T ^ {1/2} - {\ frac {1} {128}} T ^ {3/2} + \ cdots}

X = T ^ {- 1/2} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {8} T ^ {1/2} - \ frac {1} {128} T ^ {3/2} + \ cdots

X = - T - 1/2 + 1 2 - 1 8 T 1/2 + 1 128 T 3/2 + ⋯ {\ displaystyle X = -T ^ {- 1/2} + {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {8}} T ^ {1/2} + {\ frac {1} {128}} T ^ {3/2} + \ cdots}

X = -T ^ {- 1/2} + \ frac {1} {2} - \ frac {1} {8} T ^ {1/2} + \ frac {1} {128} T ^ {3/2} + \ cdots

(сразу проверяется первое несколько терминов, что сумма и произведение этих двух рядов равны 1 и $- T - 1 {\ displaystyle -T ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle -T ^ {- 1} }$ соответственно; это действительно, когда базовое поле K имеет характеристику отличается от 2).

Поскольку степени двойки в знаменателях коэффициентов из предыдущего примера могут заставить поверить, утверждение теоремы неверно в положительной характеристике. В примере уравнения Артина – Шрайера $X p - X = T - 1 {\ displaystyle X ^ {p} -X = T ^ {- 1}}$ $X ^ p - X = T ^ {- 1}$ показано это: рассуждения с оценками показывают, что X должен иметь оценку $- 1 p {\ displaystyle - {\ frac {1} {p}}}$ $- \ frac {1} {p}$ , и если мы перепишем его как $X = T - 1 / p + X 1 {\ displaystyle X = T ^ {- 1 / p} + X_ {1}}$ $X = T ^ {- 1 / p} + X_1$ , затем

X p = T - 1 + X 1 p, поэтому X 1 п - Икс 1 = Т - 1 / п {\ displaystyle X ^ {p} = T ^ {- 1} + {X_ {1}} ^ {p}, {\ text {so}} {X_ {1} } ^ {p} -X_ {1} = T ^ {- 1 / p}}

X ^ p = T ^ {- 1} + {X_1} ^ p, \ text {so} {X_1} ^ p - X_1 = T ^ {- 1 / p}

и аналогично показано, что $X 1 {\ displaystyle X_ {1}}$ $X_ {1}$ должен иметь оценку $- 1 p 2 {\ displaystyle - {\ frac {1} {p ^ {2}}}}$ $- \ frac {1} {p ^ 2}$ , и, продолжая таким образом, получаем ряд

T - 1 / p + Т - 1 / п 2 + Т - 1 / п 3 + ⋯; {\ displaystyle T ^ {- 1 / p} + T ^ {- 1 / p ^ {2}} + T ^ {- 1 / p ^ {3}} + \ cdots;}

{\ displaystyle T ^ {- 1 / p } + T ^ {- 1 / p ^ {2}} + T ^ {- 1 / p ^ {3}} + \ cdots;}

, поскольку в этой серии нет В смысле ряда Пюизо - поскольку показатели имеют неограниченные знаменатели - исходное уравнение не имеет решения. Однако такие уравнения Эйзенштейна, по сути, единственные, не имеющие решения, потому что, если K алгебраически замкнуто с характеристикой p>0, то поле рядов Пюизо над K является совершенным замыканием максимального аккуратно разветвленное расширение $K ((T)) {\ displaystyle K (\! (T) \!)}$ $K (\! (T) \!)$ .

Аналогично случаю алгебраического замыкания существует аналогичная теорема для вещественное замыкание : если K - вещественное замкнутое поле, то поле рядов Пюизо над K является действительным замыканием поля формальных рядов Лорана над K. (Отсюда следует первая теорема, поскольку любое алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики является единственным квадратичным расширением некоторого вещественно-замкнутого поля.)

Аналогичный результат существует и для p-адического замыкания : если K - p-адически замкнутое поле с относительно нормирования w, то поле рядов Пюизо над K также p-адически замкнуто.

Разложение Пюизо алгебраических кривых и функций

Алгебра ic кривые

Пусть X будет алгебраической кривой, заданной аффинным уравнением $F (x, y) = 0 {\ displaystyle F (x, y) = 0}$ $F (x, y) = 0$ над алгебраически замкнутым полем K характеристики нуль и рассмотрим точку p на X, которую мы можем считать равной (0,0). Мы также предполагаем, что X не является координатной осью x = 0. Тогда разложение Пюизо (координаты y) X в точке p является рядом Пюизо f, имеющим положительное значение, такое, что $F (x, f (x)) = 0 {\ displaystyle F (x, f (x)) = 0}$ $F(x,f(x))=0$ .

Точнее, давайте определим ветви X в p как точки q нормализации Y X, которые сопоставить с p. Для каждого такого q существует локальная координата t точки Y в точке q (которая является гладкой точкой) такая, что координаты x и y могут быть выражены в виде формальных степенных рядов t, скажем $x = tn + ⋯ {\ displaystyle x = t ^ {n} + \ cdots}$ $x = t ^ n + \ cdots$ (поскольку K алгебраически замкнут, мы можем принять коэффициент оценки равным 1) и $y = ctk + ⋯ {\ displaystyle y = ct ^ {k} + \ cdots}$ $y = ct ^ k + \ cdots$ : тогда существует уникальная серия Пюизо вида $f = c T k / n + ⋯ {\ displaystyle f = cT ^ {k / n} + \ cdots}$ $f = c T ^ {k / n} + \ cdots$ (степенной ряд в $T 1 / n {\ displaystyle T ^ {1 / n}}$ $T ^ {1 / n}$ ), такой что $y (t) = f (x (t)) {\ displaystyle y (t) = f (x (t))}$ $y (t) = f (x (t))$ (последнее выражение имеет смысл, поскольку $x (t) 1 / n = t + ⋯ {\ displaystyle x (t) ^ {1 / n} = t + \ cdots}$ $x (t) ^ {1 / n} = t + \ cdots$ - хорошо определенный степенной ряд по t). Это расширение Пюизо X в точке p, которое, как говорят, связано с ветвью, заданной q (или просто расширением Пюизо этой ветви X), и каждое разложение Пюизо X в точке p дается таким образом для уникальная ветвь X на стр.

Это существование формальной параметризации ветвей алгебраической кривой или функции также называется теоремой Пюизо: она, возможно, имеет то же математическое содержание, что и тот факт, что поле Ряд Пюизо является алгебраически замкнутым и исторически более точным описанием первоначального утверждения автора.

Например, кривая $y 2 = x 3 + x 2 {\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + x ^ {2}}$ $y ^ 2 = x ^ 3 + x ^ 2$ (чья нормализация - это линия с координатой t и карта $t ↦ (t 2 - 1, t 3 - t) {\ displaystyle t \ mapsto (t ^ {2} -1, t ^ {3} -t)}$ $t \ mapsto (t ^ 2-1, t ^ 3- t)$ ) имеет две ветви в двойной точке (0,0), соответствующие точкам t = +1 и t = - 1 по нормализации, разложения Пюизо которого имеют вид $y = x + 1 2 x 2 - 1 8 x 3 + ⋯ { \ displaystyle y = x + {\ frac {1} {2}} x ^ {2} - {\ frac {1} {8}} x ^ {3} + \ cdots}$ $y = x + \ frac {1} {2} x ^ 2 - \ frac {1} {8} x ^ 3 + \ cdots$ и $y = - x - 1 2 x 2 + 1 8 x 3 + ⋯ {\ displaystyle y = -x - {\ frac {1} {2}} x ^ {2} + {\ frac {1} {8}} x ^ {3} + \ cdots}$ $y = - x - \ frac {1} {2} x ^ 2 + \ frac {1 } {8} x ^ 3 + \ cdots$ соответственно (здесь оба являются степенными рядами, потому что координата x равна étale в соответствующих точках нормализации). В гладкой точке (−1,0) (которая равна t = 0 в нормировке) она имеет единственную ветвь, заданную разложением Пюизо $y = - (x + 1) 1/2 + (x + 1) 3/2 {\ displaystyle y = - (x + 1) ^ {1/2} + (x + 1) ^ {3/2}}$ $y = - (x + 1) ^ {1/2} + (x + 1) ^ {3/2}$ (координата x в этой точке разветвляется, так что это не степенной ряд).

Кривая $y 2 = x 3 {\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3}}$ $y ^ 2 = x ^ 3$ (нормализация которой снова представляет собой линию с координатой t и map $t ↦ (t 2, t 3) {\ displaystyle t \ mapsto (t ^ {2}, t ^ {3})}$ $t \ mapsto (t ^ 2, t ^ 3)$ ), с другой стороны, имеет единственную ветвь в точка возврата (0,0), для которой расширение Пюизе равно $y = x 3/2 {\ displaystyle y = x ^ {3/2}}$ $y = x ^ {3/2}$ .

Аналитическая сходимость

Когда $K = C {\ displaystyle K = \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {C}}$ - это поле комплексных чисел, расширение Пюизо алгебраической кривой (как определено выше) является сходящейся в том смысле, что для данного выбора корня n-й степени из x они сходятся при достаточно малых $| х | {\ displaystyle | x |}$ $|x|$ , следовательно, определим аналитическую параметризацию каждой ветви X в окрестности p (точнее, параметризация выполняется корнем n-й степени из x).

Обобщения

Поле Леви-Чивита

Поле серии Пюизо не завершено как метрическое пространство. Его завершение, называемое полем Леви-Чивиты, можно описать следующим образом: это поле формальных выражений вида $f = ∑ ece T e, {\ displaystyle f = \ sum _ {e} c_ {e} T ^ {e},}$ ${\ displaystyle f = \ sum _ {e} c_ {e} T ^ {e},}$ где носитель коэффициентов (то есть набор e таких, что $ce ≠ 0 {\ displaystyle c_ {e} \ neq 0}$ $c_e \ neq 0$ ) - это диапазон возрастающей последовательности рациональных чисел, которая либо конечна, либо стремится к + ∞. Другими словами, такие ряды допускают экспоненты с неограниченными знаменателями при условии, что существует конечное число членов с показателем степени меньше A для любой данной границы A. Например, $∑ k = 1 + ∞ T k + 1 k {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} T ^ {k + {\ frac {1} {k}}}}$ $\ sum_ {k = 1} ^ {+ \ infty} T ^ {к + \ гидроразрыва {1} {k}}$ не является рядом Пюизо, но является пределом Последовательность Коши из серии Пюизо; в частности, это предел $∑ k = 1 NT k + 1 k {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} T ^ {k + {\ frac {1} {k}}} }$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} T ^ {k + {\ frac {1} {k}}}}$ как $N → + ∞ {\ displaystyle N \ to + \ infty}$ ${\ displaystyle N \ to + \ infty}$ . Однако даже это завершение все еще не является «максимально полным» в том смысле, что оно допускает нетривиальные расширения, которые представляют собой поля со значениями, имеющие одинаковую группу значений и поле вычетов, следовательно, возможность его завершения еще больше.

Ряды Хана

Ряды Хана представляют собой дальнейшее (большее) обобщение рядов Пюизо, введенных Гансом Ганом в ходе доказательства его теоремы вложения в 1907 году, а затем изучал его в своем подходе к семнадцатой проблеме Гильберта. В ряду Хана, вместо того чтобы требовать, чтобы показатели имели ограниченный знаменатель, они должны формировать хорошо упорядоченное подмножество группы значений (обычно $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ или $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ ). Позже они были обобщены Анатолием Мальцевым и Бернхардом Нейманом на некоммутативную ситуацию (поэтому они иногда называются рядами Хана – Мальцева – Неймана). Используя ряды Хана, можно дать описание алгебраического замыкания поля степенного ряда в положительной характеристике, которое в некоторой степени аналогично полю ряда Пюизо.

Примечания

^Newton (1960)
^ Пюизо (1850, 1851)
^Ньютон (1736)
^ ср. Кедлая (2001), введение
^ср. Эйзенбуд (1995), следствие 13.15 (стр. 295)
^Basu al (2006), глава 2 («Действительные замкнутые поля»), теорема 2.91 (стр. 75)
^Черлин (1976), глава 2 (« Принцип переноса Акс-Кохена-Эршофа »), §7 (« Поля ряда Пюизо »)
^Мы предполагаем, что X неприводимо или, по крайней мере, что оно приведено и не содержит ось координат y.
^Шафаревич (1994), II.5, стр. 133–135
^Каткоски (2004), глава 2, стр. 3–11
^Пюизо (1850), стр. 397
^Пунен, Бьорн (1993). «Максимально полные поля». Enseign. Математика. 39 : 87–106. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
^Каплански, Ирвинг (1942). «Максимальные поля с оценками». Duke Math. J. <184)>9 : 303–321. doi : 10.1215 / s0012-7094-42-00922-0. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
^Kedlaya (2001)

См. Также

Ссылки

Basu, Saugata; Pollack, Richard; Roy, Marie-Françoise (2006). Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии. Алгоритмы и вычисления в математике 10 (2-е изд.). Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 3-540-33099-2. ISBN 978-3-540-33098-1.
Черлин, Грег (1976). Теоретическая модель Алгебра Избранные темы. Конспект лекций по математике 521. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-07696-4.
Каткоски, Стивен Дейл ( 2004). Разрешение сингулярностей. Аспирантура по математике 63. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3555-6.
Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии. Тексты для выпускников по математике 150. Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-94269-6.
Кедлая, Киран Шридхара (2001). «Алгебраическое замыкание поля степенного ряда в положительной характеристике». Proc. Амер. Математика. Soc. 129 : 3461–3470. doi : 10.1090 / S0002-9939-01-06001-4. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Ньютон, Исаак ( 1736) [1671], Метод флюксий и бесконечных рядов; с его применением к геометрии кривых-линий, переведено Колсоном, Джоном, Лондон: Генри Вудфолл, стр. 378 (Перевод с латинского)
Ньютон, Исаак (1960). «Письмо в Ольденбург от 24 октября 1676 года». Переписка Исаака Ньютона. II. Издательство Кембриджского университета. 126–127. ISBN 0-521-08722-8. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Puiseux, Виктор Александр (1850). "Recherches sur les fonctions algébriques" (PDF). J. Math. Pures Appl. 15 : 365–480. CS1 maint : ref = harv (ссылка )
Пюизо, Виктор Александр (1851). «Новые исследования в области альгебриков» (PDF). J. Math. Pures Appl. 16 : 228–240. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Шафаревич, Игорь Ростиславович (1994). Basic A алгебраическая геометрия (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-54812-2.
(1978). Алгебраические кривые (PDF) (Переиздание). Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-90361-5.

Внешние ссылки