В геометрии, циклоида - это кривая, начерченная точкой на окружности, когда она катится по прямой без скольжения. Циклоида - это особая форма трохоиды и пример рулетки, кривой, образованной кривой, катящейся по другой кривой.
Циклоида с выступами, направленными вверх, является кривой самого быстрого спуска при постоянной гравитации (кривая брахистохроны ). Это также форма кривой, для которой период объекта в простом гармоническом движении (повторное катание вверх и вниз) вдоль кривой не зависит от исходного положения объекта ( таутохронная кривая ).
Моби Дик автор Герман Мелвилл, 1851
Циклоиду назвали «Хелен Геометров», поскольку она вызвала частые ссоры среди математиков 17-го века.
Историки математики предложили несколько кандидатов в первооткрыватели циклоиды. Историк-математик Пол Таннери процитировал аналогичную работу сирийского философа Ямвлиха как свидетельство того, что кривая была известна в древности. Английский математик Джон Уоллис в 1679 году приписал открытие Николаю Кузанскому, но последующие исследования показывают, что либо Уоллис ошибался, либо доказательства, которые он использовал, теперь утеряны. Галилео Галилей Имя было выдвинуто в конце 19 века, и, по крайней мере, один автор сообщает о том, что он приписывается Марин Мерсенн. Начиная с работ Морица Кантора и Зигмунда Гюнтера, ученые теперь отдают приоритет французскому математику Шарлю де Бовель на основании его описания циклоиды в его «Введение в книгу». geometriam, опубликованной в 1503 году. В этой работе Бовеллес ошибочно принимает арку, очерченную вращающимся колесом, как часть большего круга с радиусом на 120% больше, чем меньшее колесо. прежде всего, чтобы серьезно изучить кривую. Согласно его ученику Евангелисте Торричелли, в 1599 году Галилей попытался создать квадрат циклоиды (определение площади под циклоидой) с необычно эмпирическим подходом, который включал отслеживание как образующей окружности, так и полученную циклоиду на листовом металле, вырезав их и взвесив. Он обнаружил, что это соотношение было примерно 3: 1, но ошибочно пришел к выводу, что это иррациональная дробь, что сделало бы квадратурное невозможным. Примерно в 1628 году Жиль Персоне де Роберваль, вероятно, узнал о квадратурной задаче от Пэр Марин Мерсенн и произвел квадратуру в 1634 году, используя теорему Кавальери. Однако эта работа не была опубликована до 1693 года (в его Traité des Indivisibles).
Построение касательной циклоид датируется августом 1638 года, когда Мерсенн получил уникальные методы от Роберваля, Пьер де Ферма и Рене Декарт. Мерсенн передал эти результаты Галилею, который передал их своим ученикам Торричелли и Вивиане, которые смогли построить квадратуру. Этот и другие результаты были опубликованы Торричелли в 1644 году, что также является первой печатной работой о циклоиде. Это привело к тому, что Роберваль обвинил Торричелли в плагиате, и полемика была прервана ранней смертью Торричелли в 1647 году.
В 1658 году Блез Паскаль отказался от математики в пользу теологии, но, страдая от зубной боли, начал рассматривать несколько проблем. по поводу циклоиды. Его зубная боль исчезла, и он воспринял это как небесный знак, чтобы продолжить свои исследования. Через восемь дней он закончил свое эссе и, чтобы обнародовать результаты, предложил конкурс. Паскаль предложил три вопроса, касающихся центра тяжести, площади и объема циклоиды, с победителем или победителями, которые получат призы в размере 20 и 40 испанских дублонов. Паскаль, Роберваль и сенатор Каркави были судьями, и ни одно из двух доводов (Джона Уоллиса и Антуана де Лалувера ) не было сочтено адекватным. Пока продолжалось состязание, Кристофер Рен отправил Паскалю предложение о доказательстве исправления циклоиды; Роберваль сразу же заявил, что он знал об этом много лет. Уоллис опубликовал доказательство Рена (приписывая Рена) в книге Уоллиса Tractus Duo, отдав приоритет Рену на первое опубликованное доказательство.
Пятнадцать лет спустя Христиан Гюйгенс применил циклоидный маятник для улучшения хронометров и обнаружил, что частица пересекает сегмент перевернутой циклоидальной дуги за одно и то же время, независимо от начальной точки. В 1686 году Готфрид Вильгельм Лейбниц использовал аналитическую геометрию для описания кривой одним уравнением. В 1696 г. Иоганн Бернулли поставил проблему брахистохрона, решением которой является циклоида.
Циклоида через начало координат, с горизонтальное основание, заданное осью x, образованное кругом радиуса r, катящимся по "положительной" стороне основания (y ≥ 0), состоит из точек (x, y), причем
где t - действительный параметр , соответствующий углу поворота катящейся окружности. Для данного t центр круга лежит в точке (x, y) = (rt, r).
Решая для t и заменяя, декартово уравнение оказывается равным:
Когда y рассматривается как функция от x, циклоида дифференцируема везде, кроме точки куспидов, где она попадает на ось x, а производная стремится к или при приближении к куспиду. Отображение от t до (x, y) является дифференцируемой кривой или параметрической кривой класса C, а особенность, где производная равна 0, является обычным куспидом.
Отрезок циклоиды от одного куспида до следующего называется дугой циклоиды. Первая дуга циклоиды состоит из таких точек, что
Уравнение циклоиды удовлетворяет дифференциальному уравнению :
эвольвента циклоиды имеет свойство быть точно такой же циклоидой, из которой она происходит. В противном случае это можно увидеть на кончике проволоки, первоначально лежащей на половине дуги циклоиды, описывающей циклоидную дугу, равную той, на которой он лежал после разворачивания (см. Также циклоидальный маятник и длина дуги ).
Есть несколько демонстраций этого утверждения. В представленном здесь используется физическое определение циклоиды и кинематическое свойство, согласно которому мгновенная скорость точки касается ее траектории. Ссылаясь на соседнее изображение, и - две точки касания, принадлежащие до двух катящихся кругов. Два круга начинают катиться с одинаковой скоростью и в одном направлении без заноса. и начинают рисовать две циклоидные дуги, как на картинке. Рассматривая линию, соединяющую и в произвольный момент времени (красная линия), можно доказать, что прямая в любое время касается касательной в с нижней дугой и ортогональна касательной в верхней дуги. Видно, что вызов общей точкой между верхним и нижним кругами:
Используя указанную выше параметризацию для одной дуги циклоиды, образованной окружностью радиуса r,
для площадь под аркой определяется как
Этот результат и некоторые обобщения могут быть получены без вычислений по визуальному расчету Мамикона .
Длина дуги S одной дуги определяется как
Другой способ непосредственного вычисления длины циклоиды с учетом свойств эвольвенты - это заметить, что когда проволока, описывающая эвольвенту, полностью развернута, она удлиняется вдоль двух диаметров, на длину 4r. Поскольку длина проволоки не изменяется во время разворачивания, из этого следует, что длина половины дуги циклоиды равна 4r, а длина полной дуги - 8r.
Если простой маятник подвешен на куспиде перевернутой циклоиды, так что «струна» зажата между соседними дугами циклоиды, а длина L маятника равна половине длины дуги циклоиды (т. е. удвоенному диаметру образующей окружности, L = 4r), опора маятника также проходит по циклоидальному пути. Такой циклоидальный маятник изохронен, независимо от амплитуды. Вводя систему координат с центром в положении куспида, уравнение движения задается следующим образом:
где - угол прямой части строки относительно вертикальной оси и определяется выражением
где A <1 is the "amplitude", - это радианная частота маятника, а g - ускорение свободного падения.
Пять изохронных циклоидальных маятников с разными амплитудами.Голландский математик 17-го века Христиан Гюйгенс обнаружил и доказал эти свойства циклоиды, ища более точные конструкции маятниковых часов для использования в навигации.
Несколько кривых относятся к циклоиде.
Все эти кривые представляют собой рулетки с кругом, прокатываемым по другой кривой равномерной кривизны. Циклоида, эпициклоида и гипоциклоида обладают тем свойством, что каждая подобна своей эволюции. Если q является произведением этой кривизны с радиусом окружности, со знаком положительным для эпи- и отрицательным для гипо-, то соотношение «кривая: эволюция подобия равно 1 + 2q.
Классический спирограф игрушка вычерчивает кривые гипотрохоида и эпитрохоида.
Циклоидальная арка использовалась архитектором Луи Каном в своем дизайне для Художественного музея Кимбелла в Форт-Уэрте, штат Техас. Он также использовался при проектировании Центра Хопкинса в Ганновере, Нью-Гэмпшир.
Ранние исследования показали, что некоторые поперечные дугообразные кривые пластин скрипок золотого века близко моделируются заостренными циклоидными кривыми.. Более поздняя работа показывает, что свернутые циклоиды не служат общими моделями для этих кривых, которые значительно различаются.