Особая точка кривой

В геометрии, особая точка на кривой - это кривая, в которой кривая не задается с помощью плавного встраивания параметра. Точное определение особой точки зависит от типа изучаемой кривой.

• 1 Алгебраические кривые на плоскости
  • 1.1 Правильные точки
  • 1.2 Двойные точки
    • 1.2.1 Кривые узлы
    • 1.2.2 Угловые узлы
    • 1.2.3 Куспиды
    • 1.2.4 Дополнительная классификация
  • 1.3 Несколько точек
• 2 Параметрические кривые
• 3 Типы особых точек
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Алгебраические кривые на плоскости плоскость может быть определена как набор точек (x, y), удовлетворяющих уравнению вида f (x, y) = 0, где f является полиномиальной функцией f: R→R. Если f раскрывается как

$f\; =\; a\; 0\; +\; b\; 0\; x\; +\; b\; 1\; y\; +\; c\; 0\; x\; 2\; +\; 2\; c\; 1\; xy\; +\; c\; 2\; y\; 2\; +\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; a\_\; \{0\}\; +\; b\_\; \{0\; \}\; x\; +\; b\_\; \{1\}\; y\; +\; c\_\; \{0\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 2c\_\; \{1\}\; xy\; +\; c\_\; \{2\}\; y\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; dots\; \backslash ,\}$

Если начало координат (0, 0) находится на кривой, то a 0 = 0. Если b 1 ≠ 0, то теорема о неявной функции гарантирует, что существует гладкая функция h, так что кривая имеет форму y = h (x) около начала координат. Аналогично, если b 0 ≠ 0, тогда существует гладкая функция k, так что кривая имеет вид x = k (y) около начала координат. В любом случае существует гладкое отображение из R в плоскость, которая определяет кривую в окрестности начала координат. Обратите внимание, что в начале координат

$b\; 0\; =\; \partial \; f\; \partial \; x,\; b\; 1\; =\; \partial \; f\; \partial \; y,\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; partial\; f\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\},\; \backslash ,\; b\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; partial\; f\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\},\}$

, чтобы кривая не была сингулярной или регулярной в начале координат, если хотя бы одна из частных производных функции f не равна нулю. Особые точки - это те точки на кривой, в которых обе частные производные равны нулю,

$f\; (x,\; y)\; =\; \partial \; f\; \partial \; x\; =\; \partial \; f\; \partial \; y\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; partial\; f\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; =\; \{\backslash \; partial\; f\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\}\; =\; 0.\}$

Регулярные точки

Предположим, что кривая проходит через начало координат, и запишем y = mx. Тогда f можно записать

$f\; =\; (b\; 0\; +\; m\; b\; 1)\; x\; +\; (c\; 0\; +\; 2\; m\; c\; 1\; +\; c\; 2\; m\; 2)\; x\; 2\; +\dots .\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; (b\_\; \{0\}\; +\; mb\_\; \{1\})\; x\; +\; (c\_\; \{0\}\; +\; 2mc\_\; \{1\}\; +\; c\_\; \{2\}\; m\; ^\; \{2\})\; x\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; dots.\; \backslash ,\}$

Если b 0 + mb 1 не равно 0, то f = 0 имеет решение кратности 1 при x = 0, а начало координат является точкой единственного контакта с линией y = mx. Если b 0 + mb 1 = 0, то f = 0 имеет решение с кратностью 2 или выше и прямая y = mx, или b 0 x + b 1 y = 0, касается кривой. В этом случае, если c 0 + 2mc 1+c2m не равно 0, тогда кривая имеет точку двойного контакта с y = mx. Если коэффициент при x, c 0 + 2mc 1+c2m, равен 0, а коэффициент при x не равен, то начало координат является точкой перегиба кривой. Если коэффициенты при x и x равны 0, то начало координат называется точкой волнистости кривой. Этот анализ может быть применен к любой точке кривой, перемещая оси координат так, чтобы начало отсчета находилось в данной точке.

Двойные точки

Три лимона, иллюстрирующие типы двойных точка. При преобразовании в декартовы координаты как $(x\; 2\; +\; y\; 2\; -\; x)\; 2\; =\; (1.5)\; 2\; (x\; 2\; +\; y\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; -x)\; ^\; \{2\}\; =\; (1.5)\; ^\; \{2\}\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}),\}$левая кривая приобретает узел в начале координат, который - изолированная точка на плоскости. Центральная кривая, кардиоида, имеет острие в начале координат. Правая кривая имеет кранод в начале координат, и кривая пересекает себя, образуя петлю.

Если b 0 и b 1 оба равны 0 в приведенном выше расширении, но в по крайней мере одно из c 0, c 1, c 2 не равно 0, тогда начало координат называется двойной точкой кривой. Снова положив y = mx, f можно записать

$f\; =\; (c\; 0\; +\; 2\; mc\; 1\; +\; c\; 2\; m\; 2)\; x\; 2\; +\; (d\; 0\; +\; 3\; md\; 1\; +\; 3\; m\; 2\; d\; 2\; +\; d\; 3\; m\; 3)\; х\; 3\; +\dots .\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; (c\_\; \{0\}\; +\; 2mc\_\; \{1\}\; +\; c\_\; \{2\}\; m\; ^\; \{2\})\; x\; ^\; \{2\}\; +\; (d\_\; \{0\}\; +\; 3md\_\; \{1\}\; +\; 3m\; ^\; \{2\}\; d\_\; \{\; 2\}\; +\; d\_\; \{3\}\; m\; ^\; \{3\})\; x\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; dots.\; \backslash ,\}$

Двойные точки могут быть классифицированы в соответствии с решениями c 0 + 2mc 1 + mc 2 = 0.

Crunodes

Если c 0 + 2mc 1 + mc 2 = 0 имеет два реальных решения для m, то равно, если c 0c2−c1<0, then the origin is called a crunode. Кривая в этом случае пересекает себя в начале координат и имеет две различные касательные, соответствующие двум решениям c 0 + 2mc 1 + mc 2 = 0. В этом случае функция f имеет седловую точку в начале координат.

Acnodes

Если c 0 + 2mc 1 + mc 2 = 0 не имеет реальных решений для m, то равно, если c 0c2−c1>0, то источник называется acnode. В реальной плоскости начало координат - это изолированная точка на кривой; однако, если рассматривать ее как сложную кривую, начало координат не изолировано и имеет два мнимых касательных, соответствующих двум комплексным решениям c 0 + 2mc 1 + mc 2 = 0. В этом случае функция f имеет локальный экстремум в начале координат.

Куспы

Если c 0 + 2mc 1 + mc 2 = 0, имеет единственное решение кратности 2 для m, то есть если c 0c2−c1= 0, то начало координат называется куспидом. Кривая в этом случае меняет направление в начале координат, создавая острую точку. Кривая имеет единственную касательную в начале координат, которую можно рассматривать как две совпадающие касательные.

Дополнительная классификация

Термин узел используется для обозначения кранода или акнода, другими словами, двойной точки, которая не является куспидом. Количество узлов и количество выступов на кривой - это два инварианта, используемых в формулах Плюккера.

Если одно из решений c 0 + 2mc 1 + mc 2 = 0 также является решением d 0 + 3md 1 + 3md 2 + md 3 = 0, то соответствующая ветвь кривой имеет точку перегиба в начале координат. В этом случае происхождение называется флекнодом. Если обе касательные обладают этим свойством, то c 0 + 2mc 1 + mc 2 является множителем d 0 + 3md 1 + 3md 2 + md 3, тогда начало координат называется двойным узлом.

Несколько точек

Кривая с тройной точкой в начало координат: $x\; (t)\; =\; грех\; \; 2\; t\; +\; cos\; \; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; \backslash \; sin\; 2t\; +\; \backslash \; cos\; t,\; \backslash \; quad\}$$y\; (t)\; =\; sin\; \; t\; +\; соз\; \; 2\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (t)\; =\; \backslash \; sin\; t\; +\; \backslash \; cos\; 2t\}$

В общем случае, если все члены степени меньше k равны 0 и хотя бы один член степени k не равен 0 в f, то говорят, что кривая имеет кратную точку порядка k или k-точку. Кривая, как правило, имеет k касательных в начале координат, хотя некоторые из этих касательных могут быть мнимыми.

A параметризованная кривая в R определяется как изображение функции g: R→R, g (t) = (g 1 (t), g 2 (t)). Особые точки - это те точки, где

$dg\; 1\; dt\; =\; dg\; 2\; dt\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{dg\_\; \{1\}\; \backslash \; over\; dt\}\; =\; \{dg\_\; \{2\}\; \backslash \; over\; dt\}\; =\; 0.\}$

A куспид в полукубической параболе $y\; 2\; =\; x\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{2\}\; =\; x\; ^\; \{3\}\}$

Многие кривые могут быть определены любым способом, но два определения может не согласиться. Например, куспид может быть определен на алгебраической кривой, x − y = 0, или на параметризованной кривой, g (t) = (t, t). Оба определения дают особую точку в начале координат. Однако узел , такой как y − x − x = 0 в начале координат, является особенностью кривой, рассматриваемой как алгебраическая кривая, но если мы параметризуем ее как g (t) = (t− 1, t (t − 1)), то g '(t) никогда не обращается в нуль, и, следовательно, узел не является сингулярностью параметризованной кривой, как определено выше.

Следует проявлять осторожность при выборе параметризации. Например, прямая y = 0 может быть параметризована как g (t) = (t, 0), которая имеет особенность в начале координат. При параметризации g (t) = (t, 0) он неособен. Следовательно, технически правильнее обсуждать, а не особую точку кривой.

Приведенные выше определения могут быть расширены для охвата неявных кривых, которые определены как нулевой набор f (0) гладкой функции, и это не обязательно просто рассматривать алгебраические многообразия. Определения могут быть расширены для охвата кривых в более высоких измерениях.

Теорема Хасслера Уитни утверждает

теорему . Любой замкнутый набор в R возникает как набор решений f (0) для некоторой сглаженной функции f: R→R.

Любая параметризованная кривая также может быть определена как неявная кривая, и классификацию особых точек кривых можно изучить как классификацию особых точек алгебраического многообразия.

Некоторые из возможных особенностей:

• Изолированная точка: x + y = 0, acnode
• Две линии пересекаются: x − y = 0, a crunode
• A cusp : x − y = 0, также называемый spinode
• A tacnode : x − y = 0
• Рамфоидный куспид: x − y = 0.

• Особая точка алгебраического многообразия
• Теория сингулярностей
• Теория Морса

1. ^Хилтон Глава II §1
2. ^Хилтон Глава II §2
3. ^Хилтон Глава II §3
4. ^Th. Брекер, Дифференцируемые микробы и катастрофы, Лондонское математическое общество. Примечания к лекциям 17. Кембридж, (1975)
5. ^Брюс и Гиблин, Кривые и особенности, (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9, ISBN 0-521-42999-4 (мягкая обложка)

• Хилтон, Гарольд (1920). «Глава II: Особые точки». Плоские алгебраические кривые. Оксфорд.