В геометрии лист Декарта является алгебраической кривой, определенной по уравнению
Он образует цикл в первом квадранте с двойной точкой в начале координат и асимптотой
Он симметричен относительно .
Название происходит от латинского слова folium, что означает «лист ».
Кривая была изображена вместе с портретом Декарта на албанской марке в 1966 году.
Кривая была впервые предложена Декартом в 1638 году. инцидент в развитии исчисления. Декарт поставил перед Ферма задачу найти касательную к кривой в произвольной точке, поскольку Ферма недавно открыл метод поиска касательных. Ферма легко решил проблему, чего не мог сделать Декарт. С момента изобретения исчисления наклон касательной можно легко найти с помощью неявного дифференцирования.
Поскольку уравнение имеет степень 3 как по x, так и по y, и не учитывает, по одной из переменных решить сложно.
Однако уравнение в полярных координатах имеет следующий вид:
который можно легко построить. Используя эту формулу, мы получаем, что площадь внутренней части цикла равна .
Другой способ - написать y = px и решить для x и y в терминах p. Это дает рациональные параметрические уравнения :
.
Мы видим, что параметр связан с положением на кривой следующим образом:
Другой способ построения графика функции может быть получен из симметрии относительно y = x. Симметрию можно увидеть прямо из его уравнения (x и y можно поменять местами). Например, применяя поворот на 45 ° по часовой стрелке, можно построить график функции симметрично относительно повернутой оси x.
Эта операция эквивалентна замене:
и дает
Построение графика в декартовой системе (u, v) дает лист, повернутый на 45 ° и, следовательно, симметричный относительно оси u.
Поскольку лист симметричен относительно , он проходит через точку .
Лист Декарта связан с трисектрисой Маклорена посредством аффинное преобразование. Чтобы убедиться в этом, начните с уравнения
и измените переменные, чтобы найти уравнение в система координат повернута на 45 градусов. Это равносильно установке . В плоскости уравнение:
Если растянуть кривую в направление с коэффициентом это становится
который является уравнением трисектрисы Маклорена.
На Wikimedia Commons есть материалы, связанные с Folium of Descartes. |