Формальный степенной ряд

В математике формальной степенной ряд обобщение полином, в котором количество может быть бесконечным, без требований сходимости. Таким образом, можно больше не использовать функций ряда функций, в отличие от степенного ряда.. В формальных степенных рядах вариантов используются только в качестве держателей позиций для коэффициентов, так что коэффициент $x\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{5\}\}$является пятым терминатором в последовательности. В комбинаторике метод генерирования функций использует формальные степенные ряды для представления числовых последовательностей и мультимножеств, например, позволяя краткие выражения для рекурсивно применять независимо от того, может ли рекурсия быть решена явно. В более общем смысле, формальные степенные ряды с любым конечным (или счетным) числом и с коэффициентами в произвольном кольце.

В алгебраической геометрии и коммутативной алгебре, кольца формальных степенных рядов являются особенно легко управляемыми топологически полными локальными кольцами, что позволяет использовать такие аргументы, как исчислением, в чисто алгебраической структуре. Они во многом аналогичны p-адическим числам. Формальные степенные ряды могут быть созданы из полиномов Тейлора с использованием формальных модулей.

Содержание

• 1 Введение
• 2 Кольцо формальных степенных рядов
  • 2.1 Определение формальных степенных рядов кольцо
    • 2.1.1 Кольцевая структура
    • 2.1.2 Топологическая структура
    • 2.1.3 Альтернативные топологии
  • 2.2 Универсальное свойство
• 3 Операции над формальным степенным рядом
  • 3.1 Степенный ряд в степенях
  • 3.2 Мультипликативный обратный
  • 3.3 Деление
  • 3.4 Извлекающие коэффициенты
  • 3.5 Состав
    • 3.5.1 Пример
  • 3.6 Обратный состав
  • 3.7 Формальное дифференцирование
• 4 Свойства
  • 4.1 Алгебраические свойства кольца формальных степенных
  • 4.2 Топологические свойства кольца формальных степенных рядов
  • 4.3 Подготовка Вейерштрасса
• 5 Приложения
• 6 Интерпретация формальных степенных рядов как функции
• 7 Обобщения
  • 7.1 Формальный Ряд Лорана
    • 7.1.1 Формальный остаток
  • 7.2 Формул а обращения Лагранжа
  • 7.3 Степенный ряд от нескольких чисел
    • 7.3.1 К pology
    • 7.3.2 Операции
    • 7.3.3 Универсальное свойство
  • 7.4 Некоммутирующие переменные
  • 7.5 На полукольце
  • 7.6 Замена индекса, установленного упорядоченной абелевой группой
• 8 Примеры и связанные темы
• 9 См. также
• 10 Примечания
• 11 Ссылки
• 12 Дополнительная литература

Введение

Формальный степенной ряд можно условно представить как объект, подобный многочлен, но с бесконечным числом членов. В качестве альтернативы, для тех, кто знаком с степенным рядом (или рядом Тейлора ), можно представить формальной степенной ряд как степенной ряд, в котором мы игнорируем вопросы сходимости не предполагая, что переменная X обозначает какое-либо числовое значение (даже не неизвестное значение). Например, рассмотрим ряд

$A\; =\; 1–3\; X\; +\; 5\; X\; 2–7\; X\; 3\; +\; 9\; X\; 4–11\; X\; 5\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; 1-3X\; +\; 5X\; ^\; \{2\}\; -7X\; ^\; \{3\}\; +\; 9X\; ^\; \{4\}\; -11X\; ^\; \{5\}\; +\; \backslash \; cdots.\}$

Если мы изучим это как степенной ряд, его свойства могут проникнуть, например, что его радиус сходимости равенство 1. Однако, как формальной степенной ряд, мы полностью игнорировать это; все, что имеет значение, - это последовательность коэффициентов [1, −3, 5, −7, 9, −11,...]. Другими словами, формальный степенной ряд - это объект, который просто записывает последовательность последовательнентов. Вполне приемлемо рассматривать формальный степенной ряд с факториалами [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040,...] в качестве коэффициентов, даже если соответствующий степенной ряд расходится для любого ненулевого значения X

Арифметика формальных степенных рядов выполняется просто притворством, что ряды являются полиномами. Например, если

$B\; =\; 2\; X\; +\; 4\; X\; 3\; +\; 6\; X\; 5\; +\; \cdots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; =\; 2X\; +\; 4X\; ^\; \{3\}\; +\; 6X\; ^\; \{5\}\; +\; \backslash \; cdots,\}$

, тогда мы сложить A и B почленно:

$A\; +\; B\; =\; 1\; -\; X\; +\; 5\; X\; 2\; -\; 3\; X\; 3\; +\; 9\; X\; 4\; -\; 5\; X\; 5\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; +\; B\; =\; 1-X\; +\; 5X\; ^\; \{2\}\; -3X\; ^\; \{3\}\; +\; 9X\; ^\; \{4\}\; -5X\; ^\; \{5\}\; +\; \backslash \; cdots.\}$

Мы снова можем умножать формальные степенные ряды просто рассматривая их как многочлены (см., в частности, произведение Коши ):

$AB\; =\; 2\; X\; -\; 6\; X\; 2\; +\; 14\; X\; 3\; -\; 26\; X\; 4\; +\; 44\; X\; 5\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\; =\; 2X-6X\; ^\; \{2\}\; +\; 14X\; ^\; \{3\}\; -26X\; ^\; \{4\}\; +\; 44X\; ^\; \{5\}\; +\; \backslash \; cdots.\}$

Обратите внимание, что каждый коэффициент в произведении AB зависит только от конечное число коэффициентов A и B., член X задается как

$44\; X\; 5\; =\; (1\; \times \; 6\; X\; 5)\; +\; (5\; X\; 2\; \times \; 4\; X\; 3)\; +\; (9\; X\; 4\; \times \; 2\; X).\; \{\backslash \; displaystyle\; 44X\; ^\; \{5\}\; =\; (1\; \backslash \; times\; 6X\; ^\; \{5\})\; +\; (5X\; ^\; \{2\}\; \backslash \; times\; 4X\; ^\; \{3\})\; +\; (9X\; ^\; \{4\}\; \backslash \; times\; 2X).\}$

По этой можно умножать формальные степенные ряды, беспокоясь об обычных вопросах причиной, условной и равномерной сходимости, которые включают при работе со степенными рядами в настройке анализа .

После того, как мы определили умножение для формальных степенных рядов, мы можем определить мультипликативные инверсии следующим образом. Мультипликативная обратная величина формального степенного ряда A - это формальный степенной ряд C такой, что AC = 1, при условии, что такой формальный степенной ряд существует. Оказывается, что если A имеет мультипликативный обратный, он уникален, и мы обозначаем его через A. Теперь мы можем определить деление формального степенного ряда, определенное B / A как произведение BA, при условии, что существует обратный к A., можно использовать определение умножения выше, чтобы проверить знакомую формулу

$1\; 1\; +\; X\; =\; 1\; -\; X\; +\; X\; 2\; -\; X\; 3\; +\; X\; 4\; -\; X\; 5\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; X\}\}\; =\; 1-X\; +\; X\; ^\; \{2\}\; -X\; ^\; \{3\}\; +\; X\; ^\; \{4\}\; -X\; ^\; \{5\}\; +\; \backslash \; cdots.\}$

Важной операцией над формальным степенным рядом извлечение коэффициентов. В своей основной форме оператора извлечения коэффициентов $[X\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; [X\; ^\; \{n\}]\}$применяется к формальному степенному ряду $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$в одной стандартной извлекает коэффициент $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-й модели, так что $[X\; 2]\; A\; =\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; [X\; ^\; \{2\}]\; A\; =\; 5\}$и $[X\; 5]\; A\; =\; -\; 11\; \{\backslash \; displaystyle\; [X\; ^\; \{5\}]\; A\; =\; -11\}$. Другие примеры включают

$[X\; 3]\; (B)\; =\; 4,\; [X\; 2]\; (X\; +\; 3\; X\; 2\; Y\; 3\; +\; 10\; Y\; 6)\; =\; 3\; Y\; 3,\; [X\; 2\; Y\; 3]\; (X\; +\; 3\; X\; 2\; Y\; 3\; +\; 10\; Y\; 6)\; =\; 3,\; [X\; n]\; (1\; 1\; +\; X)\; =\; (-\; 1)\; n,\; [X\; n]\; (X\; (1\; -\; X)\; 2)\; =\; n.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; [X\; ^\; \{3\}\; \backslash \; right]\; (B)\; =\; 4,\; \backslash \backslash \backslash \; left\; [X\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\; (X\; +\; 3X\; ^\; \{2\}\; Y\; ^\; \{3\}\; +\; 10Y\; ^\; \{6\})\; =\; 3Y\; ^\; \{3\},\; \backslash \backslash \backslash \; left\; [X\; ^\; \{2\}\; Y\; ^\; \{3\}\; \backslash \; right]\; (X\; +\; 3X\; ^\; \{2\}\; Y\; ^\; \{3\}\; +\; 10Y\; ^\; \{6\})\; =\; 3,\; \backslash \backslash \backslash \; left\; [X\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; X\}\}\; \backslash \; right)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\; \},\; \backslash \backslash \backslash \; left\; [X\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{X\}\; \{(1-X)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; n.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Аналогичным образом, многие другие операции, выполняемые с многочленами, могут быть расширены до обычного степенного ряда, как объясняется ниже.

Кольцо формальных степенных рядов

Если рассматривать набор всех формальных степенных рядов в X коэффициентами в коммутативном кольце R, элементы этого набора вместе составляют другое кольцо, которое записывается $R\; [[X]],\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]],\}$и называется кольцом формального степенного ряда в модели X над R.

Определение кольца формальных степенных рядов

Можно охарактеризовать $R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$абстрактно как завершение кольца многочлена $R\; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [X]\}$с особой метрикой . Это автоматически дает $R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$теряет топологического кольца (и даже полного метрического пространства). Общая конструкция пополнения метрического пространства более сложная, чем то, что здесь требуется, и сделает формальные степенные ряды более сложными, чем они есть на самом деле. Можно описать $R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$более явно и отдельно определить кольцевую структуру и топологическую систему следующим образом.

Кольцевая структура

В виде набора $R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$может быть построен как набор $RN\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$всех бесконечных последовательностей элементов $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, индексированных натуральных чисел ( включая 0). Обозначение введите, термин индексе $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$равен $an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\}$на $(an)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{n\})\}$, сложение двух последовательностей определяется как

$(an)\; n\; \in \; N\; +\; (bn)\; n\; \in \; N\; =\; (an\; +\; bn)\; n\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; a\_\; \{n\})\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; +\; (b\_\; \{n\})\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; =\; \backslash \; left\; (a\_\; \{n\}\; +\; b\_\; \{n\}\; \backslash \; справа)\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$

и умножением на

$(an)\; n\; \in \; N\; \times \; (bn)\; n\; \in \; N\; =\; (\sum \; k\; =\; 0\; nakbn\; -\; k)\; n\; \in \; N.\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{n\})\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; \backslash \; times\; (b\_\; \{n\})\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{k\}\; b\_\; \{nk\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash !\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}.\}$

Этот тип продукта называется продуктом Коши две последовательности коэффициентов, и представляет собой своего рода дискретную свертку. С помощью этих операций $RN\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$становится коммутативным кольцом с нулевым $(0,\; 0,\; 0,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; (0,\; 0,0,\; \backslash \; ldots)\}$и мультипликативное тождество $(1,\; 0,\; 0,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; (1,0,0,\; \backslash \; ldots)\}$.

Продукт на самом Тот же самый, что используется для использования обозначений одного неопределенного обозначения. Встраивают $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$в $R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$, отправляя любую (константу) $a\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; in\; R\}$к следовать $(a,\; 0,\; 0,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; 0,0,\; \backslash \; ldots)\}$и обозначает последовательность $(0,\; 1,\; 0,\; 0,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; (0,1,0,0,\; \backslash \; ldots)\}$посредством $X\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; \}$; тогда, используя приведенные выше, последовательность только с конечным числом ненулевых может быть выражена в терминах этих специальных элементов

$(a\; 0,\; a\; 1,\; a\; 2,\dots ,\; an,\; 0,\; 0,\dots )\; =\; a\; 0\; +\; a\; 1\; X\; +\; \cdots \; +\; an\; X\; n\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; nai\; X\; i;\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{0\},\; a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\},\; 0,0,\; \backslash \; ldots)\; =\; a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; X\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{i\}\; X\; ^\; \{i\};\}$

это в точности многочлены из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. Учитывая это, вполне естественно и удобно обозначить общую последовательность $(an)\; n\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{n\})\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$формальным выражением $\sum \; я\; \in \; N\; ai\; Икс\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; a\_\; \{i\}\; X\; ^\; \{i\}\}$, даже хотя последнее не является выражением, образованными операциями сложения и умножения, определенными выше (из которых могут быть построены только конечные суммы). Это обозначение позволяет переформулировать приведенные выше определения как

$(\sum \; i\; \in \; N\; ai\; X\; i)\; +\; (\sum \; i\; \in \; N\; bi\; X\; i)\; =\; \sum \; i\; \in \; N\; (ai\; +\; bi)\; X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; сумма\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; a\_\; \{i\}\; X\; ^\; \{i\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; b\_\; \{i\}\; X\; ^\; \{i\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; (a\_\; \{i\}\; +\; b\_\; \{i\})\; X\; ^\; \{i\}\}$

и

$(\sum \; i\; \in \; N\; ai\; X\; i)\; \times \; (\sum \; i\; \in \; N\; bi\; X\; i)\; =\; \sum \; n\; \in \; N\; (\sum \; k\; =\; 0\; nakbn\; -\; k)\; X\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; a\_\; \{i\}\; X\; ^\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; b\_\; \{i\}\; X\; ^\; \{i\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{k\}\; b\_\; \{nk\}\; \backslash \; right)\; X\; ^\; \{n\}.\}$

что довольно удобно, но нужно помнить о различии между формальным суммированием и фактическим сложением.

Топологическая структура

Условно оговорив, что

$(a\; 0,\; a\; 1,\; a\; 2,\; a\; 3,\dots )\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; \infty \; ai\; X\; i,\; (1)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{0\},\; a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; a\_\; \{3\},\; \backslash \; ldots)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{i\}\; X\; ^\; \{i\},\; \backslash \; qquad\; (1)\}$

правую часть хотелось бы интерпретировать как четко определенное бесконечное суммирование. Для этого определено понятие конвергенции в $RN\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$и топология на $RN\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$построен. Есть несколько эквивалентных способов определения желаемой топологии.

• Мы можем использовать $RN\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$топологию, где каждая копия $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$задана дискретная топология.

• . Мы можем дать $RN\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$I -адическая топология, где $I\; =\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; (X)\}$- идеал, порожденный $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, который состоит из всех последовательностей, у которых первый член $a\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\}$равенство нулю.

• Требуемая топология также может быть получена из следующей метрики. Расстояние между различными последовательностями $(an),\; (bn)\; \in \; RN,\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{n\}),\; (b\_\; \{n\})\; \backslash \; in\; R\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{N\}\},\}$определяется как

$d\; ((an),\; (bn))\; =\; 2\; -\; k,\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; ((a\_\; \{n\}),\; (b\_\; \{n\}))\; =\; 2\; ^\; \{-\; k\},\}$

где $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$- наименьшее натуральное число такое, что $ak\; \ne \; bk\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{k\}\; \backslash \; neq\; b\_\; \{k\; \}\}$; расстояние между двумя равными последовательностями, конечно же, равно нулю.

Неформально, две следовать $\{an\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{a\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$и $\{bn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{b\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$становятся все ближе и ближе тогда и только тогда, когда все больше и больше их совпадают. Формально последовательность частичных сумм некоторого бесконечного суммирования сходится, если для каждой фиксированной степени $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$коэффициент стабилизируется: существует точка, за которую все остальные частичные суммы имеют тот же коэффициент. Это явно верно для правой части (1), независимо от значений $an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\}$, поскольку включает термина для $i\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; n\}$дает последнее (фактически единственное) изменение коэффициента $X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{n\}\}$. Также очевидно, что предел установить частичных сумм равенству левой части.

Эта топологическая структура вместе с описанными выше кольцевыми операциями образует топологическое кольцо. Это называется кольцом формальных степенных рядов над $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$и обозначается $R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$. Топология имеет то полезное свойство, что бесконечное суммирование сходится тогда и только тогда, когда его последовательность сходится к 0, что просто означает, что любая фиксированная степень $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$встречается только в конечном число членов.

Топологическая структура позволяет более гибко использовать бесконечные суммирования. Например, правило умножения можно переформулировать просто как

$(\sum \; i\; \in \; N\; ai\; X\; i)\; \times \; (\sum \; i\; \in \; N\; bi\; X\; i)\; =\; \sum \; i,\; j\; \in \; N\; aibj\; X\; i\; +\; j,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; a\_\; \{i\}\; X\; ^\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; b\_\; \{i\}\; X\; ^\; \{i\; \}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; a\_\; \{i\}\; b\_\; \{j\}\; X\; ^\; \{i\; +\; j\},\}$

так как только конечное число членов право влияет на любое фиксированный $X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{n\}\}$. Бесконечные произведения также топологической структурой;

Альтернативные топологии

Вышеупомянутая топология является лучшей топологией для который

$\sum \; i\; =\; 0\; \infty \; ai\; X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{i\}\; X\; ^\; \{i\}\}$

всегда сходится как сумма к формальной степени ряд, обозначаемый одним и тем же выражением, и часто бывает достаточно придать смысл бесконечным суммам и другим видам ограничений, которые желают использовать для обозначения определенного формального степенного ряда. Однако иногда может случиться так, что кто-то захочет использовать более грубую топологию, так что некоторые выражения становятся сходящимися, которые в результате расходятся. Это используется, в частности, когда базовое кольцо $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$уже имеет топологию, отличную от дискретной, например, если оно также является кольцом формальных степенных рядов.

Рассмотрим кольцо формальных степенных рядов: $Z\; [[X]]\; [[Y]]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [[X]]\; [[Y]]\}$; то топология вышеупомянутой конструкции относится только к неопределенному $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$, поскольку топология, которая была помещена на $Z\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [[\; X]]\}$был заменен на дискретную топологию при определении топологии всего кольца. Итак,

$\sum \; i\; \in \; NXY\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; XY\; ^\; \{i\}\}$

сходится к предложенному степенному ряду, который можно записать как $X\; 1\; -\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{X\}\; \{1-Y\}\}\}$; однако суммирование

$\sum \; i\; \in \; NX\; i\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; X\; ^\; \{i\}\; Y\}$

будет считаться расходящимся, поскольку каждый член влияет на коэффициент $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$(этот коэффициент сам по себе является степенным рядом в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$). Эта асимметрия исчезает, если для кольцевых рядов в $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$задана топология продукта, в каждой копии $Z\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [[X]]\}$имеет топологию как кольцо формальных степенных рядов, а не дискретную топологию. Как следствие, для сходимости придерживаться элементов $Z\; [[X]]\; [[Y]]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [[X]]\; [[Y]]\}$тогда достаточно, чтобы коэффициент при степени каждой $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$сходился к формальному степенному ряду в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, более слабое состояние, чем полностью стабилизирующееся; например, во втором примере приведенном здесь, коэффициент $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$сходится к $1\; 1\; -\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{1-X\}\}\}$, поэтому все суммирование сходится к $Y\; 1\; -\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{Y\}\; \{1-X\}\}\}$.

Этот способ определения топологии на самом деле является стандартной для повторяющихся построений колец формальных степенных рядов, и дает ту же топологию, которую можно получить, взяв формальные степенные ряды сразу по всем неопределенным. В приведенном выше примере это будет означать построение $Z\; [[X,\; Y]],\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [[X,\; Y]],\}$, и здесь последовательность сходится, если и только если коэффициент каждого одночлена $X\; i\; Y\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{i\}\; Y\; ^\; \{j\}\}$стабилизируется. Эта топология, которая также является адической топологией $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$, где $I\; =\; (X,\; Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; (X,\; Y)\}$является идеалом, порожденным $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$, по-прежнему обладает тем самым, что суммирование сходится, если и только если его члены стремятся к 0.

Тот же принцип может быть использован для сближения других расходящихся пределов. Например, в $R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; [[X]]\}$предел

$lim\; n\; \to \; \infty \; (1\; +\; X\; n)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{X\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash !\; n\}\}$

не существует, поэтому, в частности, он не сходится к

$exp\; \; (X)\; =\; \sum \; n\; \in \; NX\; nn!.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (X)\; \backslash \; =\; \backslash \; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{X\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}.\}$

Это потому, что для $я\; \ge \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; geq\; 2\}$коэффициент $(ni)\; /\; ni\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{n\}\; \{i\}\}\; /\; n\; ^\; \{i\}\}$из $X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{i\}\}$не стабилизируется как $n\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}$. Однако он сходится в обычной топологии $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, и фактически к коэффициенту $1\; i!\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{i!\}\}\}$из $exp\; \; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (X)\}$. Следовательно, если дать $R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; [[X]]\}$топологию продукта $RN\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\; \}\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$где топология $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$является обычной топологией, а не дискретной, тогда указанный выше предел сходится к $exp\; \; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (X)\}$. Однако этот более снисходительный подход не является стандартом при рассмотрении формальных степенных рядов, поскольку он привел бы к соображениям сходимости, столь же тонким, как и в анализе, в то время как философия формальных степенных рядов противоречит сделайте вопросы о конвергенции настолько тривиальными, насколько это возможно. При такой топологии суммирование не сходится тогда и только тогда, когда его члены стремятся к нулю.

Универсальное свойство

Кольцо $R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$может характеризоваться следующим универсальным свойством. Если $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$является коммутативной ассоциативной алгеброй над $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, если $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$- это идеал $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$такой, что $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$-адическая топология на $S\; \{\; \backslash \; displaystyle\; S\}$завершено, и если $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$является элементом $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$, тогда существует уникальный $\Phi :\; R\; [[X]]\; \to \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi:\; R\; [[X]]\; \backslash \; to\; S\}$со следующими свойствами:

• $\Phi \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$- это $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$-алгебра гомоморфизм

• $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$непрерывно

• $\Phi \; (X)\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (X)\; =\; x\}$.

Операции над формальными степенными рядами

Можно выполнять алгебраические операции над степенными рядами для создания новых степенных рядов. Помимо операций с кольцевой структурой, определенных выше, мы имеем следующее.

Степенный ряд в степени

Для любого натурального числа n мы имеем

$(\sum \; k\; =\; 0\; \infty \; ak\; X\; k)\; n\; =\; \sum \; m\; =\; 0\; \infty \; см\; Икс\; м,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{k\}\; X\; ^\; \{k\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash !\; n\}\; =\; \backslash ,\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; c\_\; \{m\}\; X\; ^\; \{m\},\}$

где

$c\; 0\; =\; a\; 0\; n,\; cm\; =\; 1\; ma\; 0\; \sum \; k\; =\; 1\; m\; (kn\; -\; m\; +\; k)\; akcm\; -\; k,\; m\; \ge \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; c\_\; \{0\}\; =\; a\_\; \{0\}\; ^\; \{n\},\; \backslash \backslash \; c\_\; \{m\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{ma\_\; \{0\})\; \}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; (kn-m\; +\; k)\; a\_\; \{k\}\; c\_\; \{mk\},\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; m\; \backslash \; geq\; 1.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

(Это формула может использоваться только в том случае, если m и a 0 обратимы в кольце коэффициентов.)

В случае формальных степенных рядов с комплексными коэффициентами комплексные степени хорошо определены по крайней мере для ряда f с постоянным членом, равным 1. В этом случае $f\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$может быть определен либо путем композиции с биномиальным рядом (1 + x), или по композиции с экспонентой и логарифмическим рядом, $f\; \alpha \; =\; exp\; \; (\alpha \; log\; \; (f)),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; \backslash \; exp\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; log\; (f)),\}$или как решение дифференциального уравнения $f\; (f\; \alpha )\; \prime \; =\; \alpha \; f\; \alpha \; f\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (f\; ^\; \{\backslash \; alpha\})\; \text{'}=\; \backslash \; alpha\; f\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; f\text{'}\}$с постоянным членом 1, три определения эквивалентны. Правила исчисления $(f\; \alpha )\; \beta \; =\; f\; \alpha \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; (f\; ^\; \{\backslash \; alpha\})\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; =\; f\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\}$и $f\; \alpha \; g\; \alpha \; =\; (fg)\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; (fg)\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$легко следовать.

Мультипликативный обратный

Ряд

$A\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; an\; X\; n\; \in \; R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\}\; \backslash \; in\; R\; [[X]]\}$

обратимо в $R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$тогда и только тогда, когда его постоянный коэффициент $a\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\}$обратим в $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$. Это условие необходимо по следующей причине: если мы предположим, что $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$имеет инверсию $B\; =\; b\; 0\; +\; b\; 1\; x\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; B\; =\; b\_\; \{0\}\; +\; b\_\; \{1\}\; x\; +\; \backslash \; cdots\}$, затем постоянный член $a\; 0\; b\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; b\_\; \{0\}\}$из $A\; \cdot \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; cdot\; B\}$- постоянный член тождественного ряда, т.е. он равен 1. Этого условия также достаточно; мы можем вычислить коэффициенты обратной последовательности $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$с помощью явной рекурсивной формулы

$b\; 0\; =\; 1\; a\; 0,\; bn\; =\; -\; 1\; a\; 0\; \sum \; i\; =\; 1\; naibn\; -\; я,\; n\; \ge \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; b\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\_\; \{0\}\}\},\; \backslash \backslash \; b\_\; \{n\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{a\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{i\}\; b\_\; \{ni\},\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; n\; \backslash \; geq\; 1.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Важное специальное случай состоит в том, что формула геометрического ряда действительна в $R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$:

$(1\; -\; X)\; -\; 1\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; X\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; (1-X)\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; X\; ^\; \{n\}.\}$

Если $R\; =\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; K\; \}$- поле, тогда серия обратима тогда и только тогда, когда постоянный член не равен нулю, то есть тогда и только тогда, когда серия не делится на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. Это означает, что $K\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [[X]]\}$- это кольцо дискретной оценки с унифицированным параметром $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \}$.

Деление

Вычисление частного $f\; /\; g\; =\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; /\; g\; =\; h\}$

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; bn\; X\; n\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; an\; Икс\; N\; знак\; равно\; \sum \; N\; знак\; равно\; 0\; \infty \; сп\; Икс\; N,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; b\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\; \}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; c\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\},\}$

при условии, что знаменатель обратим (то есть $a\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\}$обратимо в кольце скаляров), может быть выполнено как произведение $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и обратное значение $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$, или прямое приравнивание коэффициентов в $f\; =\; gh\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; gh\}$:

$cn\; =\; 1\; a\; 0\; (bn\; -\; \sum \; k\; =\; 1\; nakcn\; -\; k).\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; left\; (b\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{k\}\; c\_\; \{nk\}\; \backslash \; справа).\}$

Извлечение коэффициентов

Оператор извлечения коэффициентов, примененный к формальному степенному ряду

$f\; (X)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; an\; X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (X)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\}\}$

в X записывается

$[X\; m]\; f\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [X\; ^\; \{m\; \}\; \backslash \; right]\; f\; (X)\}$

и извлекает коэффициент при X, так что

$[X\; m]\; f\; (X)\; =\; [X\; m]\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; an\; X\; n\; =\; am.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [X\; ^\; \{m\}\; \backslash \; right]\; f\; (X)\; =\; \backslash \; left\; [X\; ^\; \{m\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{\; n\}\; =\; a\_\; \{m\}.\}$

Состав

Дан формальный степенной ряд

$f\; (X)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; an\; X\; n\; =\; a\; 1\; X\; +\; a\; 2\; X\; 2\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (X)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\}\; =\; a\_\; \{1\}\; X\; +\; a\_\; \{2\}\; X\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

$г\; (Икс)\; знак\; равно\; \sum \; N\; знак\; равно\; 0\; \infty \; бn\; Икс\; N\; =\; б\; 0\; +\; б\; 1\; Икс\; +\; б\; 2\; Икс\; 2\; +\; \cdots ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; г\; (X)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{п\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; b\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\}\; =\; b\_\; \{0\}\; +\; b\_\; \{1\}\; X\; +\; b\_\; \{2\}\; X\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots,\}$

можно образовать композицию

$g\; (\; е\; (Икс))\; знак\; равно\; \sum \; N\; знак\; равно\; 0\; \infty \; BN\; (е\; (Икс))\; N\; =\; \sum \; N\; =\; 0\; \infty \; сп\; Икс\; N,\; \{\backslash \; Displaystyle\; г\; (е\; (Х))\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{п\; =\; 0\}\; ^\; \{\; \backslash \; infty\}\; b\_\; \{n\}\; (f\; (X))\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; c\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\},\}$

где коэффициенты c n определяются путем «разложения» степеней f (X):

$cn:\; =\; \sum \; k\; \in \; N,\; |\; j\; |\; =\; П\; Б\; К\; А\; Дж\; 1\; А\; Дж\; 2\; \cdots \; А\; Дж\; К.\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{n\}:\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\},\; |\; j\; |\; =\; n\}\; b\_\; \{k\}\; a\_\; \{j\_\; \{1\}\}\; a\_\; \{j\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; a\_\; \{\; j\_\; \{k\}\}.\}$

Здесь сумма распространяется на все (k, j) с $k\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$и $j\; \in \; N\; +\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; j\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; \_\; \{+\}\; ^\; \{k\}\}$с $|\; j\; |\; :\; =\; j\; 1\; +\; \cdots \; +\; j\; k\; =\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; j\; |:\; =\; j\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; j\_\; \{k\}\; =\; n.\}$

Более подробное описание этих коэффициентов дает формула Фаа ди Бруно, по крайней мере в случае, когда кольцо коэффициентов является полем характеристики 0.

Обратите внимание, что эта операция действительна только тогда, когда $f\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (X)\}$не имеет постоянный член, так что каждый $cn\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{n\}\}$зависит только от конечного числа коэффициентов $f\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (X)\}$и $g\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (X)\}$. Другими словами, ряд для $g\; (f\; (X))\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (f\; (X))\}$сходится в топологии из $R\; [\; [X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$.

Пример

Предположим, что кольцо $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$имеет характеристику 0 и ненулевые целые числа обратимы в $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$. Если мы обозначим через $exp\; \; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (X)\}$формальный степенной ряд

$exp\; \; (X)\; =\; 1\; +\; X\; +\; X\; 2\; 2!\; +\; Х\; 3\; 3!\; +\; Х\; 4\; 4!\; +\; \cdots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (X)\; =\; 1\; +\; X\; +\; \{\backslash \; frac\; \{X\; ^\; \{2\}\}\; \{2!\}\}\; +\; \{\backslash \; Frac\; \{X\; ^\; \{3\}\}\; \{3!\}\}\; +\; \{\backslash \; Frac\; \{X\; ^\; \{4\}\}\; \{4!\}\}\; +\; \backslash \; Cdots,\}$

, тогда выражение

$exp\; \; (exp\; \; (X)\; -\; 1)\; =\; 1\; +\; X\; +\; X\; 2\; +\; 5\; X\; 3\; 6\; +\; 5\; Икс\; 4\; 8\; +\; \cdots \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; ехр\; (\backslash \; ехр\; (X)\; -1)\; =\; 1\; +\; X\; +\; X\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{5X\; ^\; \{3\}\}\; \{6\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; 5X\; ^\; \{4\}\}\; \{8\}\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

имеет смысл как формальный степенной ряд. Однако утверждение

$exp\; \; (exp\; \; (X))\; =?\; е\; ехр\; \; (ехр\; \; (Икс)\; -\; 1)\; знак\; равно\; е\; +\; е\; Икс\; +\; е\; Икс\; 2\; +\; 5\; е\; Икс\; 3\; 6\; +\; \cdots \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; ехр\; (\backslash \; ехр\; (X))\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{?\}\; \{=\; \}\}\; \backslash \; e\; \backslash \; exp\; (\backslash \; exp\; (X)\; -1)\; \backslash \; =\; \backslash \; e\; +\; eX\; +\; eX\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{5eX\; ^\; \{3\}\}\; \{6\}\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

- это недопустимое применение операции композиции для формальных степенных рядов. Скорее, это сбивает с толку понятия конвергенции в $R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$и конвергенции в $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$; действительно, кольцо $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$может даже не содержать никакого числа $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$с соответствующими свойствами.

Инверсия композиции

Всякий раз, когда формальный ряд

$f\; (X)\; =\; \sum \; kfk\; X\; k\; \in \; R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (X)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; \}\; f\_\; \{k\}\; X\; ^\; \{k\}\; \backslash \; in\; R\; [[X]]\}$

имеет f 0 = 0 и f 1 является обратимым элементом R, там существует ряд

$g\; (X)\; =\; \sum \; kgk\; X\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (X)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; g\_\; \{k\}\; X\; ^\; \{k\}\}$

, который является обратным составом из $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, что означает, что составление $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$с $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$дает ряд, представляющий функцию тождества $x\; =\; 0\; +\; 1\; x\; +\; 0\; x\; 2\; +\; 0\; x\; 3\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\; +\; 1x\; +\; 0x\; ^\; \{2\}\; +\; 0x\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\}$. Коэффициенты $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$могут быть найдены рекурсивно, используя приведенную выше формулу для коэффициентов композиции, приравнивая их к коэффициентам идентичности композиции X (то есть 1 при степени 1 и 0 на каждой степени больше 1). В случае, когда кольцо коэффициентов является полем характеристики 0, формула обращения Лагранжа (обсуждается ниже) предоставляет мощный инструмент для вычисления коэффициентов g, а также коэффициентов (мультипликативных) степеней г.

Формальное дифференцирование

Дан формальный степенной ряд

$f\; =\; \sum \; n\; \ge \; 0\; и\; X\; n\; \in \; R\; [[X]],\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; a\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\}\; \backslash \; в\; R\; [[X]],\}$

мы определяем его формальную производную, обозначенную Df или f ', как

$D\; f\; =\; f\; \prime \; =\; \sum \; n\; \ge \; 1\; ann\; X\; n\; -\; 1.\; \{\backslash displaystyle\; Df=f\text{'}=\backslash sum\; \_\{n\backslash geq\; 1\}a\_\{n\}nX^\{n-1\}.\}$

The symbol D is called the formal differentiation operator. This definition simply mimics term-by-term differentiation of a polynomial.

This operation is R-linear :

$D\; (\; a\; f\; +\; b\; g)\; =\; a\; \cdot \; D\; f\; +\; b\; \cdot \; D\; g\; \{\backslash displaystyle\; D(af+bg)=a\backslash cdot\; Df+b\backslash cdot\; Dg\}$

for any a, b in R and any f, g in $R\; [\; [\; X\; ]\; ].\; \{\backslash displaystyle\; R[[X]].\}$Additionally, the formal derivative has many of the properties of the usual derivative of calculus. For example, the product rule is valid:

$D\; (\; f\; g)\; =\; f\; \cdot \; (\; D\; g)\; +\; (\; D\; f)\; \cdot \; g,\; \{\backslash displaystyle\; D(fg)\backslash \; =\backslash \; f\backslash cdot\; (Dg)+(Df)\backslash cdot\; g,\}$

and the chain rule works as well:

$D\; (\; f\; \circ \; g)\; =\; (\; D\; f\; \circ \; g)\; \cdot \; D\; g,\; \{\backslash displaystyle\; D(f\backslash circ\; g)=(Df\backslash circ\; g)\backslash cdot\; Dg,\}$

whenever the appropriate compositions of series are defined (see above under composition of series).

Thus, in these respects formal power series behave like Taylor series. Indeed, for the f defined above, we find that

$(\; D\; k\; f)\; (\; 0)\; =\; k\; !\; a\; k,\; \{\backslash displaystyle\; (D^\{k\}f)(0)=k!a\_\{k\},\}$

where D denotes the kth formal derivative (that is, the result of formally differentiating k times).

Properties

Algebraic properties of the formal power series ring

$R\; [\; [\; X\; ]\; ]\; \{\backslash displaystyle\; R[[X]]\}$is an associative algebra over $R\; \{\backslash displaystyle\; R\}$which contains the ring $R\; [\; X\; ]\; \{\backslash displaystyle\; R[X]\}$of polynomials over $R\; \{\backslash displaystyle\; R\}$; the polynomials correspond to the sequences which end in zeros.

The Jacobson radical of $R\; [\; [\; X\; ]\; ]\; \{\backslash displaystyle\; R[[X]]\}$is the ideal generated by $X\; \{\backslash displaystyle\; X\}$and the Jacobson radical of $R\; \{\backslash displaystyle\; R\}$; this is implied by the element invertibility criterion discussed above.

The maximal ideals of $R\; [\; [\; X\; ]\; ]\; \{\backslash displaystyle\; R[[X]]\}$all arise from those in $R\; \{\backslash displaystyle\; R\}$in the following manner: an ideal $M\; \{\backslash displaystyle\; M\}$of $R\; [\; [\; X\; ]\; ]\; \{\backslash displaystyle\; R[[X]]\}$is maximal if and only if $M\; \cap \; R\; \{\backslash displaystyle\; M\backslash cap\; R\}$is a maximal ideal of $R\; \{\backslash displaystyle\; R\}$and $M\; \{\backslash displaystyle\; M\}$is generated as an ideal по $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $M\; \cap \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; cap\; R\}$.

Некоторые алгебраические свойства $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$наследуются $R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$:

• , если $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$является локальным кольцо, то так и $R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$,

• , если $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$равно Нётериан, то же самое и $R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$. Это версия теоремы Гильберта о базисе,

• , если $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$является областью целостности, то $R\; [\; [X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$,

• если $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$является полем, то $K\; [[\; X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [[X]]\}$- кольцо дискретной оценки.

Топологические свойства кольца формальных степенных рядов

Метрическое пространство $(R\; [[X]],\; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; (R\; [[X]]],\; d)\}$является полным.

Кольцо $R\; [[X]]\; \{\; \backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$является компактным тогда и только тогда, когда R конечное. Это следует из теоремы Тихонова и характеризации топологии на $R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$как топологии продукта.

Подготовка Вейерштрасса

Кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами в полном локальном кольце удовлетворяет теореме подготовки Вейерштрасса.

Приложения

Формальные степенные ряды могут использоваться для решения повторяющихся задач, встречающихся в теории чисел и комбинаторике. Пример, связанный с нахождением выражения в замкнутой форме для чисел Фибоначчи, см. В статье Примеры производящих функций.

Можно использовать формальные степенные ряды для доказательства нескольких соотношений, знакомых из анализа, в чисто алгебраическая постановка. Рассмотрим, например, следующие элементы $Q\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; [[X]]\}$:

$sin\; \; (X):\; =\; \sum \; n\; \ge \; 0\; (-\; 1)\; n\; (\; 2\; п\; +\; 1)!\; Икс\; 2\; N\; +\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sin\; (X):\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\}\; \{(2n\; +\; 1)!\}\}\; X\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\}$

$cos\; \; (X):\; =\; \sum \; n\; \ge \; 0\; (-\; 1)\; n\; (2\; n)!\; Икс\; 2\; N\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; соз\; (X):\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\}\; \{(2n)!\}\}\; X\; ^\; \{2n\}\}$

Тогда можно показать, что

$sin\; 2\; \; (X)\; +\; cos\; 2\; \; (X)\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (X)\; +\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (X)\; =\; 1,\; \}$

$\partial \; \partial \; Икс\; грех\; \; (X)\; =\; соз\; \; (X),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; X\}\}\; \backslash \; sin\; (X)\; =\; \backslash \; cos\; (X),\}$

$sin\; \; (X\; +\; Y)\; =\; sin\; \; (X)\; cos\; \; (Y)\; +\; cos\; \; (X)\; sin\; \; (Y).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (X\; +\; Y)\; =\; \backslash \; sin\; (X)\; \backslash \; cos\; (Y)\; +\; \backslash \; cos\; (X)\; \backslash \; sin\; (Y).\}$

Последний действительный в кольце $Q\; [[X,\; Y\; ]].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; [[X,\; Y]].\}$

Для поля K кольцо $K\; [[X\; 1,\dots ,\; X\; r]]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [[X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{r\}]]\}$часто используется как «стандартное, наиболее общее» полное локальное кольцо над K в алгебре.

Интерпретация формальных степенных рядов как функций

В математическом анализе каждый сходящийся степенной ряд определяет функцию со значениями в действительные или комплексные числа. Формальные степенные ряды по некоторым специальным кольцам также можно интерпретировать как функции, но нужно быть осторожным с доменом и кодомен. Пусть

$е\; =\; \sum \; ан\; Икс\; n\; \in \; R\; [[X]],\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; \backslash \; sum\; a\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\}\; \backslash \; in\; R\; [[X]],\}$

и предположим, что S коммутативная ассоциативная алгебра над R, I идеал в S такой, что I-адическая топология на S полна, а x является элементом I. Определите:

$f\; (x)\; =\; \sum \; n\; \ge \; 0\; тревога.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; a\_\; \{n\}\; x\; ^\; \{n\}.\}$

Этот ряд гарантированно сходится в S с учетом сделанных выше предположений относительно x. Кроме того, мы имеем

$(f\; +\; g)\; (x)\; =\; f\; (x)\; +\; g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; (f\; +\; g)\; (x)\; =\; f\; (x)\; +\; g\; (x)\}$

и

$(fg)\; (x)\; =\; f\; (x)\; g\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; (fg)\; (x)\; =\; f\; (x)\; g\; (x).\}$

Отличие от добросовестных функций, эти формулы не являются определениями, но должны быть доказаны.

Топология на $R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$является (X) -адической топологией, а $R\; [[X\; ]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$завершено, мы можем, в частности, применить степенной ряд к другим степенным рядам, при условии, что аргументы не имеют постоянных коэффициентов ( так что они принадлежат идеалу (X)): f (0), f (X - X) и f ((1 - X) - 1) все применимые для любого формального степенного ряда $f\; \in \; R\; [[ИКС]\; ].\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; R\; [[X]].\}$

С помощью этой формы мы можем дать явную формулу для мультипликативного обратного ряда степеней f, постоянный коэффициент которого a = f (0) обратим в R:

$f\; -\; 1\; =\; \sum \; n\; \ge \; 0\; a\; -\; n\; -\; 1\; (a\; -\; f)\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; a\; ^\; \{-\; n-1\}\; (af)\; ^\; \{n\}.\}$

Если формально степенной ряд g с g (0) = 0 неявно задается уравнением

$f\; (g)\; =\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (g)\; =\; X\}$

, где f - известный степенной ряд с f (0) = 0, тогда коэффициенты g может быть явно вычислен с использованием формулы обращения Лагранжа.

Обобщения

Формальный ряд Лорана

A Формальный ряд Лорана над кольцом $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$определяется аналогично формальному степенному ряду, за исключением того, что мы также допускаем конечное число отрицательной степени (это отличается от классического ряда Лорана ), то есть ряда

$е\; =\; \sum \; N\; \in \; Z\; an\; X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; a\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\}\}$

где $an\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; 0\}$для всех отрицательных индексов, кроме конечного числа $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$. Можно определить умножение таких серий. Самый, аналогично определению для формального ряда, коэффициент при X двух рядов с последовательностями коэффициентов $\{an\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{a\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$и $\{bn\; \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{b\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$равно

$\sum \; i\; \in \; Z\; aibk\; -\; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; a\_\; \{i\; \}\; b\_\; \{ki\},\}$

, сумма которого фактически равна нулю для достаточно отрицательных индексов, сумма которой равна нулю для достаточно отрицательных $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$по той же причине.

Для ненулевого формального ряда Лорана минимальное целое число $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$такое, что $an\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; neq\; 0\}$называется порядком $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, обозначается $ord\; \; (f).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ord\}\; (f).\}$(Порядок нулевого ряда равенства $+\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; +\; \backslash \; infty\}$.) Формальный Laurent ряды образуют кольцо формального ряда Лорана над $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, обозначаемое $R\; ((X))\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ((X))\}$. Он равен локализации элемента $R\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\}$относительно набора положительных степеней $Х\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\}$. Это топологическое кольцо с метрикой:

$d\; (f,\; g)\; =\; 2\; -\; ord\; \; (f\; -\; g).\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (f,\; g)\; =\; 2\; ^\; \{-\; \backslash \; operatorname\; \{ord\}\; (fg)\}.\}$

Если $R\; =\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; K\}$является поле, тогда $K\; ((X))\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; ((X))\}$является фактически полем, которое в качестве альтернативы может быть получено как поле дробей из области целостности $K\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [[X]]\}$.

Можно определить формальное дифференцирование для формальных рядов Лорана в естественном способе (посрочно). А именно формальная производная формального ряда Лорана $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, приведенного выше, равна

$f\; \text{'}=\; D\; f\; =\; \sum \; n\; \in \; Z\; nan\; X\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}=\; Df\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; na\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n-1\}\}$

, который снова является частью $K\; ((X))\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; ((X))\}$. Обратите внимание, что если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$- непостоянный формальный ряд Лорана, а K - поле характеристики 0, то

$ord\; \; (f\; \prime )\; =\; ord\; \; (f)\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ord\}\; (f\; \text{'})\; =\; \backslash \; operatorname\; \{ord\}\; (f)\; -1.\}$

Однако в целом это не так, поскольку коэффициент n для члена самого низкого порядка может быть равен 0 в R.

Формальный остаток

Предположим, что $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$является полем характеристик 0. Тогда карта

$D:\; K\; ((X))\; \to \; K\; ((X))\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \backslash \; двоеточие\; K\; ((X))\; \backslash \; to\; K\; ((X))\}$

является $K\; \{\; \backslash \; displaystyle\; K\}$-производное, удовлетворяющее

$ker\; \; D\; =\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ker\; D\; =\; K\}$

$im\; \; D\; =\; \{f\; \in \; K\; ((X)):\; [X\; -\; 1]\; f\; =\; 0\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{im\}\; D\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{f\; \backslash \; in\; K\; ((X)):\; [X\; ^\; \{-\; 1\}]\; f\; =\; 0\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Последнее показывает, что коэффициент из $X\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{-\; 1\}\}$в $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$представляет особый интерес; он называется формальным остатком $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и обозначается $Res\; \; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; (f)\}$. Карта

$Res:\; K\; ((X))\; \to \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}:\; K\; ((X))\; \backslash \; to\; K\}$

равно $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$-линейная, и, согласно вышеизложенному наблюдению, имеется точная последовательность

$0\; \to \; K\; \to \; K\; ((X))\; \to \; DK\; ((X))\; \to \; Res\; K\; \to \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; K\; \backslash \; к\; K\; ((X))\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{D\}\}\; K\; ((X))\; \backslash ;\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \; operatorname\; \{Res\}\}\}\; \backslash ;\; K\; \backslash \; to\; 0.\}$

Некоторые правила исчисление . Как вполне определенное следствие приведенного выше определения и правил вывода, для любого $f,\; g\; \in \; K\; ((X))\; \{\backslash \; displaystyle\; f,\; g\; \backslash \; in\; K\; ((X))\}$

i. $Res\; \; (f\; \text{'})\; =\; 0;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; (f\; \text{'})\; =\; 0;\}$

ii. $Res\; \; (f\; g\; \prime )\; =\; -\; Res\; \; (f\; \prime \; g);\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; (fg\; \text{'})\; =\; -\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; (f\text{'}g);\}$

iii. $Res\; \; (f\; \prime \; /\; f)\; =\; ord\; \; (f),\; \forall \; f\; \ne \; 0;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; (f\; \text{'}/\; f)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{ord\}\; (f),\; \backslash \; qquad\; \backslash \; forall\; f\; \backslash \; neq\; 0;\}$

iv. $Res\; \; ((g\; \circ \; f)\; f\; \text{'})\; =\; ord\; \; (f)\; Res\; \; (g),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; \backslash \; left\; ((g\; \backslash \; circ\; f)\; f\text{'}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; имя\; оператора\; \{ord\}\; (f)\; \backslash \; имя\; оператора\; \{Res\}\; (g),\}$если $ord\; \; (g)>0;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ord\}\; (g)>0;\}$

v. $[X\; n]\; f\; (X)\; =\; Res\; \; (X\; -\; n\; -\; 1\; f\; (X)).\; \{\; \backslash \; displaystyle\; [X\; ^\; \{n\}]\; f\; (X)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{-\; n-1\}\; f\; (X)\; \backslash \; right).\}$

Свойство (i) является частью точной последовательности выше. Свойство (ii) следует из (i) применительно к $(fg)\; \prime \; =\; f\; \prime \; g\; +\; fg\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; (fg)\; \text{'}=\; f\text{'}g\; +\; fg\text{'}\}$. Свойство (iii): любой $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$можно записать в форме $f\; =\; X\; mg\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; X\; ^\; \{m\}\; g\}$, где $m\; =\; ord\; \; (е)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; \backslash \; operatorname\; \{ord\}\; (f)\}$и $ord\; \; (g)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ord\}\; (g)\; =\; 0\}$: тогда $f\; \prime \; /\; f\; =\; m\; X\; -\; 1\; +\; g\; \prime \; /\; g.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}/\; f\; =\; mX\; ^\; \{-\; 1\}\; +\; g\text{'}\; /\; g.\}$$ord\; \; (г)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ord\}\; (г)\; =\; 0\}$подразумевает $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$- это обратимый в $K\; [[X]]\; \subset \; im\; \; (D)\; =\; ker\; \; (Res),\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [[X]]\; \backslash \; subset\; \backslash \; operatorname\; \{im\}\; (D)\; =\; \backslash \; ker\; (\backslash \; operatorname\; \{Res\}),\}$откуда $Res\; \; (f\; \text{'}/\; f)\; =\; м.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; (f\; \text{'}/\; f)\; =\; m.\}$Свойство (iv): поскольку $im\; \; (D)\; =\; ker\; \; (Res),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{im\}\; (D)\; =\; \backslash \; ker\; (\backslash \; operatorname\; \{Res\}),\}$мы можем написать $f\; =\; f\; -\; 1\; X\; -\; 1\; +\; F\; \prime ,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; f\; \_\; \{\; -\; 1\}\; X\; ^\; \{-\; 1\}\; +\; F\; \text{'},\}$с $F\; \in \; K\; ((X))\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \backslash \; in\; K\; ((X))\}$. Следовательно, $(f\; \circ \; g)\; g\; \prime \; =\; f\; -\; 1\; g\; -\; 1\; g\; \prime \; +\; (F\; \prime \; \circ \; g)\; g\; \prime \; =\; f\; -\; 1\; g\; \prime \; /\; g\; +\; (F\; \circ \; g)\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; (f\; \backslash \; circ\; g)\; g\; \text{'}=\; f\; \_\; \{-\; 1\}\; g\; ^\; \{-\; 1\}\; g\text{'}\; +\; (F\; \text{'}\backslash \; circ\; g)\; g\text{'}\; =\; f\; \_\; \{-\; 1\}\; g\; \text{'}/\; g\; +\; (F\; \backslash \; circ\; g)\text{'}\; \}$и (iv) следует из (i) и (iii). Свойство (v) ясно из определений.

Формула обращения Лагранжа

Как упоминалось выше, любой формальный ряд $f\; \in \; K\; [[X]]\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; K\; [[X]]\}$с f 0 = 0 и f 1 ≠ 0 имеет состав, обратный $g\; \in \; K\; [[X]].\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; in\; K\; [[X]].\}$Имеет следующее соотношение между коэффициентами g и f («формула обращения Лагранжа»):

$k\; [X\; k]\; gn\; =\; n\; [Х\; -\; п]\; е\; -\; к.\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; [X\; ^\; \{k\}]\; g\; ^\; \{n\}\; =\; n\; [X\; ^\; \{-\; n\}]\; f\; ^\; \{-\; k\}.\}$

В частности, для n = 1 и всех k ≥ 1

$[X\; k]\; g\; =\; 1\; k\; Res\; \; (f\; -\; k).\; \{\backslash \; displaystyle\; [X\; ^\; \{k\}]\; g\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; \backslash \; left\; (f\; ^\; \{-\; k\}\; \backslash \; right).\}$

Так как доказательство Лагранжа Формула инверсии - очень короткое вычисление, стоит сообщить об этом здесь. Принимая во внимание $ord\; \; (f)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ord\}\; (f)\; =\; 1\}$, мы можем применить приведенные выше правила исчисления, в основном Правило (iv) заменяя $Икс\; ⇝\; е\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; \backslash \; rightsquigarrow\; f\; (X)\}$, чтобы получить:

$k\; [X\; k]\; gn\; =\; (v)\; k\; Res\; \; (gn\; X\; -\; k\; -\; 1)\; =\; (iv)\; k\; Res\; \; (X\; nf\; -\; k\; -\; 1\; f\; \prime )\; =\; цепь\; -\; Res\; \; (X\; n\; (f\; -\; k)\; \prime )\; =\; (ii)\; Res\; \; ((X\; n)\; \prime \; f\; -\; k)\; =\; цепь\; Res\; \; (X\; n\; -\; 1\; f\; -\; k)\; =\; (v)\; n\; [X\; -\; n]\; f\; -\; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; k\; [X\; ^\; \{k\}]\; g\; ^\; \{n\}\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{(v)\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; k\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; \backslash \; left\; (\; g\; ^\; \{n\}\; X\; ^\; \{-\; k-1\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{(iv)\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; k\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{n\}\; f\; ^\; \{-k-1\}\; f\; \backslash ,\; \text{'}\backslash \; right)\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{chain\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; -\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{n\}\; (f\; ^\; \{-\; k\})\; ^\; \{\text{'}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{(ii)\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (X\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\text{'}\; f\; ^\; \{-\; k\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{chain\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; n\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{n-1\}\; f\; ^\; \{-\; k\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{(v)\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; n\; [X\; ^\; \{-\; n\}]\; f\; ^\; \{-\; k\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Обобщения. Можно обратить внимание, что вышеприведенное вычисление может быть просто повторено в более общих настройках, чем K ((X)): обобщение формулы инверсии Лагранжа уже доступно, работающее в $C\; ((X))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ((X))\}$-модули $X\; \alpha \; C\; ((X)),\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ((X)),\}$где α - комплексный показатель степени. Как следствие, если f и g такие, как указано выше, с $f\; 1\; =\; g\; 1\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\}\; =\; g\_\; \{1\}\; =\; 1\}$, мы можем связать комплекс степени f / X и g / X: точно, если α и β - ненулевые комплексные числа с отрицательной целой суммой, $m\; =\; -\; \alpha \; -\; \beta \; \in \; N,\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; -\; \backslash \; alpha\; -\; \backslash \; beta\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\},\}$, тогда

$1\; \alpha \; [X\; m]\; (f\; X)\; \alpha \; =\; -\; 1\; \beta \; [X\; m]\; (g\; X)\; \beta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; [X\; ^\; \{m\}]\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{f\}\; \{X\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; beta\}\}\; [X\; ^\; \{m\}]\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{g\}\; \{X\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; beta\}.\}$

Например, таким образом можно найти степенной ряд для комплексные степени функции Ламберта.

Степенный ряд от нескольких чисел

Можно определить формальный степенной ряд от любого числа неопределенных (даже бесконечно многих). Если I - набор индексов, а X I - набор неопределенных X i для i∈I, то моном X - любое конечное произведение элементов X I (повторения разрешены); формальный степенной в X I с коэффициентами в кольце R определяется любым отображением из набора одночленов X в соответствующем коэффициенте c α и обозначается $\sum \; \alpha \; с\; \alpha \; Икс\; \alpha \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; с\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$. Множество всех таких формальных степенных рядов обозначается $R\; [[XI]],\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X\_\; \{I\}]],\}$, и ему задается кольцевая структура путем определения

$(\sum \; \alpha \; с\; \alpha \; Икс\; \alpha )\; +\; (\sum \; \alpha \; d\; \alpha \; Икс\; \alpha )\; знак\; равно\; \sum \; \alpha \; (с\; \alpha \; +\; d\; \alpha )\; Икс\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; c\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; X\; ^\; \{\; \backslash \; alpha\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; d\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (c\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; +\; d\_\; \{\; \backslash \; alpha\})\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$

и

$(\sum \; \alpha \; c\; \alpha \; X\; \alpha )\; \times \; (\sum \; \beta \; d\; \beta \; X\; \beta )\; =\; \sum \; \alpha ,\; \beta \; c\; \alpha \; d\; \beta \; X\; \alpha \; +\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; с\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; d\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; X\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\}\; c\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; d\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\}\}$

Топология

Топология на $R\; [[XI]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X\_\; \{I\}]]\}$такова, что последовательность ее элементов сходится, только если для каждого монома X стабилизируется соответствующий коэффициент. Если я конечно, то это J-адическая топология, где J - идеал $R\; [[XI]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X\_\; \{I\}]]\}$, порожденный всеми неопределенные в X Я. Это неверно, если я бесконечно. Например, если $I\; =\; N,\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \backslash \; mathbb\; \{N\},\}$, тогда последовательность $(fn)\; n\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; (f\_\; \{n\})\; \_\; \{п\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$с $fn\; =\; X\; n\; +\; X\; n\; +\; 1\; +\; X\; n\; +\; 2\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{n\}\; =\; X\_\; \{n\}\; +\; X\_\; \{n\; +\; 1\}\; +\; X\_\; \{n\; +\; 2\}\; +\; \backslash \; cdots\}$не сходится с любой J-адической топологией на R, но ясно, что для каждого монома соответствующий коэффициент стабилизируется.

Как отмечалось выше, топология кольца повторяющихся формальных степенных рядов, например $R\; [[X]]\; [[Y]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X]]\; [[Y]]\}$обычно выбирается таким образом, что оно становится изоморфным как топологическое кольцо с $R\; [[X,\; Y]].\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X,\; Y]].\}$

Операции

Все операции, модели для серий в одной переменной, могут быть расширены до случая нескольких факторов.

• Серия обратима тогда и только тогда, когда ее постоянный член обратим в R.

• Композиция f (g (X)) двух серий f и g определяется, если f является серией в одном неопределенном элементенте, и постоянный член g равен нулю. Для ряда f с ограниченными неопределенными значениями аналогично может быть определена форма «композиции», с таким количеством отдельных рядов вместо g, сколько имеется неопределенных.

В случае формальной производной теперь есть отдельные операторы частной производной, которые производят дифференцирование по каждой неопределенности. Все они ездят друг с другом на работу.

Универсальное свойство

В случае нескольких чисел универсальное свойство, характеризующее $R\; [[X\; 1,\dots ,\; X\; r]]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [[X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{r\}]]\}$становится следующим. Если S коммутативная ассоциативная алгебра над R, если I идеал S такой, то I-адическая топология на S полна, и если x 1,..., x r элементами являются I, тогда существует уникальное отображение $\Phi :\; R\; [[X\; 1,\dots ,\; X\; r]]\; \to \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi:\; R\; [[X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{r\}]]\; \backslash \; to\; S\}$со свойствами:

• Φ является гомоморфизмом R-алгебр

• Φ непрерывен

• Φ (X i) = x i для i = 1,..., р.

Некоммутирующие переменные

Случай несколько вариантов может быть обобщен, взяв некоммутирующие переменные X i для i ∈ I, где I - набор индексов, а моном X - любое слово в X I ; формальный степенной в X I с коэффициентами в кольце R определяется любым отображением из числа одночленов X в соответствующем коэффициенте c α и обозначается $\sum \; \alpha \; с\; \alpha \; Икс\; \alpha \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; с\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$. Множество всех таких формальных степенных рядов обозначается R «X I », и ему задается кольцевая структура путем определения поточечного добавления

$(\sum \; \alpha \; c\; \alpha \; X\; \alpha )\; +\; ((\alpha \; d\; \alpha \; Икс\; \alpha )\; знак\; равно\; \sum \; \alpha \; (с\; \alpha \; +\; d\; \alpha )\; Икс\; \alpha \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; c\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; d\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (c\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; +\; d\; \_\; \{\backslash \; alpha\})\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$

и умножение по

$(\sum \; \alpha \; с\; \alpha \; Икс\; \alpha )\; \times \; (\sum \; \alpha \; d\; \alpha \; Икс\; \alpha )\; =\; \sum \; \alpha ,\; \beta \; с\; \alpha \; d\; \beta \; Икс\; \alpha \; \cdot \; Икс\; \beta \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; альфа\}\; c\_\; \{\; \backslash \; alpha\}\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; d\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\}\; c\_\; \{\backslash \; alpha\}\; d\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; cdot\; X\; ^\; \{\backslash \; beta\}\}$

где · обозначают конкатенацию слов. Эти формальные степенные ряды по R кольцо Магнуса над R.

На полукольце

Учитывая алфавит $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$и полукол ьцо $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$. Формальный степенной ряд над $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, поддерживаемый на языке $\Sigma \; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{*\}\}$, обозначается $S\; ⟨⟨\Sigma \; \ast \; ⟩⟩\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; \backslash \; langle\; \backslash \; langle\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{*\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; rangle\}$. Он состоит из всех отображений $r:\; \Sigma \; \ast \; \to \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; r:\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{*\}\; \backslash \; to\; S\}$, где $\Sigma \; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{*\; \}\}$- это свободный моноид, сгенерированный непустым набором $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$.

Элементы $S\; ⟨⟨\Sigma \; \ast ⟩⟩\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; \backslash \; langle\; \backslash \; langle\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{*\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; rangle\}$можно записать как формальные суммы

$r\; =\; \sum \; w\; \in \; \Sigma \; \ast \; (r,\; w)\; w.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{w\; \backslash \; in\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{*\}\}\; (r,\; w)\; w.\}$

где $(r,\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; (r,\; w)\}$обозначает значение $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$в слове $w\; \in \; \Sigma \; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \backslash \; in\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{*\}\}$. Элементы $(r,\; w)\; \in \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; (r,\; w)\; \backslash \; in\; S\}$называются коэффициентами $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$.

для $r\; \in \; S\; ⟨⟨\Sigma \; \ast \; ⟩⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; in\; S\; \backslash \; langle\; \backslash \; langle\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{*\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; rangle\}$поддержка $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- это множество

$supp\; \; (r)\; =\; \{w\; \in \; \Sigma \; \ast \; |\; (г,\; ш)\; \ne \; 0\}\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{Supp\}\; (г)\; =\; \backslash \; \{ш\; \backslash \; in\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{*\}\; |\; \backslash \; (r,\; w)\; \backslash \; neq\; 0\; \backslash \}\}$

Серия, где каждый коэффициент либо $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$, либо $1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$называется характерной серией его поддержки.

Подмножество $S\; ⟨⟨\Sigma \; \ast \; ⟩⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; langle\; \backslash \; langle\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{*\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; rangle\}$, состоящее из всех серий с конечной опора обозначается $S\; ⟨\Sigma \; \ast ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; langle\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{*\}\; \backslash \; rangle\}$и называется многочленами.

Для $r\; 1,\; r\; 2\; \in \; S\; ⟨⟨\Sigma \; \ast \; ⟩⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{1\},\; r\_\; \{2\}\; \backslash \; in\; S\; \backslash \; langle\; \backslash \; langle\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{*\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; rangle\}$и $s\; \in \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash \; in\; S\}$, сумма $r\; 1\; +\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{1\}\; +\; r\_\; \{\; 2\}\}$определяется как

$(r\; 1\; +\; r\; 2,\; w)\; =\; (r\; 1,\; w)\; +\; (r\; 2,\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; (r\_\; \{1\}\; +\; r\_\; \{2\}),\; ш)\; =\; (r\_\; \{1\},\; w)\; +\; (r\_\; \{2\},\; w)\}$

Произведение (Коши) $r\; 1\; \cdot \; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{1\}\; \backslash \; cdot\; r\_\; \{2\}\; \}$определяется как

$(r\; 1\; \cdot \; r\; 2,\; w)\; =\; \sum \; w\; 1\; w\; 2\; =\; w\; (r\; 1,\; w\; 1)\; (r\; 2,\; w\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (r\_\; \{1\; \}\; \backslash \; cdot\; r\_\; \{2\},\; w)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{w\_\; \{1\}\; w\_\; \{2\}\; =\; w\}\; (r\_\; \{1\},\; w\_\; \{1\})\; (r\_\; \{2\},\; w\_\; \{2\})\}$

Произведение Адамара $r\; 1\; \odot \; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{1\}\; \backslash \; odot\; r\_\; \{2\}\}$определяется как

$(r\; 1\; \odot \; r\; 2,\; вес)\; =\; (р\; 1,\; вес)\; (р\; 2,\; вес)\; \{\backslash \; Displaystyle\; (r\_\; \{1\}\; \backslash \; odot\; r\_\; \{2\},\; ш)\; =\; (r\_\; \{1\},\; ш)\; (r\_\; \{2\},\; ш)\}$

И произведения по скаляру $sr\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; sr\_\; \{1\}\}$и $r\; 1\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{1\}\; s\}$на

$(sr\; 1,\; w)\; =\; s\; (r\; 1,\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; (sr\_\; \{1\},\; w)\; =\; s\; (r\_\; \{1\},\; w)\}$и $(r\; 1\; s,\; w)\; =\; (r\; 1,\; w)\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; (r\_\; \{1\}\; s,\; w)\; =\; (\; r\_\; \{1\},\; w)\; s\}$соответственно.

С помощью этих операций $(S\; ⟨⟨\Sigma \; \ast ⟩⟩,\; +,\; \cdot ,\; 0,\; \epsilon )\; \{\backslash \; displaystyle\; (S\; \backslash \; langle\; \backslash \; langle\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{*\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; rangle,\; +,\; \backslash \; cdot,\; 0,\; \backslash \; varepsilon)\}$и $(S\; ⟨\Sigma \; \ast ⟩,\; +,\; \cdot ,\; 0,\; \epsilon )\; \{\backslash \; displaystyle\; (S\; \backslash \; langle\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{*\}\; \backslash \; rangle,\; +,\; \backslash \; cdot,\; 0,\; \backslash \; varepsilon)\}$- полукольца, где $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$- пустое слово в $\Sigma \; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{*\}\}$.

Эти формальные степенные ряды используются для моделирования поведения взвешенных автоматов в теоретическая информатика, когда коэффициенты $(r,\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; (r,\; w)\}$ряда принимаются как вес пути с меткой $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$в автоматах.

Замена индекса, установленного упорядоченной абелевой группой

Предположим, $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$- упорядоченная абелева группа, означает создание абелевой группы с общим упорядочением с учетом добавления группы, так что тогда и только тогда, когда для всех $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$. Пусть I будет хорошо упорядоченным подмножеством $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, что означает, что I не содержит бесконечной нисходящей цепочки.. Рассмотрим набор, состоящий из

$\sum \; i\; \in \; I\; ai\; X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\; a\_\; \{i\}\; X\; ^\; \{i\}\}$

для всех таких I, с $ai\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\}$в коммутативном кольце $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, где мы предполагаем, что для любого набора индексов, если все элементы $ai\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\}$равны нулю, тогда сумма равна нулю. Тогда $R\; ((G))\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ((G))\}$- кольцо формальных степенных рядов на $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$; из-за того, что набор индексации должен быть упорядочен, продукт четко определен, и мы, конечно, предполагаем, что два элемента, которые отличаются на ноль, являются одинаковыми. Иногда запись $[[RG]]\; \{\backslash \; displaystyle\; [[R\; ^\; \{G\}]]\}$используется для обозначения $R\; ((G))\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ((G))\}$.

Различные свойства $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$переходят в $R\; ((G))\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ((G))\}$. Если $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$- поле, то также и $R\; ((G))\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ((G))\}$. Если $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$- упорядоченное поле, мы можем заказать $R\; ((G))\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ((G))\}$на задание любого элемента иметь тот же знак, что и его ведущий коэффициент, определенный как наименьший элемент набора индексов I, связанный с ненулевым коэффициентом. Наконец, если $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$является делимой группой и $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$является действительным закрытым поле, тогда $R\; ((G))\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ((G))\}$действительно закрытое поле, и если $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$является алгебраически замкнутым, то также и $R\; ((G))\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ((G))\}$.

Эта теория принадлежит Гансу Хану, который также показал, что подполя получаются, когда количество (ненулевых) членов ограничено некоторой фиксированной бесконечной мощностью.

Примеры и связанные темы

• Серия Белла используется для изучения свойств мультипликативных арифметических функций
• Формальные группы используются для определения абстрактного группового закона с использованием формальной мощности серия
• Серия Puiseux является расширением формальной серии Лорана, допускающей дробные показатели
• серии Rational

См. также

• Кольцо серии с ограниченной степенью

Примечания

Ссылки

• Берстель, Жан ; Ройтенауэр, Кристоф (2011). Некоммутативные рациональные ряды с приложениями. Энциклопедия математики и ее приложений. 137 . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250.68007.
• Николас Бурбаки : Алгебра, IV, §4. Springer-Verlag 1988.

Дополнительная литература

• W. Куич. Полукольца и формальные степенные ряды: их отношение к формальным языкам и теории автоматов. В Дж. Розенберге и А. Саломаа, редакторах, «Справочник формальных языков», том 1, глава 9, страницы 609–677. Springer, Берлин, 1997, ISBN 3-540-60420-0
• Дросте, М., и Куич, В. (2009). Полукольца и формальные степенные ряды. Справочник по взвешенным автоматам, 3–28. doi :10.1007/978-3-642-01492-5_1