Полярные системы

Двумерный система, в которой каждая точке определяется расстояние от опорной точки и под углом от опорного направления координат

Точка в полярной системе координат с полюсом O и полярной осью L. Зеленым цветом обозначена точка с радиальной координатой 3 и угловой координатой 60 градусов или (3, 60 °). Синим цветом обозначена точка (4, 210 °).

В математике полярная система координат - это двухмерная система координат., в котором каждая точка на плоскость определяется расстояние от опорной точки и угол от опорного направления. Опорная точка (аналогично происхождение декартовой система координаты) называется полюс, а луч от полюса в опорном направлении является полярной ось. Расстояние от полюса называется радиальной координатой, радиальным радиусом или просто радиусом, а угол называется угловой координатой, полярным углом или азимутом. Радиальная координата часто обозначается r или ρ, а угловая координата - φ, θ или t. Углы в полярном представлении обычно выражаются либо в градусах, либо в радианах ( (2π рад, что равно 360 °).

Грегуар де Сен-Винсент и Бонавентура Кавальери независимо от друга представили концепции в середине семнадцатого века, хотя фактический термин полярные координаты был приписан Грегорио Фонтана в 18 век. Первоначальной мотивацией для внедрения полярной системы было изучение кругового и орбитального движения.

. Полярные координаты наиболее подходят в любом контексте, где рассматриваемое явление по своей сути является с направлением и длиной. от центральной точки плоскости, например, спирали. Плоские физические системы с телами, движущимися вокруг центральной точки, или явлениями, происходящими из центральной точки, часто и интуно моделировать с использованием полярных координат.

Полярная система координат расширяется до трех измерений двумя способами: цилиндрическая и сферическая системы координат.

• 1 История
• 2 Условные обозначения
  • 2.1 Уникальность полярных координат
• 3 Преобразование полярных координат в декартовы
• 4 Полярное уравнение кривой
  • 4.1 Окружность
  • 4.2 Линия
  • 4.3 Полярная роза
  • 4.4 Архимедова спираль
  • 4.5 Конические сечения
• 5 Пересечение двух полярных кривых
• 6 Комплексные числа
• 7 Исчисление
  • 7.1 Дифференциальное исчисление
  • 7.2 Интегральное исчисление (длина дуги)
  • 7.3 Интегральное исчисление (площадь)
    • 7.3.1 Обобщение
  • 7.4 Векторное исчисление
    • 7.4.1 Центробежные и кориолисовы члены
      • 7.4.1.1 Совместно вращающаяся рамка
• 8 Дифференциальная геометрия
• 9 Расширения в 3D
• 10 Приложения
  • 10.1 Положение и навигация
  • 10.2 Моделирование
• 11 См. Также
• 12 Ссылки
  • 12.1 Общие ссылки
• 13 Внешние ссылки

Гиппарх

Понятия угла и радиуса использовались древними народами еще в первом тысячелетии до нашей эры. Греческий астроном и астролог Гиппарх (190–120 гг. До н.э.) создали таблицу хорды функций, дающую длину хорды для каждого угла, и есть ссылки на то, что он использует полярные координаты для определения положения звезд. В На спиралях, Архимед в виде спираль Архимеда, функция, которой зависит от угла. Однако греческая работа не охватывала полную систему координат.

Начиная с 8 века нашей эры астрономы разработали методы аппроксимации и вычисления направления на Мекку (кибла ) - и расстояние до нее - от любого места на Земле.. Начиная с IX века, они использовали методы сферической тригонометрии и картографической проекции для точного определения этих величин. Расчет по существу представляет собой преобразование экваториальных полярных координат Мекки (т.е. ее долготы и широты ) в ее полярные координаты (т.е. ее киблу и расстояние) относительно к системе, опорным меридианом которой является большой круг, проходящий через данное местоположение и полюса Земли, а полярная ось - линия, проходящая через местоположение и его противоположную точку.

. введение полярных координат как части формальной системы координат. Полная история предмета описана в «Происхождении полярных координат» Гарвардского профессора Джулиана Лоуэлла Кулиджа. Грегуар де Сен-Винсент и Бонавентура Кавальери независимо ввел эти понятия в середине семнадцатого века. Сен-Винсент писал о них в частном порядке в 1625 году и опубликовал свою работу в 1647 году, а Кавальери опубликовал свою работу в 1635 году с исправленной версией, появившейся в 1653 году. Кавальери впервые применил полярные координаты для решения проблемы, относящейся к области внутри архимедовой спирали.. Блез Паскаль использовал полярные координаты для расчета длины параболических дуг.

В Методе колебаний (написано в 1671 году, опубликовано в 1736 году), сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он назвал «Седьмой манер; для спиралей », и девятью другими системами координат. В журнале Acta Eruditorum (1691) Якоб Берли использовал систему с точкой на линии, называемой полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались расстоянием от полюса и углом от полярной оси. Работа Бернулли расширилась до кривых радиуса кривизны, указанных в этих координатах.

Фактический терминные полярные координаты был приписан Грегорио Фонтана и использовался итальянскими писателями 18-го века. Термин появился в английском в переводе Джорджа Пикока в 1816 году Дифференциального и интегрального исчисления Лакруа. Алексис Клеро был первым думать о полярных координатах в трех измерениях, и Леонард Эйлер был первым, кто их разработал.

Полярная сетка с углами, увеличивающаяся в направлении против часовой стрелки и обозначенная градусы

Радиальная координата часто обозначается r или ρ, а угловая координата - φ, θ или т. Угловая координата определяется как φ в стандарте ISO 31-11. Однако в математической литературе угол часто обозначается как θ вместо φ.

Углы в полярной системе счисления обычно выражаются либо в градусах, либо в радианах (2π рад, что равно 360 °). Градусы традиционно используются в навигации, геодезии и многих прикладных дисциплинах, в то время как радианы более распространены в математике и математической физике.

Угол φ определяется как начальный 0 ° от опорного направления, и увеличить для вращений в любом против часовой стрелки (CCW) или по часовой стрелке (CW) ориентации. В математике, например, исходное направление обычно изображается как луч от полюса по горизонтали вправо, а полярный угол увеличивается до положительных углов при вращении против часовой стрелки, тогда как в навигации (пеленг, заголовок ) заголовок 0 ° рисуется вертикально вверх, а угол увеличивается при поворотах по часовой стрелке. Полярные углы уменьшаются в сторону отрицательных значений для вращений в противоположных направлениях.

Уникальность полярных координат

Добавление любого количества полных оборотов (360 °) к угловой координате не изменяет соответствующие направления. Точно так же любая полярная координата с отрицательной радиальной составляющей и противоположным направлением (добавление 180 ° к полярному направлению). Следовательно, одна и та же точка (r, φ) может быть выражена бесконечным числом различных полярных координат (r, φ + n × 360 °) и (−r, φ + 180 ° + n × 360 °) = (−r, φ + (2n + 1) × 180 °), где n - произвольное целое число. Более того, сам полюс может быть выражен как (0, φ) для любого угла φ.

Если для любой точки, кроме полюса, требуется уникальное представление, обычно r ограничивают положительные числа (r>0) и φ в интервале [0, 360 °) или (-180 °, 180 °] (в радианах, [0, 2π) или (-π, π]). Другое соглашение, в Соблюдение обычным кодомена arctan-функции состоит в том, чтобы учесть произвольные ненулевые действительные значения радиальной составляющей и ограничить полярный угол (-90 °, 90 °). Во всех случаях уникальный азимут для полюса (r = 0) необходимо выбрать, например, φ = 0.

Диаграмма, В этой анимации $y\; =\; sin\; \; (6\; x)\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; sin\; (6x)\; +2\; иллюстрирующая\; взаимосвязь\; между\; полярными\; и\; декартовыми\; координатами.$ Кривая на декартова плоскость может отображаться в полярных координатах. }Нажмите отображается на $r\; =\; sin\; \; (6\; \theta )\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \backslash \; sin\; (6\; \backslash \; theta)\; +2\}$. На изображение, чтобы получить подробная инфо рмацию.

Полярные координаты r и φ могут быть преобразованы в декартовы координаты x и y с помощью тригонометрических функций синус и косинус:

$x\; =\; r\; cos\; \; \varphi ,\; y\; =\; г\; грех\; \; \varphi .\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; =\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi,\; \backslash \backslash \; y\; =\; r\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Декартовы координаты x и y могут быть преобразованы в полярные координаты r и φ с r ≥ 0 и φ в интервале (−π, π] по:

$r\; =\; x\; 2\; +\; y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; quad\}$(как в теореме Пифагора или евклидовой норме ) и

$\varphi \; =\; atan2\; \; (y,\; x),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; =\; \backslash \; operatorname\; \{atan2\}\; (y,\; x),\}$

где atan2 - это общий вариант функции арктангенса, особый как

Если r вычисляется первым, как указано выше, то формула для φ может быть сказано немного проще, используя стандартную дугу функция косинуса :

Значение φ выше является размером функции комплексного числа arg, примененной к x + iy. Угол в диапазоне [0, 2π) может быть получен путем добавления 2π к значению в случае, если оно отрицательно (другими словами, когда y отрицательно).

Уравнение, определяющее алгебраическую кривую, выраженную в полярных координатах, известно как полярное уравнение. Во многих случаях такое уравнение можно просто задать, задав функцию от φ. Полученная кривая структура из точек вида (r (φ), φ) и может рассматриваться как график полярной функции r. Обратите внимание, что это вторая записью в упорядоченной паре, независимая переменная.

Различные формы симметрии могут быть выведены из уравнения полярной функции r. Если r (−φ) = r (φ), кривая будет симметричной относительно горизонтального (0 ° / 180 °) луча, если r (π - φ) = r (φ), она будет симметричной относительно вертикали (90 ° / 270 °).) луч, и если r (φ - α) = r (φ), он будет осесимметричным на α по часовой стрелке и против часовой стрелки относительно полюса.

Простое уравнение, в то время как их декартова форма намного сложнее. Наиболее известным из этих кривых против полярная роза, архимедова спираль, лемниската, лимакон и кардиоида <683.>Для круга линии и полярной розы подразумевается, что нет никаких ограничений на область и диапазон кривой.

Круг с уравнением r (φ) = 1

Общее уравнение для круга с центром в центре (r 0, $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$) и радиус а равенство

$р\; 2\; -\; 2\; rr\; 0\; соз\; \; (\phi \; -\; \gamma )\; +\; r\; 0\; 2\; =\; a\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{2\}\; -2rr\_\; \{0\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; varphi\; -\; \backslash \; gamma)\; +\; r\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; =\; a\; ^\; \{2\}.\}$

Это можно упростить различными способами, чтобы соответствовать более конкретным случаям, таким как уравнение

$r\; (\phi )\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; (\backslash \; varphi)\; =\; a\}$

для круга с центром на полюсе и радиусом a.

Когда r 0 = a, или когда начало координат лежит на окружности, уравнение принимает вид

$r\; =\; 2\; a\; cos\; \; (\phi \; -\; \gamma ).\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 2a\; \backslash \; cos\; (\backslash \; varphi\; -\; \backslash \; gamma).\}$

В общем случае уравнение может быть решено относительно r, что дает

$r\; =\; r\; 0\; cos\; \; (\phi \; -\; \gamma )\; +\; a\; 2\; -\; р\; 0\; 2\; грех\; 2\; \; (\phi \; -\; \gamma ),\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; r\_\; \{0\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; varphi\; -\; \backslash \; gamma)\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\; ^\; \{2\}\; -r\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; varphi\; -\; \backslash \; gamma)\}\},\}$

решение со знаком минус перед квадратным корнем дает ту же кривую.

Линия

Радиальные линии (проходящие через полюс) уравнением

$\phi \; =\; \gamma ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; =\; \backslash \; gamma,\}$

где γ - угол подъема линии; то есть γ = arctan m, где m - угол наклона прямой в декартовой системе координат. Нерадиальная линия, которая пересекает радиальную линию φ = γ перпендикулярно в точке (r 0, γ), имеет уравнение

$r\; (\phi )\; =\; r\; 0\; сек\; \; (\phi \; -\; \gamma ).\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; (\backslash \; varphi)\; =\; r\_\; \{0\}\; \backslash \; sec\; (\backslash \; varphi\; -\; \backslash \; gamma).\}$

В случае потери (r 0, γ) - это точка, в которой касательная пересекает воображаемый круг радиуса r 0.

Полярная роза

Полярная роза с уравнением r (φ) = 2 sin 4φ

A полярная роза представляет собой математическую кривую, которая выглядит как цветок с лепестками и может быть выражена как простое полярное уравнение,

$р\; (\phi )\; знак\; равно\; a\; соз\; \; (к\; \phi \; +\; \gamma \; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; (\backslash \; varphi)\; =\; a\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (k\; \backslash \; varphi\; +\; \backslash \; gamma\; \_\; \{0\}\; \backslash \; right)\}$

для любой постоянной γ 0 (включая 0). Если k - целое число, эти уравнения будут давать розу с k лепестками, если k нечетное, или розу с 2k лепестками, если k четно. Если рациональное число, но не целое число, может образоваться роза, но с перекрывающимися лепестками. Обратите внимание, что эти уравнения никогда не определяют розу с 2, 6, 10, 14 и т. Д. Лепестками. Переменная a напрямую представляет длину или амплитуду лепестков розы, а k относится к их пространственной частоте. Постоянная γ 0 может рассматриваться как фазовый угол.

Архимедова спираль

Одно плечо архимедовой спирали с уравнением r (φ) = φ / 2π для 0 < φ < 6π

Архимедова спираль - это спираль, открытая Архимедом, которое также можно выразить в виде простого полярного уравнения. Он представлен уравнением

$r\; (\phi )\; =\; a\; +\; b\; \phi .\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; (\backslash \; varphi)\; =\; a\; +\; b\; \backslash \; varphi.\}$

Изменение параметра повернет спираль, а b контролирует расстояние между рукавами, которое для данной спирали всегда постоянно. Спираль Архимеда имеет две рукива: одно для φ>0 и одно для φ <0. Два рукава плавно соединены на полюсе. Если сделать зеркальное отображение одной руки по линии 90 ° / 270 °, получится другая рука. Эта кривая примечательна как одна из первых кривых после конических участков , которые будут обеспечивать в математическом трактате, и как яркий пример кривой, которая лучше всего определяется полярным уравнением.

Конические сечения

Эллипс, показывающий полу-широчайшую кишку

A коническое сечение с одним фокусом на полюсе, а другой где-то на луче 0 ° (так что большая ось конуса лежит вдоль прямой полярной оси) определяется по формуле:

$r\; =\; \ell \; 1\; -\; e\; cos\; \; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; ell\; \backslash \; over\; \{1-e\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\}\}\}$

где e эксцентриситет и $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$- это прямая полу-латусная мышца (перпендикулярное расстояние в фокусе от большой оси до кривая). Если e>1, это уравнение определяет гиперболу ; если e = 1, он определяет параболу ; и если e < 1, it defines an эллипс. В частном случае e = 0 последнее получается окружность радиуса $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$.

Графики двух полярных функций $r\; знак\; равно\; е\; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; f\; (\backslash \; theta)\}$и $r\; =\; g\; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; g\; (\backslash \; theta)\}$иметь возможные пересечения трех типов:

1. в начале координат, если уравнения $f\; (\theta )\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; theta)\; =\; 0\}$и $g\; (\theta )\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\backslash \; theta)\; =\; 0\}$имеет хотя бы по одному решению.
2. Все точки $[g\; (\theta \; i),\; \theta \; i]\; \{\backslash \; displaystyle\; [g\; (\backslash \; theta\; \_\; \{i\}),\; \backslash \; theta\; \_\; \{i\}]\}$где $\theta \; я\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{i\}\}$- решения к уравнению $f\; (\theta \; +\; 2\; k\; \pi )\; =\; g\; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; theta\; +\; 2k\; \backslash \; pi)\; =\; g\; (\backslash \; theta)\}$где $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$- целое число.
3. Все точки $[g\; (\theta \; i),\; \theta \; i]\; \{\backslash \; displaystyle\; [g\; (\backslash \; theta\; \_\; \{i\}),\; \backslash \; theta\; \_\; \{i\}]\}$где $\theta \; я\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{i\}\}$- это решения уравнения $f\; (\theta \; +\; (2\; k\; +\; 1)\; \pi )\; =\; -\; g\; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; theta\; +\; (2k\; +\; 1)\; \backslash \; pi)\; =\; -\; g\; (\backslash \; theta)\}$где $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$- целое число.

Иллюстрация комплексное число z, нанесенное на комплексную плоскость Иллюстрация комплексного числа, нанесенное на комплексное число с использованием формулы Эйлера

Каждое комплексное число может быть представлено как точка в комплексная плоскость, и поэтому может быть выражена указанием либо декартовой системы точек (называемой прямоугольной или декартовой формы), либо полярных координат точки (называемой полярной формы). Комплексное число z может быть представлено в форме как

$z\; =\; x\; +\; iy\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; x\; +\; iy\}$

, где i - мнимая единица, или может быть записано в виде полярной форма (с помощью формул преобразования, приведенных в выше) как

$z\; =\; r\; (cos\; \; \phi \; +\; i\; sin\; \; \phi )\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; r\; (\backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; +\; i\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi)\}$

и оттуда как

$z\; =\; rei\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; re\; ^\; \{i\; \backslash \; varphi\}\}$

, где e - число Эйлера, что эквивалентно, как показано Формула Эйлера. (Обратите внимание, что эта формула, как и все формулы, включающие экспоненты углов, предполагает, что угол φ выражается в радианах.) Для преобразования между прямоугольной и полярной формойми комплексного числа используются формулы преобразования выше можно использовать.

Для операций умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел, как правило, намного проще работать с комплексными числами, выраженными в полярной форме, а не прямоугольная. Из законов возведения в степень:

Умножение

$r\; 0\; ei\; \phi \; 0\; r\; 1\; ei\; \phi \; 1\; =\; r\; 0\; r\; 1\; ei\; (\phi \; 0\; +\; \phi \; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; varphi\; \_\; \{0\}\}\; \backslash ,\; r\_\; \{1\}\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\}\; =\; r\_\; \{0\}\; r\_\; \{1\}\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; left\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{0\}\; +\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; \backslash \; right)\}\}$

Разделение

$r\; 0\; ei\; \phi \; 0\; r\; 1\; ei\; \phi \; 1\; =\; r\; 0\; r\; 1\; ei\; (\phi \; 0\; -\; \phi \; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; varphi\; \_\; \{0\}\}\}\; \{r\_\; \{1\}\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{0\}\}\; \{r\_\; \{1\}\}\}\; e\; ^\; \{i\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{0\}\; -\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\})\}\}$

Возведение в степень (Формула Де Муавра )

$(rei\; \phi )\; n\; =\; rnein\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (re\; ^\; \{i\; \backslash \; varphi\}\; \backslash \; справа)\; ^\; \{n\}\; =\; r\; ^\; \{n\}\; e\; ^\; \{in\; \backslash \; varphi\}\}$

Исчисление можно применять к уравнениям, выраженным в полярных координатах.

Угловая координата В этом разделе φ выражается в радианах, что является обычным выбором при вычислении.

Дифференциальное исчисление

Используя x = r cos φ и y = r sin φ, можно вывести соотношение между производными в декартовы х и полярных координатах. Для данной функции u (x, y) это следующее ws, что (вычислив его полные производные )

$r\; \partial \; u\; \partial \; r\; =\; r\; \partial \; u\; \partial \; x\; \partial \; x\; \partial \; r\; +\; r\; \partial \; u\; \partial \; y\; \partial \; y\; \partial \; r,\; \partial \; u\; \partial \; \phi \; =\; \partial \; u\; \partial \; x\; \partial \; Икс\; \partial \; \phi \; +\; \partial \; U\; \partial \; Y\; \partial \; Y\; \partial \; \phi ,\; \{\backslash \; displaystyl\; e\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; r\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; =\; r\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; +\; r\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\},\; \backslash \; \backslash \; [2pt]\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

или

$r\; \partial \; u\; \partial \; r\; =\; r\; \partial \; u\; \partial \; x\; cos\; \; \phi \; +\; r\; \partial \; u\; \partial \; y\; sin\; \; \phi \; =\; x\; \partial \; u\; \partial \; x\; +\; y\; \partial \; u\; \partial \; y,\; \partial \; u\; \partial \; \phi \; =\; -\; \partial \; u\; \partial \; xr\; sin\; \; \phi \; +\; \partial \; u\; \partial \; yr\; cos\; \; \phi \; =\; -\; y\; \partial \; u\; \partial \; x\; +\; x\; \partial \; u\; \partial \; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; r\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; =\; r\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; +\; r\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; si\; n\; \backslash \; varphi\; =\; x\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; +\; y\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\},\; \backslash \; \backslash \; [2pt]\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; r\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; =\; -y\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; +\; x\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Следовательно, мы имеем следующие формулы:

$r\; \partial \; \partial \; r\; =\; x\; \partial \; \partial \; x\; +\; y\; \partial \; \partial \; y\; \partial \; \partial \; \phi \; =\; -\; y\; \partial \; \partial \; x\; +\; x\; \partial \; \partial \; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; r\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; =\; x\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; +\; y\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; частичный\; y\}\}\; \backslash \backslash \; [2pt]\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; =\; -\; y\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; +\; x\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\; \backslash \; partial\; y\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Используя обратное преобразование координат, можно получить аналогичное взаимное отношение между производными. Для функций u (r, φ) следует, что

$\partial \; u\; \partial \; x\; =\; \partial \; u\; \partial \; r\; \partial \; r\; \partial \; x\; +\; \partial \; u\; \partial \; \phi \; \partial \; \phi \; \partial \; x,\; \partial \; u\; \partial \; y\; =\; \partial \; u\; \partial \; r\; \partial \; r\; \partial \; Y\; +\; \partial \; U\; \partial \; \phi \; \partial \; \phi \; \partial \; Y,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; r\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\},\; \backslash \backslash \; [2pt]\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; r\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

или

$\partial \; u\; \partial \; x\; =\; \partial \; u\; \partial \; rxx\; 2\; +\; y\; 2\; -\; \partial \; u\; \partial \; \phi \; yx\; 2\; +\; y\; 2\; =\; cos\; \; \phi \; \partial \; u\; \partial \; r\; -\; 1\; r\; sin\; \; \phi \; \partial \; u\; \partial \; \phi ,\; \partial \; u\; \partial \; y\; =\; \partial \; u\; \partial \; ryx\; 2\; +\; y\; 2\; +\; \partial \; u\; \partial \; \phi \; xx\; 2\; +\; y\; 2\; знак\; равно\; sin\; \; \phi \; \partial \; u\; \partial \; r\; +\; 1\; r\; cos\; \; \phi \; \partial \; u\; \partial \; \phi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; \backslash \; [2pt]\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\},\; \backslash \backslash \; [2pt]\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; [2pt]\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; частичное\; \backslash \; varphi\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Следовательно, мы имеем следующие формулы:

$\partial \; \partial \; x\; =\; cos\; \; \phi \; \partial \; \partial \; r\; -\; 1\; r\; sin\; \; \phi \; \partial \; \partial \; \phi \; \partial \; \partial \; y\; =\; sin\; \; \phi \; \partial \; \partial \; r\; +\; 1\; r\; cos\; \; \phi \; \partial \; \partial \; \phi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; \}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; \backslash \backslash \; [2pt]\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Чтобы найти При декартовом наклоне касательной к полярной кривой r (φ) в любой заданной точке эта кривая сначала выражается в виде системы параметрических уравнений.

$x\; =\; r\; (\phi )\; cos\; \; \phi \; Y\; знак\; равно\; r\; (\phi )\; грех\; \; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; =\; r\; (\backslash \; varphi)\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \; y\; =\; r\; (\backslash \; varphi)\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \; end\; \{align\}\; \}\}$

Дифференцирование оба уравнения относительно φ дают

$dxd\; \phi \; =\; r\; \prime \; (\phi )\; cos\; \; \phi \; -\; r\; (\phi )\; sin\; \; \phi \; dyd\; \phi \; =\; r\; \prime \; (\phi )\; sin\; \; \phi \; +\; r\; (\; \phi )\; cos\; \; \phi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{d\; \backslash \; varphi\}\}\; =\; r\; \text{'}(\backslash \; varphi)\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; -r\; (\backslash \; varphi)\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \; [2pt]\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{dy\}\; \{d\; \backslash \; varphi\}\}\; =\; r\; \text{'}(\backslash \; varphi)\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; +\; r\; (\backslash \; varphi)\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Деление второго уравнения на первое дает декартов наклон касательной к кривой в точке (r (φ), φ):

$dydx\; =\; r\; \prime \; (\phi )\; sin\; \; \phi \; +\; r\; (\phi )\; cos\; \; \phi \; r\; \prime \; (\phi )\; cos\; \Phi \; -\; r\; (\phi )\; sin\; \; \phi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{r\; \text{'}(\backslash \; varphi)\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; +\; r\; (\backslash \; varphi)\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\}\; \{r\text{'}\; (\backslash \; varphi)\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; -r\; (\backslash \; varphi)\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\}\}.\}$

Для получения других полезных формул, включая расхождение, градиент и лапласиан в полярных координатах, см. криволинейные координаты.

Интегое исчисление (длина дуги)

Длина дуги (длина отрезка прямого), определяемая полярной функцией, находится путем интегрирования по кривой r (φ). Обозначим через эту длину вдоль кривой от точек A до точки B, где эти точки соответствуют φ = a и φ = b таким, что 0 < b − a < 2π. The length of L is given by the following integral

$L\; =\; \int \; ab\; [r\; (\phi )]\; 2\; +\; [dr\; (\phi )\; d\; \phi ]\; 2\; d\; \phi \; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; [r\; (\backslash \; varphi)\; \backslash \; right]\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; tfrac\; \{dr\; (\backslash \; varphi)\}\; \{d\; \backslash \; varphi\}\}\; \backslash \; right]\; ^\; \{2\}\}\}\; d\; \backslash \; varphi\}$

Интегральное исчисление (площадь)

Область интегрирования R ограничена кривой r (φ) и лучи φ = a и φ = б.

Обозначим через R область, ограниченную кривую r (φ) и лучами φ = a и φ = b, где 0 < b − a ≤ 2π. Then, the area of R is

$1\; 2\; \int \; ab\; [r\; (\phi )]\; 2\; d\; \phi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; left\; [r\; (\backslash \; varphi)\; \backslash \; right]\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi.\}$

Регион R аппроксимируется в секторах (здесь n = 5). A планиметр, который механически вычисляет полярные интегралы

Этот результат можно найти следующим образом. Сначала интервал [a, b] делится на n подинтервалов, где n - произвольное положительное целое число. Таким образом, Δφ, угловая мера каждого подынтервала, равна b - a (полная угловая мера интервала), деленная на n, количество подынтервалов. Для каждого подынтервала i = 1, 2,..., n, пусть φ i будет средней точкой подынтервала, и постройте сектор с центром в полюсе, радиус r (φ i), центральный угол Δφ и длина дуги r (φ i) Δφ. Следовательно, площадь каждого построенного сектора равна

$[r\; (\phi \; i)]\; 2\; \pi \; \cdot \; \Delta \; \phi \; 2\; \pi \; =\; 1\; 2\; [r\; (\phi \; i)]\; 2\; \Delta \; \phi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [г\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{i\})\; \backslash \; right]\; ^\; \{2\}\; \backslash \; pi\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; \backslash \; varphi\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \}\}\; \backslash \; left\; [r\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{i\})\; \backslash \; right]\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Delta\; \backslash \; varphi.\}$

Следовательно, общая площадь всех секторов составляет

$\sum \; i\; =\; 1\; n\; 1\; 2\; r\; (\phi \; i)\; 2\; \Delta \; \phi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; r\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{i\})\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; \backslash \; varphi.\}$

Как количество подынтервалов увеличивается, аппроксимация площади продолжает улучшаться. В пределе n → ∞ сумма становится суммой Римана для выше выше интеграла.

Механический вычисляющий интегралы площадей, который измеряет площадь плоских фигур, отслеживая их: он воспроизводит интегрирование в полярных координатах путем добавления соединения, так что 2- элемент связи воздействует на теорему Грина, преобразуя квадратичный интеграл в линейный интеграл.

Обобщение

Используя декартовы координаты, элемент бесконечно малой площади можно вычислить как dA = dx dy. Правило замены для множественных интегралов гласит, что при использовании других координат необходимо учитывать определитель якобиана формулы преобразования координат:

$J\; =\; det\; \partial \; (x,\; y)\; \partial \; (r,\; \phi )\; =\; |\; \partial \; x\; \partial \; r\; \partial \; x\; \partial \; \phi \; \partial \; y\; \partial \; r\; \partial \; y\; \partial \; \phi \; |\; =\; |\; cos\; \; \phi \; -\; r\; sin\; \; \phi \; sin\; \; \phi \; r\; cos\; \; \phi \; |\; знак\; равно\; г\; соз\; 2\; \; \phi \; +\; г\; грех\; 2\; \; \phi \; =\; г.\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; \backslash \; det\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; (x,\; y)\}\; \{\backslash \; partial\; (r,\; \backslash \; varphi)\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; \backslash \backslash \; [2pt]\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; и\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\; \}\}\; \backslash \; end\; \{vmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; -r\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \; end\; \{vmatrix\}\}\; =\; r\; \backslash \; cos\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash \; varphi\; +\; r\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; varphi\; =\; r.\}$

Следовательно, элемент площади в полярных координатах можно записать как

$d\; A\; =\; dxdy\; =\; J\; drd\; \phi \; =\; rdrd\; \phi .\; \{\backslash \; displaystyle\; dA\; =\; dx\; \backslash ,\; dy\; \backslash \; =\; J\; \backslash ,\; dr\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi\; =\; r\; \backslash ,\; dr\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi.\}$

Теперь функция, заданная в полярных координатах, может быть интегрирована следующим образом:

$R\; f\; (x,\; y)\; d\; A\; =\; \int \; ab\; \int \; 0\; r\; (\phi )\; f\; (r,\; \phi )\; rdrd\; \phi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; iint\; \_\; \{R\}\; е\; (х,\; y)\; \backslash ,\; dA\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{r\; (\backslash \; varphi)\}\; f\; (r,\; \backslash \; varphi)\; \backslash ,\; r\; \backslash ,\; dr\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi.\}$

Здесь R - та же область, что и выше, а именно область, ограниченная кривая r (ϕ) и лучами φ = a и φ = b. Формула для площади R, получнутая выше, получается при равенстве f тождественно 1.

Интеграл Гаусса

Более удивительное применение этого результата дает интеграл Гаусса, обозначенный здесь K:

$К\; знак\; равно\; равно\; равно\; \int \; -\; \infty \; \infty \; е\; -\; Икс\; 2\; dx\; =\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}.\}$

Векторное исчисление

Векторное исчисление также может быть к полярным координатам. Для плоского движения пусть $r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}$будет вектором положения (r cos (φ), r sin (φ)), где r и φ зависят от времени. т.

Мы определяем единичные экологические

$r\; ^\; =\; (cos\; \; (\phi ),\; sin\; \; (\phi ))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\; =\; (\backslash \; cos\; (\backslash \; varphi),\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi))\}$

в направлении $r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}$и

$\phi \; ^\; =\; (-\; sin\; \; (\phi ),\; соз\; \; (\phi ))\; знак\; равно\; К\; ^\; \times \; р\; ^,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; шляпа\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; varphi\}\}\}\; =\; (-\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi),\; \backslash \; cos\; (\backslash \; varphi))\; =\; \{\backslash \; шляпа\; \{\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\; \backslash ,\}$

в плоскости движения, перпендикулярной радиальной плоскости, где $k\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{\; k\}\}\}\}$- единичный вектор, нормальный к плоскости движения.

Тогда

$r = (x, y) = r (cos ⁡ φ, sin ⁡ φ) = rr ^, r ˙ = (x ˙, y ˙) = r ˙ (cos ⁡ φ, sin ⁡ φ) + r φ ˙ (- sin ⁡ φ, cos ⁡ φ) = r ˙ r ^ + r φ ˙ φ ^, r ¨ = (x ¨, y ¨) = r ¨ (cos ⁡ φ, sin ⁡ φ) + 2 r ˙ φ ˙ (- sin ⁡ φ, cos ⁡ φ) + r φ ¨ (- sin ⁡ φ, cos ⁡ φ) - r φ ˙ 2 (cos ⁡ φ, sin ⁡ φ) = (r ¨ - r φ 2) r ^ + (r φ ¨ + 2 r ˙ φ ˙) φ ^ = (r ¨ - r φ ˙ 2) r ^ + 1 rddt (r 2 φ ˙) φ ^. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {r} = (x, \ y) = r (\ cos \ varphi, \ \ sin \ varphi) = r {\ hat {\ mathbf {r}}} \, \\ {\ dot {\ mathbf {r}}} = \ left ({\ dot {x}}, \ {\ dot {y}} \ right) = {\ dot {r}} (\ cos \ varphi, \ \ sin \ varphi) + r {\ dot {\ varphi}} (- \ sin \ varphi, \ \ cos \ varphi) = {\ dot {r}} {\ hat {\ mathbf {r}}} + r {\ dot {\ varphi}} {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}} \, \\ {\ ddot {\ mathbf {r}}} = \ left ({\ ddot {x}}, \ {\ ddot {y}} \ right) \\ = {\ ddot {r}} (\ cos \ varphi, \ \ sin \ varphi) +2 {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi} } (- \ sin \ varphi, \ \ cos \ varphi) + r {\ ddot {\ varphi}} (- \ sin \ varphi, \ \ cos \ varphi) -r {\ dot {\ varphi}} ^ {2 } (\ cos \ varphi, \ \ sin \ varphi) \\ = \ left ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ right) {\ hat {\ mathbf {r}}} + \ left (r {\ ddot {\ varphi}} + 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}} \ right) {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}} \\ = \ left ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ right) {\ hat {\ mathbf {r}}} + {\ frac {1} { r}} \; {\ frac {d} {dt}} \ left (r ^ {2} {\ dot {\ varphi}} \ rig ht) {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}}. \ end {align}}}$

Центробежные и кориолисовы термины

Вектор положения r, всегда направлен радиально от начала координат. Вектор скорости v, всегда касательный к траектории движения. Вектор ускорения a, не параллельный радиальному движению, но смещенный угловым ускорением и ускорением Кориолиса, а не касательным к траектории, но смещенной центростремительным и радиальным ускорениями. Кинематические векторы в плоских полярных координатах. Обратите внимание, что установка ограничена не 2-м пространством, а плоскостью в любом более высоком измерении.

Термин $r\; \phi \; \dot{}\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; varphi\}\}\; ^\; \{2\}\}$иногда называют центростремительным ускорением, а термин $2\; r\; \dot{}\; \phi \; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; varphi\}\}\}$как Кориолисово ускорение. Например, см. Шанкар.

Примечание: эти термины, которые появляются, когда ускорение выражается в полярных координатах, являются математическим следствием дифференцирования; они появляются всякий раз, когда используются полярные координаты. В динамике плоских частиц эти ускорения появляются при установке второго закона движения Ньютона во вращающейся системе отсчета. Здесь эти дополнительные термины часто называют фиктивными силами ; фиктивными, потому что они просто результат изменения системы координат. Это не значит, что их не существует, скорее они существуют только во вращающейся рамке.

Инерциальная система отсчета S и мгновенная неинерциальная система отсчета S ', вращающаяся в одном направлении. Совместно вращающаяся рамка вращается с угловой скоростью Ω, равной скорости вращения частицы вокруг начала координат S ′ в конкретный момент t. Частица расположена в позиции вектора r (t), и единичные векторы показаны в радиальном направлении к частице от начала координат, а также в направлении увеличения угла ϕ, нормального к радиальному направлению. Эти единичные векторы не обязательно должны быть связаны с касательной и нормалью к пути. Кроме того, радиальное расстояние r не обязательно должно быть связано с радиусом кривизны траектории.

Совместно вращающаяся рамка

Для частицы, движущейся в плоскости, один из подходов к приданию физического значения этим терминам основан о концепции мгновенной системы координат, вращающейся в одном направлении. Чтобы определить совместно вращающуюся рамку, сначала выбирается исходная точка, от которой определяется расстояние r (t) до частицы. Устанавливается ось вращения, которая перпендикулярна плоскости движения частицы и проходит через это начало. Затем в выбранный момент t скорость вращения совместно вращающейся системы Ω выравнивается со скоростью вращения частицы вокруг этой оси dφ / dt. Далее, члены ускорения в инерциальной системе отсчета связаны с членами в системе одновременного вращения. Пусть положение частицы в инерциальной системе отсчета будет (r (t), φ (t)), а в совместно вращающейся системе отсчета (r (t), φ ′ (t)). Поскольку совместно вращающаяся рамка вращается с той же скоростью, что и частица, dφ ′ / dt = 0. Фиктивная центробежная сила в совместно вращающейся рамке равна mrΩ, радиально наружу. Скорость частицы в совместно вращающейся системе отсчета также направлена ​​радиально наружу, потому что dφ ′ / dt = 0. Таким образом, фиктивная сила Кориолиса имеет значение −2m (dr / dt) Ω, направленное только в сторону увеличения φ.. Таким образом, используя эти силы во втором законе Ньютона, мы находим:

$F\; +\; F\; cf\; +\; F\; Cor\; =\; mr\; ¨,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{cf\; \}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Cor\}\}\; =\; m\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\}\}\; \backslash ,\}$

где точки над точками обозначают разницу во времени, а F - чистая реальная сила (в отличие от фиктивных сил). В терминах компонентов это векторное уравнение выглядит следующим образом:

$F\; r\; +\; mr\; \Omega \; 2\; =\; mr\; ¨\; F\; \phi \; -\; 2\; mr\; \dot{}\; \Omega \; =\; mr\; \phi \; ¨,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; F\_\; \{r\}\; +\; mr\; \backslash \; Омега\; ^\; \{2\}\; =\; m\; \{\backslash \; ddot\; \{r\}\}\; \backslash \backslash \; F\; \_\; \{\backslash \; varphi\}\; -2m\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; \backslash \; Omega\; =\; mr\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; varphi\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; end\; \{выровнено\; \}\}\}$

которые можно сравнить с уравнениями для инерциальной системы отсчета:

$F\; r\; =\; mr\; ¨\; -\; mr\; \phi \; \dot{}\; 2\; F\; \phi \; =\; mr\; \phi \; ¨\; +\; 2\; mr\; \dot{}\; \phi \; \dot{}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; F\_\; \{r\}\; =\; m\; \{\backslash \; ddot\; \{r\}\}\; -\; мистер\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; varphi\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; F\; \_\; \{\backslash \; varphi\}\; =\; mr\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; varphi\}\}\; +\; 2m\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; varphi\}\}\; \backslash .\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Это сравнение плюс признание того, что по определению совместно вращающейся рамки в момент времени t он имеет скорость вращения Ω = dφ / dt, это показывает, что мы можем интерпретировать члены ускорения (умноженные на массу частицы), как обнаруживается в инерциальной системе отсчета как отрицательная центробежная сила и сила Кориолиса, которая будет видна в мгновенной, неинерциальной системе одновременного вращения.

Для общего движения частиц (отличие от простого кругового движения) в системе отсчета частиц обычно к мгновенному соприкасающейся окружности ее движения, не в фиксированный центр полярных координат. Подробнее см. центростремительная сила.

В современной терминологии дифференциальной геометрии полярные координаты системы диаграммы координат для дифференцируемое многообразие ℝ \ { (0,0)}, плоскость минус начало координат. В этих координатах евклидов метрический тензор задается как

$ds\; 2\; =\; dr\; 2\; +\; r\; 2\; d\; \theta \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; dr\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}.\}$Это можно увидеть с помощью формулы замены для метрического тензора или вычислением дифференциальные dx формы, dy через внешнюю производную 0-форм x = r cos (θ), y = r sin (θ) и их подстановка в евклидов метрический тензор ds = dx + dy. ортонормальный фрейм по отношению к этой метрике задается как $er\; =\; \partial \; \partial \; r,\; e\; \theta \; =\; 1\; r\; \partial \; \partial \; \theta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{r\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\},\; \backslash \; quad\; e\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\},\}$с двойным кадром $er\; =\; dr,\; e\; \theta \; =\; rd\; \theta .\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{r\}\; =\; dr,\; \backslash \; quad\; e\; ^\; \{\backslash \; theta\}\; =\; rd\; \backslash \; theta.\}$Форма связи относительно этого кадра и связь Леви-Чивита задается кососимметричной матрицей 1-форм $\omega \; ji\; =\; (0\; -\; d\; \theta \; d\; \theta \; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{j\}\; ^\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; -d\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \; d\; \backslash \; theta\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$и, следовательно, форма кривизны Ω = dω + ω∧ω тождественно равна нулю. Следовательно, как и ожидалось, проколотая плоскость представляет собой плоский коллектор.

Полярная система координат расширена до трех измерений с двумя разными системами координат: цилиндрической и сферической системой координат.

Полярные координаты двумерны, поэтому их можно использовать только там, где позиции точек лежат на одной двухмерной плоскости. Они подходят в любом контексте, где рассматриваемое явление по природе привязано к направлению и длине от центральной точки. Например, приведенные выше примеры показывают, насколько элементарных линейных уравнений достаточно для определения кривых, таких как спираль Архимеда, уравнение которой в декартовой системе координат было бы гораздо более сложным. Более того, физические системы - например, те, которые связаны с телами, движущимися центральными точками или с явлениями, происходящими из центральной точки - проще и интуитивно понятнее моделировать с использованием полярных вокруг координат. Первоначальной мотивацией для внедрения полярной системы было изучение кругового и орбитального движения.

Положение и навигация

Полярные координаты часто используются в навигации в качестве пункта назначения или направления движения можно указать угол и от рассматриваемого объекта. Например, самолет использует для навигации слегка измененную версию полярных координат. В этой системе, обычно используемой для любого вида навигации, луч 0 ° обычно называется курсом 360, а углы продолжаются в направлении по часовой стрелке, а не против часовой стрелки, как в математической системе. Заголовок 360 соответствует магнитному северу, а заголовки 90, 180 и 270 соответствуют магнитному востоку, югу и западу соответственно. Таким образом, самолет, летящий на 5 морских миль на восток, будет лететь на 5 единиц по курсу 90 (читается ноль-девятер-ноль с помощью управления воздушным движением ).

Моделирование

Системы, отображающие радиальная симметрия обеспечивает естественные настройки для полярной системы координат с центральной точкой, выступающей в качестве полюса. Ярким примером такого использования является уравнение потока грунтовых вод применительно к радиально симметричным скважинам. Системы с радиальной силой также являются хорошими кандидатами для использования полярной системы координат. Эти системы включают гравитационные поля, которые подчиняются закону обратных квадратов, а также системы с точечными источниками, такие как радиоантенны.

Радиально-асимметричные системы также могут быть смоделированы с помощью полярных координат. Например, микрофон шаблон звукоснимателя иллюстрирует его пропорциональную реакцию на входящий звук с заданного направления, и эти шаблоны могут быть представлены в виде полярных кривых. Кардиоидный микрофон andard, наиболее распространенный однонаправленный микрофон, может быть представлен как r = 0,5 + 0,5 sin (ϕ) на его целевой проектной частоте. На более низких частотах картина смещается в сторону всенаправленности.

• Портал математики

• Криволинейные координаты
• Список преобразований канонических координат
• Логполярные координаты
• Полярное разложение
• Единичный круг

Общие ссылки

• Адамс, Роберт; Кристофер Эссекс (2013). Исчисление: полный курс (Восьмое изд.). Pearson Canada Inc. ISBN 978-0-321-78107-9.
• Антон, Ховард; Ирл Бивенс; Стивен Дэвис (2002). Исчисление (Седьмое изд.). Anton Textbooks, Inc. ISBN 0-471-38157-8.
• Финни, Росс; Джордж Томас; Франклин Демана; Берт Уэйтс (июнь 1994 г.). Исчисление: графическое, числовое, алгебраическое (версия с одной переменной). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X.

Викибук Исчисление имеет страницу по теме: Полярная интеграция

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Графическое программное обеспечение в Curlie
• Конвертер координат - конвертирует между полярные, декартовы и сферические координаты
• Демонстрация динамической системы полярных координат