Асимптота

редактировать

В геометрии, предел касательной в точке, которая стремится к бесконечности

График функции с горизонталью (y = 0), вертикальная (x = 0) и наклонная асимптота (фиолетовая линия, заданная y = 2x).

Кривая, пересекающая асимптоту бесконечно много раз.

В аналитической геометрии, асимптота () кривой - это линия, на которой расстояние между кривой и линией приближается к нулю как один или оба из x или Координаты y стремятся к бесконечности. В проективной геометрии и связанных контекстах асимптота кривой - это линия, которая касается кривой в точке на бесконечности.

Слово асимптота получается из греческое ἀσύμπτωτος (asumptōtos), что означает «не падать вместе», от ἀ priv. + σύν «вместе» + πτωτ-ός «падший». Этот термин был введен Аполлонием Пергским в его работе над коническими сечениями, но в отличие от его современного значения, он использовал его для обозначения любой линии, которая не пересекает данную кривую.

Есть три вида асимптот: горизонтальные, вертикальные и наклонные. Для кривых, заданных графиком функции y = ƒ (x), горизонтальные асимптоты - это горизонтальные линии, к которым график функции приближается, когда x стремится к + ∞ или −∞. Вертикальные асимптоты - это вертикальные линии, вблизи которых функция неограниченно растет. Наклонная асимптота имеет ненулевой, но конечный наклон, так что график функции приближается к нему, когда x стремится к + ∞ или −∞.

В более общем смысле, одна кривая является криволинейной асимптотой другой (в отличие от линейной асимптоты), если расстояние между двумя кривыми стремится к нулю, поскольку они стремятся к бесконечности, хотя термин асимптота сам по себе обычно зарезервирован для линейных асимптот.

Асимптоты передают информацию о поведении кривых в целом, и определение асимптот функции является важным шагом в построении ее графика. Изучение асимптот функций, понимаемых в широком смысле, является частью предмета асимптотического анализа.

Содержание

1 Введение
2 Асимптоты функций
- 2.1 Вертикальные асимптоты
- 2.2 Горизонтальные асимптоты
- 2.3 Наклонные асимптоты
3 Элементарные методы определения асимптот
- 3.1 Общее вычисление наклонных асимптот для функций
- 3.2 Асимптоты для рациональных функций
  - 3.2.1 Наклонные асимптоты рациональных функций
- 3.3 Преобразования известных функций
4 Общее определение
5 Криволинейные асимптоты
6 Асимптоты и построение кривых
7 Алгебраические кривые
8 Асимптотический конус
9 См. Также
10 Ссылки
11 Внешние ссылки

Введение

f (x) = 1 x {\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {x}}}

f (x) = \ tfrac {1} {x}

построено на декартовой системе координат координаты. Ось x и y - это асимптоты.

Идея о том, что кривая может произвольно приближаться к линии, не становясь на самом деле такой же, может показаться противоречащей повседневному опыту. Представления линии и кривой в виде отметок на листе бумаги или пикселей на экране компьютера имеют положительную ширину. Так что, если бы они были расширены достаточно далеко, они бы слились, по крайней мере, насколько мог различить глаз. Но это физические представления соответствующих математических сущностей; линия и кривая - идеализированные концепции, ширина которых равна 0 (см. Line ). Следовательно, для понимания идеи асимптоты требуется усилие разума, а не опыта.

Рассмотрим график функции $f (x) = 1 x {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}$ $f (x) = {\ frac {1} {x}}$ , показанный на этом раздел. Координаты точек на кривой имеют вид $(x, 1 x) {\ displaystyle \ left (x, {\ frac {1} {x}} \ right)}$ $\ left (x, {\ frac {1} {x}} \ right)$ где x - это число, отличное от 0. Например, график содержит точки (1, 1), (2, 0,5), (5, 0,2), (10, 0,1),... как значения $x {\ displaystyle x}$ $x$ становиться все больше и больше, скажем 100, 1000, 10 000..., поместив их далеко справа от иллюстрации, соответствующие значения $y {\ displaystyle y}$ $y$ ,.01,.001,.0001,... становятся бесконечно малыми по отношению к показанному масштабу. Но независимо от того, насколько большим становится $x {\ displaystyle x}$ $x$ , его обратное значение $1 x {\ displaystyle {\ frac {1} {x}}}$ ${\ frac {1} {x}}$ равно никогда не 0, поэтому кривая никогда не касается оси x. Точно так же, когда значения $x {\ displaystyle x}$ $x$ становятся все меньше и меньше, скажем, 0,01, 0,001,.0001,..., делая их бесконечно малыми относительно показанного масштаба, соответствующие значения $y {\ displaystyle y}$ $y$ , 100, 1,000, 10,000... становятся все больше и больше. Таким образом, кривая тянется все дальше и дальше вверх по мере приближения к оси y. Таким образом, оси x и y являются асимптотами кривой. Эти идеи являются частью основы концепции предела в математике, и эта связь более подробно объясняется ниже.

Асимптоты функций

Наиболее часто встречающиеся асимптоты при изучении исчисления являются кривыми вида y = ƒ (x). Их можно вычислить с помощью пределов и разделить на горизонтальные, вертикальные и наклонные асимптоты в зависимости от их ориентации. Горизонтальные асимптоты - это горизонтальные линии, к которым график функции приближается, когда x стремится к + ∞ или −∞. Как видно из названия, они параллельны оси x. Вертикальные асимптоты - это вертикальные линии (перпендикулярные оси x), вблизи которых функция неограниченно растет. Наклонные асимптоты - это диагональные линии, такие, что разница между кривой и прямой приближается к 0, когда x стремится к + ∞ или −∞.

Вертикальные асимптоты

Линия x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = ƒ (x), если верно хотя бы одно из следующих утверждений:

$lim Икс → а - е (Икс) = ± ∞, {\ Displaystyle \ lim _ {х \ к ^ {-}} f (х) = \ pm \ infty,}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to a ^ {-}} f (x) = \ pm \ infty,}$
$lim х → а + f (х) = ± ∞, {\ displaystyle \ lim _ {x \ to a ^ {+}} f (x) = \ pm \ infty,}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to a ^ {+}} f (x) = \ pm \ infty,}$

где $lim x → a - {\ displaystyle \ lim _ {x \ to a ^ {-}}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to a ^ {-}}}$ - это предел, когда x приближается к значению a слева (от меньших значений), а $lim x → a + {\ displaystyle \ lim _ {x \ to a ^ {+}}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to a ^ {+}}}$ - это предел, когда x приближается к a справа.

Например, если ƒ (x) = x / (x – 1), числитель приближается к 1, а знаменатель приближается к 0, когда x приближается к 1. Итак

lim x → 1 + xx - 1 = + ∞ {\ displaystyle \ lim _ {x \ to 1 ^ {+}} {\ frac {x} {x-1}} = + \ infty}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 1 ^ {+}} {\ frac {x} {x-1}} = + \ infty}

lim x → 1 - xx - 1 = - ∞ { \ displaystyle \ lim _ {x \ to 1 ^ {-}} {\ frac {x} {x-1}} = - \ infty}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 1 ^ {-}} {\ frac {x} {x-1}} = - \ infty}

, а кривая имеет вертикальную асимптоту x = 1.

Функция ƒ (x) может быть определена или не определена в a, и ее точное значение в точке x = a не влияет на асимптоту. Например, для функции

f (x) = {1 x, если x>0, 5, если x ≤ 0. {\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} {\ frac {1} {x }} {\ text {if}} x>0, \\ 5 {\ text {if}} x \ leq 0. \ end {ases}}}

f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}{\text{if }}x>0, \\ 5 {\ text {if}} x \ leq 0. \ end {ases}}

имеет предел + ∞ при x → 0, ƒ (x) имеет вертикальную асимптоту x = 0, даже если ƒ (0) = 5. График этой функции пересекает вертикальная асимптота один раз в точке (0,5). График функции не может пересекать вертикальную асимптоту (или вертикальную линию в общем ) более чем в одной точке. Более того, если функция непрерывен в каждой точке, где он определен, невозможно, чтобы его график действительно пересекал какую-либо вертикальную асимптоту.

Типичным примером вертикальной асимптоты является случай рациональной функции в точка x такая, что знаменатель равен нулю, а числитель отличен от нуль.

Если функция имеет вертикальную асимптоту, то не обязательно верно, что производная функции имеет вертикальную асимптоту в том же месте. Пример:

f (x) = 1 x + sin ⁡ (1 x) {\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {x}} + \ sin ({\ tfrac {1} {x }}) \ quad}

{\ displ aystyle f (x) = {\ tfrac {1} {x}} + \ sin ({\ tfrac {1} {x}}) \ quad}

x = 0 {\ displaystyle \ quad x = 0}

{\ displaystyle \ quad x = 0}

Эта функция имеет вертикальную асимптоту при $x = 0, {\ displaystyle x = 0,}$ $x = 0,$ потому что

lim x → 0 + f (x) = lim x → 0 + (1 x + sin ⁡ (1 x)) = + ∞, {\ displaystyle \ lim _ { x \ to 0 ^ {+}} f (x) = \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} \ left ({\ tfrac {1} {x}} + \ sin \ left ({\ tfrac { 1} {x}} \ right) \ right) = + \ infty,}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} f (x) = \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} \ left ({\ tfrac {1 } {x}} + \ sin \ left ({\ tfrac {1} {x}} \ right) \ right) = + \ infty,}

lim x → 0 - f (x) = lim x → 0 - (1 x + sin ⁡ (1 x)) = - ∞ {\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {-}} f (x) = \ lim _ {x \ to 0 ^ {-}} \ left ({\ tfrac {1} {x} } + \ sin \ left ({\ tfrac {1} {x}} \ right) \ right) = - \ infty}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ { -}} f (x) = \ lim _ {x \ to 0 ^ {-}} \ left ({\ tfrac {1} {x}} + \ sin \ left ({\ tfrac {1} {x}}) \ right) \ right) = - \ infty}

Производная от $f {\ displaystyle f}$ $f$ равна функция

f ′ (x) = - (cos ⁡ (1 x) + 1) x 2 {\ displaystyle f '(x) = {\ frac {- (\ cos ({\ tfrac {1} {x) }}) + 1)} {x ^ {2}}}}

f'(x)={\frac {-(\cos({\tfrac {1}{x}})+1)}{x^{2}}}

Для последовательности точек

xn = (- 1) n (2 n + 1) π, {\ displaystyle x_ {n} = {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1) \ pi}}, \ quad}

{\ displaystyle x_ {n} = {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1) \ pi}}, \ quad}

для

n = 0, 1, 2,… {\ displaystyle \ quad n = 0,1,2, \ ldots}

{\ displaystyle \ quad n = 0,1, 2, \ ldots}

, что приближается к $x = 0 {\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ как слева и справа значения $f '(xn) {\ displaystyle f' (x_ {n})}$ $f'(x_{n})$ постоянно $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ . Следовательно, оба односторонних предела из $f ′ {\ displaystyle f '}$ $f'$ в $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ не могут быть ни $+ ∞ {\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ или $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ . Следовательно, $f ′ (x) {\ displaystyle f '(x)}$ $f'(x)$ не имеет вертикальной асимптоты при $x = 0 {\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ .

горизонтальных асимптотах.

График функции может иметь две горизонтальные асимптоты. Примером такой функции может быть

y = arctan ⁡ (x). {\ displaystyle y = \ arctan (x).}

y = \ arctan (x).

Горизонтальные асимптоты - это горизонтальные линии, к которым график функции приближается при x → ± ∞. Горизонтальная линия y = c является горизонтальной асимптотой функции y = ƒ (x), если

lim x → - ∞ f (x) = c {\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow - \ infty} f ( x) = c}

\ lim_ {x \ rightarrow - \ infty} f (x) = c

или

lim x → + ∞ f (x) = c {\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow + \ infty} f (x) = c}

\ lim_ {x \ rightarrow + \ infty} f (x) = c

В первом случае (x) имеет y = c в качестве асимптоты, когда x стремится к −∞, а во втором ƒ (x) имеет y = c в качестве асимптоты, когда x стремится к + ∞

Для Например, функция арктангенса удовлетворяет условию

lim x → - ∞ arctan ⁡ (x) = - π 2 {\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow - \ infty} \ arctan (x) = - {\ frac {\ pi } {2}}}

\ lim_ {x \ rightarrow - \ infty } \ arctan (x) = - \ frac {\ pi} {2}

lim x → + ∞ arctan ⁡ (x) = π 2. {\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow + \ infty} \ arctan (x) = {\ frac {\ pi} {2}}.}

\ lim_ {x \ rightarrow + \ infty} \ arctan (x) = \ frac {\ pi} {2}.

Итак, прямая y = −π / 2 является горизонтальной асимптотой для арктангенс, когда x стремится к −∞, и y = π / 2 - горизонтальная асимптота для арктангенса, когда x стремится к + ∞.

Функции могут не иметь горизонтальных асимптот с одной или обеих сторон или могут иметь одну горизонтальную асимптоту, одинаковую в обоих направлениях. Например, функция ƒ (x) = 1 / (x + 1) имеет горизонтальную асимптоту при y = 0, когда x стремится как к −∞, так и к + ∞, потому что, соответственно,

lim x → - ∞ 1 x 2 + 1 = lim x → + ∞ 1 x 2 + 1 = 0. {\ displaystyle \ lim _ {x \ to - \ infty} {\ frac {1} {x ^ {2} +1}} = \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {1} {x ^ {2} +1}} = 0.}

\ lim_ {x \ to - \ infty} \ frac {1} {x ^ 2 + 1} = \ lim_ {x \ to + \ infty} \ frac {1} {x ^ 2 + 1} = 0.

Наклонные асимптоты

На графике

f (x) = x + 1 x {\ displaystyle f (x) = x + {\ tfrac {1} {x}}}

f (x) = x + \ tfrac {1} {x}

, ось y (x = 0) и линия y = x являются асимптотами.

Когда линейная асимптота не параллельна оси x или y, она называется наклонной асимптотой или наклонной асимптотой. Функция f (x) асимптотична прямой y = mx + n (m ≠ 0), если

lim x → + ∞ [f (x) - (mx + n)] = 0 или lim x → - ∞ [е (х) - (мкс + п)] = 0. {\ Displaystyle \ lim _ {х \ к + \ infty} \ влево [е (х) - (мх + п) \ вправо] = 0 \, {\ t_dv {или}} \ lim _ {x \ to - \ infty} \ left [f (x) - (mx + n) \ right] = 0.}

\ lim_ {x \ to + \ infty} \ left [f (x) - (mx + n) \ right] = 0 \, \ t_dv {или} \ lim_ {x \ to - \ infty} \ left [f (x) - (mx + n) \ right] = 0.

В первом случае строка y = mx + n является наклонной асимптотой of (x), когда x стремится к + ∞, а во втором случае прямая y = mx + n является наклонной асимптотой (x), когда x стремится к −∞.

Пример: ƒ (x) = x + 1 / x, который имеет наклонную асимптоту y = x (то есть m = 1, n = 0), как видно в пределах

lim x → ± ∞ [е (x) - x] {\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ pm \ infty} \ left [f (x) -x \ right]}

\ lim_ {x \ to \ pm \ infty} \ left [f (x) -x \ right]

= lim x → ± ∞ [(x + 1 x) - x] {\ displaystyle = \ lim _ {x \ to \ pm \ infty} \ left [\ left (x + {\ frac {1} {x}} \ right) -x \ right]}

= \ lim_ {x \ to \ pm \ infty} \ left [\ left (x + \ frac {1} {x} \ right) -x \ right]

= lim x → ± ∞ 1 x = 0. {\ displaystyle = \ lim _ {x \ to \ pm \ infty} {\ frac {1} {x}} = 0.}

= \ lim_ {x \ to \ pm \ infty} \ frac {1} {x} = 0.

Элементарные методы идентификации асимптоты

Асимптоты многих элементарных функций могут быть найдены без явного использования пределов (хотя при выводе таких методов обычно используются пределы).

Общее вычисление наклонных асимптот для функций

Наклонная асимптота для функции f (x) будет задана уравнением y = mx + n. Значение m вычисляется первым и дается следующим образом:

m = def lim x → af (x) / x {\ displaystyle m {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ lim _ {x \ стрелка вправо a} f (x) / x}

m \ stackrel {\ text {def}} {=} \ lim_ {x \ rightarrow a} f (x) / x

, где a равно либо $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ , либо $+ ∞ {\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ в зависимости от изучаемого дела. Рекомендуется рассматривать эти два случая отдельно. Если этот предел не существует, то в этом направлении нет наклонной асимптоты.

Имея m, значение n может быть вычислено с помощью

n = def lim x → a (f (x) - mx) {\ displaystyle n {\ stackrel {\ text {def}} { =}} \ lim _ {x \ rightarrow a} (f (x) -mx)}

n \ stackrel {\ text {def}} {=} \ lim_ {x \ rightarrow a} (f (x) -mx)

где a должно быть тем же значением, что и раньше. Если этот предел не существует, то в этом направлении нет наклонной асимптоты, даже если предел, определяющий m, существует. В противном случае y = mx + n - наклонная асимптота of (x), когда x стремится к a.

Например, функция ƒ (x) = (2x + 3x + 1) / x имеет

m = lim x → + ∞ f (x) / x = lim x → + ∞ 2 x 2 + 3 Икс + 1 Икс 2 знак равно 2 {\ Displaystyle м = \ lim _ {x \ rightarrow + \ infty} f (x) / x = \ lim _ {x \ rightarrow + \ infty} {\ frac {2x ^ {2} + 3x + 1} {x ^ {2}}} = 2}

m = \ lim_ {x \ rightarrow + \ infty} f (x) / x = \ lim_ {x \ rightarrow + \ infty} \ frac {2x ^ 2 + 3x + 1} {x ^ 2} = 2

, а затем

n = lim x → + ∞ (f (x) - mx) = lim x → + ∞ (2 Икс 2 + 3 Икс + 1 Икс - 2 Икс) знак равно 3 {\ Displaystyle п = \ lim _ {x \ rightarrow + \ infty} (f (x) -mx) = \ lim _ {x \ rightarrow + \ infty} \ left ({\ frac {2x ^ {2} + 3x + 1} {x}} - 2x \ right) = 3}

n = \ lim_ {x \ rightarrow + \ infty} (f (x) -mx) = \ lim_ {x \ rightarrow + \ infty} \ left (\ frac {2x ^ 2 + 3x + 1} {x} -2x \ right) = 3

, так что y = 2x + 3 является асимптотой ƒ (x) когда x стремится к + ∞.

Функция ƒ (x) = ln x имеет

m = lim x → + ∞ f (x) / x = lim x → + ∞ ln ⁡ xx = 0 {\ displaystyle m = \ lim _ {x \ rightarrow + \ infty} f (x) / x = \ lim _ {x \ rightarrow + \ infty} {\ frac {\ ln x} {x}} = 0}

m = \ lim_ {x \ rightarrow + \ infty} f (x) / x = \ lim_ { x \ rightarrow + \ infty} \ frac {\ ln x} {x} = 0

, а затем

n знак равно lim x → + ∞ (f (x) - mx) = lim x → + ∞ ln ⁡ x {\ displaystyle n = \ lim _ {x \ rightarrow + \ infty} (f (x) -mx) = \ lim _ {x \ rightarrow + \ infty} \ ln x}

n = \ lim_ { х \ rightarrow + \ infty} (е (х) -mx) = \ lim_ {x \ rightarrow + \ infty} \ ln x

, которого не существует.

Итак, y = ln x не имеет асимптоты, когда x стремится к + ∞.

Асимптоты для рациональных функций

A рациональная функция имеет не более одной горизонтальной асимптоты или наклонной (наклонной) асимптоты и, возможно, много вертикальных асимптот.

градус числителя и градус знаменателя определяют, существуют ли горизонтальные или наклонные асимптоты. Случаи перечислены ниже в таблице, где deg (числитель) - это степень числителя, а deg (знаменатель) - степень знаменателя.

Случаи горизонтальных и наклонных асимптот для рациональных функций
deg (числитель) −deg (знаменатель)	Асимптоты в целом	Пример	Например, асимптота
< 0	$y = 0 {\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$	$f (x) = 1 x 2 + 1 {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} +1}} }$ $f (x) = \ frac {1} {x ^ 2 + 1}$	$y = 0 {\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$
= 0	y = отношение ведущих коэффициентов	$f (x) = 2 x 2 + 7 3 x 2 + x + 12 {\ displaystyle f (x) = {\ frac {2x ^ {2} +7} {3x ^ {2} + x + 12}}}$ $f (x) = {\ frac {2x ^ {2} +7} {3x ^ {2} + x + 12}}$	$y = 2 3 {\ displaystyle y = {\ frac {2} {3}}}$ $y = {\ frac {2} {3}}$
= 1	y = частное от евклидова деления числителя на знаменатель	$f (x) = 2 x 2 + 3 x + 5 x = 2 x + 3 + 5 x {\ displaystyle f (x) = {\ frac {2x ^ {2} + 3x + 5} {x}} = 2x + 3 + {\ frac {5 } {x}}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {2x ^ {2} + 3x + 5} {x}} = 2x + 3 + {\ frac {5} {x}}}$	$y = 2 x + 3 {\ displaystyle y = 2x + 3}$ ${\ displaystyle y = 2x + 3}$
>1	нет	$f (x) = 2 x 4 3 x 2 + 1 {\ displaystyle f (x) = {\ frac {2x ^ {4}} {3x ^ {2} +1}}}$ $f (x) = {\ frac {2x ^ {4}} {3x ^ {2} +1}}$	нет линейной асимптоты, но существует криволинейная асимптота

Вертикальные асимптоты возникают только при th Знаменатель равен нулю (если и числитель, и знаменатель равны нулю, сравниваются кратности нуля). Например, следующая функция имеет вертикальные асимптоты при x = 0 и x = 1, но не при x = 2.

f (x) = x 2 - 5 x + 6 x 3 - 3 x 2 + 2 x знак равно (Икс - 2) (Икс - 3) Икс (Икс - 1) (Икс - 2) {\ Displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {2} -5x + 6} {x ^ {3} -3x ^ {2} + 2x}} = {\ frac {(x-2) (x-3)} {x (x-1) (x-2)}}}

f (x) = \ frac {x ^ 2-5x + 6} {x ^ 3-3x ^ 2 + 2x} = \ frac {(x-2) (x-3)} {x ( x-1) (x-2)}

Наклонные асимптоты рациональных функций

Черный: график

f (x) = (x 2 + x + 1) / (x + 1) {\ displaystyle f (x) = (x ^ {2} + x + 1) / ( x + 1)}

f (x) = (x ^ 2 + x + 1) / (x + 1)

. Красный: асимптота

y = x {\ displaystyle y = x}

y=x

. Зеленый: разница между графиком и его асимптотой для

x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 {\ displaystyle x = 1,2,3,4,5,6}

x = 1,2,3,4,5,6

Когда числитель рациональная функция имеет степень ровно на единицу больше знаменателя, функция имеет наклонную (наклонную) асимптоту. Асимптота - это полиномиальный член после деления числителя и знаменателя. Это явление происходит потому, что при делении дроби будет линейный член и остаток. Например, рассмотрим функцию

f (x) = x 2 + x + 1 x + 1 = x + 1 x + 1 {\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {2} + x + 1} {x + 1}} = x + {\ frac {1} {x + 1}}}

f (x) = \ frac {x ^ 2 + x + 1} {x + 1} = x + \ frac {1} {x + 1}

показано справа. По мере увеличения значения x f приближается к асимптоте y = x. Это связано с тем, что другой член, 1 / (x + 1), приближается к 0.

Если степень числителя больше, чем на единицу, больше степени знаменателя, а знаменатель не делит числитель, будет ненулевой остаток, который стремится к нулю при увеличении x, но частное не будет линейным, и функция не имеет наклонной асимптоты.

Преобразования известных функций

Если известная функция имеет асимптоту (например, y = 0 для f (x) = e), то ее трансляции также имеют асимптоту.

Если x = a - вертикальная асимптота f (x), то x = a + h - вертикальная асимптота f (xh)
Если y = c - горизонтальная асимптота f (x), то y = c + k является горизонтальной асимптотой f (x) + k

Если известная функция имеет асимптоту, то масштабирование функции также имеет асимптоту.

Если y = ax + b является асимптотой f (x), то y = cax + cb является асимптотой cf (x)

Например, f (x) = e + 2 имеет горизонтальную асимптоту y = 0 + 2 = 2, и никаких вертикальных или наклонных асимптот.

Общее определение

(sec (t), cosec (t)) или x + y = (xy), с 2 горизонтальными и 2 вертикальными асимптотами.

Пусть A: (a, b) → R - параметрическая плоская кривая в координатах A (t) = (x (t), y (t)). Предположим, что кривая стремится к бесконечности, то есть:

lim t → b (x 2 (t) + y 2 (t)) = ∞. {\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow b} (x ^ {2} (t) + y ^ {2} (t)) = \ infty.}

\ lim_ {t \ rightarrow b} (x ^ 2 (t) + y ^ 2 (t)) = \ infty.

Линия ℓ является асимптотой A, если расстояние из точки A (t) в стремится к нулю при t → b. По определению асимптоту могут иметь только открытые кривые, имеющие некоторую бесконечную ветвь. Никакая замкнутая кривая не может иметь асимптоты.

Например, верхняя правая ветвь кривой y = 1 / x может быть определена параметрически как x = t, y = 1 / t (где t>0). Во-первых, x → ∞ при t → ∞, а расстояние от кривой до оси x равно 1 / t, которое стремится к 0 при t → ∞. Следовательно, ось абсцисс - это асимптота кривой. Кроме того, y → ∞ при t → 0 справа, а расстояние между кривой и осью y равно t, которое приближается к 0 при t → 0. Таким образом, ось y также является асимптотой. Аналогичный аргумент показывает, что нижняя левая ветвь кривой также имеет те же две линии, что и асимптоты.

Хотя определение здесь использует параметризацию кривой, понятие асимптоты не зависит от параметризации. Фактически, если уравнение прямой имеет вид $ax + by + c = 0 {\ displaystyle ax + by + c = 0}$ $ax + by + c = 0$ , тогда расстояние от точки A (t) = (x (t), y (t)) к строке задается как

| а х (т) + б у (т) + с | a 2 + b 2 {\ displaystyle {\ frac {| ax (t) + by (t) + c |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}

\ frac {| ax (t) + by (t) + c |} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}

если γ ( t) - изменение параметризации, тогда расстояние становится

| a x (γ (t)) + b y (γ (t)) + c | a 2 + b 2 {\ displaystyle {\ frac {| ax (\ gamma (t)) + by (\ gamma (t)) + c |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}} }}}

\ frac {| ax (\ gamma (t)) + by ( \ gamma (t)) + c |} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}

который стремится к нулю одновременно с предыдущим выражением.

Важным случаем является случай, когда кривая представляет собой график реальной функции (функция одной действительной переменной и возвращающая действительные значения). График функции y = ƒ (x) - это множество точек плоскости с координатами (x, ƒ (x)). Для этого используется параметризация

t ↦ (t, f (t)). {\ displaystyle t \ mapsto (t, f (t)).}

t \ mapsto (t, f (t)).

Эту параметризацию следует рассматривать для открытых интервалов (a, b), где a может быть -∞, а b может быть + ∞.

Асимптота может быть вертикальной или невертикальной (наклонной или горизонтальной). В первом случае его уравнение x = c для некоторого действительного числа c. Невертикальный случай имеет уравнение y = mx + n, где m и $n {\ displaystyle n}$ $n$ - действительные числа. Все три типа асимптоты могут присутствовать одновременно в конкретных примерах. В отличие от асимптот для кривых, которые являются графиками функций, общая кривая может иметь более двух невертикальных асимптот и может пересекать свои вертикальные асимптоты более одного раза.

Криволинейные асимптоты

x + 2x + 3 - параболическая асимптота к (x + 2x + 3x + 4) / x

Пусть A: (a, b) → R - параметрическая плоская кривая в координатах A (t) = (x (t), y (t)), а B - другая (не параметризованная) кривая. Предположим, как и раньше, что кривая A стремится к бесконечности. Кривая B является криволинейной асимптотой кривой A, если кратчайшее расстояние от точки A (t) до точки на B стремится к нулю при t → b. Иногда B просто называют асимптотой A, когда нет риска путаницы с линейными асимптотами.

Например, функция

y = x 3 + 2 x 2 + 3 x + 4 x {\ displaystyle y = {\ frac {x ^ {3} + 2x ^ {2} + 3x + 4} {x}}}

y = \ frac {x ^ 3 + 2x ^ 2 + 3x + 4} {x}

имеет криволинейную асимптоту y = x + 2x + 3, которая известна как параболическая асимптота, потому что это парабола, а не прямая линия.

Асимптоты и построение кривых

Асимптоты используются в процедурах построения кривых. Асимптота служит ориентиром, показывающим поведение кривой к бесконечности. Чтобы получить лучшее приближение кривой, также использовались криволинейные асимптоты, хотя термин асимптотическая кривая кажется предпочтительным.

Алгебраические кривые

A кубическая кривая, лист Декарта (сплошной) с единственной действительной асимптотой (пунктир).

Асимптоты алгебраической кривой на аффинной плоскости - это линии, которые касаются проекционной кривой через точку на бесконечности. Например, таким образом можно идентифицировать асимптоты единичной гиперболы. Асимптоты часто рассматриваются только для реальных кривых, хотя они также имеют смысл, когда они определены таким образом для кривых над произвольным полем .

Плоская кривая степени n пересекает свою асимптоту не более чем в n − 2 других точках, на Теорема Безу, так как бесконечно удаленное пересечение имеет кратность не менее двух. Для коники есть пара прямых, которые не пересекают конику ни в одной сложной точке: это две асимптоты коники.

Плоская алгебраическая кривая определяется уравнением вида P (x, y) = 0, где P - многочлен степени n

P (x, y) = P n (x, y) + П N - 1 (Икс, Y) + ⋯ + P 1 (Икс, Y) + P 0 {\ Displaystyle P (x, y) = P_ {n} (x, y) + P_ {n-1} (x, y) + \ cdots + P_ {1} (x, y) + P_ {0}}

P (x, y) = P_n (x, y) + P_ {n -1} (x, y) + \ cdots + P_1 (x, y) + P_0

, где P k - однородный степени k. Обнуление линейных коэффициентов члена наивысшей степени P n определяет асимптоты кривой: установка Q = P n, если P n (x, y) = (ax - by) Q n − 1 (x, y), то прямая

Q x ′ (b, a) x + Q y ′ (b, a) y + P n - 1 (b, a) знак равно 0 {\ displaystyle Q '_ {x} (b, a) x + Q' _ {y} (b, a) y + P_ {n-1} (b, a) = 0}

Q'_x(b,a)x+Q'_y(b,a)y + P_{n-1}(b,a)=0

является асимптотой, если $Q x ′ (b, a) {\ displaystyle Q '_ {x} (b, a)}$ $Q'_x(b,a)$ и $Q y ′ ( b, a) {\ displaystyle Q '_ {y} (b, a)}$ $Q'_y(b,a)$ не равны нулю. Если $Q x ′ (b, a) = Q y ′ (b, a) = 0 {\ displaystyle Q '_ {x} (b, a) = Q' _ {y} (b, a) = 0}$ $Q'_x(b,a)=Q'_y(b,a)=0$ и $P n - 1 (b, a) ≠ 0 {\ displaystyle P_ {n-1} (b, a) \ neq 0}$ $P_ {n-1} (b, a) \ neq 0$ , есть асимптоты нет, но у кривой есть ветвь, похожая на ветвь параболы. Такая ветвь называется параболической ветвью, даже если она не имеет параболы, которая является криволинейной асимптотой. Если $Q x ′ (b, a) = Q y ′ (b, a) = P n - 1 (b, a) = 0, {\ displaystyle Q '_ {x} (b, a) = Q '_ {y} (b, a) = P_ {n-1} (b, a) = 0,}$ $Q'_x(b,a)=Q'_y(b,a)=P_{n-1}(b,a)=0,$ кривая имеет особую точку на бесконечности, которая может иметь несколько асимптот или параболических ветвей.

Для комплексных чисел P n разбивается на линейные факторы, каждый из которых определяет асимптоту (или несколько для нескольких факторов). По отношению к действительным числам P n делится на множители, которые являются линейными или квадратичными множителями. Только линейные множители соответствуют бесконечным (действительным) ветвям кривой, но если линейный множитель имеет кратность больше единицы, кривая может иметь несколько асимптот или параболических ветвей. Может также случиться, что такой кратный линейный множитель соответствует двум комплексно сопряженным ветвям и не соответствует какой-либо бесконечной ветви реальной кривой. Например, кривая x + y - 1 = 0 не имеет вещественных точек вне квадрата $| х | ≤ 1, | y | ≤ 1 {\ displaystyle | x | \ leq 1, | y | \ leq 1}$ $| x | \ leq 1, | y | \ leq 1$ , но член высшего порядка дает линейный множитель x с кратностью 4, что приводит к уникальной асимптоте x = 0.

Асимптотический конус

Полученные гиперболы, рассекающие тот же прямой круговой конус плоскостью и их асимптоты.

гипербола

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 { \ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}

\ frac {x ^ 2} { a ^ 2} - \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1

имеет две асимптоты

y = ± bax. {\ displaystyle y = \ pm {\ frac {b} {a}} x.}

y = \ pm \ frac {b} {a} x.

Уравнение объединения этих двух линий:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 0. {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 0.}

\ frac {x ^ 2 } {a ^ 2} - \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 0.

Аналогично, гиперболоид

x 2 a 2 - y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1 {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ { 2}} {b ^ {2}}} - {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} = 1}

\ frac { x ^ 2} {a ^ 2} - \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} - \ frac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1

, как говорят, имеет асимптотический конус

x 2 a 2 - y 2 b 2 - z 2 c 2 = 0. {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} - {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} = 0.}

\ frac {x ^ 2} {a ^ 2} - \ frac {y ^ 2 } {b ^ 2} - \ frac {z ^ 2} {c ^ 2} = 0.

Расстояние между гиперболоидом и конусом приближается к 0, когда расстояние от начала координат приближается к бесконечности.

В более общем плане рассмотрим поверхность, которая имеет неявное уравнение $P d (x, y, z) + P d - 2 (x, y, z) + ⋯ P 0 = 0, {\ displaystyle P_ {d} (x, y, z) + P_ {d-2} (x, y, z) + \ cdots P_ {0} = 0,}$ $P_d (x, y, z) + P_ {d-2} (x, y, z) + \ cdots P_0 = 0,$ где $P i {\ displaystyle P_ {i}}$ $P_ {i}$ - однородные многочлены степени $i {\ displaystyle i}$ $i$ и $P d - 1 = 0 {\ displaystyle P_ {d-1} = 0}$ $P_ {d-1} = 0$ . Тогда уравнение $P d (x, y, z) = 0 {\ displaystyle P_ {d} (x, y, z) = 0}$ $P_d (x, y, z) = 0$ определяет конус, который центрируется в начале координат. Он называется асимптотическим конусом, потому что расстояние до конуса точки поверхности стремится к нулю, когда точка на поверхности стремится к бесконечности.

См. Также

Обозначение Big O

Ссылки

Общие ссылки

Купцов, Л.П. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Нажмите

Конкретные ссылки

Внешние ссылки

Викискладе есть материалы, относящиеся к Асимптотике.