Кривая

редактировать

Математическая идеализация следа, оставленного движущейся точкой

A парабола, одна из простейших кривых, после (прямая) линии

В математике кривая (также называемая изогнутой линией в старых текстах) является объектом, похожим на линию line, но она не обязательно должна быть прямой.

Интуитивно кривая может рассматриваться как след, оставленный движущейся точкой . Это определение появилось более 2000 лет назад в Элементах Евклида : «[Изогнутая] линия - это […] первый вид количества, который имеет только одно измерение, а именно длину, без какой-либо ширины и глубины, и является не чем иным, как потоком или ходом точки, которая […] оставит от своего воображаемого движения некоторый след в длину, за исключением любой ширины ».

Это определение кривой было формализовано в современная математика как: Кривая - это изображение непрерывной функции от интервала до топологического пространства. В некоторых контекстах функция, определяющая кривую, называется параметризацией, а кривая является параметрической кривой . В этой статье эти кривые иногда называют топологическими кривыми, чтобы отличать их от более ограниченных кривых, таких как дифференцируемые кривые. Это определение охватывает большинство кривых, изучаемых математикой; заметными исключениями являются кривые уровня (которые являются объединениями кривых и изолированных точек) и алгебраические кривые (см. ниже). Кривые уровня и алгебраические кривые иногда называют неявными кривыми, поскольку они обычно определяются неявными уравнениями.

Тем не менее, класс топологических кривых очень широк и содержит некоторые кривые, которые не выглядят как можно ожидать от кривой, или даже не может быть нарисовано. Это случай кривых заполнения пространства и фрактальных кривых. Для обеспечения большей регулярности функция, определяющая кривую, часто предполагается дифференцируемой, и тогда кривая называется дифференцируемой кривой.

A плоская алгебраическая кривая является нулевой набор многочлена из двух неопределенностей. В более общем смысле, алгебраическая кривая представляет собой нулевой набор конечного набора многочленов, который удовлетворяет дополнительному условию того, чтобы быть алгебраическим многообразием с размерностью один. Если коэффициенты многочленов принадлежат полю k, кривая называется определенной над k. В общем случае вещественной алгебраической кривой, где k - поле действительных чисел, алгебраическая кривая представляет собой конечное объединение топологических кривых. Когда комплексные нули рассматриваются, получается сложная алгебраическая кривая, которая с точки зрения топологически является не кривой, а поверхностью , и часто называют римановой поверхностью. Алгебраические кривые, определенные над другими полями, хотя и не являются кривыми в обычном смысле, широко изучались. В частности, алгебраические кривые над конечным полем широко используются в современной криптографии.

Содержание

1 История
2 Топологическая кривая
3 Дифференцируемая кривая
- 3.1 Длина кривой
- 3.2 Дифференциальная геометрия
4 Алгебраическая кривая
5 См. также
6 Примечания
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

История

Мегалитическое искусство из Ньюгрейндж рано проявил интерес к кривым

Интерес к кривым возник задолго до того, как они стали предметом математических исследований. Это можно увидеть на многочисленных примерах их декоративного использования в искусстве и на предметах быта, относящихся к доисторическим временам. Кривые или, по крайней мере, их графическое представление легко создать, например, с помощью палки на песке на пляже.

Исторически термин «линия» использовался вместо более современного термина «кривая». Следовательно, термины прямая линия и правая линия использовались, чтобы отличить то, что сегодня называется линиями, от изогнутых линий. Например, в Книге I Элементов Евклида линия определяется как «длина без ширины» (определение 2), в то время как прямая линия определяется как «линия, которая лежит равномерно с точками на себе. "(По умолчанию 4). Идея Евклида о прямой, возможно, поясняется утверждением «Концы линии суть точки» (Определение 3). Более поздние комментаторы дополнительно классифицировали строки по разным схемам. Например:

Составные линии (линии, образующие угол)
Несоставные линии
- Определенные (линии, которые не могут продолжаться бесконечно, такие как круг)
- Неопределенные ( бесконечные линии, такие как прямая линия и парабола)

Кривые, полученные путем разрезания конуса (конические сечения ), были среди кривых, изучавшихся в Древней Греции.

Греческий Геометры изучали множество других видов кривых. Одна из причин заключалась в их интересе к решению геометрических задач, которые нельзя было решить с помощью стандартного компаса и линейки. Эти кривые включают:

Конические сечения, подробно изученные Аполлонием Пергским
циссоидом Диокла, изученные Диоклом и использованные в качестве метода для удвоение куба.
раковина Никомеда, изученная Никомедом как метод как удвоить куб, так и разрезать угол.
Спираль Архимеда, изученная Архимедом как метод разрезания угла и квадрата круга.
Спирические сечения, сечения торов изучал Персей как части конусов был изучен Аполлонием.

Аналитическая геометрия позволяла определять кривые, такие как Folium of Descartes, с помощью уравнений вместо геометрическое построение.

Фундаментальным достижением в теории кривых было введение аналитической геометрии Рене Декартом в семнадцатом веке. Это позволило описать кривую с помощью уравнения, а не сложной геометрической конструкции. Это не только позволило определить и изучить новые кривые, но и позволило провести формальное различие между алгебраическими кривыми, которые можно определить с помощью полиномиальных уравнений, и трансцендентными кривыми. не может. Ранее кривые описывались как «геометрические» или «механические» в зависимости от того, как они были или предположительно могли быть созданы.

Конические сечения применялись в астрономии Кеплером. Ньютон также работал над ранним примером в вариационном исчислении. Решения вариационных задач, таких как вопросы брахистохрона и таутохрона, по-новому представили свойства кривых (в данном случае циклоида ). цепочка получила свое название как решение проблемы подвесной цепи, вопрос, который стал обычно доступным с помощью дифференциального исчисления.

. В восемнадцатом веке наступило начало теория плоских алгебраических кривых в целом. Ньютон изучил кубические кривые в общем описании реальных точек в «овалы». Утверждение теоремы Безу показало ряд аспектов, которые не были напрямую доступны геометрии того времени, а именно особые точки и сложные решения.

С девятнадцатого века теория кривых рассматривается как частный случай размерности один в теории многообразий и алгебраических многообразий. Тем не менее, многие вопросы остаются специфичными для кривых, таких как кривые, заполняющие пространство, теорема Жордана и шестнадцатая проблема Гильберта.

Топологическая кривая

A топологическая кривая может быть задано с помощью непрерывной функции $γ: I → X {\ displaystyle \ gamma \ двоеточие I \ rightarrow X}$ $\ gamma \ двоеточие I \ rightarrow X$ из интервала I действительных чисел в топологическое пространство X. Собственно говоря, кривая - это изображение из $γ. {\ displaystyle \ gamma.}$ $\ gamma.$ Однако в некоторых контекстах $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ сам называется кривой, особенно когда изображение не похоже на то, что обычно называется кривой и недостаточно характеризует $γ. {\ displaystyle \ gamma.}$ $\ gamma.$

Например, изображение кривой Пеано или, в более общем смысле, кривой, заполняющей пространство, полностью заполняет квадрат и поэтому не предоставить любую информацию о том, как определяется $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ .

Кривая $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ является закрытой или представляет собой цикл, если $I = [a, b] {\ displaystyle I = [a, b]}$ $I = [a, b]$ и $γ (a) = γ (b) {\ displaystyle \ gamma (a) = \ gamma (b)}$ $\ gamma (a) = \ gamma (b)$ . Таким образом, замкнутая кривая является изображением непрерывного отображения окружности .

. Если область из $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ является замкнутой и ограниченный интервал $I = [a, b], {\ displaystyle I = [a, b],}$ ${\ displaystyle I = [a, b],}$ кривая также называется путем или дугой.

Кривая является простой, если это изображение интервала или круга с помощью инъективной непрерывной функции. Другими словами, если кривая определяется непрерывной функцией $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ с интервалом в качестве области, кривая является простой тогда и только тогда, когда две разные точки интервала имеют разные изображения, за исключением, возможно, тех случаев, когда точки являются конечными точками интервала. Интуитивно простая кривая - это кривая, которая «не пересекает себя и не имеет пропущенных точек».

A кривая дракона с положительной площадью

Простая замкнутая кривая также называется кривой Жордана. Теорема жордановой кривой утверждает, что дополнение множества в плоскости жордановой кривой состоит из двух связанных компонентов (то есть кривая делит плоскость на два не -пересечение регионов, которые обе связаны).

A плоская кривая - это кривая, для которой $X {\ displaystyle X}$ $X$ является евклидовой плоскостью - это примеры, которые встречаются впервые, или в некоторых случаях проективная плоскость. Пространственная кривая - это кривая, для которой $X {\ displaystyle X}$ $X$ является по крайней мере трехмерным; Косая кривая - это пространственная кривая, не лежащая ни на одной плоскости. Эти определения плоских, пространственных и наклонных кривых применимы также к вещественным алгебраическим кривым, хотя приведенное выше определение кривой не применяется (реальная алгебраическая кривая может быть отключена ).

Определение кривой включает в себя фигуры, которые в обычном употреблении трудно назвать кривыми. Например, изображение простой кривой может покрывать квадрат на плоскости (кривая, заполняющая пространство ) и, таким образом, иметь положительную площадь. Фрактальные кривые могут обладают свойствами, странными для здравого смысла. Например, фрактальная кривая может иметь размерность Хаусдорфа больше единицы (см. снежинка Коха ) и даже иметь положительную область. Примером может служить кривая дракона, обладающая множеством других необычных свойств.

Дифференцируемая кривая

Грубо говоря, дифференцируемая кривая - это кривая, которая определяется как локально образ инъективной дифференцируемой функции $γ: I → X {\ displaystyle \ gamma \ двоеточие I \ rightarrow X}$ $\ gamma \ двоеточие I \ rightarrow X$ из интервала I вещественных чисел в дифференцируемое многообразие X, часто $R n. {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$ ${\ mathbb {R}} ^ {n}.$

Точнее, дифференцируемая кривая - это подмножество C в X, где каждая точка C имеет такую окрестность U, что $C ∩ U {\ displaystyle C \ cap U}$ ${\ displaystyle C \ cap U}$ диффеоморфен интервалу действительных чисел. Другими словами, дифференцируемая кривая - это дифференцируемое многообразие размерности один.

Длина кривой

Если $X = R n {\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {n}}$ - это $n {\ displaystyle n}$ $n$ -мерное евклидово пространство, и если $γ: [a, b] → R n {\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${ \ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ - инъективная и непрерывно дифференцируемая функция, тогда длина $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ определяется как величина

Длина ⁡ ( γ) = def ∫ ab | γ ′ (t) | д т. {\ displaystyle \ operatorname {Length} (\ gamma) ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ \ int _ {a} ^ {b} | \ gamma \, '(t) | ~ \ mathrm {d} {t}.}

\operatorname {Length} (\gamma)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.

Длина кривой не зависит от параметризации $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ .

В частности, длина $s {\ displaystyle s}$ $s$ графика непрерывно дифференцируемой функции $y = f (x) {\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ определено на закрытом интервале $[a, b] {\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ равно

s = ∫ ab 1 + [f ′ (x)] 2 dx. {\ displaystyle s = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {1+ [f '(x)] ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} {x}.}

s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x}.

В более общем плане, если $X {\ displaystyle X}$ $X$ - это метрическое пространство с метрикой $d {\ displaystyle d}$ $d$ , то мы можем определить длина кривой $γ: [a, b] → X {\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to X}$ ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to X}$ на

Длина ⁡ (γ) = def sup ( {∑ i = 1 nd (γ (ti), γ (ti - 1)) | n ∈ N и a = t 0 < t 1 < … < t n = b }), {\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}

{\ displaystyle \ operatorname {Length} (\ gamma) ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ \ sup \! \ Left (\ left \ { \ sum _ {i = 1} ^ {n} d (\ gamma (t_ {i}), \ gamma (t_ {i -1})) ~ {\ Bigg |} ~ n \ in \ mathbb {N} ~ {\ text {and}} ~ a = t_ {0} <t_ {1} <\ ldots <t_ {n} = b \ right \} \ right),}

, где супремум берется по всем $n ∈ N {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ и все разделы $t 0 < t 1 < … < t n {\displaystyle t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0} <t_ {1} <\ ldots <t_{n}}$ из $[a, b] {\ displaystyle [a, b]}$ ${\ displaystyle [a, b]}$ .

Спрямляемая кривая - это кривая с конечной длиной. Кривая $γ: [a, b] → X {\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to X}$ ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to X}$ называется естественной (или единичной скорости или параметризуется длиной дуги), если для любого $t 1, t 2 ∈ [a, b] {\ displaystyle t_ {1}, t_ {2} \ in [a, b]}$ ${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2} \ in [a, b]}$ такой, что $t 1 ≤ t 2 {\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2}}$ ${\ displaystyle t_ { 1} \ leq t_ {2}}$ , мы имеем

Length (γ | [t 1, t 2]) = t 2 - t 1. {\ displa ystyle \ operatorname {Длина} \! \ left (\ gamma | _ {[t_ {1}, t_ {2}]} \ right) = t_ {2} -t_ {1}.}

{\ displaystyle \ operatorname {Length} \! \ Left (\ gamma | _ {[t_ {1}, t_ {2 }]} \ right) = t_ {2} -t_ {1}.}

Если $γ: [a, b] → X {\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to X}$ ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to X}$ - это непрерывная по Липшицу функция, тогда она автоматически исправляется. Более того, в этом случае можно определить скорость (или метрическую производную ) для $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ при $t ∈ [a, b] {\ displaystyle t \ in [a, b]}$ ${\ displaystyle t \ in [a, b]}$ as

Скорость γ (t) = def lim sup [a, b] ∋ s → td (γ (s), γ (t)) | с - т | {\ displaystyle {\ operatorname {Speed} _ {\ gamma}} (t) ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ \ limsup _ {[a, b] \ ni s \ to t} {\ frac {d (\ gamma (s), \ gamma (t))} {| st |}}}

{\ displaystyle {\ operatorname {Speed} _ {\ gamma}} (t) ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ \ limsup _ {[a, b] \ ni s \ to t} {\ frac {d (\ gamma (s), \ gamma (t))} {| st |}}}

, а затем покажите, что

Длина ⁡ (γ) = ∫ ab Speed ​​γ (t) dt. {\ displaystyle \ operatorname {Length} (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} {\ operatorname {Speed} _ {\ gamma}} (t) ~ \ mathrm {d} {t}.}

{\ displaystyle \ operatorname {Length} (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} {\ operatorname {Speed} _ {\ gamma}} (t) ~ \ mathrm {d} {t}.}

Дифференциальная геометрия

Хотя первые примеры встречающихся кривых в основном представляют собой плоские кривые (то есть, говоря обыденным языком, изогнутые линии в двухмерном пространстве), есть очевидные примеры, такие как спираль, которые естественным образом существуют в трех измерениях. Потребности геометрии, а также, например, классической механики, должны иметь понятие кривой в пространстве любого количества измерений. В общей теории относительности мировая линия представляет собой кривую в пространстве-времени.

Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ является дифференцируемое многообразие, то мы можем определить понятие дифференцируемой кривой в $X {\ displaystyle X}$ $X$ . Этой общей идеи достаточно, чтобы охватить многие приложения кривых в математике. С локальной точки зрения, $X {\ displaystyle X}$ $X$ можно принять за евклидово пространство. С другой стороны, полезно быть более общим, поскольку (например) можно определить касательные векторы к $X {\ displaystyle X}$ $X$ с помощью означает это понятие кривой.

Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ является гладким многообразием, гладкая кривая в $X {\ displaystyle X}$ $X$ - это гладкая карта

γ: I → X {\ displaystyle \ gamma \ двоеточие I \ rightarrow X}

\ gamma \ двоеточие I \ rightarrow X

Это основное понятие. Также есть все меньше и больше ограниченных идей. Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ является $C k {\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ {k}$ коллектором (т. Е. Коллектором, диаграммы которого являются $k {\ displaystyle k}$ $k$ раз непрерывно дифференцируемыми ), тогда a $C k {\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ {k}$ кривая в $X {\ displaystyle X}$ $X$ - это такая кривая, которая предполагается только как $C k {\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ {k}$ (т.е. $k {\ displaystyle k}$ $k$ раз непрерывно дифференцируемые). Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ является аналитическим многообразием (т. Е. Бесконечно дифференцируемым и диаграммы выражаются как степенной ряд ), и $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ - аналитическая карта, тогда $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ называется аналитической кривой.

Дифференцируемая кривая называется правильной, если ее производная никогда не обращается в нуль. (На словах, обычная кривая никогда не замедляется до остановки и не возвращается назад.) Две $C k {\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ {k}$ дифференцируемые кривые

γ 1: I → X {\ displaystyle \ gamma _ {1} \ двоеточие I \ rightarrow X}

\ gamma _ {1} \ двоеточие I \ rightarrow X

γ 2: J → X {\ displaystyle \ gamma _ {2} \ двоеточие J \ rightarrow X}

\ gamma _ {2} \ двоеточие J \ rightarrow X

считаются эквивалентными, если существует биективное $C k {\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ {k}$ map

p: J → I {\ displaystyle p \ двоеточие J \ rightarrow I}

p \ двоеточие J \ rightarrow I

таким образом, что обратное отображение

p - 1: I → J {\ displaystyle p ^ {- 1} \ двоеточие I \ rightarrow J}

p ^ {- 1} \ двоеточие I \ rightarrow J

также $С К {\ Displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ {k}$ и

γ 2 (t) = γ 1 (p (t)) {\ displaystyle \ gamma _ {2} (t) = \ gamma _ {1} (p (t))}

\ gamma _ {2} (t) = \ gamma _ {1} (p (t))

для всех $t {\ displaystyle t}$ $t$ . Карта $γ 2 {\ displaystyle \ gamma _ {2}}$ $\ gamma _ {2}$ называется повторной параметризацией $γ 1 {\ displaystyle \ gamma _ {1}}$ $\ gamma _ {1}$ ; и это создает отношение эквивалентности на множестве всех $C k {\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ {k}$ дифференцируемых кривых в $X {\ displaystyle X}$ $X$ . A $C k {\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ {k}$ arc является классом эквивалентности из $C k {\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ {k}$ кривые зависимости репараметризации.

Алгебраическая кривая

Алгебраическая кривая - это кривые, рассматриваемые в алгебраической геометрии. Плоская алгебраическая кривая - это набор точек с координатами x, y таких, что f (x, y) = 0, где f - многочлен от двух переменных, определенных над некоторым полем F. Один говорит, что Кривая определена над F. Алгебраическая геометрия обычно рассматривает не только точки с координатами в F, но и все точки с координатами в алгебраически замкнутом поле K.

Если C - кривая, определенная полиномом f с коэффициентами из F, то говорят, что кривая определена над F.

В случае кривой, определенной над веществом числа, обычно рассматриваются точки с комплексными координатами. В этом случае точка с реальными координатами является реальной точкой, а набор всех реальных точек является реальной частью кривой. Следовательно, только действительная часть алгебраической кривой может быть топологической кривой (это не всегда так, поскольку действительная часть алгебраической кривой может быть отсоединена и содержать изолированные точки). Вся кривая, то есть множество ее сложных точек, с топологической точки зрения является поверхностью. В частности, неособые комплексные проективные алгебраические кривые называются римановыми поверхностями.

Точки кривой C с координатами в поле G называются рациональными над G и могут быть обозначены C (G)). Когда G - это поле рациональных чисел, мы просто говорим о рациональных точках. Например, Последняя теорема Ферма может быть переформулирована следующим образом: Для n>2 каждая рациональная точка кривой Ферма степени n имеет нулевую координату.

Алгебраические кривые также могут быть пространственными кривыми или кривыми в пространстве более высокой размерности, например n. Они определены как алгебраические разновидности размерности один. Их можно получить как общие решения как минимум n – 1 полиномиальных уравнений от n переменных. Если n – 1 многочленов достаточно для определения кривой в пространстве размерности n, эта кривая называется полным пересечением. Путем исключения переменных (с помощью любого инструмента теории исключения ) алгебраическая кривая может быть спроецирована на плоскую алгебраическую кривую , что, однако, может привести к появлению новых особенностей, таких как куспиды или двойные точки.

Плоская кривая также может быть завершена кривой на проективной плоскости : если кривая определяется полиномом f общей степени d, то wf (u / w, v / w) упрощается до однородного многочлена g (u, v, w) степени d. Значения u, v, w такие, что g (u, v, w) = 0, являются однородными координатами точек завершения кривой в проективной плоскости, а точки исходной кривой - такими, что w равен не ноль. Примером является кривая Ферма u + v = w, которая имеет аффинную форму x + y = 1. Подобный процесс гомогенизации может быть определен для кривых в пространствах более высоких измерений.

За исключением строк, простейшими примерами алгебраических кривых являются коники, которые представляют собой неособые кривые второй степени и рода ноль. Эллиптические кривые, которые представляют собой неособые кривые первого рода, изучаются в теории чисел и имеют важные приложения в криптографии.

См. Также

Примечания

Ссылки

AS Пархоменко (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press
Б.И. Голубов (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press
Евклид, комментарии и пер. автор Т. Л. Хит Элементы Vol. 1 (1908 Кембридж) Google Книги
E. Х. Локвуд. Книга кривых (Кембридж, 1961)

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Кривыми.

Индексом известных кривых, Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия
Математические кривые Коллекция из 874 двумерных математических кривых
Галерея пространственных кривых, сделанных из кругов, включает анимацию Питера Мозеса
Галерея кривых Бишопа и других сферических кривых, включая анимация Питера Мозеса
Статья в энциклопедии математики о строках.
Страница Атласа многообразий на 1- многообразиях.