Рациональная функция

редактировать

Соотношение полиномиальных функций

В математике рациональная функция - это любая функция, которая может быть определена рациональной дробью, которая является алгебраической дробью такой, что числитель и знаменатель являются полиномами. коэффициенты полиномов не обязательно должны быть рациональными числами ; их можно взять в любом поле К. В этом случае говорят о рациональной функции и рациональной дроби над K. Значения переменных могут быть взяты в любом поле L, содержащем K. Тогда область функции - это набор значений переменных, знаменатель которых не равен нулю, а область равна L.

Набор рациональных функций над полем K является полем, поле дробей кольца из полиномиальных функций над K.

Содержание

1 Определения
- 1,1 Степень
2 Примеры
3 Серия Тейлора
4 Абстрактная алгебра и геометрическое понятие
- 4.1 Комплексные рациональные функции
- 4.2 Понятие рациональной функции на алгебраическом многообразии
5 Приложения
6 См. Также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Определения

Функция $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ называется рациональной функцией тогда и только тогда, когда она может быть записывается в виде

f (x) = P (x) Q (x) {\ displaystyle f (x) = {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}

f (x) = {\ frac {P (x)} {Q (x)} }

где $P {\ displaystyle P \,}$ $P \,$ и $Q {\ displaystyle Q \,}$ $Q \,$ - полиномиальные функции от $x {\ displaystyle x \,}$ $x \,$ и $Q {\ displaystyle Q \,}$ $Q \,$ не является нулевой функцией. домен из $f {\ displaystyle f \,}$ $f \,$ - это набор всех значений $x {\ displaystyle x \,}$ $x \,$ для которых знаменатель $Q (x) {\ displaystyle Q (x) \,}$ $Q (x) \,$ не равен нулю.

Однако, если $P {\ displaystyle \ textstyle P}$ $\ textstyle P$ и $Q {\ displaystyle \ textstyle Q}$ $\ textstyle Q$ имеют непостоянное значение наибольший общий делитель многочлена $R {\ displaystyle \ textstyle R}$ $\ textstyle R$ , затем установка $P = P 1 R {\ displaystyle \ textstyle P = P_ {1} R}$ $\ textstyle P = P_ {1} R$ и $Q = Q 1 R {\ displaystyle \ textstyle Q = Q_ {1} R}$ $\ textstyle Q = Q_ {1} R$ производит рациональную функцию

f 1 (x) = P 1 ( x) Q 1 (x), {\ displaystyle f_ {1} (x) = {\ frac {P_ {1} (x)} {Q_ {1} (x)}},}

f_ {1} (x) = {\ frac {P_ {1} (x)} {Q_ {1} (x)}},

который может иметь домен больше, чем $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ , и равен $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ в области $f (x). {\ displaystyle f (x).}$ $f (x).$ Обычно используется для обозначения $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ и $f 1 ( x) {\ displaystyle f_ {1} (x)}$ $f_ {1} (x)$ , то есть расширять «по непрерывности» область $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ к $f 1 (x). {\ displaystyle f_ {1} (x).}$ $f_ {1} (x).$ Действительно, можно определить рациональную дробь как класс эквивалентности дробей многочленов, где две дроби $A (x) B (x) {\ displaystyle {\ frac {A (x)} {B (x)}}}$ ${\ displaystyle { \ frac {A (x)} {B (x)}}}$ и $C (x) D (x) {\ displaystyle {\ frac { C (x)} {D (x)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {C (x)} {D (x)}}}$ считаются эквивалентными, если $A (x) D (x) = B (x) C (x) {\ displaystyle A (x) D (x) = B (x) C (x)}$ ${\ displaystyle A (x) D (x) = B (x) C (x)}$ . В этом случае $P (x) Q (x) {\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}$ ${\ frac {P (x)} {Q (x)}}$ эквивалентно $P 1 (x) Q 1 (x) {\ displaystyle {\ frac {P_ {1} (x)} {Q_ {1} (x)}}}$ ${\ frac {P_ {1} (x)} {Q_ {1} (x)}}$ .

A правильная рациональная функция - рациональная функция, в которой степень из $P (x) {\ displaystyle P (x)}$ $P ( x)$ не больше степени $Q (x) {\ displaystyle Q (x)}$ $Q (x)$ , и оба являются действительными многочленами.

Степень

Существует несколько неэквивалентных определений степени рациональной функции.

Чаще всего степень рациональной функции является максимумом из степеней составляющих ее полиномов P и Q, когда дробь сокращается до младших членов. Если степень f равна d, то уравнение

f (z) = w {\ displaystyle f (z) = w \,}

f (z) = w \,

имеет d различных решений по z, за исключением определенных значений w, называемых критическими. значения, где два или более решения совпадают или где какое-то решение отклоняется на бесконечности (то есть, когда степень уравнения уменьшается после того, как очистил знаменатель ).

В случае комплексных коэффициентов рациональная функция со степенью один является преобразованием Мёбиуса.

степень графика рациональной функции не является степенью, как определено выше: это максимум из степени числителя и единицы плюс степень знаменателя.

В некоторых контекстах, например в асимптотическом анализе, степень рациональной функции - это разница между степенями числителя и знаменателя.

В синтезе сети и анализе сети рациональная функция второй степени (то есть отношение двух многочленов степени не выше двух) часто называется биквадратная функция .

Примеры

Примеры рациональных функций

Рациональная функция степени 3 с графиком степени 3:

y = x 3 - 2 x 2 ( x 2 - 5) {\ displaystyle y = {\ frac {x ^ {3} -2x} {2 (x ^ {2} -5)}}}

y = {\ frac {x ^ {3} -2x} {2 (x ^ {2} -5)}}

Рациональная функция степени 2 с графиком степень 3:

y = x 2 - 3 x - 2 x 2 - 4 {\ displaystyle y = {\ frac {x ^ {2} -3x-2} {x ^ {2} - 4}}}

y = {\ frac {x ^ {2} -3x-2} {x ^ {2} -4}}

Рациональная функция

f (x) = x 3 - 2 x 2 (x 2 - 5) {\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {3} -2x} {2 (x ^ {2} -5)}}}

е (х) = {\ гидроразрыва {х ^ {3} -2х} {2 (х ^ {2} -5)}}

не определен в

x 2 = 5 ⇔ x = ± 5. {\ displaystyle x ^ {2} = 5 \ Leftrightarrow x = \ pm {\ sqrt {5}}.}

{\ displaystyle x ^ {2} = 5 \ Leftrightarrow x = \ pm {\ sqrt {5}}.}

Он асимптотичен $x 2 {\ displaystyle {\ tfrac {x} {2}} }$ ${\ displaystyle {\ tfrac {x } {2}}}$ при $x → ∞. {\ displaystyle x \ to \ infty.}$ ${\ displaystyle x \ to \ infty.}$

Рациональная функция

f (x) = x 2 + 2 x 2 + 1 {\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {2} + 2} {x ^ {2} +1}}}

f (x) = {\ frac {x ^ {2} +2} { х ^ {2} +1}}

определен для всех вещественных чисел, но не для всех комплексных чисел, поскольку если бы x был квадратным корнем из $- 1 {\ displaystyle -1}$ $-1$ (т.е. мнимая единица или ее отрицательное значение), тогда формальная оценка приведет к делению на ноль:

f (i) знак равно я 2 + 2 я 2 + 1 = - 1 + 2-1 + 1 = 1 0, {\ displaystyle f (i) = {\ frac {i ^ {2} +2} {i ^ {2} +1 }} = {\ frac {-1 + 2} {- 1 + 1}} = {\ frac {1} {0}},}

{\ displaystyle f (i) = {\ frac {i ^ {2} +2} {i ^ { 2} +1}} = {\ frac {-1 + 2} {- 1 + 1}} = {\ frac {1} {0}},}

который не определен.

A постоянная функция, такая как f (x) = π, является рациональной функцией, поскольку константы являются полиномами. Сама функция рациональна, даже если значение функции f (x) иррационально для всех x.

Каждая полиномиальная функция $f (x) = P (x) {\ displaystyle f (x) = P (x)}$ $f(x)=P(x)$ является рациональной функцией с $Q (x) = 1. {\ displaystyle Q (x) = 1.}$ ${\ displaystyle Q (x) = 1.}$ Функция, которая не может быть записана в этой форме, например $f (x) = sin ⁡ (x), {\ displaystyle f (x) = \ sin (x),}$ ${\ displaystyle f (x) = \ sin (x),}$ не является рациональной функцией. Прилагательное «иррациональное» обычно не используется для обозначения функций.

Рациональная функция $f (x) = xx {\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {x} {x}}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {x} {x}} }$ равна 1 для всех x кроме 0, где есть устранимая особенность . Сумма, произведение или частное (за исключением деления на нулевой многочлен) двух рациональных функций сами по себе являются рациональной функцией. Однако процесс приведения к стандартной форме может непреднамеренно привести к удалению таких особенностей, если не будут приняты меры. Использование определения рациональных функций как классов эквивалентности позволяет обойти это, поскольку x / x эквивалентно 1/1.

Ряд Тейлора

Коэффициенты ряда Тейлора любой рациональной функции удовлетворяют линейному рекуррентному соотношению, которое можно найти, приравняв рациональное функция к ряду Тейлора с неопределенными коэффициентами и сбор подобных членов после очистки знаменателя.

Например,

1 x 2 - x + 2 = ∑ k = 0 ∞ a k x k. {\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {2} -x + 2}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}.}

{\ frac {1} {x ^ {2} -x + 2}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}.

Умножение через знаменатель и распределение,

1 = (x 2 - x + 2) ∑ k = 0 ∞ akxk {\ displaystyle 1 = (x ^ {2} -x + 2) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}}

1 = (x ^ {2} - x + 2) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}

1 = k = 0 ∞ akxk + 2 - ∑ k = 0 ∞ akxk + 1 + 2 ∑ k = 0 ∞ akxk. {\ displaystyle 1 = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k + 2} - \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ { k + 1} +2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}.}

1 = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k + 2 } - \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k + 1} +2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}.

После корректировки индексов сумм, чтобы получить те же степени x, мы получаем

1 знак равно ∑ k = 2 ∞ ak - 2 xk - ∑ k = 1 ∞ ak - 1 xk + 2 ∑ k = 0 ∞ akxk. {\ displaystyle 1 = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} a_ {k-2} x ^ {k} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k-1} x ^ {k} +2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}.}

1 = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} a_ {k -2} x ^ {k} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k-1} x ^ {k} +2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ { k} x ^ {k}.

Объединение одинаковых терминов дает

1 = 2 a 0 + (2 a 1 - a 0) x + ∑ k = 2 ∞ (ak - 2 - ak - 1 + 2 ak) xk. {\ displaystyle 1 = 2a_ {0} + (2a_ {1} -a_ {0}) x + \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} (a_ {k-2} -a_ {k-1} + 2a_ {k}) x ^ {k}.}

1 = 2a_ {0} + (2a_ {1} -a_ {0}) x + \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} (a_ {k-2 } -a_ {k-1} + 2a_ {k}) x ^ {k}.

Поскольку это верно для всех x в радиусе сходимости исходного ряда Тейлора, мы можем вычислить следующим образом. Поскольку постоянный член слева должен равняться постоянному члену справа, следует, что

a 0 = 1 2. {\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {1} {2}}.}

a_ {0} = {\ frac {1} {2}}.

Тогда, поскольку слева нет степеней x, все коэффициенты справа должны равняться нулю, откуда следует, что

a 1 = 1 4 {\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {1} {4}}}

a_ {1} = {\ frac {1} {4}}

ak = 1 2 (ak - 1 - ak - 2) вилка ≥ 2. {\ Displaystyle a_ {k} = {\ frac {1} {2}} (a_ {k-1} -a_ {k-2}) \ quad для \ k \ geq 2.}

a_ {k} = {\ frac {1} {2}} (a_ {k- 1} -a_ {k-2}) \ quad для \ k \ geq 2.

И наоборот, любая последовательность, удовлетворяющая линейной рекуррентности, определяет рациональную функцию при использовании в качестве коэффициентов ряда Тейлора. Это полезно при решении таких повторений, поскольку, используя разложение на частичные дроби, мы можем записать любую правильную рациональную функцию в виде суммы множителей вида 1 / (ax + b) и разложить их как геометрические ряд, дающий явную формулу для коэффициентов Тейлора; это метод порождающих функций.

Абстрактная алгебра и геометрические понятия

В абстрактной алгебре понятие полинома расширено за счет включения формальных выражений, в которых коэффициенты многочлен можно взять из любого поля . В этой настройке с учетом поля F и некоторого неопределенного X рациональное выражение представляет собой любой элемент поля дробей кольца многочленов F [X]. Любое рациональное выражение может быть записано как отношение двух многочленов P / Q с Q ≠ 0, хотя это представление не единственно. P / Q эквивалентно R / S для многочленов P, Q, R и S, когда PS = QR. Однако, поскольку F [X] является уникальной областью факторизации, существует уникальное представление для любого рационального выражения P / Q с полиномами P и Q самой низкой степени и Q, выбранным в качестве моник. Это похоже на то, как дробь целых чисел всегда может быть записана однозначно в наименьших членах, исключив общие множители.

Поле рациональных выражений обозначается F (X). Говорят, что это поле создается (как поле) над F посредством (трансцендентного элемента ) X, потому что F (X) не содержит никакого подходящего подполя, содержащего как F, так и элемент X.

Сложные рациональные функции

В комплексном анализе рациональная функция

f (z) = P (z) Q (z) {\ displaystyle f (z) = { \ frac {P (z)} {Q (z)}}}

f (z) = {\ frac {P (z)} {Q (z)}}

- это отношение двух многочленов с комплексными коэффициентами, где Q не является нулевым многочленом, а P и Q не имеют общего множителя (это позволяет избежать использования f неопределенное значение 0/0).

Область f - это набор комплексных чисел, таких что $Q (z) ≠ 0, {\ displaystyle Q (z) \ neq 0,}$ ${\ displaystyle Q (z) \ neq 0,}$ и его диапазон набор комплексных чисел w таких, что $P (z) ≠ w Q (z). {\ displaystyle P (z) \ neq wQ (z).}$ ${\ Displaystyle P (z) \ neq wQ (z). }$

Каждую рациональную функцию можно естественным образом расширить до функции, область определения и диапазон которой составляют всю сфера Римана (сложная проективная прямая ).

Рациональные функции являются репрезентативными примерами мероморфных функций.

Понятие рациональной функции на алгебраическом многообразии

Подобно полиномам, рациональные выражения также могут быть обобщены до n не определяет X 1,..., X n, взяв поле дробей F [X 1,..., X n ], который обозначается F (X 1,..., X n).

Расширенная версия абстрактной идеи рациональной функции используется в алгебраической геометрии. Здесь функциональное поле алгебраического многообразия V формируется как поле дробей координатного кольца множества V (точнее говоря, плотного по Зарискому аффинного открытого множества в V). Его элементы f рассматриваются как регулярные функции в смысле алгебраической геометрии на непустых открытых множествах U, а также могут рассматриваться как морфизмы к проективной линии .

Приложения

Эти объекты являются первыми встречается в школьной алгебре. В более продвинутой математике они играют важную роль в теории колец, особенно в построении расширений полей. Они также предоставляют пример неархимедового поля (см. свойство Архимеда ).

Рациональные функции используются в численном анализе для интерполяции и аппроксимации функций, например введены аппроксимации Паде Автор Анри Паде. Аппроксимации в терминах рациональных функций хорошо подходят для систем компьютерной алгебры и другого числового программного обеспечения. Как и полиномы, их можно вычислить напрямую, и в то же время они выражают более разнообразное поведение, чем полиномы.

Рациональные функции используются для аппроксимации или моделирования более сложных уравнений в науке и технике, включая поля и силы в физике, спектроскопию в аналитической химии, кинетику ферментов в биохимии, электронные схемы, аэродинамику, концентрации лекарств in vivo, волновые функции для атомов и молекул, оптики и фотографии для улучшения разрешения изображений, а также акустики и звука.

В обработке сигналов, преобразование Лапласа (для непрерывных систем) или z-преобразование (для систем с дискретным временем) импульсная характеристика широко используемых линейных неизменяющихся во времени систем (фильтров) с бесконечной импульсной характеристикой является рациональными функциями над комплексными числами.

См. Также

Поле дробей
Разложение на частичные дроби
Частичные дроби в интегрировании
Функциональное поле алгебраического многообразия
Алгебраические дроби - обобщение рациональных функций что позволяет извлекать целые корни

Литература

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Press, WH; Теукольский, С.А.; Vetterling, W.T.; Фланнери, Б. (2007), «Раздел 3.4. Интерполяция и экстраполяция рациональных функций», Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Внешние ссылки

Динамическая визуализация рациональных функций с помощью JSXGraph