Каустик (оптика)

редактировать

Каустик, производимый стаканом воды

В оптике, каустик или каустическая сеть - это огибающая световых лучей , отраженных или преломленных изогнутой поверхностью или объектом., или проекция этой оболочки лучей на другую поверхность. Каустика представляет собой кривую , или поверхность, к которой каждый из световых лучей является касательной, определяя границу огибающей лучей как кривую концентрированного света. Поэтому на фото сбоку каустики можно увидеть в виде бликов или их ярких краев. Эти формы часто имеют особенности выступа.

Нефроид едкий осадок на дне чашки чая

Едкие вещества, создаваемые поверхностью воды

Содержание

1 Пояснение
2 Компьютерная графика
3 Каустическая инженерия
- 3.1 Расчет каустической структуры на основе оптимального транспорта
  - 3.1.1 Базовый принцип
  - 3.1.2 Проектирование трубопровода
  - 3.1.3 Решение оптимальной транспортной задачи
  - 3.1.4 Оптимизация целевой поверхности
- 3.2 Дифференцируемый дизайн каустического паттерна обратного рендеринга
  - 3.2.1 Базовый принцип
  - 3.2.2 Разработанный конвейер
  - 3.2.3 Элементы, влияющие на генерируемое изображение
  - 3.2.4 Общая дифференцируемая структура
  - 3.2.5 Реализация
- 3.3 Производство
4 См. Также
5 Ссылки
6 Дополнительная литература

Пояснение

Лучи, преломляемые неплоской поверхностью, образуют каустику, где многие из них пересекаются.

Концентрация света, особенно солнечный свет, может вызвать ожог. Слово каустик, на самом деле, происходит от греческого καυστ, сожженный, через латинское causticus, горящий. Обычная ситуация, когда едкие вещества видны, - это когда свет падает на стакан. Стекло отбрасывает тень, но также дает изогнутую область яркого света. В идеальных условиях (включая идеально параллельные лучи, как если бы они исходили от точечного источника на бесконечности), можно получить пятно света в форме нефроида. Колеблющиеся каустики обычно образуются, когда свет сквозь волны попадает на водоем.

Другой знакомый каустик - радуга. Рассеяние света каплями дождя вызывает преломление длин волн света в дуги разного радиуса, создавая дугу.

Компьютерная графика

Фотография типичного каустика для бокала

Компьютерный рендеринг каустика для бокала

В компьютерной графике большинство современных систем рендеринга поддерживают каустику. Некоторые из них даже поддерживают объемную каустику. Это достигается посредством трассировки лучей возможных путей светового луча с учетом преломления и отражения. Отображение фотонов является одной из реализаций этого. Объемная каустика также может быть получена с помощью объемной трассировки пути. Некоторые компьютерные графические системы работают по принципу «прямой трассировки лучей», при которой фотоны моделируются как исходящие от источника света и отражающиеся вокруг окружающей среды в соответствии с правилами. Каустики образуются в областях, где достаточное количество фотонов падает на поверхность, что делает ее ярче, чем средняя область сцены. «Обратная трассировка лучей» работает в обратном порядке, начиная с поверхности и определяя, есть ли прямой путь к источнику света. Некоторые примеры каустики с трассировкой 3D-лучей можно найти здесь.

В центре внимания большинства компьютерных графических систем находится эстетика, а не физическая точность. Это особенно верно, когда речь идет о графике в реальном времени в компьютерных играх, где в основном используются стандартные предварительно рассчитанные текстуры вместо физически правильных вычислений.

Каустическая инженерия

Каустическая инженерия описывает процесс решения обратной задачи - компьютерной графики. То есть, учитывая конкретное изображение, определить поверхность, преломленный или отраженный свет которой образует это изображение.

В дискретной версии этой задачи поверхность делится на несколько микроповерхностей, которые считаются гладкими, то есть свет, отраженный / преломленный каждой микроповерхностью, образует гауссову каустику. Гауссова каустика означает, что каждая микроповерхность подчиняется гауссовскому распределению. Затем положение и ориентация каждой из микроповерхностей получают с использованием комбинации интегрирования Пуассона, и моделирования отжига..

Было много разных подходов для решения непрерывной проблемы. Один подход использует идею из теории транспортировки, называемую оптимальным переносом, чтобы найти отображение между входящими световыми лучами и поверхностью цели. После получения такого отображения поверхность оптимизируется путем итеративной адаптации с использованием закона Снеллиуса преломления.

Расчет каустической структуры на основе оптимального переноса

Базовый принцип

Управление каустическим рисунком - довольно сложная проблема, поскольку очень незначительные изменения поверхности значительно повлияют на качество узора, так как направления световых лучей могут быть нарушены другими световыми лучами, поскольку они пересекаются с материалом и преломляются через него. Это приведет к рассеянному, прерывистому рисунку. Для решения этой проблемы одним из существующих предложенных методов управления каустической структурой является метод оптимального переноса путем перенаправления направлений света при его распространении через поверхность определенного прозрачного материала. Это делается путем решения обратной задачи оптимизации на основе оптимального транспорта. Учитывая эталонное изображение объекта / рисунка, цель состоит в том, чтобы сформулировать математическое описание поверхности материала, через которую свет преломляется и сходится к аналогичному рисунку эталонного изображения. Это делается путем перестановки / пересчета исходной интенсивности света до тех пор, пока не будет достигнут минимум задачи оптимизации.

Проектный конвейер

Здесь, учитывая только преломляющую каустику, цель может быть определена следующим образом (аналогичный принцип для отражающей каустики с другим выходом):

Вход: изображение шаблона для быть полученным после распространения света через материал с учетом положения источника света.

Вывод: геометрия каустики на приемнике (плоская твердая поверхность, например: пол, стена и т. Д.)

Для достижения целевого шаблона поверхность, на которой свет преломляется и выходы во внешнюю среду должны иметь определенную форму для достижения желаемого рисунка на другой стороне материала.

Как упоминалось, для входного изображения этот процесс будет производить такой же каустический узор, что и на выходе. В принципе, есть два основных этапа, каждый из которых включает два подэтапа:

Расчет каустики на основе оптимального транспорта Решение проблемы оптимального транспорта
1. Расчет целевого распределения света
2. Расчет Отображение от начального распределения к целевому распределению
Оптимизация целевой поверхности
1. Вычислить нормальное представление поверхности
2. Уточнение поверхности

Решение проблемы оптимального переноса

В зависимости от случая рефракции сквозь прозрачную поверхность, например, узоры, появляющиеся под чистой водой, можно наблюдать 3 основных явления:

Очень яркие (интенсивность конденсированного света) точки (так называемая сингулярность )
Кривые объекты, которые соединяют точки
Области с низкой интенсивностью света

Для выполнения вычислений вводятся следующие 3 величины, соответственно, для описания геометрических характеристик узора: сингулярность точки $Φ p {\ displaystyle \ Phi _ {p}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {p}}$ (измерение силы света при в.п. с высокой концентрацией световой точки), сингулярность кривой $Φ c {\ displaystyle \ Phi _ {c}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {c}}$ (измерение силы света на / вокруг кривой блеска) и мера освещенности $Φ I {\ displaystyle \ Phi _ {I}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {I}}$ (измерение интенсивности в определенной плохо сконцентрированной области света). Собирая их вместе, следующая функция определяет общую меру лучистого потока $Φ T {\ displaystyle \ Phi _ {T}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {T}}$ на определенном участке Ω на целевой поверхности:

Φ T (Ω) знак равно ∑ я знак равно 1 N δ Φ pi (Ω) + ∑ j = 1 N γ Φ cj (Ω) + Φ I (Ω) {\ displaystyle \ Phi _ {T} (\ Omega) = \ textstyle \ sum _ {я = 1} ^ {N _ {\ delta}} \ Phi _ {p} ^ {i} (\ Omega) + \ sum _ {j = 1} ^ {N _ {\ gamma} } \ Phi _ {c} ^ {j} (\ Omega) + \ Phi _ {I} (\ Omega) \ displaystyle}

{\ Displaystyle \ Phi _ {T} (\ Omega) = \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {N _ {\ delta}} \ Phi _ {p} ^ {i} (\ Omega) + \ сумма _ {j = 1} ^ {N _ {\ gamma}} \ Phi _ {c} ^ {j} (\ Omega) + \ Phi _ {I} (\ Omega) \ displaystyle}

После этого шага существуют две существующие меры измерения лучистого потока источника $Φ S {\ displaystyle \ Phi _ {S}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {S}}$ (равномерное распределение, путем инициализации) и целевой $Φ T {\ displaystyle \ Phi _ {T}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {T}}$ (вычислено на предыдущем шаге). Остается вычислить сопоставление от источника к цели. Для этого необходимо определить несколько величин. Во-первых, две интенсивности света, оцениваемые по вероятностям: $μ S {\ displaystyle \ mu _ {S}}$ $\ му _ {S}$ (интенсивность света оценивается путем деления $Φ S {\ displaystyle \ Phi _ {S} }$ ${\ displaystyle \ Phi _ {S}}$ на поток объединенной области между $Φ S {\ displaystyle \ Phi _ {S}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {S}}$ и $Φ T {\ displaystyle \ Phi _ {T}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {T}}$ ), $μ T {\ displaystyle \ mu _ {T}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {T}}$ (интенсивность света оценивается путем деления $Φ T {\ displaystyle \ Phi _ {T}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {T}}$ на поток области объединения между $Φ S {\ displaystyle \ Phi _ {S}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {S}}$ и $Φ T {\ displaystyle \ Phi _ {T}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {T}}$ ) определены. Во-вторых, исходная сетка создается как несколько сайтов $si ∈ (Φ S ∪ Φ T) {\ displaystyle s_ {i} \ in (\ Phi _ {S} \ cup \ Phi _ {T})}$ ${\ displaystyle s_ {i} \ in (\ Phi _ {S} \ чашка \ Phi _ {T})}$ , который в дальнейшем деформируется. Затем диаграмма мощности $P w {\ displaystyle P_ {w}}$ $P_ {w}$ (набор $C iw {\ displaystyle C_ {i} ^ {w} }$ ${\ displaystyle C_ {i} ^ {w}}$ силовые ячейки) определяется на этом наборе сайтов $si {\ displaystyle s_ {i}}$ $s_ {i}$ , взвешенных вектором весов $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ . Наконец, цель состоит в том, чтобы решить, будут ли перемещаться элементы питания. Рассматривая все вершины $x {\ displaystyle x}$ $x$ на поверхности, находим минимизатор $ω min {\ displaystyle \ omega _ {min}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {min}}$ следующих выпуклая функция создаст согласованную диаграмму мощности для цели:

f (ω) = ∑ si ∈ S (ω i. Μ S (C i 0) - ∫ C i ω (‖ x - si ‖ 2 - ω я) d μ T (Икс)) {\ Displaystyle F (\ omega) = \ sum _ {s_ {i} \ in S} (\ omega _ {i}. \ Mu _ {S} (C_ {i} ^ {0}) - \ int \ limits _ {C_ {i} ^ {\ omega}} (\ | x-s_ {i} \ | ^ {2} - \ omega _ {i}) d \ mu _ {T} (x))}

{\ displaystyle f (\ omega) = \ sum _ {s_ {i} \ in S} (\ omega _ {i}. \ mu _ {S} (C_ {i} ^ {0}) - \ int \ limits _ {C_ {i} ^ {\ omega}} (\ | x-s_ {i} \ | ^ {2} - \ omega _ {i}) d \ mu _ {T} (x))}

Оптимизация целевой поверхности

Процесс вычислений

После решения оптимальной транспортной задачи вершины достигаются. Однако это не дает информации о том, как должна выглядеть окончательная поверхность. Чтобы достичь желаемой поверхности цели, учитывая входящий световой луч $d I {\ displaystyle d_ {I}}$ $d_I$ , исходящий световой луч $d O {\ displaystyle d_ {O}}$ ${\ displaystyle d_ {O}}$ и диаграмма мощности из шага выше, представление нормалей поверхности может быть вычислено в соответствии с законом Снеллиуса как:

n = d I + η x ‖ d I + η d T ‖ = d I + η x ‖ d I + η (x R - x) | | х R - х | | ‖ {\ Displaystyle n = d_ {I} + {\ eta x \ over \ lVert d_ {I} + \ eta d_ {T} \ rVert} = d_ {I} + {\ eta x \ over \ lVert d_ {I } + \ eta {(x_ {R} -x) \ over || x_ {R} -x ||} \ rVert}}

{\ displaystyle n = d_ {I} + {\ eta x \ over \ lVert d_ {I} + \ eta d_ {T} \ rVert} = d_ {I} + {\ eta x \ over \ lVert d_ {I} + \ eta {(x_ {R} -x) \ over || x_ {R} -x ||} \ rVert}}

где,

η {\ displaystyle \ eta}

\ eta

: коэффициент преломления

x R {\ displaystyle x_ {R}}

{\ displaystyle x_ {R}}

: целевая позиция, полученная в результате решения вышеупомянутой оптимальной транспортной задачи

После получения нормального представления уточнение поверхности достигается минимизацией следующих составная функция энергии :

argmaxx ω ⋅ [E int, E dir, E flux, E reg, E bar] {\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, \ omega \, \ cdot [E_ {int}, \, E_ {dir}, \, E_ {flux}, \, E_ {reg}, \, E_ {bar}]}

{\ displaystyle { \ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, \ omega \, \ cdot [E_ {int}, \, E_ {dir}, \, E_ {flux}, \, E_ {reg}, \, E_ {bar}]}

где,

E int = ∑ v ∈ MT ‖ нет - n ‖ 2 2 {\ displaystyle E_ {int} = \ sum _ {v \ in M_ {T}} \ lVert n_ {o} -n \ rVert _ {2} ^ {2}}

{\ displaystyle E_ {int} = \ sum _ {v \ in M_ {T}} \ lVert n_ {o} -n \ rVert _ {2} ^ {2}}

- энергия интегрирования, которая выравнивает нормали вершин

no {\ displaystyle n_ {o}}

n_o

, полученные из Оптимального переноса, с целевыми нормалями

n {\ displaystyle n }

n

o получено из вычисления закона Снеллиуса выше.

E dir = ∑ v ∈ MT ‖ x - proj (x S, d I) (x) ‖ 2 2 {\ displaystyle E_ {dir} = \ sum _ {v \ in M_ {T}} \ lVert x - {\ textbf {proj}} _ {(x_ {S}, \, d_ {I})} (x) \ rVert _ {2} ^ {2}}

{\ displaystyle E_ {dir} = \ sum _ {v \ in M_ {T}} \ lVert x - {\ textbf {proj}} _ {(x_ {S}, \, d_ {I})} (x) \ rVert _ {2} ^ {2}}

поскольку сетка, сгенерированная на этапе «Решение оптимального переноса», не может адаптироваться к резким примерам из разрывов, эта энергия должна наказывать вершины, чтобы они не сильно изменялись от входящего светового луча.

E поток = ∑ t ∈ MT ‖ Φ T (t) - Φ S (TS) ‖ 2 2 {\ Displaystyle E_ {flux} = \ sum _ {t \ in M_ {T}} \ lVert \ Phi _ {T} (t) - \ Phi _ {S} (t_ {s}) \ rVert _ {2} ^ {2}}

{\ displaystyle E_ {flux} = \ sum _ {t \ in M_ {T}} \ lVert \ Phi _ {T } (t) - \ Phi _ {S} (t_ {s}) \ rVert _ {2} ^ {2}}

- энергия, измеряющая поток по треугольнику

t {\ displaystyle t}

t

в сетке

E reg = ‖ LX ‖ 2 2 {\ displaystyle E_ {reg} = \ lVert {\ textbf {L}} {\ textbf {X}} \ rVert _ {2} ^ {2}}

{\ displaystyle E_ {reg } = \ lVert {\ textbf {L}} {\ textbf {X}} \ rVert _ {2} ^ {2}}

- это энергия, которая регулирует форму треугольников для сохранения правильной формы.

E bar = ∑ v ∈ MT ‖ max (0, - log ((1 - n R. (Икс - Икс R)) + d TH) ‖ 2 {\ Displaystyle E_ {bar} = \ sum _ {v \ in M_ {T}} \ lVert max (0, -log ((1-n_ {R}. (x-x_ {R})) + d_ {TH}) \ rVert ^ {2}}

{\ displaystyle E_ {bar} = \ sum _ {v \ in M_ {T}} \ lVert max (0, -log ((1-n_ {R}. (X-x_ {R})) + d_ {TH}) \ rVert ^ {2}}

- энергия барьера, гарантирующая, что поверхность не деформируется за пределами определенного порогового расстояния

d TH {\ displaystyle d_ {TH}}

{\ displaystyle d_ {TH}}

Дифференцируемый дизайн каустического паттерна обратного рендеринга

Базовый принцип

Инверсная графика - это метод наблюдения данных с изображения и вывода всех возможных свойств, включая трехмерную геометрию, освещение, материалы и движение, таким образом создавая реалистичное изображение. В обычной компьютерной графике для визуализации изображения с желаемым внешним видом и эффектами ему придаются все свойства / характеристики. Это можно рассматривать как прямой процесс. Напротив, в каустике конструкции, свойства и характеристики объектов (особенно поверхности материала) нетривиальны. Данное ограничение является целевым изображением, которое нужно получить. Следовательно, цель состоит в том, чтобы получить свойства и характеристики путем наблюдения и i Передача целевого изображения. Это можно рассматривать как обратный / обратный процесс.

Ниже приводится основная функция потерь , объясняющая, как оптимизировать параметры:

L (c) = ‖ f (c) - I ‖ 2 {\ displaystyle L (c) = \ lVert f (c) -I \ rVert ^ {2}}

{\ displaystyle L (c) = \ lVert f (c) -I \ rVert ^ {2}}

где,

L(c): функция потерь, среднеквадратичная ошибка визуализированного изображения и целевой

c: содержит элементы, которые могут влиять на сгенерированное изображение

I: целевое изображение

Разработанный конвейер

Дифференцируемый каустический дизайн обратного рендеринга

Сначала создается целевой шаблон и вычисляется прямой проход для получения синтетического шаблона. Его сравнивают с целевым шаблоном и получают убыток. Возражение состоит в том, чтобы синтетический паттерн был максимально похож на целевой паттерн. А затем выполните обратное распространение, чтобы получить оптимизированные свойства, необходимые для использования при производстве каустика.

Элементы, влияющие на сгенерированное изображение

Внешний вид ( $A {\ displaystyle A}$ $A$ ): внешний вид поверхности на пиксель моделируется как продукт mipmapped текстуры и яркости на пиксель.
Геометрия ( $V {\ displaystyle V}$ $V$ ): предположим, что трехмерная сцена аппроксимируется треугольниками, параметризованными вершинами $V { \ displaystyle V}$ $V$ .
Камера ( $C {\ displaystyle C}$ $C$ ): фокусное расстояние, точка обзора, центр камеры.

Может быть больше элементов для пример альбедо и коэффициент преломления.

Общая дифференцируемая структура

Введите U в качестве промежуточной переменной, указывающей положения координат 2D проекции вершин. Градиент этих свойств может быть получен с помощью цепного правила косвенно.

∂ е ∂ V = ∂ е ∂ U × ∂ U ∂ V {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial V}} = {\ frac {\ partial f} {\ partial U}} \ раз {\ frac {\ partial U} {\ partial V}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial V}} = {\ frac {\ partial f} {\ partial U}} \ times {\ frac {\ partial U} {\ partial V}}}

∂ f ∂ V = ∂ f ∂ A × ∂ A ∂ V {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial V}} = {\ frac {\ partial f} {\ partial A}} \ times {\ frac {\ partial A} {\ partial V}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial V}} = {\ frac {\ partial f} {\ partial A}} \ times {\ frac {\ p artial A} {\ partial V}}}

∂ f ∂ C = ∂ f ∂ U × ∂ U ∂ C { \ Displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial C}} = {\ frac {\ partial f} {\ partial U}} \ times {\ frac {\ partial U} {\ partial C}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial C}} = {\ frac {\ partial f} {\ partial U}} \ times {\ frac {\ partial U} {\ partial C}}}

После применения стохастического градиентного спуска оптимальные $A {\ displaystyle A}$ $A$ , $V {\ displaystyle V}$ $V$ и $C {\ displaystyle C}$ $C$ может быть достигнуто. Впоследствии эти количества используются для вырезания или фрезерования материала для создания целевого рисунка.

Реализация

Одним из распространенных подходов является использование возможности выполнять дифференциальные операции в различных структурах / библиотеках глубокого обучения авто-дифференциации, таких как: Tensorflow, PyTorch, Theano.

Еще один подход - использовать структуру OpenDR для построения прямой графической модели и автоматического получения производных по параметрам модели для оптимизации. По мере получения свойств оптимизации можно сгенерировать целевое изображение. OpenDR предоставляет метод локальной оптимизации, который можно включить в структуры вероятностного программирования. Это может быть использовано для решения проблемы каустика.

Производство

Процесс проектирования и производства

После того, как каустическая структура была разработана с помощью вычислений, обработанные данные будут отправлены на этап производства для получения конечного продукта. Наиболее распространенный подход - субтрактивное производство (обработка ).

Можно использовать различные материалы в зависимости от желаемого качества, усилий, необходимых для производства, и доступного метода производства.

Обычные преломляющие материалы: Акрил, Поликарбонат, Полиэтилен, Стекло, Алмаз
Обычные отражающие материалы: Сталь, Железо, Алюминий, Золото, Серебро, Титан, Никель

Архитектура

Дизайн каустического рисунка имеет множество реальных применений, например:

Светильники
Ювелирные изделия
Архитектура
Производство декоративного стекла

См. Также

Ссылки

^Lynch, DK; Ливингстон, W (2001). «Каустическая сеть». Цвет и свет в природе. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-77504-5.
^ Вайнштейн, Лев Альбертович (1969). Открытые резонаторы и открытые волноводы. Боулдер, Колорадо: The Golem Press.
^Circle Catacaustic. Вольфрам MathWorld. Проверено 17 июля 2009.
^Леви, Марк (02.04.2018). «Сосредоточение на нефроидах». Новости СИАМ. Проверено 1 июня 2018.
^Радужные каустики
^Каустические полосы
^Гуардадо, Хуан (2004). «Глава 2. Рендеринг водяных каустиков». В Фернандо, Рандима (ред.). Самоцветы GPU: методы программирования, советы и рекомендации для графики в реальном времени. Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0321228321.
^«Текстурирование воды Caustics с использованием Unity 3D». Программное обеспечение Dual Heights. Проверено 28 мая 2017 г.
^Мариос Папас (апрель 2011 г.). «Каустики на основе целей». Форум компьютерной графики (Proc. Eurographics). 30 (2).
^Виллани, Седрик (2009). Оптимальный транспорт - старый и новый. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-71049-3.
^Филип Болл (февраль 2013 г.). «Укротители света». Новый ученый. 217 (2902): 40–43. Bibcode : 2013NewSc.217... 40B. doi : 10.1016 / S0262-4079 (13) 60310-3.
^Хореография света: новый алгоритм управляет световыми узорами, называемыми «каустиками», организует их в связные изображения
^Юлий Шварцбург, Ромен Testuz, Андреа Тальясакки, Марк Поли (2014). «Высококонтрастный вычислительный каустический дизайн» (PDF). CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
^Cédric, Villani (2009). Оптимальный транспорт, старый и новый. Springer. ISBN 978-3-540-71050-9.
^Лопер, Мэтью М.; Блэк, Майкл Дж. (2014), «OpenDR: приблизительный дифференцируемый модуль визуализации», Компьютер Видение - ECCV 2014, Springer International Publishing, стр. 154–169, doi : 10.1007 / 978-3-319-10584-0_11, ISBN 978-3-319-10583-3
^Лопер, Мэтью М.; Блэк, Майкл Дж. (2014), «OpenDR: приблизительный дифференцируемый модуль визуализации», Computer Vision - ECCV 2014, Springer International Publishing, стр. 154 –169, doi : 10.1007 / 978-3-319-10584-0_11, ISBN 978-3-319-10583-3

Борн, Макс ; Вольф, Эмиль (1999). Принципы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света (7-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64222-4.
Най, Джон (199 9). Естественная фокусировка и тонкая структура света: каустики и волновые дислокации. CRC Press. ISBN 978-0-7503-0610-2.

Дополнительная литература

Ферраро, Пьетро (1996). «Какая едкая!». Учитель физики. 34 (9): 572–573. Bibcode : 1996PhTea..34..572F. doi : 10.1119 / 1.2344572.
Даксбахер, Карстен; Ликтор, Габор (февраль 2011 г.). «Объемная каустика в реальном времени с адаптивным отслеживанием луча». Симпозиум по интерактивной 3D-графике и играм. ACM: 47–54.