Степенный ряд

Бесконечная сумма одночленов

В математике, степенной ряд (по одной переменной) представляет собой бесконечный ряд вида

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; an\; (x\; -\; c)\; n\; =\; a\; 0\; +\; a\; 1\; (x\; -\; c)\; 1\; +\; a\; 2\; (\; х\; -\; с)\; 2\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; left\; (xc\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; =\; a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; (xc)\; ^\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; (xc)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

где a n представляет собой коэффициент при n-м члене, а c - постоянная. a n не зависит от x и может быть выражено как функция от n (например, $an\; =\; 1\; /\; n!\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; 1\; /\; n!\}$). Степенные ряды полезны при анализе, поскольку они возникают как ряды Тейлора бесконечно дифференцируемых функций. Фактически, теорема Бореля означает, что любой степенной ряд является рядом Тейлора некоторой гладкой функции.

Во многих ситуациях c (центр ряда) равен нулю, например, при рассмотрении серии Маклорена. В таких случаях степенной ряд принимает более простую форму

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; travelling\; =\; a\; 0\; +\; a\; 1\; x\; +\; a\; 2\; x\; 2\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; x\; ^\; \{n\}\; =\; a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; x\; +\; a\_\; \{2\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

Эти степенные ряды возникают в основном в анализе, но также встречаются в комбинаторике как производящие функции (разновидность формального степенного ряда ) и в электротехнике (под названием Z- преобразовать ). Знакомое десятичное представление для вещественных чисел также можно рассматривать как пример степенного ряда с целыми коэффициентами, но с аргументом x, фиксированным на ⁄ 10. В теории чисел концепция p-адических чисел также тесно связана с концепцией степенного ряда.

• 1 Примеры
  • 1.1 На множестве показателей
• 2 Радиус сходимости
• 3 Операции над степенными рядами
  • 3.1 Сложение и вычитание
  • 3.2 Умножение и деление
  • 3.3 Дифференцирование и интегрирование
• 4 Аналитические функции
  • 4.1 Поведение вблизи границы
• 5 Формальный степенной ряд
• 6 Степенный ряд с несколькими переменными
• 7 Порядок степенного ряда
• 8 Примечания
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Показательная функция (синим цветом) и сумма первых n + 1 членов ее степенного ряда Маклорена (красным).

Любой многочлен можно легко выразить в виде степенного ряда вокруг любого центра c, хотя все коэффициенты, кроме конечного числа, будут равны нулю, поскольку степенной ряд имеет бесконечно много членов по формуле определение. Например, многочлен $f\; (x)\; =\; x\; 2\; +\; 2\; x\; +\; 3\; \{\backslash \; textstyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 2x\; +\; 3\}$может быть записан как степень ряд вокруг центра $c\; =\; 0\; \{\backslash \; textstyle\; c\; =\; 0\}$as

$f\; (x)\; =\; 3\; +\; 2\; x\; +\; 1\; x\; 2\; +\; 0\; x\; 3\; +\; 0\; x\; 4\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; 3\; +\; 2x\; +\; 1x\; ^\; \{2\}\; +\; 0x\; ^\; \{3\}\; +\; 0x\; ^\; \{4\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash ,\}$

или вокруг центра $c\; =\; 1\; \{\backslash \; стиль\; текста\; c\; =\; 1\}$as

$f\; (x)\; =\; 6\; +\; 4\; (x\; -\; 1)\; +\; 1\; (x\; -\; 1)\; 2\; +\; 0\; (x\; -\; 1)\; 3\; +\; 0\; (x\; -\; 1)\; 4\; +\; \cdots \; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (х)\; =\; 6\; +\; 4\; (х-1)\; +1\; (х-1)\; ^\; \{2\}\; +0\; (х-1)\; ^\; \{3\}\; +0\; (х-1)\; ^\; \{4\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash ,\}$

или вокруг любого другого центра c. Можно рассматривать степенные ряды как «многочлены бесконечной степени», хотя степенные ряды не являются многочленами.

геометрический ряд формула

$1\; 1\; -\; x\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; xn\; =\; 1\; +\; x\; +\; x\; 2\; +\; x\; 3\; +\; \cdots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{1-x\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{n\}\; =\; 1\; +\; x\; +\; x\; ^\; \{2\}\; +\; x\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots,\}$

, что действительно для , является одним из наиболее важных примеров степенного ряда, как и формула экспоненциальной функции

$e\; x\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; x\; n\; n!\; Знак\; равно\; 1\; +\; х\; +\; х\; 2\; 2!\; +\; х\; 3\; 3!\; +\; \cdots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{x\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; =\; 1\; +\; x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{2!\}\}\; +\; \{\backslash \; Frac\; \{x\; ^\; \{3\}\}\; \{3!\}\}\; +\; \backslash \; Cdots,\}$

и формула синуса

$sin\; \; (x)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; (-\; 1)\; NX\; 2\; N\; +\; 1\; (2\; N\; +\; 1)!\; =\; х\; -\; х\; 3\; 3!\; +\; х\; 5\; 5!\; -\; х\; 7\; 7!\; +\; \cdots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\; x\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\}\; \{(2n\; +\; 1)!\}\}\; =\; x\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{3\}\}\; \{3!\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{5\}\}\; \{5!\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{7\}\}\; \{\; 7!\}\}\; +\; \backslash \; Cdots,\}$

действительно для всех действительных x.

Эти степенные ряды также являются примерами ряда Тейлора.

На множестве степеней

Отрицательные степени не допускаются в степенных рядах; например, $1\; +\; x\; -\; 1\; +\; x\; -\; 2\; +\; \cdots \; \{\backslash \; textstyle\; 1\; +\; x\; ^\; \{-\; 1\}\; +\; x\; ^\; \{-\; 2\}\; +\; \backslash \; cdots\}$не считается степенью серия (хотя это серия Laurent ). Точно так же дробные степени, такие как $x\; 1\; 2\; \{\backslash \; textstyle\; x\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$, не разрешены (но см. серия Пюизо ). Коэффициенты $an\; \{\backslash \; textstyle\; a\_\; \{n\}\}$не могут зависеть от $x\; \{\backslash \; textstyle\; x\}$, например,

$sin\; \; (Икс)\; Икс\; +\; грех\; \; (2\; Икс)\; Икс\; 2\; +\; грех\; \; (3\; Икс)\; Икс\; 3\; +\; \cdots \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sin\; (x)\; x\; +\; \backslash \; sin\; (2x)\; x\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sin\; (3x)\; x\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash ,\}$

не является степенным рядом.

Степенный ряд будет сходиться для одних значений переменной x и может расходиться для других. Все степенные ряды f (x) по степеням (x - c) сходятся в x = c. (Правильное значение f (c) = a 0 требует интерпретации выражения 0 как равного 1.) Если c - не единственная сходящаяся точка, то всегда есть число r с 0 < r ≤ ∞ such that the series converges whenever |x − c| < r and diverges whenever |x − c|>r. Число r называется радиусом сходимости степенного ряда; в общем случае он задается как

$r\; =\; lim\; inf\; n\; \to \; \infty \; |\; а\; п\; |\; -\; 1\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \backslash \; liminf\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; |\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\}\}$

или, что то же самое,

$r\; -\; 1\; =\; lim\; sup\; n\; \to \; \infty \; |\; а\; п\; |\; 1\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; limsup\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; |\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\}$

(это теорема Коши-Адамара ; см. предел высшего и нижнего предела для объяснения обозначений). Соотношение

$r\; -\; 1\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; |\; а\; п\; +\; 1\; а\; п\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; |\; \{a\_\; \{n\; +\; 1\}\; \backslash \; over\; a\_\; \{n\}\}\; \backslash \; right\; |\}$

также выполняется, если это предел существует.

Ряд абсолютно сходится при | x - c | < r and сходится равномерно на каждом компактном подмножестве из {x: | x - c | < r}. That is, the series is absolutely and компактно сходящийся внутри диска сходимости.

Для | x - c | = r, мы не можем сделать какого-либо общего утверждения о том, сходится ли ряд или расходится. Однако для случая вещественных переменных теорема Абеля утверждает, что сумма ряда непрерывна в точке x, если ряд сходится в точке x. В случае комплексных переменных мы можем только заявить о непрерывности отрезка прямой, начинающегося в c и заканчивающегося в x.

Сложение и вычитание

Когда две функции f и g разлагаются в степенной ряд вокруг одного и того же центра c, степенный ряд суммы или разности функций можно получить почленным сложением и вычитанием. То есть, если

$f\; (x)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; an\; (x\; -\; c)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; (\; xc)\; ^\; \{n\}\}$и $g\; (x)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; bn\; (x\; -\; c)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; b\_\; \{n\}\; (xc)\; ^\; \{n\}\}$

, тогда

$f\; (x)\; \pm \; g\; (x)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; (an\; \pm \; bn)\; (x\; -\; c)\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; pm\; g\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (a\_\; \{n\}\; \backslash \; pm\; b\_\; \{n\})\; (xc)\; ^\; \{n\}.\}$

Неправда, что если два степенных ряда $\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; travelling\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; x\; ^\; \{n\}\}$и $\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; bnxn\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; b\_\; \{n\}\; x\; ^\; \{n\}\}$имеют одинаковый радиус сходимости, тогда $\sum \; N\; =\; 0\; \infty \; (an\; +\; bn)\; xn\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (a\_\; \{n\}\; +\; b\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; x\; ^\; \{n\; \}\}$также имеет этот радиус сходимости. Если $an\; =\; (-\; 1)\; n\; \{\backslash \; textstyle\; a\_\; \{n\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\}$и $bn\; =\; (-\; 1)\; n\; +\; 1\; (1\; -\; 1\; 3\; n)\; \{\backslash \; textstyle\; b\_\; \{n\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; right)\}$, то обе серии имеют одинаковый радиус сходимости 1, но ряд $\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; (an\; +\; bn)\; xn\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; (-\; 1)\; n\; 3\; nxn\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (a\_\; \{n\}\; +\; b\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; x\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-\; 1)\; ^\; \{n\}\}\; \{3\; ^\; \{n\}\}\}\; x\; ^\; \{n\}\}$имеет радиус сходимости 3.

Умножение и деление

С теми же определениями для $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$и $g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\}$, степенной ряд произведения и частного функций может быть получен следующим образом:

$f\; (x)\; g\; (x)\; =\; (\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; an\; (x\; -\; c)\; n)\; (\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; bn\; (\; x\; -\; c)\; n)\; знак\; равно\; \sum \; i\; =\; 0\; \infty \; \sum \; j\; =\; 0\; \infty \; aibj\; (x\; -\; c)\; i\; +\; j\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; (\sum \; i\; =\; 0\; naibn\; -\; i)\; (x\; -\; c)\; n.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; е\; (х)\; г\; (х)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; (xc)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; b\_\; \{n\}\; (xc)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; j\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{i\}\; b\_\; \{j\}\; (xc)\; ^\; \{i\; +\; j\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{\; i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{i\}\; b\_\; \{ni\}\; \backslash \; right)\; (xc)\; ^\; \{n\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Последовательность $mn\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; naibn\; -\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{i\}\; b\_\; \{ni\}\}$известен как свертка последовательностей $an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\}$и $bn\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\}$.

Для деления, если определяется последовательность $dn\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{n\}\}$по

$f\; (x)\; g\; (x)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; an\; (x\; -\; c)\; n\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; bn\; (x\; -\; c)\; n\; =\; \sum \; n\; Знак\; равно\; 0\; \infty \; dn\; (x\; -\; c)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x)\}\; \{g\; (x)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\; \}\; (xc)\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; b\_\; \{n\}\; (xc)\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; d\_\; \{n\}\; (xc)\; ^\; \{n\}\}$

тогда

$f\; (x)\; =\; (\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; bn\; (x\; -\; c)\; n)\; (\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; dn\; (x\; -\; c)\; п)\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (х)\; =\; \backslash \; влево\; (\backslash \; сумма\; \_\; \{\; n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; b\_\; \{n\}\; (xc)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; d\_\; \{n\}\; (xc)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\}$

, и можно рекурсивно решить для членов $dn\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{n\}\}$путем сравнения коэффициентов.

Решение соответствующих уравнений дает формулы, основанные на определителях определенных матриц коэффициентов $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$и $g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\}$

$d\; 0\; =\; a\; 0\; b\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{0\}\}\; \{b\_\; \{0\}\}\}\; \}$

$dn\; =\; 1\; b\; 0\; n\; +\; 1\; \cdot \; det\; |\; a\; n\; b\; 1\; b\; 2\dots \; b\; n\; a\; n\; -\; 1\; b\; 0\; b\; 1\dots \; b\; n\; -\; 1\; a\; n\; -\; 2\; 0\; b\; 0\dots \; b\; n\; -\; 2\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; a\; 0\; 0\; 0\dots \; b\; 0\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{b\_\; \{0\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; det\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; a\_\; \{n\}\; b\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\}\; \backslash \; ldots\; b\_\; \{n\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{n-1\}\; b\_\; \{0\}\; b\_\; \{1\}\; \backslash \; ldots\; b\_\; \{n-1\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{n-2\}\; 0\; b\_\; \{0\}\; \backslash \; ldots\; b\_\; \{n-\; 2\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; a\_\; \{0\}\; 0\; 0\; \backslash \; ldots\; b\_\; \{0\}\; \backslash \; end\; \{vmatrix\}\}\}$

Дифференциация и интеграция

Как только функция $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$задана в виде степенного ряда, как указано выше, она дифференцируема на внутреннем области сходимости. Его можно дифференцировать и интегрировать довольно легко, рассматривая каждый член отдельно:

$f\; \prime \; (x)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; ann\; (x\; -\; c)\; n\; -\; 1\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; an\; +\; 1\; (n\; +\; 1)\; (x\; -\; c)\; n,\; \int \; f\; (x)\; dx\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; an\; (x\; -\; c)\; n\; +\; 1\; n\; +\; 1\; +\; k\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; an\; -\; 1\; (x\; -\; c)\; nn\; +\; k.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; f\; \text{'}(x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; n\; (xc)\; ^\; \{n-1\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\; +\; 1\}\; (n\; +\; 1)\; (xc)\; ^\; \{n\},\; \backslash \backslash \backslash \; int\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{n\}\; (xc)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{n\; +\; 1\}\}\; +\; k\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{n-1)\; \}\; (xc)\; ^\; \{n\}\}\; \{n\}\}\; +\; k.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Обе эти серии имеют тот же радиус сходимости, что и исходная.

Функция f, определенная на некотором открытом подмножестве U из R или C, называется аналитический, если он локально задается сходящимся степенным рядом. Это означает, что у каждого a ∈ U есть открытая окрестность V ⊆ U, такая, что существует степенной ряд с центром a, сходящийся к f (x) для любого x ∈ V.

Каждый степенной ряд с положительным радиусом сходимости аналитичен на внутренней своей области сходимости. Все голоморфные функции комплексно-аналитичны. Суммы и произведения аналитических функций являются аналитическими, как и частные, пока знаменатель не равен нулю.

Если функция аналитическая, то она бесконечно дифференцируема, но в реальном случае обратное, как правило, неверно. Для аналитической функции коэффициенты a n могут быть вычислены как

$a\; n\; =\; f\; (n)\; (c)\; n!\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; ^\; \{\backslash \; left\; (n\; \backslash \; right)\}\; \backslash \; left\; (c\; \backslash \; right)\}\; \{n!\}\}\}$

где $f\; (n)\; (c)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(n)\}\; (c)\}$обозначает n-ю производную f в точке c, а $f\; (0)\; (c)\; =\; f\; (c)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(0)\}\; (c)\; =\; f\; (c)\}$. Это означает, что каждая аналитическая функция локально представлена ​​своим рядом Тейлора.

Глобальная форма аналитической функции полностью определяется ее локальным поведением в следующем смысле: если f и g - две аналитические функции, определенные на одном и том же связное открытое множество U, и если существует такой элемент c∈U, что f (c) = g (c) для всех n ≥ 0, то f (x) = g (x) для всех x ∈ U.

Если дан степенной ряд с радиусом сходимости r, можно рассматривать аналитические продолжения ряда, т. Е. Аналитические функции f, которые определены на множествах, больших, чем {x: | х - с | < r } and agree with the given power series on this set. The number r is maximal in the following sense: there always exists a комплексное число x с | x - c | = r такое, что аналитическое продолжение ряда не может быть определено в точке x.

Разложение в степенной ряд обратной функции аналитической функции можно определить с помощью теоремы об обращении Лагранжа.

Поведение вблизи границы

Сумма степенного ряда с положительным радиусом сходимости является аналитической функцией в каждой точке внутри круга сходимости. Однако в точках на границе этого диска может происходить различное поведение. Например:

1. Дивергенция при расширении суммы до аналитической функции: $\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; zn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; z\; ^\; \{n\}\}$имеет радиус схождения, равный $1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$, и расходится в каждой точке $|\; z\; |\; Знак\; равно\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; |\; Z\; |\; =\; 1\}$. Тем не менее, сумма в равно $1\; 1\; -\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-z\}\}\}$, которое является аналитическим в каждой точке плоскости, кроме $z\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; 1\}$.
2. сходится в одних точках, в других расходится: $\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; n\; +\; 1\; znn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; 1)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{n\}\}\; \{n\}\}\}$имеет радиус конвергенции $1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$. Он сходится для $z\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; 1\}$, а расходится для $z\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; -1\}$
3. Абсолютная сходимость в каждой точке границы: $\sum \; N\; =\; 1\; \infty \; znn\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{n\}\}\; \{n\; ^\; \{2\}\}\}\}$имеет радиус схождения $1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$, в то время как он сходится абсолютно и равномерно в каждой точке $|\; z\; |\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |\; =\; 1\}$из-за М-теста Вейерштрасса, примененного с гипергармоническим сходящимся рядом $\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; N\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; ^\; \{2\}\}\}\}$.
4. сходится на замыкании диска сходимости, но не непрерывно sum: Серпинский привел пример степенного ряда с радиусом сходимости $1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$, сходящегося во всех точках с $|\; z\; |\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |\; =\; 1\}$, но сумма является неограниченной функцией и, в частности, разрывной. Достаточное условие односторонней непрерывности в граничной точке дается теоремой Абеля.

В абстрактной алгебре делается попытка уловить сущность мощности серии без ограничения полями действительных и комплексных чисел и без необходимости говорить о сходимости. Это приводит к концепции формальных степенных рядов, концепции, очень полезной в алгебраической комбинаторике.

Для расширения теории необходимо для целей многомерного исчисления. степенной ряд здесь определяется как бесконечный ряд вида

$f\; (x\; 1,\dots ,\; xn)\; =\; \sum \; j\; 1,\dots ,\; jn\; =\; 0\; \infty \; aj\; 1,\dots ,\; jn\; \prod \; к\; знак\; равно\; 1\; N\; (хк\; -\; ск)\; jk,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; j\_\; \{n\}\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{j\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; j\_\; \{n\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (x\_\; \{k\}\; -c\_\; \{k\})\; ^\; \{j\_\; \{k\}\},\; \}$

где j = (j 1,..., j n) - вектор натуральных чисел, коэффициенты a (j1,…, j n)обычно являются действительными или комплексными числами, а центр c = (c 1,..., c n) и аргумент x = (x 1,..., x n) обычно являются действительными или комплексными векторами. Символ $\Pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\}$- это символ произведения, обозначающий умножение. В более удобной мультииндексной нотации это можно записать как

$f\; (x)\; =\; \sum \; \alpha \; \in \; N\; n\; a\; \alpha \; (x\; -\; c)\; \alpha .\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; ^\; \{n\}\}\; a\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (xc)\; ^\; \{\backslash \; alpha\}.\}$

где $N\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$- это набор натуральных чисел, поэтому $N\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; ^\; \{n\}\}$- это набор упорядоченных n- кортежей натуральных чисел.

Теория таких рядов сложнее, чем рядов с одной переменной, с более сложными областями сходимости. Например, степенной ряд $\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; x\; 1\; nx\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{n\}\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{n\; \}\}$абсолютно сходится в множестве между двумя гиперболами. (Это пример лог-выпуклого множества в том смысле, что множество точек $(журнал\; \; |\; x\; 1\; |,\; журнал\; \; |\; x\; 2\; |)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; log\; |\; x\_\; \{1\}\; |,\; \backslash \; log\; |\; x\_\; \{2\}\; |)\}$, где $(x\; 1,\; x\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\})\}$лежит в указанной выше области, является выпуклым множеством. В более общем плане можно показать, что когда c = 0, внутренность области абсолютной сходимости всегда является лог-выпуклым множеством в этом смысле.) С другой стороны, в внутри этой области сходимости можно дифференцировать и интегрировать под знаком ряда, как это можно сделать с обычными степенными рядами.

Пусть α будет мультииндексом для степенного ряда f (x 1, x 2,..., x n). Порядок степенного ряда f определяется как наименьшее значение $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$такое, что существует α ≠ 0 с $r\; =\; |\; \alpha \; |\; знак\; равно\; \alpha \; 1\; +\; \alpha \; 2\; +\; \cdots \; +\; \alpha \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; |\; \backslash \; alpha\; |\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; alpha\; \_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\}$или $\infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; infty\}$, если f ≡ 0. В частности, для степенного ряда f (x) от одной переменной x порядок f - это наименьшая степень x с ненулевым коэффициентом. Это определение легко распространяется на серию Лорана.

• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press

• Weisstein, Eric W. «Formal Power Series». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик У. «Power Series». MathWorld.
• Полномочия комплексных чисел Майкла Шрайбера, Wolfram Demonstrations Project.