Войти
Обычный куспид в (0, 0) на полукубической параболе x – y = 0 В математике, a cusp, иногда называемый spinode в старых текстах, - это точка на кривой кривой, где движущаяся точка должна изменить направление. Типичный пример приведен на рисунке. Таким образом, куспид представляет собой тип особой точки кривой.
. Для плоской кривой, определяемой аналитическим, параметрическим уравнением
куспид - это точка, в которой обе производные f и g равны нулю, а производная по направлению в направлении касательной меняет знак (направление касательной - это направление наклона 
Для кривой, определяемой неявным уравнением
что равно гладкий, точки возврата - это точки, в которых члены наинизшей степени разложения Тейлора функции F являются степенью линейного многочлена ; однако не все особые точки, обладающие этим свойством, являются каспами. Теория серии Пюизо подразумевает, что, если F является аналитической функцией (например, полиномом ), линейное изменение координат позволяет кривой быть параметризованный в окрестности куспида, как
где a - действительное число, m - положительное четное число, а S (t) - степенной ряд порядка k (степень ненулевого члена самой низкой степени) больше m. Число m иногда называют порядком или кратностью точки возврата, и оно равно степени ненулевой части младшей степени F.
Эти определения были обобщены на кривые, определяемые дифференцируемыми функции автора Рене Тома и Владимира Арнольда следующим образом. Кривая имеет острие в точке, если существует диффеоморфизм окрестности точки в окружающем пространстве, который отображает кривую на один из определенных выше пиков.
В некоторых контекстах и в оставшейся части этой статьи определение куспида ограничивается случаем куспида второго порядка, то есть случаем, когда m = 2.
Переворот плоской кривой (второго порядка) может быть представлен в следующей форме посредством диффеоморфизма плоскости: x - y = 0, где k - целое положительное число.
Рассмотрим smooth вещественная функция двух переменных, скажем, f (x, y), где x и y - действительные числа. Итак, f - это функция от плоскости до прямой. Пространство всех таких гладких функций воздействует на группу диффеоморфизмов плоскости и диффеоморфизмы прямой, т. Е. Диффеоморфные замены координата как в источнике, так и в целевом. Это действие разбивает все функциональное пространство на классы эквивалентности, т.е. орбиты группового действия .
Обозначено одно такое семейство классов эквивалентности на Ak, где k - неотрицательное целое число. Это обозначение ввел В. И. Арнольд. Функция f называется функцией типа A k, если она лежит на орбите x ± y, т.е. существует диффеоморфное изменение координат в источнике и цели, которое переводит f в одну из этих форм. Говорят, что эти простые формы x ± y дают нормальные формы для особенностей типа A k. Обратите внимание, что A 2n такие же, как A 2n, поскольку диффеоморфное изменение координаты (x, y) → (x, −y) в источнике переводит x + y в х - у. Таким образом, мы можем исключить ± из обозначения A 2n.
Затем точки возврата задаются наборами нулевого уровня представителей классов эквивалентности A 2n, где n ≥ 1 является целым числом.
Таким образом, особенность находится в том же дифференциальном классе, что и куспид уравнения 
, которая является особенностью типа A 4, термин был расширен на все такие особенности. Эти каспы не являются общими как каустики и волновые фронты. Бугорок рамфоида и обычный бугорок недиффеоморфны. Параметрическая форма: 
.Для типа A 4 -особенность, нам нужно, чтобы f имела вырожденную квадратичную часть (это дает тип A ≥2), что L делит кубические члены (это дает тип A ≥ 3), другое условие делимости (дающее тип A ≥4) и окончательное условие неделимости (дающее тип точно A 4).
Чтобы увидеть, откуда берутся эти дополнительные условия делимости, предположим, что f имеет вырожденную квадратичную часть L и что L делит кубические члены. Отсюда следует, что ряд Тейлора третьего порядка функции f задается формулой L ± LQ, где Q квадратично по x и y. Мы можем заполнить квадрат, чтобы показать, что L ± LQ = (L ± ½Q) - ¼Q. Теперь мы можем произвести диффеоморфную замену переменной (в этом случае мы просто заменяем многочлены линейно независимыми линейными частями) так, чтобы (L ± ½Q) - ¼Q → x 1 + P 1, где P 1 - это кварт (четвертый порядок) в x 1 и y 1. Условие делимости для типа A ≥4 состоит в том, что x 1 делит P 1. Если x 1 не делит P 1, тогда у нас есть тип точно A 3 (нулевой уровень-набор здесь - tacnode ). Если x 1 делит P 1, мы завершаем квадрат на x 1 + P 1 и меняем координаты так, чтобы мы имели x 2 + P 2, где P 2 - квинтика (пятый порядок) в x 2 и y 2. Если x 2 не делит P 2, тогда мы имеем в точности тип A 4, то есть набор нулевого уровня будет куспидом куспида.
Обычный куспид, возникающий как каустика световых лучей на дне чашки. Куспид появляется естественно, когда проецируется в плоскость плавная кривая в трехмерном евклидовом пространстве. В общем случае такая проекция представляет собой кривую, особенностями которой являются точки самопересечения и обычные точки возврата. Точки самопересечения появляются, когда две разные точки кривых имеют одинаковую проекцию. Обычные выступы появляются, когда касательная к кривой параллельна направлению проекции (то есть когда касательная проецируется на единственную точку). Более сложные особенности возникают, когда одновременно происходит несколько явлений. Например, ромфоидные бугры возникают для точек перегиба (и для точек волнистости ), для которых касательная параллельна направлению проекции.
Во многих случаях, и обычно в компьютерном зрении и компьютерной графике, проецируемая кривая является кривой критических точек ограничение на (гладкий) пространственный объект проекции. Таким образом, куспид выступает как особенность контура изображения объекта (видение) или его тени (компьютерная графика).
Каустики и волновые фронты - это другие примеры кривых, имеющих выступы, которые видны в реальном мире.
