Неопределенный (переменная)

В математике и / или особенно в формальной алгебре, неопределенный - это символ, который рассматривается как переменная, который не обозначает ничего, кроме самого себя, и часто используется в качестве заполнителя в таких объектах, как многочлены и формальные степенные ряды.. В частности:

• Он не обозначает константу или параметр проблемы.
• Это не неизвестность, которую можно было бы решить.
• Это не переменная, обозначающая аргумент функции, или переменная, по которой суммируется или интегрируется.
• Это не какой-либо тип связанной переменной.
• Это просто символ, используемый в полностью формальным способом.

• 1 Полиномы
• 2 Формальный степенной ряд
• 3 Как генераторы
• 4 См. также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

Многочлен от неопределенного $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- это выражение вида $a\; 0\; +\; a\; 1\; X\; +\; a\; 2\; X\; 2\; +\dots \; +\; an\; X\; n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; X\; +\; a\_\; \{2\}\; X\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; a\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\}\}$, где $ai\; \{\; \backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\}$называются коэффициентами полинома. Два таких многочлена равны, только если равны соответствующие коэффициенты. Напротив, две полиномиальные функции в переменной $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$могут быть равны или не равны при конкретном значении $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$.

Например, функции

$f\; (x)\; =\; 2\; +\; 3\; x,\; g\; (x)\; =\; 5\; +\; 2\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; 2\; +\; 3x,\; \backslash \; quad\; g\; (x)\; =\; 5\; +\; 2x\}$

являются равно, когда $x\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 3\}$, и не равно в противном случае. Но два многочлена

$2\; +\; 3\; X,\; 5\; +\; 2\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; +\; 3X,\; \backslash \; quad\; 5\; +\; 2X\}$

не равны, поскольку 2 не равно 5, а 3 не равно 2. В На самом деле,

$2\; +\; 3\; X\; =\; a\; +\; b\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; +\; 3X\; =\; a\; +\; bX\}$

не выполняется, если $a\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; 2\}$и $b\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; 3\}$. Это связано с тем, что $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$не является числом и не обозначает его.

Различие тонкое, поскольку многочлен в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$может быть изменен на функцию в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$заменой. Но различие важно, потому что при такой замене информация может быть потеряна. Например, при работе с по модулю 2 мы имеем следующее:

$0\; -\; 0\; 2\; =\; 0,\; 1\; -\; 1\; 2\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; 0-0\; ^\; \{2\}\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; 1-1\; ^\; \{2\}\; =\; 0,\}$

, поэтому полиномиальная функция $x\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; xx\; ^\; \{2\}\}$идентично равна 0 для $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, имеющий любое значение в системе по модулю 2. Однако многочлен $X\; -\; X\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; X-X\; ^\; \{2\}\}$не является нулевым многочленом, поскольку не все коэффициенты 0, 1 и -1 соответственно равны нулю.

A формальный степенной ряд в неопределенном $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$является выражением формы $a\; 0\; +\; a\; 1\; X\; +\; a\; 2\; X\; 2\; +\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; X\; +\; a\_\; \{2\}\; X\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; ldots\}$, где символу не присвоено значение $Х\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\}$. Это похоже на определение полинома, за исключением того, что бесконечное число коэффициентов может быть отличным от нуля. В отличие от степенного ряда, встречающегося в исчислении, вопросы сходимости не имеют отношения к делу (поскольку здесь нет никакой функции). Итак, степенной ряд, который расходится при значениях $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, например, $1\; +\; x\; +\; 2\; x\; 2\; +\; 6\; x\; 3\; +\dots \; +\; n!\; x\; n\; +\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +\; x\; +\; 2x\; ^\; \{2\}\; +\; 6x\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; n!\; x\; ^\; \{n\}\; +\; \backslash \; ldots\; \backslash ,\}$, разрешены.

Неопределенные используются в абстрактной алгебре для генерации математических структур. Например, для поля field $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$набор многочленов с коэффициентами в $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$- это кольцо полиномов с операциями сложения и умножения полиномов . В частности, если используются два неопределенных элемента $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$, тогда кольцо многочленов $K\; [X,\; Y]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X,\; Y]\}$также использует эти операции, и согласно соглашению $XY\; =\; YX\; \{\backslash \; displaystyle\; XY\; =\; YX\}$.

неопределенные значения также могут использоваться для создать свободную алгебру над коммутативным кольцом $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Например, с двумя неопределенными $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$свободная алгебра $A\; ⟨X,\; Y⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; langle\; X,\; Y\; \backslash \; rangle\}$включает суммы строк в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$, с коэффициентами в $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и при том понимании, что $XY\; \{\backslash \; displaystyle\; XY\}$и $YX\; \{\; \backslash \; displaystyle\; YX\}$не обязательно идентичны (поскольку свободная алгебра по определению некоммутативна).

• Неопределенное уравнение
• Неопределенная форма
• Неопределенная система
• Многочлен
• Формальный степенной ряд

• Herstein, IN (1975). Темы по алгебре. Wiley.
• Маккой, Нил Х. (1973), Введение в современную алгебру, исправленное издание, Бостон: Аллин и Бэкон, LCCN 68015225

Эта статья включает материалы из undefined на PlanetMath, которые находятся под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.