Линейное уравнение

Уравнение, не использующее степеней или произведений переменных Два графика линейных уравнений с двумя переменными

In математика, линейное уравнение - это уравнение, которое может быть записано в форме

$a\; 1\; x\; 1\; +\; \cdots \; +\; тревога\; +\; b\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; x\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; x\_\; \{n\}\; +\; b\; =\; 0,\}$

где $x\; 1,\dots ,\; xn\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}\}$- переменные (или неизвестные ), а $b,\; a\; 1,\dots ,\; an\; \{\backslash \; displaystyle\; b,\; a\_\; \{\; 1\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\}\}$- это коэффициенты, которые часто являются действительными числами. Коэффициенты могут рассматриваться как параметры уравнения и могут быть произвольными выражениями, при условии, что они не содержат никаких переменных. Чтобы получить осмысленное уравнение, не все коэффициенты $a\; 1,\dots ,\; a\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\}\}$должны быть равны нулю.

В качестве альтернативы можно получить линейное уравнение, приравняв к нулю линейный многочлен над некоторым полем, из которого берутся коэффициенты.

решения такого уравнения - это значения, которые при замене неизвестных делают равенство истинным.

В случае только одной переменной существует ровно одно решение (при условии, что $a\; 1\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; neq\; 0\}$). Часто термин линейное уравнение неявно относится к этому конкретному случаю, в котором переменная разумно называется неизвестной.

В случае двух переменных каждое решение можно интерпретировать как декартовы координаты точки евклидовой плоскости. Решения линейного уравнения образуют линию линию на евклидовой плоскости, и, наоборот, каждую линию можно рассматривать как набор всех решений линейного уравнения с двумя переменными. Отсюда термин линейный для описания этого типа уравнений. В более общем смысле, решения линейного уравнения от n переменных образуют гиперплоскость (подпространство размерности n - 1) в евклидовом пространстве размерности n.

Линейные уравнения часто встречаются во всей математике и их приложениях в физике и инженерии, отчасти потому, что нелинейные системы часто хорошо аппроксимируются линейные уравнения.

В данной статье рассматривается случай одного уравнения с коэффициентами из поля действительных чисел, для которого исследуются реальные решения. Все его содержание применяется к комплексным решениям и, в более общем смысле, к линейным уравнениям с коэффициентами и решениями в любом поле. Для случая нескольких одновременных линейных уравнений см. систему линейных уравнений.

Содержание

• 1 Одна переменная
• 2 Две переменные
  • 2.1 Линейная функция
  • 2.2 Геометрическая интерпретация
  • 2.3 Уравнение линии
    • 2.3.1 Форма с наклоном и перемычкой
    • 2.3.2 Форма от точки с наклоном
    • 2.3.3 Форма с пересечением
    • 2.3.4 Двухточечная форма
    • 2.3.5 Определяющая форма
• 3 Более двух переменных
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Одна переменная

Часто термин линейное уравнение неявно относится к случаю всего одной переменной.

В этом случае уравнение можно записать в виде

$ax\; +\; b\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; +\; b\; =\; 0,\}$

, и оно имеет уникальное решение

$x\; =\; -\; ba\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{a\}\}\}$

в общем случае, когда a ≠ 0. В этом случае переменной x разумно присвоить имя unknown.

Если a = 0, возможны два случая. Либо b также равно 0, и каждое число является решением. В противном случае b ≠ 0 и решения нет. В последнем случае уравнение называется несовместимым.

Две переменные

В случае двух переменных любое линейное уравнение может быть записано в форме

$ax\; +\; by\; +\; c\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; +\; by\; +\; c\; =\; 0,\}$

где переменные - x и y, а коэффициенты - a, b и c.

Эквивалентное уравнение (то есть уравнение с точно такими же решениями):

$A\; x\; +\; B\; y\; =\; C,\; \{\backslash \; displaystyle\; Ax\; +\; By\; =\; C,\}$

с A = a, B = b и C = –c

Этим эквивалентным вариантам иногда дают общие имена, такие как общая форма или стандартная форма.

Существуют и другие формы для линейного уравнения (см. Ниже), которые все могут быть преобразованы в стандартную форму с помощью простых алгебраических манипуляций, таких как добавление одной и той же величины к обоим членам уравнения или умножение обоих членов на одну и ту же ненулевую константу.

Линейная функция

Если b ≠ 0, уравнение

$ax\; +\; by\; +\; c\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; +\; by\; +\; c\; =\; 0\}$

является линейным уравнением в единственная переменная y для каждого значения x. Следовательно, он имеет единственное решение для y, которое задается как

$y\; =\; -\; a\; b\; x\; -\; c\; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\}\; x\; -\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{b\}\}.\}$

Это определяет функцию . График этой функции представляет собой строку с наклоном $-\; ab\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\}\}$и y-intercept $-\; cb.\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{b\}\}.\}$Функции, график которых представляет собой линию, обычно называют линейными функциями в контексте исчисления. Однако в линейной алгебре линейная функция - это функция, которая отображает сумму в сумму образов слагаемых. Таким образом, для этого определения указанная выше функция является линейной только тогда, когда c = 0, то есть когда линия проходит через начало координат. Во избежание путаницы функции, график которых представляет собой произвольную линию, часто называют аффинными функциями.

Геометрическая интерпретация

Вертикальная линия уравнения x = a Горизонтальная линия уравнения y = b

Каждое решение (x, y) линейного уравнения

$ax\; +\; by\; +\; c\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; +\; by\; +\; c\; =\; 0\}$

можно рассматривать как декартовы координаты точки в евклидовой плоскости. При такой интерпретации все решения уравнения образуют строку строку при условии, что a и b не равны нулю. И наоборот, каждая линия - это набор всех решений линейного уравнения.

Фраза «линейное уравнение» берет свое начало в этом соответствии между линиями и уравнениями: линейное уравнение с двумя переменными - это уравнение, решения которого образуют линию.

Если b ≠ 0, линия представляет собой график функции от x, которая была определена в предыдущем разделе. Если b = 0, линия является вертикальной линией (то есть линией, параллельной оси Y) уравнения $x\; =\; -\; ca,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{a\}\},\; \}$, который не является графиком функции от x.

Аналогично, если a ≠ 0, линия является графиком функции от y, а если a = 0, одна имеет горизонтальную линию уравнения $y\; =\; -\; c\; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{b\}\}.\}$

Уравнение линии

Есть различные способы определения линии. В следующих подразделах для каждого случая приводится линейное уравнение линии.

Форма пересечения с наклоном

Невертикальная линия может быть определена по ее наклону m и ее точке пересечения с y 0 (координата y точки пересечения с ось Y). В этом случае его линейное уравнение можно записать

$y\; =\; m\; x\; +\; y\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; mx\; +\; y\_\; \{0\}.\}$

Если, кроме того, линия не является горизонтальной, ее можно определить по ее наклону и точке пересечения по оси x x 0. В этом случае его уравнение может быть записано как

$y\; =\; m\; (x\; -\; x\; 0),\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; m\; (x-x\_\; \{0\}),\}$

или, что то же самое,

$y\; =\; mx\; -\; mx\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; mx-mx\_\; \{0\}.\}$

Эти формы полагаются на привычку рассматривать не вертикальную линию как график функции. Для линии, заданной уравнением

$ax\; +\; by\; +\; c\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; +\; by\; +\; c\; =\; 0,\}$

, эти формы можно легко вывести из соотношений

$m\; =\; -\; ab,\; x\; 0\; =\; -\; ca,\; y\; 0\; =\; -\; cb.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; m\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\},\; \backslash \backslash \; x\_\; \{0\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{a\}\},\; \backslash \backslash \; y\_\; \{0\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{b\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Форма «точка – уклон»

Невертикальная линия может быть определена ее наклоном m и координатами $x\; 1,\; y\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; y\_\; \{1\}\}$любой точки линии. В этом случае линейное уравнение прямой имеет вид

$y\; =\; y\; 1\; +\; m\; (x\; -\; x\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; y\_\; \{1\}\; +\; m\; (x-x\_\; \{1\}),\}$

или

$y\; =\; mx\; +\; y\; 1\; -\; mx\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; mx\; +\; y\_\; \{1\}\; -mx\_\; \{1\}.\}$

Это уравнение также можно записать

$y\; -\; y\; 1\; =\; m\; (x\; -\; x\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; y-y\_\; \{1\; \}\; =\; m\; (x-x\_\; \{1\})\}$

для того, чтобы подчеркнуть, что наклон прямой можно вычислить по координатам любых двух точек.

Форма пересечения

Линия, которая не параллельна оси и не проходит через начало координат, разрезает оси в двух разных точках. Значения точки пересечения x 0 и y 0 этих двух точек отличны от нуля, и уравнение линии имеет вид

$xx\; 0\; +\; yy\; 0\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{x\_\; \{0\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{y\_\; \{0\}\}\}\; =\; 1.\}$

(Легко проверить, что линия, определяемая этим уравнением, имеет x 0 и y 0 как значения точки пересечения).

Двухточечная форма

Для двух разных точек (x 1, y 1) и (x 2, y 2), через них проходит ровно одна линия. Есть несколько способов написать линейное уравнение этой линии.

Если x 1 ≠ x 2, наклон линии равен $y\; 2\; -\; y\; 1\; x\; 2\; -\; x\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{2\}\; -y\_\; \{1\}\}\; \{x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\}\}.\}$Таким образом, форма углового наклона равна

$y\; -\; у\; 1\; знак\; равно\; у\; 2\; -\; у\; 1\; х\; 2\; -\; х\; 1\; (х\; -\; х\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; y-y\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{2\}\; -y\_\; \{1\}\}\; \{x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\}\}\; (x-x\_\; \{1\}).\}$

Автор очищая знаменатели, получаем уравнение

$(x\; 2\; -\; x\; 1)\; (y\; -\; y\; 1)\; -\; (y\; 2\; -\; y\; 1)\; (x\; -\; x\; 1)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\})\; (y-y\_\; \{1\})\; -\; (y\_\; \{2\}\; -y\_\; \{1\})\; (x-x\_\; \{1\})\; =\; 0,\}$

, что действительно также, когда x 1 = x 2 (для проверки этого достаточно проверить, что две заданные точки удовлетворяют уравнению).

Эта форма не является симметричной в двух заданных точках, но симметричная форма может быть получена путем перегруппировки постоянных членов:

$(y\; 1\; -\; y\; 2)\; x\; +\; (x\; 2\; -\; x\; 1)\; y\; +\; (Икс\; 1\; Y\; 2\; -\; Икс\; 2\; Y\; 1)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (y\_\; \{1\}\; -y\_\; \{2\})\; x\; +\; (x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\})\; y\; +\; (x\_\; \{1\}\; y\_\; \{2\}\; -x\_\; \{2\}\; y\_\; \{1\})\; =\; 0\}$

(замена двух точек меняет знак левой части уравнения).

Детерминантная форма

Двухточечная форма уравнения прямой может быть просто выражена через определитель . Для этого есть два распространенных способа.

Уравнение $(x\; 2\; -\; x\; 1)\; (y\; -\; y\; 1)\; -\; (y\; 2\; -\; y\; 1)\; (x\; -\; x\; 1)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\})\; (y-y\_\; \{1\})\; -\; (y\_\; \{2\}\; -y\_\; \{1\})\; (x-x\_\; \{1\})\; =\; 0\}$является результатом раскрытия определителя в уравнение

$|\; x\; -\; x\; 1\; y\; -\; y\; 1\; x\; 2\; -\; x\; 1\; y\; 2\; -\; y\; 1\; |\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; x-x\_\; \{1\}\; y-y\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\; y\_\; \{2\}\; -y\_\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{vmatrix\}\}\; =\; 0.\}$

Уравнение $(y\; 1\; -\; y\; 2)\; x\; +\; (x\; 2\; -\; x\; 1)\; y\; +\; (x\; 1\; y\; 2\; -\; x\; 2\; y\; 1)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (y\_\; \{1\; \}\; -y\_\; \{2\})\; x\; +\; (x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\})\; y\; +\; (x\_\; \{1\}\; y\_\; \{2\}\; -x\_\; \{2\}\; y\_\; \{1\})\; =\; 0\}$может быть полученный разложением по первой строке определителя в уравнении

$|\; x\; y\; 1\; x\; 1\; y\; 1\; 1\; x\; 2\; y\; 2\; 1\; |\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; x\; y\; 1\; \backslash \backslash \; x\_\; \{1\}\; y\_\; \{1\}\; 1\; \backslash \backslash \; x\_\; \{2\}\; y\_\; \{2\}\; 1\; \backslash \; end\; \{vmatrix\}\}\; =\; 0.\}$

Помимо того, что очень простая и мнемоническая, эта форма имеет то преимущество, что является частным случаем более общего уравнения гиперплоскости, проходящей через n точек в пространстве размерности n - 1. Эти уравнения основаны на условии линейная зависимость точек в проективном пространстве.

Более двух переменных

Линейное уравнение с более чем двумя переменными всегда может иметь вид

$a\; 1\; Икс\; 1\; +\; А\; 2\; Икс\; 2\; +\; \cdots \; +\; тревога\; +\; Ь\; =\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; a\_\; \{1\}\; x\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; x\_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; x\_\; \{n\}\; +\; b\; =\; 0.\}$

Коэффициент b, часто обозначаемый a 0, называется постоянным членом, иногда абсолютным членом. В зависимости от контекста термин «коэффициент» может быть зарезервирован для a i с i>0.

При работе с $n\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 3\}$переменными обычно используются $x,\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; \backslash ;\; y\}$и $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$вместо индексированных переменных.

Решение такого уравнения представляет собой набор из n таких, что замена каждого элемента кортежа соответствующей переменной преобразует уравнение в истинное равенство.

Чтобы уравнение было значимым, коэффициент хотя бы одной переменной должен быть ненулевым. Фактически, если каждая переменная имеет нулевой коэффициент, то, как упоминалось для одной переменной, уравнение либо несовместимо (при b 0), поскольку не имеет решения, либо все n-кортежи являются решениями.

Наборы из n элементов, которые являются решениями линейного уравнения от n переменных, представляют собой декартовы координаты точек (n - 1) -мерной гиперплоскости в n-мерное евклидово пространство (или аффинное пространство, если коэффициенты являются комплексными числами или принадлежат любому полю). В случае трех переменных эта гиперплоскость является плоскостью .

. Если задано линейное уравнение с j ≠ 0, то уравнение может быть решено для x j <128.>, что дает

$xj\; =\; -\; baj\; -\; \sum \; i\; \in \; \{1,\dots ,\; n\},\; i\; \ne \; jaiajxi.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{j\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{a\_\; \{j\}\}\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; \{1,\; \backslash \; ldots,\; n\; \backslash \},\; i\; \backslash \; neq\; j\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; a\_\; \{i\}\}\; \{a\_\; \{j\}\}\}\; x\_\; \{i\}.\}$

Если коэффициенты являются действительными числами, это определяет функцию с действительным значением из n вещественных переменных.

См. также

• Линейное уравнение над кольцом
• Алгебраическое уравнение
• Линейное неравенство

Примечания

Ссылки

• Barnett, RA; Ziegler, M.R.; Байлин, К. (2008), Колледж математики для бизнеса, экономики, наук о жизни и социальных наук (11-е изд.), Аппер-Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Пирсон, ISBN 0-13-157225-3
• Ларсон, Рон; Hostetler, Robert (2007), Precalculus: A Concise Course, Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
• Wilson, W.A.; Трейси, Дж. (1925), Аналитическая геометрия (пересмотренная редакция), DC Heath

Внешние ссылки

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]