Функция с векторными значениями

Функция, оцениваемая в векторном пространстве; обычно вещественная или комплексная

A векторная функция, также называемая векторной функцией, является математической функцией одной или нескольких переменных, диапазон - это набор многомерных векторов или бесконечномерных векторов. Входом векторной функции может быть скаляр или вектор (то есть, размерность в области может быть 1 или больше 1); размер домена не определяется размером диапазона.

Содержание

• 1 Пример: спираль
• 2 Линейный случай
• 3 Параметрическое представление поверхности
• 4 Производная трехмерной векторной функции
  • 4.1 Частная производная
  • 4.2 Обычная производная
  • 4.3 Полная производная
  • 4.4 Системы отсчета
  • 4.5 Производная векторной функции с нефиксированным базисом
  • 4.6 Производная и векторное умножение
• 5 Производная n-мерной векторной функции
• 6 Бесконечный- векторные функции размерности
  • 6.1 Функции со значениями в гильбертовом пространстве
  • 6.2 Другие бесконечномерные векторные пространства
• 7 См. также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Пример : helix

График векторнозначной функции r (Z) = ⟨2 cos Z, 4 sin Z, Z⟩, ​​указывающий диапазон решений и вектор при вычислении около Z = 19,5

Типичным примером векторнозначной функции является функция, которая зависит от единственного параметра вещественного числа t, часто представляющего время, создавая вектор v(t) в результате. В терминах стандартных единичных векторов i, j, kиз декартовых 3-пространственных эти конкретные типы векторнозначных функций задаются такими выражениями, как

• $r\; (t)\; =\; f\; (t)\; я\; +\; г\; (T)\; J\; +\; час\; (T)\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (т)\; =\; е\; (т)\; \backslash \; mathbf\; \{я\}\; +\; г\; (т)\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; +\; ч\; (т)\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}$

где f (t), g (t) и h (t) - координаты функции параметра t, а область этой векторной функции является пересечением области определения функций f, g и h. Его также можно обозначить в другом обозначении:

• $r\; (t)\; =\; ⟨f\; (t),\; g\; (t),\; h\; (t)⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (t)\; =\; \backslash \; langle\; f\; (t),\; g\; (t),\; h\; (t)\; \backslash \; rangle\}$

Вектор r (t) имеет хвост в начале координат и голову в координатах, вычисленных функцией.

Вектор, показанный на графике справа, является оценкой функции $⟨2\; cos\; \; t,\; 4\; sin\; \; t,\; t⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; 2\; \backslash \; cos\; t,\; \backslash ,\; 4\; \backslash \; sin\; t,\; \backslash ,\; t\; \backslash \; rangle\}$около t = 19,5 (между 6π и 6,5π, т. е. несколько больше 3 оборотов). Спираль - это путь, прослеживаемый концом вектора при увеличении t от нуля до 8π.

В 2D мы можем аналогично говорить о векторных функциях как

• $r\; (t)\; =\; f\; (t)\; i\; +\; g\; (t)\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (t)\; =\; е\; (т)\; \backslash \; mathbf\; \{я\}\; +\; г\; (т)\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\}$or
• $р\; (т)\; =\; ⟨е\; (т),\; г\; (т)⟩\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{г\}\; (т)\; =\; \backslash \; langle\; f\; (t),\; g\; (t)\; \backslash \; rangle\}$

Линейный случай

В линейном случае функция может быть выражена через матрицы :

$y\; =\; A\; x\; +\; b,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; Ax\; +\; b,\}$

где y - выходной вектор размера n × 1 (n>1), x - вектор входных данных ak × 1 (k ≥ 1), A - вектор n × k матрица параметров, а b - вектор параметров n × 1.

Линейный случай возникает часто, например, в множественной регрессии, где, например, вектор n × 1 $y\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{y\}\}\}$предсказанных значений зависимой переменной выражается линейно через вектор ak × 1 $\beta \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\}$(k < n) of estimated values of model parameters:

$y\; ^\; =\; X\; \beta \; ^,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{y\}\}\; =\; X\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\},\}$

в котором X (играющий роль A в предыдущем обобщенном form) представляет собой матрицу n × k фиксированных (эмпирически обоснованных) чисел.

Параметрическое представление поверхности

A surface - это 2-мерный набор точек, вложенных в 3-мерное пространство. способ представления поверхности - с помощью параметрических уравнений, в которых два параметра s и t определяют три декартовых координат любой точки на поверхности:

$(x,\; y,\; z)\; знак\; равно\; (е\; (s,\; t),\; г\; (s,\; t),\; час\; (s,\; t))\; \equiv \; F\; (s,\; t),\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y,\; z)\; =\; (f\; (s,\; t),\; g\; (s,\; t),\; h\; (s,\; t))\; \backslash \; Equiv\; F\; (s,\; t).\}$

Здесь F - вектор-функция ион.

Производная трехмерной векторной функции

Многие векторнозначные функции, такие как скалярные функции, могут быть дифференцированы путем простого дифференцирования компоненты в декартовой системе координат. Таким образом, если

$r\; (t)\; =\; f\; (t)\; i\; +\; g\; (t)\; j\; +\; h\; (t)\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (t)\; =\; f\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; g\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; +\; h\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}$

является векторной функцией, тогда

$dr\; (t)\; dt\; =\; f\; \prime \; (t)\; i\; +\; g\; \prime \; (\; t)\; j\; +\; h\; \prime \; (t)\; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (t)\}\; \{dt\}\}\; =\; f\; \text{'}(t)\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; g\text{'}\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; +\; h\; \text{'}(t)\; \backslash \; mathbf\; \{k\}.\}$

Производная вектора допускает следующую физическую интерпретацию: если r (t) представляет положение частицы, то производная представляет собой скорость частицы частица

$v\; (t)\; =\; dr\; (t)\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (t)\}\; \{dt\}\}.\}$

Аналогично, производная скорости - это ускорение

$dv\; (\; t)\; dt\; =\; a\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; (t)\}\; \{dt\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; (t).\}$

Частная производная

частная производная векторной функции a относительно скалярной переменной q определяется как

$\partial \; a\; \partial \; q\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; \partial \; ai\; \partial \; qei\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; a\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; \}$

, где a i - скалярный компонент a в направлении ei. Он также называется направляющим косинусом для a и eiили их скалярным произведением. Векторы e1,e2,e3образуют ортонормированный базис, зафиксированный в системе отсчета, в которой берется производная.

Обычная производная

Если a рассматривается как векторная функция одной скалярной переменной, такой как время t, то приведенное выше уравнение сводится к первому обычная производная по времени от a по t,

$dadt\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; ndaidtei.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}\; \{dt\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{da\_\; \{i\}\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}.\}$

Полная производная

Если вектор a является функцией числа n скалярных переменных q r (r = 1,..., n), и каждый q r является только функцией времени t, тогда обычная производная a по t может быть выражена в форме, известной как полная производная, как

$dadt\; =\; \sum \; r\; =\; 1\; n\; \partial \; a\; \partial \; qrdqrdt\; +\; \partial \; a\; \partial \; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}\; \{dt\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{r\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{r\}\; \}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dq\_\; \{r\}\}\; \{dt\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}.\}$

Некоторые авторы предпочитают использовать заглавную D для обозначения общего производный оператор, как в D / Dt. Полная производная отличается от частной производной по времени тем, что полная производная учитывает изменения в a из-за дисперсии переменных q r.

системы отсчета

, тогда как для скалярных значений существует только одна возможная система отсчета, для получения производной векторнозначной функции требуется выбор системы отсчета (по крайней мере, когда фиксированная декартова система координат как таковая не подразумевается). После выбора системы отсчета производная векторной функции может быть вычислена с использованием методов, аналогичных методам вычисления производных скалярных функций. Другой выбор системы отсчета, как правило, дает другую производную функцию. Производные функции в разных системах отсчета имеют определенную кинематическую связь.

Производная векторной функции с нефиксированными базами

Приведенные выше формулы для производной векторной функции основаны на предположении, что базисные векторы e1,e2,e3являются постоянными, то есть зафиксированы в системе отсчета, в которой берется производная от a, и поэтому каждый e1,e2,e3имеет производную, равную тождественно нулю. Это часто верно для задач, связанных с векторными полями в фиксированной системе координат, или для простых задач физики. Однако многие сложные проблемы связаны с производной векторной функции в нескольких движущихся опорных системах, что означает, что базисные векторы не обязательно будут постоянными. В таком случае, когда базисные векторы e1,e2,e3фиксируются в системе отсчета Е, но не в системе отсчета Н, более общая формула для обычная производная по времени вектора в системе отсчета N является

$N\; дадт\; =\; \sum \; я\; =\; 1\; 3\; daidtei\; +\; \sum \; я\; =\; 1\; 3\; ai\; N\; deidt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\{\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{N\}\}\; d\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}\; \{dt\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; frac\; \{da\_\; \{i\}\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; a\_\; \{i\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{\{\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{N\}\}\; d\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\}\; \{dt\}\}\}$

где верхний индекс N слева от оператора производной указывает систему отсчета, в которой производная берется. Как было показано ранее, первый член в правой части равна производной а в системе отсчета, где e1,e2,e3являются постоянными, опорный кадр Е. Она также может быть показано, что второй член в правой части равен относительной угловой скорости двух систем отсчета, перемноженной с вектором a . Таким образом, после подстановки формула, связывающая производную векторной функции в двух системах отсчета, имеет вид

$N\; dadt\; =\; E\; dadt\; +\; N\; \omega \; E\; \times \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\{\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{N\}\}\; d\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{E\}\}\; d\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}\; \{dt\}\}\; +\; \{\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{N\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; Omega\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{Е\}\}\; \backslash \; временем\; \backslash \; mathbf\; \{а\}\}$

где ω является угловая скорость из опорного кадра Е относительно опорного кадр N.

Одним из распространенных примеров использования этой формулы является нахождение скорости космического объекта, такого как ракета, в инерциальная система отсчета, использующая измерения скорости ракеты относительно земли. Скорость v в инерциальной системе отсчета N ракеты R, находящейся в позиции r, может быть найдена по формуле

$N\; ddt\; (r\; R)\; =\; E\; ddt\; (r\; R)\; +\; N\; \omega \; E\; \times \; r\; R.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\{\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{N\}\}\; d\}\; \{dt\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{R\}\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{\; E\}\}\; d\}\; \{dt\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{R\}\})\; +\; \{\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{N\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; omega\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{E\}\}\; \backslash \; раз\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{R\}\}.\}$

где ω - угловая скорость Земли относительно инерциальной системы координат N. Так как скорость - это производная от положения, v, а v - производные от r в системах отсчета N и E, соответственно. При подстановке

$N\; v\; R\; =\; E\; v\; R\; +\; N\; \omega \; E\; \times \; r\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{N\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{R\}\}\; =\; \{\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{E\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{R\}\}\; +\; \{\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{N\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; omega\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{E\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{\; r\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{R\}\}\}$

где v - вектор скорости ракеты, измеренный из системы отсчета E, которая привязана к Земле.

Производная и умножение вектора

Производная произведений векторных функций ведет себя аналогично производной произведений скалярных функций. В частности, в случае скалярного умножения вектора, если p является функцией скалярной переменной от q,

$\partial \; \partial \; q\; (p\; a)\; =\; \partial \; p\; \partial \; q\; a\; +\; p\; \partial \; a\; \partial \; q.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; q\}\}\; (p\; \backslash \; mathbf\; \{a\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; p\}\; \{\backslash \; partial\; q\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; +\; p\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\}\}.\}$

В случае умножения точек для двух векторов a и b которые являются обеими функциями от q:

$\partial \; \partial \; q\; (a\; \cdot \; b)\; =\; \partial \; a\; \partial \; q\; \cdot \; b\; +\; a\; b\; \partial \; b\; \partial \; q.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; q\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\}\}.\}$

Аналогично, производная от перекрестного произведения двух векторных функций равно

$\partial \; \partial \; q\; (a\; \times \; b)\; =\; \partial \; a\; \partial \; q\; \times \; b\; +\; a\; \times \; \partial \; b\; \partial \; q.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; q\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{b\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\}\}.\}$

Производная n-мерной векторной функции

Функция f действительного числа t со значениями в пространстве $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$может быть записана как $f\; (t)\; =\; (е\; 1\; (т),\; е\; 2\; (т),\dots ,\; фн\; (т))\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (т)\; =\; (е\_\; \{1\}\; (т),\; е\_\; \{2\}\; (т),\; \backslash \; ldots,\; f\_\; \{\; n\}\; (t))\}$. Его производная равна

$f\; \prime \; (t)\; =\; (f\; 1\; \prime \; (t),\; f\; 2\; \prime \; (t),\dots ,\; fn\; \prime \; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(t)\; =\; (f\_\; \{1\}\text{'}\; (t),\; f\_\; \{2\}\; \text{'}(t),\; \backslash \; ldots,\; f\_\; \{n\}\text{'}\; (t))\}$.

Если f является функцией нескольких переменных, скажем, от $t\; \in \; R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{m\}\}$, тогда частные производные компонентов f образуют a $n\; \times \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; m\}$матрица, называемая матрицей Якоби функции f.

Бесконечномерные векторные функции

Если значения функции f лежат в бесконечномерном векторном пространстве X, таком как гильбертово пространство, то f можно назвать бесконечномерной вектор-функцией.

Функции со значениями в гильбертовом пространстве

Если аргумент f является действительным числом, а X - гильбертовым пространством, то производная f в точке t может быть определена, как в Конечномерный случай:

$f\; \prime \; (t)\; =\; lim\; h\; \to \; 0\; f\; (t\; +\; h)\; -\; f\; (t)\; h.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(t)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (t\; +\; h)\; -f\; (t)\}\; \{h\}\}.\}$

Большинство результатов конечномерных случай также верно и в бесконечномерном случае, с соответствующими изменениями. Дифференциация также может быть определена для функций нескольких переменных (например, $t\; \in \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$или даже $t\; \in \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; Y\}$, где Y - бесконечномерное векторное пространство).

Примечание. Если X - гильбертово пространство, то легко показать, что любую производную (и любой другой предел) можно вычислить покомпонентно: if

$f\; =\; (f\; 1,\; f\; 2,\; f\; 3,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; (\; f\_\; \{1\},\; f\_\; \{2\},\; f\_\; \{3\},\; \backslash \; ldots)\}$

(т.е. $f\; =\; f\; 1\; e\; 1\; +\; f\; 2\; e\; 2\; +\; f\; 3\; e\; 3\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; f\_\; \{1\}\; e\_\; \{1\}\; +\; f\_\; \{2\}\; e\_\; \{2\}\; +\; f\_\; \{3\}\; e\_\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\}$, где $e\; 1,\; e\; 2,\; e\; 3,\dots \; \{\backslash \; Displaystyle\; e\_\; \{1\},\; e\_\; \{2\},\; e\_\; \{3\},\; \backslash \; ldots\}$является ортонормированным базисом пространства X) и $f\; \prime \; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(t)\}$существует, тогда

$f\; \prime \; (t)\; =\; (f\; 1\; \prime \; (t),\; f\; 2\; \prime \; (t),\; f\; 3\; \prime \; (\; t),\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(t)\; =\; (f\_\; \{1\}\text{'}\; (t),\; f\_\; \{2\}\; \text{'}(t),\; f\_\; \{3\}\text{'}\; (t),\; \backslash \; ldots)\}$.

Однако, существование покомпонентной производной не гарантирует существования производной, поскольку покомпонентная сходимость в гильбертовом пространстве не гарантирует сходимости относительно фактической топологии гильбертова пространства.

Другие бесконечномерные векторные пространства

Большинство из вышеперечисленных справедливо и для других топологических векторных пространств X. Однако не так много классических результатов справедливо при настройке банахова пространства, например, абсолютно непрерывная функция со значениями в подходящем банаховом пространстве не обязательно должна иметь производную. везде. Более того, в большинстве случаев банаховых пространств ортонормированные базисы отсутствуют.

См. Также

• Вектор координат
• Векторное поле
• Кривая
• Параметрическая поверхность
• Вектор положения
• Параметризация

Примечания

1. ^ Kane Levinson 1996, pp. 29–37
2. ^Фактически, эти отношения выводятся с применением правила произведения покомпонентно.

Ссылки

• Kane, Thomas R.; Левинсон, Дэвид А. (1996), «1–9 дифференцирования векторных функций», Dynamics Online, Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc., стр. 29–37
• Ху, Чуанг-Ган; Ян, Чун-Чун (2013), Функции с векторным значением и их приложения, Springer Science Business Media, ISBN 978-94-015-8030-4

Внешние ссылки

• Вектор-функции и их свойства (от Колледжа Лейк-Тахо)
• Вайсштейн, Эрик У. «Векторная функция». MathWorld.
• статья Everything2
• Трехмерные векторно-значные функции (из Университета Восточного Теннесси)
• «Функции с вектором положения» Академия Хана модуль