Линия (геометрия)

прямого объекта с незначительной шириной и глубиной Красная и синяя линии на этом графике имеют одинаковый наклон (градиент) ; красная и зеленая линии имеют одинаковый отрезок y (пересекают ось y в одном месте). Представление одного отрезка линии.

В геометрии понятие прямой или прямой было введено древними математиками для представления прямых объектов (т. Е. Без кривизны ) с незначительной шириной и глубиной. Линии представляют собой идеализацию таких объектов, которые часто описываются двумя точками (например, $AB\; \leftrightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overleftrightarrow\; \{AB\}\}\}$) или обозначается одной буквой (например, $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$).

До 17 века линии определялись как «[…] первый вид количества, который имеет только одно измерение, а именно длину, без какой-либо ширины и глубины, и является не чем иным, как потоком или движением точки, которая […] оставит от своего воображаемого движения некоторый след по длине, за исключением какой-либо ширины. […] Прямая линия - это линия, которая имеет одинаковую протяженность. между точками ».

Евклид описал линию как« длину без ширины », которая« лежит одинаково по отношению к точкам на самой себе »; он ввел несколько постулатов в качестве основных недоказуемых свойств, из которых он построил всю геометрию, которая теперь называется евклидовой геометрией, чтобы избежать путаницы с другими геометриями, которые были введены с конца XIX века. энтурия (например, неевклидова, проективная и аффинная геометрия ).

В современной математике, учитывая множество геометрий, понятие линии тесно связано со способом описания геометрии. Например, в аналитической геометрии линия на плоскости часто определяется как набор точек, координаты которых удовлетворяют заданному линейному уравнению, но в более абстрактной настройке, такой как геометрия падения, линия может быть независимым объектом, отличным от множества точек, лежащих на ней.

Когда геометрия описывается набором аксиом, понятие линии обычно остается неопределенным (так называемый примитивный объект ). Затем свойства линий определяются аксиомами, которые к ним относятся. Одним из преимуществ этого подхода является гибкость, которую он дает пользователям геометрии. Таким образом, в дифференциальной геометрии линия может интерпретироваться как геодезическая (кратчайший путь между точками), тогда как в некоторых проективных геометриях линия представляет собой 2- мерное векторное пространство (все линейные комбинации двух независимых векторов). Эта гибкость также выходит за рамки математики и, например, позволяет физикам думать о пути светового луча как о линии.

• 1 Определения и описания
• 2 В евклидовой геометрии
  • 2.1 В декартовой плоскости
    • 2.1.1 В нормальной форме
  • 2.2 В полярных координатах
  • 2.3 В виде векторного уравнения
  • 2.4 В евклидовом пространстве
    • 2.4.1 Коллинеарные точки
  • 2.5 Типы линий
• 3 В проективной геометрии
• 4 Расширения
  • 4.1 Луч
  • 4.2 Отрезок линии
  • 4.3 Геодезические
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Все определения в конечном итоге имеют круговой характер, поскольку они зависят от концепций, которые сами должны иметь определения, зависимость, которая не может продолжаться бесконечно, не возвращаясь к исходной точке. Чтобы избежать этого порочного круга, определенные концепции следует воспринимать как примитивные концепции; термины, которым не дано определения. В геометрии понятие линии часто воспринимается как примитивное. В тех ситуациях, когда линия является определенным понятием, как в координатной геометрии, некоторые другие фундаментальные идеи принимаются как примитивы. Когда концепция линии является примитивной, поведение и свойства линий продиктованы аксиомами , которым они должны удовлетворять.

В неаксиоматической или упрощенной аксиоматической трактовке геометрии концепция примитивного понятия может быть слишком абстрактной, чтобы с ней иметь дело. В этом случае можно дать описание или мысленный образ примитивного понятия, чтобы дать основу для построения понятия, на котором формально базировались бы (неустановленные) аксиомы. Некоторые авторы называют описания этого типа определениями в этом неформальном стиле изложения. Это неправильные определения, и их нельзя использовать в формальных доказательствах утверждений. «Определение» строки в Элементах Евклида попадает в эту категорию. Даже в том случае, когда рассматривается конкретная геометрия (например, евклидова геометрия ), среди авторов нет общепринятого согласия относительно того, каким должно быть неформальное описание линии, когда предмет не рассматривается. рассматривают формально.

Когда Евклид впервые формализовал геометрию в Элементах, он определил общую линию (прямую или изогнутую) как «длина без ширины», где прямая линия является линией, «которая лежит на одной плоскости с точками на себе». Эти определения не имеют большого смысла, поскольку они используют термины, которые сами по себе не определены. Фактически, сам Евклид не использовал эти определения в этой работе и, вероятно, включил их, чтобы прояснить читателю, о чем идет речь. В современной геометрии линия просто воспринимается как неопределенный объект со свойствами, заданными аксиомами , но иногда определяется как набор точек, подчиняющихся линейной зависимости, когда какое-то другое фундаментальное понятие остается неопределенным.

В аксиоматической формулировке евклидовой геометрии, такой как Гильберт (исходные аксиомы Евклида содержали различные недостатки, исправленные современными математиками), линия выглядит так: заявлено, что у него есть определенные свойства, которые связывают его с другими линиями и точками. Например, для любых двух различных точек существует уникальная линия, содержащая их, и любые две различные линии пересекаются не более чем в одной точке. В двух измерениях (т. Е. В евклидовой плоскости ) две прямые, которые не пересекаются, называются параллельными. В более высоких измерениях две прямые, которые не пересекаются, параллельны, если они содержатся в плоскости , или skew, если это не так.

Любой набор из конечного числа прямых разбивает плоскость на выпуклые многоугольники (возможно, неограниченные); это разбиение известно как расположение линий.

На декартовой плоскости

Линии на декартовой плоскости или, в более общем смысле, в аффинных координатах, может быть описано алгебраически с помощью линейных уравнений.

В двух измерениях уравнение для невертикальных линий часто задается в форме наклон-пересечение :

$y\; =\; mx\; +\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; mx\; +\; b\}$

где:

m - это наклон или градиент линии.

b - y-точка пересечения линии.

x - независимая переменная функции y = f (x).

Наклон прямой, проходящей через точки $A\; (xa,\; ya)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (x\_\; \{a\},\; y\_\; \{a\})\}$и $B\; (xb,\; yb)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (x\_\; \{b\},\; y\_\; \{b\})\}$, когда $xa\; \ne \; xb\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{a\}\; \backslash \; neq\; x\_\; \{b\}\}$, задается как $m\; =\; (\; yb\; -\; ya)\; /\; (xb\; -\; xa)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; (y\_\; \{b\}\; -y\_\; \{a\})\; /\; (x\_\; \{b\}\; -x\_\; \{a\})\}$и уравнение этого в строке можно записать $y\; =\; m\; (x\; -\; xa)\; +\; ya\; \{\backslash \; displ\; aystyle\; y\; =\; m\; (x-x\_\; \{a\})\; +\; y\_\; \{a\}\}$.

В $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\; ^\; \{2\}\}\}$, каждая строка $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$(включая вертикальные линии) описывается линейным уравнением вида

$L\; =\; \{(x,\; y)\; \mid \; ax\; +\; by\; =\; c\}\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \backslash \; \{(x,\; y)\; \backslash \; mid\; ax\; +\; by\; =\; c\; \backslash \}\}$

с фиксированными действительными коэффициентами a, b и c такими, что a и b оба не равны нулю. Используя эту форму, вертикальные линии соответствуют уравнениям с b = 0.

Есть много различных способов написать уравнение линии, которые все могут быть преобразованы из одного в другое с помощью алгебраических манипуляций. Эти формы (см. Линейное уравнение для других форм) обычно именуются по типу информации (данных) о строке, которая необходима для записи формы. Некоторые из важных данных линии - это ее наклон, x-точка пересечения, известные точки на линии и y-точка пересечения.

Уравнение прямой, проходящей через две разные точки $P\; 0\; (x\; 0,\; y\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\}\; (x\_\; \{0\},\; y\_\; \{0\})\}$и $P\; 1\; (x\; 1,\; y\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{1\}\; (x\_\; \{1\},\; y\_\; \{1\})\}$можно записать как

$(y\; -\; y\; 0)\; (Икс\; 1\; -\; Икс\; 0)\; =\; (Y\; 1\; -\; Y\; 0)\; (Икс\; -\; Икс\; 0)\; \{\backslash \; Displaystyle\; (Y-Y\_\; \{0\})\; (x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\})\; =\; (y\_\; \{1\}\; -y\_\; \{0\})\; (x-x\_\; \{0\})\}$.

Если x 0 ≠ x 1, это уравнение можно переписать как

$y\; знак\; равно\; (Икс\; -\; Икс\; 0)\; Y\; 1\; -\; Y\; 0\; Икс\; 1\; -\; Икс\; 0\; +\; Y\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; Y\; =\; (x-x\_\; \{0\})\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{1\}\; -y\_\; \{0\}\}\; \{\; x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\}\}\}\; +\; y\_\; \{0\}\}$

или

$y\; =\; xy\; 1\; -\; y\; 0\; x\; 1\; -\; x\; 0\; +\; x\; 1\; y\; 0\; -\; x\; 0\; y\; 1\; x\; 1\; -\; x\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; x\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{1\}\; -y\_\; \{0\}\}\; \{x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{1\}\; y\_\; \{0\}\; -x\_\; \{0\}\; -x\_\; \{\; 0\}\; y\_\; \{1\}\}\; \{x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\}\}\}\; \backslash ,.\}$

В трех измерениях линии не могут быть описаны одним линейным уравнением, поэтому они часто описывается параметрическими уравнениями :

$x\; =\; x\; 0\; +\; at\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; x\_\; \{0\}\; +\; at\}$

$y\; =\; y\; 0\; +\; bt\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; y\_\; \{0\}\; +\; bt\}$

$z\; =\; z\; 0\; +\; ct\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; z\_\; \{0\}\; +\; ct\}$

где:

x, y и z - все функции независимой переменной t, диапазон которой превышает действительные числа.

(x0, y 0, z 0) - любая точка на прямой.

a, b и c связаны с наклоном прямой, таким образом, что вектор (a, b, c) параллелен прямой.

Их также можно описать как одновременные решения двух линейных уравнений

$a\; 1\; x\; +\; b\; 1\; y\; +\; c\; 1\; z\; -\; d\; 1\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; x\; +\; b\_\; \{1\}\; y\; +\; c\_\; \{1\}\; z-d\_\; \{1\}\; =\; 0\}$

$a\; 2\; x\; +\; b\; 2\; y\; +\; c\; 2\; z\; -\; d\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{2\}\; x\; +\; b\_\; \{2\}\; y\; +\; c\_\; \{2\}\; z-d\_\; \{2\}\; =\; 0\}$

такой, что $(a\; 1,\; b\; 1,\; с\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; (а\_\; \{\; 1\},\; b\_\; \{1\},\; c\_\; \{1\})\}$и $(a\; 2,\; b\; 2,\; c\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{2\},\; b\_\; \{2\},\; c\_\; \{\; 2\})\}$не пропорциональны (отношения $a\; 1\; =\; ta\; 2,\; b\; 1\; =\; tb\; 2,\; c\; 1\; =\; tc\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; =\; ta\_\; \{2\},\; b\_\; \{1\}\; =\; tb\_\; \{2\},\; c\_\; \{1\}\; =\; tc\_\; \{2\}\}$подразумевают $t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; 0\}$). Это следует из того, что в трех измерениях одно линейное уравнение обычно описывает плоскость , а линия - это то, что является общим для двух различных пересекающихся плоскостей.

В нормальной форме

Нормальная форма (также называемая нормальной формой Гессе в честь немецкого математика Людвига Отто Гессе ) основана на нормальной форме для данной линии, которая определяется как линейный сегмент, проведенный из origin перпендикулярно линии. Этот сегмент соединяет начало координат с ближайшей к нему точкой на линии. Нормальная форма уравнения прямой на плоскости определяется выражением:

$y\; sin\; \; \theta \; +\; x\; cos\; \; \theta \; -\; p\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; +\; x\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; -p\; =\; 0,\}$

где θ - угол наклона нормального сегмента (ориентированный угол от единичного вектора оси x к этому сегменту), а p - (положительная) длина нормального сегмента. Нормальная форма может быть получена из общей формы $a\; x\; +\; b\; y\; =\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; +\; by\; =\; c\}$путем деления всех коэффициентов на

$c\; |\; c\; |\; а\; 2\; +\; б\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{|\; c\; |\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

В отличие от форм пересечения наклона и пересечения, эта форма может представлять любая строка, но также требует указания только двух конечных параметров θ и p. Если p>0, то θ определено однозначно по модулю 2π. С другой стороны, если прямая проходит через начало координат (c = 0, p = 0), сбрасывается c / | c | член для вычисления sinθ и cosθ, а θ определяется только по модулю π.

В полярных координатах

В полярных координатах на евклидовой плоскости форма пересечения наклона уравнения прямой выражается как:

$r\; =\; mr\; cos\; \; \theta \; +\; b\; sin\; \; \theta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; frac\; \{mr\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; +\; b\}\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; theta\}\},\}$

где m - наклон прямой, а b - y -перехват. При θ = 0 график будет неопределенным. Уравнение можно переписать для устранения разрывов следующим образом:

$r\; sin\; \; \theta \; =\; m\; r\; cos\; \; \theta \; +\; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; =\; mr\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; +\; b.\}$

В полярных координатах на евклидовой плоскости форму пересечения уравнения линии, которая не является горизонтальной, не вертикальной и не проходящий через полюс может быть выражен как,

$r\; =\; 1\; cos\; \; \theta \; xo\; +\; sin\; \; \theta \; yo\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\; \{x\_\; \{o\}\; \}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; theta\}\; \{y\_\; \{o\}\}\}\}\}\}$

где $xo\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{o\}\}$и $yo\; \{\; \backslash \; displaystyle\; y\_\; \{o\}\}$представляют точки пересечения по осям x и y соответственно. Вышеупомянутое уравнение не применимо для вертикальных и горизонтальных линий, потому что в этих случаях одна из точек пересечения не существует. Более того, это не применимо к линиям, проходящим через полюс, так как в этом случае точки пересечения x и y равны нулю (что здесь недопустимо, поскольку $xo\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{o\}\}$и $лет\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{o\}\}$- знаменатели). Вертикальная линия, которая не проходит через полюс, задается уравнением

$r\; cos\; \; \theta \; =\; x\; o.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; =\; x\_\; \{o\}.\}$

Аналогично, горизонтальная линия, которая не проходит через полюс, задается уравнением

$r\; sin\; \; \theta \; =\; y\; o.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; =\; y\_\; \{o\}.\}$

Уравнение линии, проходящей через полюс, задается просто как:

$tan\; \; \theta \; =\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \backslash \; theta\; =\; m\; \}$

где m - наклон линии.

Как векторное уравнение

Векторное уравнение прямой, проходящей через точки A и B, задается как $r\; =\; OA\; +\; \lambda \; AB\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{OA\}\; +\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{AB\}\}$(где λ - скаляр ).

Если a вектор OA и b вектор OB, тогда уравнение линии может быть записано : $r\; =\; a\; +\; \lambda \; (b\; -\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; +\; \backslash \; lambda\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{a\})\}$.

Луч начало в точке A описывается ограничением λ. Один луч получается, если λ ≥ 0, а противоположный луч происходит из λ ≤ 0.

В евклидовом пространстве

В трехмерном пространстве a Уравнение первой степени в переменных x, y и z определяет плоскость, поэтому два таких уравнения, при условии, что плоскости, которые они порождают, не параллельны, определяют линию, которая является пересечением плоскостей. В более общем смысле, в n-мерном пространстве n-1 уравнений первой степени в n координатных переменных определяют линию при подходящих условиях.

В более общем евклидовом пространстве, R(и аналогично в каждом другом аффинном пространстве ) прямая L, проходящая через две разные точки a и b (рассматриваемые как векторы), является подмножество

$L\; =\; \{(1\; -\; t)\; a\; +\; tb\; \mid \; t\; \in \; R\}\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \backslash \; \{(1-t)\; \backslash ,\; a\; +\; t\; \backslash ,\; b\; \backslash \; mid\; t\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\; \}\; \backslash \}\}$

Направление линии - от a (t = 0) к b (t = 1), или, другими словами, в направлении вектора b - a. Различный выбор a и b может дать одну и ту же строку.

Коллинеарные точки

Три точки называются коллинеарными, если они лежат на одной линии. Три точки обычно определяют плоскость , но в случае трех коллинеарных точек этого не происходит.

В аффинных координатах в n-мерном пространстве точки X = (x 1, x 2,..., x n), Y = (y 1, y 2,..., y n) и Z = (z 1, z 2,..., z n) коллинеарны, если матрица

$[1\; x\; 1\; x\; 2\dots \; xn\; 1\; y\; 1\; y\; 2\dots \; yn\; 1\; z\; 1\; z\; 2\dots \; zn]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\; \backslash \; dots\; x\_\; \{n\}\; \backslash \backslash \; 1\; y\_\; \{1\}\; y\_\; \{2\}\; \backslash \; dots\; y\_\; \{n\}\; \backslash \backslash \; 1\; z\_\; \{1\}\; z\_\; \{2\}\; \backslash \; dots\; z\_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

имеет ранг меньше 3. В частности, для трех точек в плоскости (n = 2), указанная выше матрица является квадратной, а точки коллинеарны тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Эквивалентно для трех точек на плоскости, точки коллинеарны тогда и только тогда, когда наклон между одной парой точек равен наклону между любой другой парой точек (в этом случае наклон между оставшейся парой точек будет равняться остальным склонам). В дальнейшем k точек на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда любые (k – 1) пары точек имеют одинаковые попарные наклоны.

В евклидовой геометрии, евклидово расстояние d (a, b) между двумя точками a и b может использоваться для выражения коллинеарности между тремя точками следующим образом:

Точки a, b и c коллинеарны тогда и только тогда, когда d (x, a) = d (c, a) и d (x, b) = d (c, b) влечет x = c.

Однако существуют другие понятия расстояния (например, Манхэттенское расстояние ), для которых это свойство неверно.

В геометриях, где понятие линии является примитивным понятием, как может иметь место в некоторых синтетических геометриях, необходимы другие методы определения коллинеарности.

Типы линий

В некотором смысле все линии в евклидовой геометрии равны в том смысле, что без координат их нельзя отличить друг от друга. Однако линии могут играть особую роль по отношению к другим объектам в геометрии и делиться на типы в соответствии с этой взаимосвязью. Например, относительно коники (окружность, эллипс, парабола или гипербола ), Линии могут быть:

• касательными, которые касаются коники в одной точке;
• секущими линиями, которые пересекают конику в двух точках и проходят через ее внутреннюю часть;
• внешние линии, не пересекающиеся с коникой ни в одной точке евклидовой плоскости; или
• a директриса, расстояние которой от точки помогает установить, находится ли точка на конике.

В контексте определения параллельности в евклидовой геометрии, поперечный - это линия, пересекающая две другие линии, которые могут быть или не быть параллельны друг другу.

Для более общих алгебраических кривых прямые также могут быть:

• i-секущими линиями, пересекающимися с кривой в i точках без учета кратности, или
• асимптотами, что кривая приближается произвольно близко, не касаясь ее.

В отношении треугольников мы имеем:

• линию Эйлера,
• линии Симсона и
• центральные линии.

Для выпуклого четырехугольника с не более чем двумя параллельными сторонами, линия Ньютона - это линия, соединяющая середины двух диагонали.

Для шестиугольника с вершинами, лежащими на конике, у нас есть линия Паскаля, а в частном случае, когда коника представляет собой пару прямых, у нас есть Параллельная линия.

Параллельные линии - это прямые в одной плоскости, которые никогда не пересекаются. Пересекающиеся линии имеют общую точку. Совпадающие линии совпадают друг с другом - каждая точка, которая находится на одной из них, также находится на другой.

Перпендикулярные линии - это линии, которые пересекаются под прямыми углами.

В трехмерном пространстве, наклонные линии - это линии, которые находятся не в одной плоскости и таким образом не пересекаются.

Во многих моделях проективной геометрии представление линии редко соответствует понятию «прямой кривой», как это визуализируется в евклидовом геометрия. В эллиптической геометрии мы видим типичный пример этого. В сферическом представлении эллиптической геометрии линии представлены большими окружностями сферы с диаметрально противоположными точками. В другой модели эллиптической геометрии прямые представлены евклидовыми плоскостями, проходящими через начало координат. Несмотря на то, что эти представления визуально различны, они удовлетворяют всем свойствам (например, две точки, определяющие уникальную линию), которые делают их подходящими представлениями для линий в этой геометрии.

Луч

Учитывая линию и любую точку A на ней, мы можем рассматривать A как разложение этой линии на две части. Каждая такая часть называется лучом, а точка A называется его начальной точкой. Он также известен как полупространство, одномерное полупространство. Точка А считается членом луча. Интуитивно луч состоит из этих точек на прямой, проходящей через точку A и продолжающейся бесконечно долго, начиная с точки A, только в одном направлении вдоль линии. Однако, чтобы использовать это понятие луча в доказательствах, требуется более точное определение.

Для различных точек A и B они определяют уникальный луч с начальной точкой A. Поскольку две точки определяют уникальную линию, этот луч состоит из всех точек между A и B (включая A и B) и всех точки C на прямой, проходящей через A и B, такие, что B находится между A и C. Иногда это также выражается как множество всех точек C, таких что A не находится между B и C. Точка D на прямая, определяемая A и B, но не в луче с начальной точкой A, определяемой B, будет определять другой луч с начальной точкой A. По отношению к лучу AB, луч AD называется противоположным лучом.

Таким образом, мы бы сказали, что две разные точки, A и B, определяют прямую и разложение этой прямой на непересекающееся объединение открытого отрезка (A, B) и двух лучей BC и AD (точка D не изображена на схеме, а находится слева от A на прямой AB). Это не противоположные лучи, поскольку они имеют разные начальные точки.

В евклидовой геометрии два луча с общей конечной точкой образуют угол .

Определение луча зависит от понятия промежуточности точек на прямой. Отсюда следует, что лучи существуют только для геометрий, для которых существует это понятие, обычно евклидова геометрия или аффинная геометрия над упорядоченным полем. С другой стороны, лучи не существуют ни в проективной геометрии, ни в геометрии над неупорядоченным полем, как комплексные числа или любое конечное поле.

В топология, луч в пространстве X является непрерывным вложением R → X. Он используется для определения важного понятия конца пространства.

Линейный сегмент

A Линейный сегмент - это часть линии, которая ограничена двумя отдельными конечными точками и содержит каждую точку на линии между ее конечными точками. В зависимости от того, как определен линейный сегмент, любая из двух конечных точек может быть или не быть частью линейного сегмента. Два или более линейных сегмента могут иметь некоторые из тех же отношений, что и прямые, например быть параллельными, пересекающимися или наклонными, но, в отличие от линий, они могут не быть ни одним из них, если они копланарны и либо не пересекаются или коллинеарны.

Геодезические

"Короткость" и "прямолинейность" линии, интерпретируемая как свойство, согласно которому расстояние вдоль линии между любыми двумя ее точками минимизирована (см. неравенство треугольника ), может быть обобщена и приводит к концепции геодезических в метрических пространствах.

• Аффинная функция
• Кривая
• Расстояние между двумя линиями
• Расстояние от точки до линии
• Мнимая линия (математика)
• Угол наклона (геометрия)
• Координаты линии
• Линия (графика)
• Отрезок линии
• Locus
• Плоскость (геометрия)
• Полилиния
• Прямолинейная (значения)

Wikisource содержит текст Британской энциклопедии 1911 года статья Линия.

• Coxeter, HSM (1 969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley Sons, ISBN 0-471-18283-4
• Faber, Richard L. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии, Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-1748-1
• Педо, Дэн (1988), Геометрия: A Комплексный курс, Минеола, Нью-Йорк: Довер, ISBN 0-486-65812-0
• Уайли-младший, CR (1964), Основы геометрии, Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2

На Викискладе есть материалы, связанные с Строки.

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Уравнения прямой в точке Обрезать узел