Войти
Теорема Безу является утверждение в алгебраической геометрии относительно числа общих нулей из п полиномов в п неизвестных. В своей первоначальной форме теорема утверждает, что в общем случае количество общих нулей равно произведению степеней многочленов. Он назван в честь Этьена Безу.
В некоторых элементарных текстах теорема Безу относится только к случаю двух переменных и утверждает, что, если две плоские алгебраические кривые степеней и не имеют общих компонентов, у них есть точки пересечения, рассчитанные с учетом их кратности, включая точки на бесконечности и точки с комплексными координатами.
В своей современной формулировке, теорема утверждает, что если N является число общих точек над алгебраически замкнутым полем из п проективных гиперповерхностей, определенных однородных многочленов в п + 1 неизвестных, то Н является либо бесконечной, либо равна произведению степеней полиномов. Более того, конечный случай встречается почти всегда.
В случае двух переменных и в случае аффинных гиперповерхностей, если кратности и бесконечно удаленные точки не учитываются, эта теорема дает только верхнюю границу числа точек, которая почти всегда достигается. Эту оценку часто называют границей Безу.
Теорема Безу является фундаментальной в компьютерной алгебре и эффективной алгебраической геометрии, поскольку показывает, что большинство задач имеют вычислительную сложность, по крайней мере, экспоненциальную по количеству переменных. Отсюда следует, что в этих областях наилучшая сложность, на которую можно надеяться, будет иметь место с алгоритмами, сложность которых полиномиальна от границы Безу.
В случае плоских кривых теорема Безу была по существу сформулирована Исааком Ньютоном в его доказательстве леммы 28 тома 1 его Принципов в 1687 году, где он утверждает, что две кривые имеют количество точек пересечения, заданное произведением их степеней.
Общая теорема была позже опубликована в 1779 году в книге Этьена Безу « Женеральная теория алгебр » ( Théorie générale des équations algébriques). Он считал уравнения «полными», что в современной терминологии можно было бы перевести как « родовые». Поскольку для типичных многочленов нет бесконечно удаленных точек и все кратности равны единице, формулировка Безу верна, хотя его доказательство не следует современным требованиям строгости.
Это, а также тот факт, что концепция множественности пересечений находилась за пределами знания его времени, привели к тому, что некоторые авторы выразили мнение, что его доказательство не является правильным и не является первым доказательством, которое нужно дать.
Доказательство утверждения, включающего множественности, было невозможно до 20 века с введением абстрактной алгебры и алгебраической геометрии.
Предположим, что X и Y - две плоские проективные кривые, определенные над полем F, которые не имеют общей компоненты (это условие означает, что X и Y определены многочленами, которые не являются кратными общему непостоянному многочлену; в частности, это выполняется для пары кривых «общего положения»). Тогда общее число точек пересечения X и Y с координатами в качестве алгебраически замкнутое поле E, который содержит F, подсчитывает с их кратностями, равно произведение степеней X и Y.
Обобщение в более высоком измерении можно сформулировать как:
Пусть п проективные гиперповерхностей быть даны в проективном пространстве размерности п над алгебраически замкнутым полем, которые определяются п однородных многочленов в п + 1 переменная, степени Тогда либо число точек пересечения бесконечно, или число точек пересечения, считая с кратностью, равна произведению. Если гиперповерхности неприводимы и находятся в относительном общем положении, то есть точки пересечения, все с кратностью 1.
Существуют различные доказательства этой теоремы, которые либо выражаются в чисто алгебраических терминах, либо используют язык или алгебраическую геометрию. Ниже приведены три алгебраических доказательства.
Теорема Безу была обобщена в виде так называемой мультиоднородной теоремы Безу.
Уравнение линии в евклидовой плоскости является линейной, то есть, он приравнивает к нулю в полином степени один. Таким образом, граница Безу для двух прямых равна 1, что означает, что две прямые либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются. В последнем случае линии параллельны и пересекаются в бесконечно удаленной точке.
В этом можно убедиться с помощью уравнений. Уравнение первой линии может быть записано в форме пересечения наклона или в проекционных координатах (если линия вертикальная, можно поменять местами x и y). Если уравнение второй линии составлено (в проективных координатах) путем подстановки в нем y, то получается If, получаемая координата x точки пересечения, решая последнее уравнение относительно x и полагая t = 1.
Если это так, две линии параллельны и имеют одинаковый наклон. Если они различны и подставленное уравнение дает t = 0. Это дает бесконечно удаленную точку проективных координат (1, s, 0).
Как указано выше, можно записать уравнение линии в проективных координатах Если кривая определяется в проективных координатах с помощью однородного многочлена степени п, замещение у обеспечивает однородный многочлен степени п в х и т. Из фундаментальной теоремы алгебры следует, что ее можно разложить на линейные множители. Каждый коэффициент дает отношение координат x и t точки пересечения, а кратность фактора - это кратность точки пересечения.
Если t рассматривается как координата бесконечности, множитель, равный t, представляет точку пересечения на бесконечности.
Если хотя бы одна частная производная многочлена p не равна нулю в точке пересечения, то касательная к кривой в этой точке определена (см. Алгебраическая кривая § Касательная в точке ), а кратность пересечения больше единицы, если и только если линия касается кривой. Если все частные производные равны нулю, точка пересечения является особой точкой, а кратность пересечения не меньше двух.
Два конических участка обычно пересекаются в четырех точках, некоторые из которых могут совпадать. Чтобы правильно учесть все точки пересечения, может потребоваться разрешить комплексные координаты и включить точки на бесконечной прямой в проективную плоскость. Например:
Два пересечения кратности 2
Два пересечения кратностей 3 и 1
Одно пересечение кратности 4
Концепция кратности является фундаментальной для теоремы Безу, поскольку она позволяет иметь равенство вместо гораздо более слабого неравенства.
Интуитивно понятно, что кратность общего нуля нескольких полиномов - это количество нулей, на которые он может разделиться при небольшом изменении коэффициентов. Например, касательная к кривой - это линия, которая разрезает кривую в точке, которая разделяется на несколько точек, если линия немного перемещается. Обычно это число два (обычные точки), но может быть больше (три для точек перегиба, четыре для точек волнистости и т. Д.). Это число и есть «кратность касания» касательной.
Этого определения множественности посредством деформации было достаточно до конца 19 века, но он имел несколько проблем, которые привели к более удобным современным определениям: деформациями трудно манипулировать; например, в случае корня из более однофакторного полинома, для доказательства того, что кратность получается путем деформации равна кратность соответствующего линейного коэффициента полинома, необходимо знать, что корни непрерывных функций коэффициентов. Деформации не могут быть использованы над полями с положительной характеристикой. Более того, бывают случаи, когда трудно определить удобную деформацию (например, в случае более чем двух плоскостей кривые имеют общую точку пересечения), и даже случаи, когда деформация невозможна.
В настоящее время, после Серр Ж.-П., множественность, как правило, определяется как длина в виде локального кольца, связанного с точкой, где рассматривается кратность. Можно показать, что наиболее конкретные определения являются частным случаем определения Серра.
В случае теоремы Безу общей теории пересечений можно избежать, поскольку есть доказательства (см. Ниже), которые связывают с каждым входным данным для теоремы полином от коэффициентов уравнений, который разлагается на линейные множители, каждый из которых соответствует единственная точка пересечения. Итак, кратность точки пересечения - это кратность соответствующего множителя. Доказательство того, что эта кратность равна кратности, полученной путем деформации, следует из того факта, что точки пересечения и факторизованный многочлен непрерывно зависят от корней.
Пусть P и Q - два однородных многочлена от неопределенных x, y, t степеней p и q соответственно. Их нули - это однородные координаты двух проективных кривых. Таким образом, однородные координаты точек их пересечения являются общими нули P и Q.
Собирая вместе степени одного неопределенного, скажем y, можно получить одномерные многочлены, коэффициенты которых являются однородными многочленами от x и t.
По техническим причинам необходимо изменить координат, с тем, что степени в у из P и Q равны их полные степени ( р и Q), и каждая линия, проходящая через две точки пересечения не проходит через точку (0, 1, 0) (это означает, что никакие две точки не имеют ту же декартову х -координаты.
Полученный Р ( х, т) из P и Q относительно у является однородным полиномом по й и т, что обладает следующим свойством: с, если и только если оно существует такое, что является общим нулем P и Q (см Результирующим § Нули ). Вышеуказанное техническое состояние гарантирует его уникальность. Первое из приведенных выше технических условий означает, что степени, используемые в определении результирующего, - это p и q ; это означает, что степень R равна pq (см. Результат § Однородность ).
Поскольку R - однородный многочлен от двух неопределенных, из фундаментальной теоремы алгебры следует, что R является произведением pq линейных многочленов. Если определить кратность общего нуля P и Q как количество вхождений соответствующего множителя в произведение, теорема Безу доказана.
Для того чтобы доказать, что кратность пересечения, что только что было определено равным определение в терминах деформации, достаточно заметить, что равнодействующая и, следовательно, его линейные коэффициенты являются непрерывными функциями коэффициентов P и Q.
Доказательство равенства с другими определениями кратностей пересечений опирается на технические детали этих определений и поэтому выходит за рамки данной статьи.
В начале 20 - го века, Фрэнсис Сауэрби Маколей представил многомерную равнодействующую (также известную как равнодействующая Маколея) из п однородных многочленов в п неизвестных, который является обобщением обычного равнодействующих двух многочленов. Результат Маколея - это полиномиальная функция коэффициентов n однородных многочленов, которая равна нулю, если и только многочлены имеют нетривиальный (то есть некоторая компонента не равна нулю) общий ноль в алгебраически замкнутом поле, содержащем коэффициенты.
U -resultant является частным случаем результирующего Маколея, введенный также Маколея. Принимая во внимание п однородных многочлены в п + 1 неизвестных U -resultant является результирующей и где коэффициентами являются вспомогательными неизвестными. U -resultant является однородным многочленом, степень которого равна произведению степеней
Хотя многомерный многочлен, как правило, неприводим, U -результант может быть разложен на линейные (по) многочлены над алгебраически замкнутым полем, содержащим коэффициенты. Эти линейные множители соответствуют общим нулям матрицы следующим образом: каждому общему числу ноль соответствует линейному коэффициенту и наоборот.
Это доказывает теорему Безу, если кратность общего нуля определяется как кратность соответствующего линейного множителя U -результанта. Что касается предыдущего доказательства, то равенство этой кратности определению деформацией следует из непрерывности U -результанта как функции коэффициентов
Это доказательство теоремы Безу кажется самым старым доказательством, удовлетворяющим современным критериям строгости.
Теорема Безу может быть доказана повторением числа многочленов с помощью следующей теоремы.
Пусть V будет проективное алгебраическое множество из размерности и степени, а Н гиперповерхность (определяется с помощью одного полинома) степени, которая не содержит каких - либо неприводимую компоненту из V ; при этих предположениях пересечение V и H имеет размерность и степень
Для (набросанного) доказательства с использованием ряда Гильберта см. Ряд Гильберта и многочлен Гильберта § Степень проективного многообразия и теорема Безу.
Помимо концептуально простого доказательства теоремы Безу, эта теорема является фундаментальной для теории пересечений, поскольку эта теория по существу посвящена изучению кратностей пересечений, когда условия приведенной выше теоремы неприменимы.
