Полное метрическое пространство

редактировать
Набор с определением расстояния, где каждая последовательность точек, которые постепенно сближаются друг с другом, будет сходиться

В математическом анализе метрическое пространство M называется полным (или пространством Коши ), если каждая последовательность Коши точек в M имеет предел, который также находится в M, или, альтернативно, если каждая последовательность Коши в M сходится в M.

Интуитивно, пространство является полным, если нет «точки, пропавшие» от нее (внутри или на границе). Например, набор рациональных чисел не является полным, потому что, например, 2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}{\ sqrt {2}} "отсутствует" в нем, хотя можно построить последовательность рациональных чисел Коши, сходящуюся к ней (см. Дальнейшие примеры ниже). Всегда можно «заполнить все дыры», что приведет к заполнению данного пространства, как описано ниже.

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Примеры
  • 3 Некоторые теоремы
  • 4 Завершение
  • 5 Топологически полные пространства
  • 6 Альтернативы и обобщения
  • 7 См. Также
  • 8 Примечания
  • 9 Ссылки

Определение

Определение : последовательность x 1, x 2, x 3,... в метрическое пространство (X, d) называется Коши, если для каждого положительного действительного числа r>0 существует положительное целое число N такое, что для всех положительных целых чисел m, n>N,
d (x m, x n) < r.
Определение : метрическим пространством является инфимум всех констант μ {\ displaystyle \ textstyle \ mu}\ textstyle \ mu таких, что всякий раз, когда семейство {B ¯ (x α, r α)} {\ displaystyle \ textstyle \ left \ {{\ overline {B}} (x _ {\ alpha}, \, r _ {\ alpha}) \ right \}}{\ displaystyle \ textstyle \ left \ {{\ overline {B}} (x _ {\ alpha}, \, r _ {\ alpha}) \ right \}} пересекается попарно, пересечение ⋂ α B ¯ (x α, μ р α) {\ displaystyle \ bigcap _ {\ alpha} {\ overline {B}} (x _ {\ alpha}, \ mu r _ {\ alpha})}\ bigcap_ \ alpha \ overline {B} (x_ \ alpha, \ mu r_ \ alpha) непусто.
Определение : метрическое пространство (X, d) равно c завершите, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:
  1. Каждая последовательность Коши точек в X имеет предел, который также находится в X
  2. Каждая последовательность Коши в X сходится в X (то есть к некоторой точке X).
  3. Константа расширения (X, d) ≤ 2.
  4. Каждая убывающая последовательность непустое закрытое подмножество X, с диаметрами, стремящимися к 0, имеет непустое пересечение : если F n замкнуто и непусто, F n + 1 ⊆ F n для каждого n, и diam (F n) → 0, тогда существует точка x ∈ X, общая для всех множеств F n.

Примеры

Пространство Q рациональных чисел со стандартной метрикой, заданной абсолютным значение из разницы не является полным. Рассмотрим, например, последовательность, определяемую как x 1 = 1 и x n + 1 = x n 2 + 1 x n. {\ displaystyle x_ {n + 1} = {\ frac {x_ {n}} {2}} + {\ frac {1} {x_ {n}}}.}{\ displaystyle x_ {n + 1} = {\ frac {x_ {n}} {2}} + {\ frac {1} {x_ {n}}}.} Это последовательность Коши рациональных чисел, но она не сходится к какому-либо рациональному пределу: если последовательность действительно имеет предел x, то путем решения x = x 2 + 1 x {\ displaystyle x = {\ frac {x} {2} } + {\ frac {1} {x}}}{\ displaystyle x = {\ frac {x } {2}} + {\ frac {1} {x}}} обязательно x = 2, но ни одно рациональное число не обладает этим свойством. Однако, рассматриваемое как последовательность действительных чисел, оно сходится к иррациональному числу 2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}{\ sqrt {2}} .

открытый интервал (0,1), опять же с метрикой абсолютного значения, также не является полным. Последовательность, определяемая как x n = 1 / n, является последовательностью Коши, но не имеет ограничения в данном пространстве. Однако закрытый интервал [0,1] завершен; например, данная последовательность имеет предел в этом интервале, и предел равен нулю.

Пробел R действительных чисел и пробел C комплексных чисел (с метрикой, заданной абсолютным значением) заполнены, так же и евклидово пространство Rс метрикой обычного расстояния. Напротив, бесконечномерные нормированные векторные пространства могут быть полными или неполными; полные - это банаховы пространства. Пространство C [a, b] непрерывных вещественнозначных функций на замкнутом и ограниченном интервале является банаховым пространством и, следовательно, полным метрическим пространством относительно нормы супремума. Однако норма супремума не дает нормы на пространстве C (a, b) непрерывных функций на (a, b), поскольку оно может содержать неограниченные функции. Вместо этого с топологией компактной сходимости, C (a, b) может быть задана структура пространства Фреше : локально выпуклое топологическое векторное пространство, топология может быть индуцирована полной трансляционно-инвариантной метрикой.

Пространство Qpиз p-адических чисел является полным для любого простого числа p. Это пространство завершает Q с p-адической метрикой так же, как R завершает Q с обычной метрикой.

Если S - произвольный набор, то набор S всех последовательностей в S становится полным метрическим пространством, если мы определяем расстояние между последовательностями (x n) и (y n) равным 1 / N, где N - наименьший индекс, для которого x N отличается от y N <96.>, или 0, если такого индекса нет. Это пространство гомеоморфно произведению счетного количества копий дискретного пространства S.

Некоторые теоремы

Каждое компактное метрическое пространство является полным, хотя полные пространства не обязательно должны быть компактными. Фактически, метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и полностью ограничено. Это обобщение теоремы Гейне – Бореля, которая утверждает, что любое замкнутое и ограниченное подпространство S в R компактно и, следовательно, полно.

Пусть (X, г) быть полным метрическим пространством. Если A ⊆ X - замкнутое множество, то A также полно. Пусть (X, d) - метрическое пространство. Если A ⊆ X - полное подпространство, то A также замкнуто.

Если X - множество и M - полное метрическое пространство, то множество B (X, M) из все ограниченные функции f из X в M - полное метрическое пространство. Здесь мы определяем расстояние в B (X, M) через расстояние в M с нормой супремума

d (f, g) ≡ sup {d [f (x), g (x)] : x ∈ X} {\ displaystyle d (f, g) \ Equiv \ sup \ left \ {d [f (x), g (x)]: x \ in X \ right \}}d (f, g) \ Equiv \ sup \ left \ {d [е (х), г (х)]: х \ in X \ right \}

Если X a топологическое пространство и M - полное метрическое пространство, тогда множество C b (X, M), состоящее из всех непрерывных ограниченных функций f от X до M является замкнутым подпространством в B (X, M), а значит, также полным.

Теорема Бэра о категориях гласит, что каждое полное метрическое пространство является пространством Бэра. То есть объединение из счетного числа нигде не плотных подмножеств пространства имеет пустое внутреннее.

Теорема Банаха о неподвижной точке утверждает, что сжимающее отображение на полном метрическом пространстве допускает неподвижную точку. Теорема о неподвижной точке часто используется для доказательства теоремы об обратной функции для полных метрических пространств, таких как банаховы пространства.

Теорема (К. Урсеску) - Пусть X будет полным метрическим пространством и пусть S 1, S 2,... последовательность подмножеств X.

  • Если каждое S i замкнуто в X, то cl ⁡ (∪ i ∈ N int ⁡ S i) = cl ⁡ int ⁡ (∪ i ∈ NS я) {\ displaystyle \ operatorname {cl} \ left (\ cup _ {i \ in \ mathbb {N}} \ operatorname {int} S_ {i} \ right) = \ operatorname {cl} \ operatorname {int} \ left (\ cup _ {i \ in \ mathbb {N}} S_ {i} \ right)}{\ displaystyle \ operatorname {cl} \ left (\ cup _ {i \ in \ mathbb {N}} \ operatorname {int} S_ {i} \ right) = \ operatorname {cl} \ operatorname {int} \ left (\ cup _ {i \ in \ mathbb {N}} S_ {i} \ right)} .
  • Если каждый S i открыт в X, то int ⁡ (∩ i ∈ N cl ⁡ S я) знак равно int ⁡ cl ⁡ (∩ я ∈ NS я) {\ Displaystyle \ OperatorName {int} \ left (\ cap _ {я \ in \ mathbb {N}} \ OperatorName {cl} S_ {я } \ right) = \ operatorname {int} \ operatorname {cl} \ left (\ cap _ {i \ in \ mathbb {N}} S_ {i} \ right)}{\ displaystyle \ operatorname {int} \ left (\ cap _ {i \ in \ mathbb {N}} \ operatorname {cl} S_ {i} \ right) = \ operatorname {int} \ operatorname {cl} \ left (\ cap _ {i \ in \ mathbb {N}} S_ {i} \ right)} .

Завершение

Для любое метрическое пространство M, можно построить полное метрическое пространство M ′ (которое также обозначается как M), которое содержит M как плотное подпространство. Он имеет следующее универсальное свойство : если N - любое полное метрическое пространство, а f - любая равномерно непрерывная функция от M до N, то существует уникальная равномерно непрерывная функция f ′ из M ′ в N, продолжающая f. Пространство M 'определяется до изометрии этим свойством (среди всех полных метрических пространств, изометрически содержащих M), и называется пополнением M.

завершение M может быть построено как набор классов эквивалентности последовательностей Коши в M. Для любых двух последовательностей Коши x = (x n) и y = (y n) в M, мы можем определить их расстояние как

d (x, y) = lim nd (xn, yn) {\ displaystyle d (x, y) = \ lim _ {n} d \ left ( x_ {n}, y_ {n} \ right)}d (x, y) = \ lim_n d \ left (x_n, y_n \ right)

(Этот предел существует, потому что действительные числа являются полными.) Это всего лишь псевдометрический, но еще не метрика, поскольку две разные последовательности Коши может иметь расстояние 0. Но «имеющий расстояние 0» - это отношение эквивалентности на множестве всех последовательностей Коши, а множество классов эквивалентности является метрическим пространством, завершением M. Исходное пространство - это вложены в это пространство через отождествление элемента x из M 'с классом эквивалентности последовательностей в M, сходящихся к x (т. е.., класс эквивалентности, содержащий последовательность с постоянным значением x). При необходимости это определяет изометрию на плотное подпространство. Обратите внимание, однако, что эта конструкция явно использует полноту действительных чисел, поэтому завершение рациональных чисел требует немного иной обработки.

Конструкция вещественных чисел Кантором аналогична приведенной выше конструкции; действительные числа - это завершение рациональных чисел с использованием обычного абсолютного значения для измерения расстояний. Дополнительная тонкость, с которой приходится бороться, заключается в том, что логически недопустимо использовать полноту действительных чисел в их собственном построении. Тем не менее классы эквивалентности последовательностей Коши определены, как указано выше, и легко показать, что набор классов эквивалентности представляет собой поле , которое имеет рациональные числа в качестве подполя. Это поле является полным, допускает естественный тотальный порядок и является единственным полностью упорядоченным полным полем (с точностью до изоморфизма). Он определяется как поле действительных чисел (подробнее см. Также Построение действительных чисел ). Один из способов визуализировать эту идентификацию с действительными числами, как это обычно рассматривается, состоит в том, что класс эквивалентности, состоящий из тех последовательностей Коши рациональных чисел, которые «должны» иметь данный реальный предел, отождествляется с этим действительным числом. Усечения десятичного разложения дают только один выбор последовательности Коши в соответствующем классе эквивалентности.

Для простого p p-адические числа возникают в результате завершения рациональных чисел относительно другой метрики.

Если предыдущая процедура завершения применяется к нормированному векторному пространству, результатом будет банахово пространство, содержащее исходное пространство как плотное подпространство, и если оно примененное к внутреннему пространству продукта, результатом будет гильбертово пространство, содержащее исходное пространство как плотное подпространство.

Топологически полные пространства

Полнота - это свойство метрики, а не топологии, что означает, что полное метрическое пространство может быть гомеоморфно неполный. Примером служат действительные числа, которые полны, но гомеоморфны открытому интервалу (0,1), который не является полным.

В топологии рассматриваются полностью метризуемые пространства, пространства, для которых существует по крайней мере одна полная метрика, порождающая данную топологию. Полностью метризуемые пространства можно охарактеризовать как те пространства, которые можно записать как пересечение счетного числа открытых подмножеств некоторого полного метрического пространства. Поскольку вывод теоремы Бэра о категориях является чисто топологическим, он применим и к этим пространствам.

Полностью метризуемые пространства часто называют топологически полными. Однако последний термин несколько произвольный, поскольку метрика не является самой общей структурой топологического пространства, для которой можно говорить о полноте (см. Раздел Альтернативы и обобщения). Действительно, некоторые авторы используют термин топологически полное для более широкого класса топологических пространств, полностью униформизируемых пространств.

Топологическое пространство, гомеоморфное сепарабельному полному метрическому пространству, называется польским пространство.

Альтернативы и обобщения

Поскольку последовательности Коши также могут быть определены в общем топологические группы, альтернатива использованию метрической структуры для определения полноты и построения завершение пространства заключается в использовании групповой структуры. Это чаще всего наблюдается в контексте топологических векторных пространств, но требует только существования непрерывной операции «вычитания». В этой настройке расстояние между двумя точками x и y измеряется не действительным числом ε через метрику d в сравнении d (x, y) < ε, but by an open neighbourhood N of 0 via subtraction in the comparison x − y ∈ N.

Общее обобщение этих определений можно найти в контексте однородное пространство, где окружение - это набор всех пар точек, которые находятся не более чем на определенном «расстоянии» друг от друга.

Также возможно заменить последовательности Коши в определении полноты на сети Коши или фильтры Коши. Если каждая сеть Коши (или, что эквивалентно, каждый фильтр Коши) имеет предел в X, то X называется полным. Кроме того, можно построить пополнение для произвольного равномерного пространства, подобное пополнению метрических пространств. Наиболее общая ситуация, в которой применяются сети Коши, - это пространства Коши ; у них тоже есть понятие полноты и завершения, как и у однородных пространств.

См. Также

Примечания

Ссылки

  • Келли, Джон Л. (1975). Общая топология. Springer. ISBN 0-387-90125-6.
  • Крейсциг, Эрвин, Вводный функциональный анализ с приложениями (Wiley, New York, 1978). ISBN 0-471-03729-X
  • Лэнг, Серж, «Реальный и функциональный анализ» ISBN 0 -387-94001-4
  • Мейсе, Рейнхольд; Фогт, Дитмар (1997). Введение в функциональный анализ. Рамануджан, М. (пер.). Оксфорд: Clarendon Press; Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-851485-9.
Последняя правка сделана 2021-05-15 08:14:17
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте