Последовательность Коши

редактировать
Последовательность точек, которые постепенно приближаются друг к другу (a) График последовательности Коши (xn), {\ displaystyle (x_ {n}),}(x_{n}),показано синим цветом, как xn {\ displaystyle x_ {n}}x_ {n} вместо п {\ displaystyle n}n . Если пространство, содержащее последовательность, заполнено, «конечный пункт назначения» этой последовательности (то есть предел) существует. (b) Последовательность, которая не является Коши. Элементы последовательности не могут быть сколь угодно близко друг к другу по мере развития последовательности.

В математике, последовательность Коши (французский произношение: ; английский: ), названный в честь Августина -Louis Cauchy - последовательность , элементы которой становятся произвольно близкими друг к другу по мере продвижения последовательности. Точнее, при любом небольшом положительном расстоянии все элементы последовательности, кроме конечного, меньше указанного расстояния друг от друга.

Недостаточно, чтобы каждый член произвольно приближался к предыдущему. Например, в последовательности квадратных корней натуральных чисел:

an = n, {\ displaystyle a_ {n} = {\ sqrt {n}},}{\ displaystyle a_ {n } = {\ sqrt {n}},}

последовательные члены становятся произвольно близкими друг к другу:

an + 1 - an = n + 1 - n = 1 n + 1 + n < 1 2 n. {\displaystyle a_{n+1}-a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}={\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}<{\frac {1}{2{\sqrt {n}}}}.}{\ displaystyle a_ {n + 1} -a_ {n} = {\ sqrt {n + 1}} - {\ sqrt {n}} = {\ frac {1} {{\ sqrt {n + 1}} + {\ sqrt {n}}}} <{\ frac {1 } {2 {\ sqrt {n}}}}.}

Однако с ростом значений индекса n члены a n становятся сколь угодно большими. Таким образом, для любого индекса n и расстояния d существует достаточно большой индекс m, такой что a m - a n>d. (На самом деле достаточно любого m>(√n + d).) В результате, несмотря на то, как далеко можно зайти, оставшиеся члены последовательности никогда не сближаются, следовательно, последовательность не является Коши.

Полезность последовательностей Коши заключается в том, что в полном метрическом пространстве (где все такие последовательности, как известно, сходятся к пределу ), критерий для сходимость зависит только от условий самой последовательности, в отличие от определения сходимости, которое использует предельное значение, а также термины. Это часто используется в алгоритмах , как теоретических, так и прикладных, где итерационный процесс может быть относительно легко продемонстрирован для создания последовательности Коши, состоящей из итераций, таким образом выполняя логическое условие, например, прекращение.

Обобщения последовательностей Коши в более абстрактных однородных пространствах существуют в форме фильтров Коши и сетей Коши.

Содержание

  • 1 В реальном числа
    • 1.1 Модуль сходимости Коши
  • 2 В метрическом пространстве
  • 3 Полнота
    • 3.1 Примеры
    • 3.2 Не пример: рациональные числа
    • 3.3 Не пример: открытый интервал
    • 3.4 Другие свойства
  • 4 Обобщения
    • 4.1 В топологических векторных пространствах
    • 4.2 В топологических группах
    • 4.3 В группах
    • 4.4 В гиперреальном континууме
    • 4.5 Пополнение Коши категорий
  • 5 См. также
  • 6 Ссылки
  • 7 Дополнительная литература
  • 8 Внешние ссылки

В вещественных числах

Последовательность

x 1, x 2, x 3,… {\ displaystyle x_ { 1}, x_ {2}, x_ {3}, \ ldots}x_1, x_2, x_3, \ ldots

действительных чисел называется последовательностью Коши, если для каждого положительного действительного числа ε существует положительное целое число N такое, что для всех натуральных чисел m, n>N

| х м - х п | < ε, {\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<\varepsilon,}| x_m - x_n | <\ varepsilon,

, где вертикальные полосы обозначают абсолютное значение. Аналогичным образом можно определить последовательности Коши рациональных или комплексных чисел. Коши сформулировал такое условие, потребовав, чтобы x m - x n {\ displaystyle x_ {m} -x_ {n}}x_m - x_n был бесконечно малым для каждой пары бесконечных m, n.

Для любого действительного числа r последовательность усеченных десятичных разложений r образует последовательность Коши. Например, когда r = π, эта последовательность равна (3, 3.1, 3.14, 3.141,...). M-й и n-й члены различаются не более чем на 10, когда m < n, and as m grows this becomes smaller than any fixed positive number ε.

Модуль сходимости Коши

Если (x 1, x 2, x 3,...) {\ displaystyle ( x_ {1}, x_ {2}, x_ {3},...)}(x_1, x_2, x_3,...) - последовательность в наборе X {\ displaystyle X}X , затем модуль сходимости Коши для последовательности - это функция α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha из набора натуральных чисел к самой себе, такая, что ∀ k ∀ m, n>α (k), | х м - х п | < 1 / k {\displaystyle \forall k\forall m,n>\ alpha (k), | x_ {m} -x_ {n} | <1/k}\forall k \forall m, n>\ alpha (k), | x_m - x_n | < 1/k.

Любая последовательность с модулем сходимости Коши является последовательностью Коши. Существование модуля для последовательности Коши следует из свойства упорядоченности натуральных чисел (пусть α (k) {\ displaystyle \ alpha (k)}\ alpha (k) быть наименьшим возможным N {\ displaystyle N}N в определении последовательности Коши, принимая r {\ displaystyle r}r как 1 / k {\ displaystyle 1 / k}1 / k ). Существование модуля также следует из принципа зависимого выбора, который является слабой формой аксиомы выбора, а также следует из еще более слабого условия, называемого AC 00. Регулярные последовательности Коши - это последовательности с заданным модулем сходимости Коши (обычно α (k) = k {\ displaystyle \ alpha (k) = k}\ alpha (k) = к или α (k) = 2 к {\ displaystyle \ alpha (k) = 2 ^ {k}}\ альфа (k) = 2 ^ k ). Любая последовательность Коши с модулем сходимости Коши эквивалентна регулярной последовательности Коши; это может быть доказано без использования какой-либо аксиомы выбора.

Модули сходимости Коши используются конструктивными математиками, которые не хотят использовать какую-либо форму выбора. Использование модуля сходимости Коши может упростить как определения, так и теоремы конструктивного анализа. Регулярные последовательности Коши были использованы Эрреттом Бишопом в его Основах конструктивного анализа и в неконструктивном учебнике (ISBN 978-0- 387-98239-7 ).

В метрическом пространстве

Поскольку определение последовательности Коши включает только метрические концепции, его легко обобщить на любое метрическое пространство X. Для этого абсолютное значение | x m - x n | заменяется расстоянием d (x m, x n) (где d обозначает метрику ) между x m и x n.

Формально, учитывая метрическое пространство (X, d), последовательность

x1, x 2, x 3,...

является Коши, если для каждого положительного действительного числа ε>0 существует положительное целое N такое, что для всех натуральных чисел m, n>N расстояние

d (x m, x n) < ε.

Грубо говоря, члены последовательности становятся все ближе и ближе друг к другу, что предполагает, что последовательность должна иметь предел в X. Тем не менее, такой предел не всегда существует внутри X: свойство пространства, состоящее в том, что каждая последовательность Коши сходится в пространстве, называется полнотой и подробно описано ниже.

Полнота

Метрическое пространство (X, d), в котором каждая последовательность Коши сходится к элементу X, называется завершенной.

Примеры

вещественные числа полны под метрикой, индуцированной обычным абсолютным va lue, и одна из стандартных конструкций действительных чисел включает последовательности Коши рациональных чисел. В этой конструкции каждый класс эквивалентности последовательностей Коши рациональных чисел с определенным поведением хвоста, то есть каждый класс последовательностей, которые сколь угодно близки друг к другу, является действительным числом.

Довольно другой тип примера представляет собой метрическое пространство X, которое имеет дискретную метрику (где любые две различные точки находятся на расстоянии 1 друг от друга). Любая последовательность Коши элементов X должна быть постоянной за пределами некоторой фиксированной точки и сходиться к повторяющемуся члену.

Не пример: рациональные числа

рациональные числа Qне являются полными (для обычного расстояния):. Есть последовательности рациональных чисел, которые сходятся (в R ) на иррациональные числа ; это последовательности Коши, не имеющие ограничений в Q . Фактически, если действительное число x иррационально, то последовательность (x n), n-й член которой является усечением до n десятичных знаков десятичного разложения x, дает последовательность Коши рациональных числа с иррациональным пределом x. Иррациональные числа определенно существуют в R, например:

  • Последовательность, определенная как x 0 = 1, xn + 1 = xn + 2 xn 2 {\ displaystyle x_ {0} = 1, x_ {n + 1} = {\ frac {x_ {n} + {\ frac {2} {x_ {n}}}} {2}}}x_0 = 1, x_ {n + 1} = \ frac {x_n + \ frac {2} {x_n}} {2} состоит из рациональных чисел (1, 3 / 2, 17/12,...), что ясно из определения; однако он сходится к иррациональному квадратному корню из двух, см. вавилонский метод вычисления квадратного корня.
  • Последовательность xn = F n / F n - 1 {\ displaystyle x_ {n } = F_ {n} / F_ ​​{n-1}}{\ displaystyle x_ {n} = F_ {n} / F_ ​​{n-1}} отношений последовательных чисел Фибоначчи, которые, если они вообще сходятся, сходятся к пределу ϕ {\ displaystyle \ phi}\ phi , удовлетворяющий ϕ 2 = ϕ + 1 {\ displaystyle \ phi ^ {2} = \ phi +1}\ phi ^ 2 = \ phi + 1 , и ни одно рациональное число не обладает этим свойством. Однако, если рассматривать это как последовательность действительных чисел, она сходится к действительному числу φ = (1 + 5) / 2 {\ displaystyle \ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2 }\ varphi = (1+ \ sqrt5) / 2 , Золотое сечение, которое является иррациональным.
  • Значения экспоненциальных, синусоидальных и косинусных функций, exp (x), sin (x), cos (x), как известно, являются иррациональными для любого рационального значения x ≠ 0, но каждое из них можно определить как предел рациональной последовательности Коши, используя, например, ряд Маклорена.

Не пример: открытый интервал

Открытый интервал X = (0, 2) {\ displaystyle X = (0,2)}{\ displaystyle X = (0,2)} в множестве действительных чисел с обычным расстоянием в R не является полным пробелом: в нем есть последовательность xn = 1 / n {\ displaystyle x_ {n} = 1 / n}{\ displaystyle x_ {n} = 1 / n} , которая является Коши (для произвольно малое расстояние d>0 {\ displaystyle d>0}{\displaystyle d>0} все термины xn {\ displaystyle x_ {n}}x_n из n>1 / d {\ displaystyle n>1 / d}{\displaystyle n>1 / d} вписывается в ( 0, d) {\ displaystyle (0, d)}{\ displaystyle (0, d)} interval), однако не сходится в X {\ displaystyle X}X - его 'limit', number 0 {\ displaystyle 0}{\ displaystyle 0} , не принадлежит пространству X {\ displaystyle X}X .

Другие свойства

  • Каждая сходящаяся последовательность (скажем, с пределом s) является Последовательность Коши, поскольку для любого действительного числа ε>0 за пределами некоторой фиксированной точки каждый член последовательности находится на расстоянии ε / 2 от s, поэтому любые два члена последовательности находятся на расстоянии ε друг от друга.
  • В любом метрическом пространстве последовательность Коши x n является ограниченной (поскольку для некоторого N все члены последовательности, начиная с N-го, находятся на расстоянии 1 от каждого другое, и если M - наибольшее расстояние ce между x N и любыми членами до N-го, тогда ни один член последовательности не имеет расстояния больше M + 1 от x N).
  • В любом метрическом пространстве последовательность Коши, которая имеет сходящуюся подпоследовательность с пределом s сама сходится (с тем же пределом), поскольку для любого действительного числа r>0, за пределами некоторой фиксированной точки в исходной последовательности, каждый член подпоследовательности находится на расстоянии r / 2 от s, а любые два члены исходной последовательности находятся на расстоянии r / 2 друг от друга, поэтому каждый член исходной последовательности находится на расстоянии r от s.

Эти последние два свойства вместе с теоремой Больцано – Вейерштрасса, дают одно стандартное доказательство полноты действительных чисел, тесно связанное как с теоремой Больцано – Вейерштрасса, так и с теоремой Гейне – Бореля. Каждая последовательность Коши действительных чисел ограничена, следовательно, согласно Больцано-Вейерштрассу имеет сходящуюся подпоследовательность, следовательно, сама сходится. Это доказательство полноты действительных чисел неявно использует аксиому наименьшей верхней границы. Упомянутый выше альтернативный подход к построению действительных чисел как завершение рациональных чисел делает полноту действительных чисел тавтологической.

Одна из стандартных иллюстраций преимущества возможности работать с последовательностями Коши и использования полноты обеспечивается рассмотрением суммирования бесконечной серии действительных чисел (или, в более общем смысле, из элементов любого полного линейного нормированного пространства или банахова пространства ). Такой ряд ∑ n = 1 ∞ xn {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} x_ {n}}\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} x_ {n} считается сходящимся тогда и только тогда, когда последовательность из частичных сумм (sm) {\ displaystyle (s_ {m})}(s_ {m}) сходится, где sm = ∑ n = 1 mxn {\ displaystyle s_ { m} = \ sum _ {n = 1} ^ {m} x_ {n}}s_ {m} = \ sum_ {n = 1} ^ {m} x_ {n} . Определение того, является ли последовательность частичных сумм последовательностью Коши или нет, является обычным делом, поскольку для натуральных чисел p>q

s p - s q = ∑ n = q + 1 p x n. {\ displaystyle s_ {p} -s_ {q} = \ sum _ {n = q + 1} ^ {p} x_ {n}.}s_ {p} - s_ {q} = \ sum_ {n = q + 1} ^ {p} x_ {n}.

Если f: M → N {\ displaystyle f \ двоеточие M \ rightarrow N}f \ двоеточие M \ rightarrow N - это равномерно непрерывное отображение между метрическими пространствами M и N, а (x n) - последовательность Коши в M, тогда (f (xn)) {\ displaystyle (f (x_ {n}))}(f (x_n)) - последовательность Коши в N. Если (xn) {\ displaystyle (x_ {n}) }(x_ {n}) и (yn) {\ displaystyle (y_ {n})}(y_n) - две последовательности Коши в рациональных, действительных или комплексных числах, тогда сумма ( xn + yn) {\ displaystyle (x_ {n} + y_ {n})}(x_n + y_n) и продукт (xnyn) {\ displaystyle (x_ {n} y_ {n})}(x_n y_n) также являются последовательностями Коши.

Обобщения

В топологических векторных пространствах

Существует также концепция последовательности Коши для топологического векторного пространства X {\ displaystyle X }X : выберите локальную базу B {\ displaystyle B}B для X {\ displaystyle X}X о 0; тогда (xk {\ displaystyle x_ {k}}x_ {k} ) является последовательностью Коши, если для каждого члена V ∈ B {\ displaystyle V \ in B}V \ in B , существует некоторое число N {\ displaystyle N}N такое, что всякий раз, когда n, m>N, xn - xm {\ displaystyle n, m>N, x_ {n} -x_ { m}}n,m>N, x_n - x_m является элементом V {\ displaystyle V}V . Если топология X {\ displaystyle X}X совместима с трансляционно-инвариантная метрика d {\ displaystyle d}d , два определения согласуются.

В топологических группах

Поскольку определение топологического векторного пространства последовательности Коши требует только непрерывной операции "вычитания", ее также можно сформулировать в контексте топологической группы : Последовательность (xk) {\ displaystyle (x_ { k})}(x_k) в топологической группе G {\ displaystyle G}G является последовательностью Коши, если для каждой открытой окрестности U {\ displaystyle U}Uиз идентичности в G {\ displaystyle G}G существует некоторое число N {\ displaystyle N}N такое, что всякий раз, когда m, n>N {\ displaystyle m, n>N}m, n>N отсюда следует, что xnxm - 1 ∈ U {\ displaystyle x_ {n} x_ {m} ^ {- 1} \ in U}x_n x_m ^ {- 1} \ in U . Как и выше, достаточно проверить это для окрестностей в любой локальной базе тождества в G {\ displaystyle G}G .

. Как и в конструкции завершения метрического пространства, кроме того, можно определить бинарное отношение для последовательностей Коши в G {\ displaystyle G}G , что (xk) {\ displaystyle (x_ {k})}(x_k) и (yk) {\ displaystyle (y_ {k})}(y_k) эквивалентны, если для каждого открытого района U {\ displaystyle U}Uидентификатора в G {\ displaystyle G}G существует некоторое число N {\ displaystyle N}N такое, что всякий раз, когда m, n>N { \ displaystyle m, n>N}m, n>N следует, что xnym - 1 ∈ U {\ displaystyle x_ {n} y_ {m} ^ {- 1} \ in U}x_n y_m ^ {- 1} \ in U . Это отношение имеет вид отношение эквивалентности : оно рефлексивно, поскольку последовательности Последовательности Коши. Он симметричен, поскольку ynxm - 1 = (xmyn - 1) - 1 ∈ U - 1 {\ displaystyle y_ {n} x_ {m} ^ {- 1} = (x_ {m} y_ {n} ^ { -1}) ^ {- 1} \ in U ^ {- 1}}y_n x_m ^ {- 1} = (x_m y_n ^ {- 1}) ^ {- 1} \ in U ^ {- 1} который по непрерывности обратного является другой открытой окрестностью тождества. Это транзитивный, поскольку xnzl - 1 = xnym - 1 ymzl - 1 ∈ U ′ U ″ {\ displaystyle x_ {n} z_ {l} ^ {- 1} = x_ {n} y_ {m} ^ {- 1} y_ {m} z_ {l} ^ {- 1} \ in U'U ''}x_n z_l^{-1} = x_n y_m^{-1} y_m z_l^{-1} \in U' U''где U ′ {\ displaystyle U '}U'и U ″ {\ displaystyle U ''}U''являются открытыми окрестностями идентичности, так что U ′ U ″ ⊆ U {\ displaystyle U'U '' \ substeq U }U'U'' \subseteq U; такие пары существуют в силу непрерывности групповой операции.

В группах

Существует также концепция последовательности Коши в группе G {\ displaystyle G}G : Пусть H = (H r) {\ displaystyle H = (H_ {r})}H = (H_r) быть убывающей последовательностью нормальных подгрупп из G {\ displaystyle G}G конечных индекс. Тогда последовательность (xn) {\ displaystyle (x_ {n})}(x_ {n}) в G {\ displaystyle G}G называется Коши (wrt H {\ displaystyle H}H ) тогда и только тогда, когда для любого r {\ displaystyle r}r существует N {\ displaystyle N}N такое, что ∀ m, n>N, xnxm - 1 ∈ H r {\ displaystyle \ forall m, n>N, x_ {n} x_ {m} ^ {- 1} \ in H_ {r}}\forall m,n>N, x_n x_m ^ {- 1} \ in H_r .

Технически это то же самое, что последовательность Коши топологической группы для конкретного выбора топологии на G {\ displaystyle G}G , а именно тот, для которого H {\ displaystyle H}H является локальной базой.

Набор C {\ displaystyle C}C из такие последовательности Коши образуют группу (для покомпонентного произведения), и набор C 0 {\ displaystyle C_ {0}}C_ {0} нулевых последовательностей (s.th. ∀ r, ∃ N, ∀ N>N, xn ∈ H r {\ displaystyle \ forall r, \ exists N, \ forall n>N, x_ {n} \ in H_ {r}}\forall r, \exists N, \forall n>N, x_n \ in H_r ) - это обычная подгруппа C {\ Displaystyle C}C . Факторная группа C / C 0 {\ displaystyle C / C_ {0}}C / C_0 называется завершением G {\ displaystyle G}G относительно H {\ displaystyle H}H .

Затем можно показать, что это завершение изоморфно обратному пределу последовательности (G / H r) {\ displaystyle (G / H_ {r})}(G / H_r) .

Примером этой конструкции, знакомой в теории чисел и алгебраической геометрии, является конструкция p-адического пополнения целых чисел относительно простого p. В этом случае G - это добавляемые целые числа, а H r - аддитивная подгруппа, состоящая из целых кратных p.

Если H {\ displaystyle H}H является cofinal последовательностью (т. Е. Любая нормальная подгруппа конечного индекса содержит некоторую H r {\ displaystyle H_ {r}}H_ {r} ), то это завершение является каноническим в том смысле, что оно изоморфно обратному пределу (G / H) H {\ displaystyle ( G / H) _ {H}}(G / H) _H , где H {\ displaystyle H}H изменяется по всем нормальным подгруппам конечного индекса. Подробнее см. Гл. I.10 в "Алгебре" Лэнга.

В гиперреальном континууме

Реальная последовательность ⟨un: n ∈ N⟩ {\ displaystyle \ langle u_ {n}: n \ in \ mathbb {N} \ rangle}\ langle u_n: n \ in \ mathbb {N} \ rangle имеет естественное гиперреальное расширение, определенное для сверхъестественных значений H индекса n в дополнение к обычному натуральному n. Последовательность является Коши тогда и только тогда, когда для каждых бесконечных H и K значения u H {\ displaystyle u_ {H}}u_H и u K {\ displaystyle u_ {K}}u_K бесконечно близки или адекватны, т.е.

st (u H - u K) = 0 {\ displaystyle \, \ mathrm {st} (u_ {H} -u_ {K}) = 0}\, \ mathrm {st} (u_H-u_K) = 0

, где "st" - это стандартная функция части..

Завершение Коши категорий

Краузе (2018) ввел понятие завершения Коши для категория. Применительно к Q (категория, объекты которой являются рациональными числами, и существует морфизм от x до y тогда и только тогда, когда x ≤ y), это завершение Коши дает R (снова интерпретируется как категорию, используя ее естественный порядок).

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-14 12:55:55
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте