Точка (геометрия)

редактировать

Основной объект геометрии

В современной математике точка обычно относится к элементу некоторого набора, называемого пространством.

Более конкретно, в евклидовой геометрии точка - это примитивное понятие, на котором построена геометрия, Это означает, что точка не может быть определена в терминах ранее определенных объектов. То есть точка определяется только некоторыми свойствами, называемыми аксиомами, которым она должна удовлетворять. В частности, геометрические точки не имеют каких-либо атрибутов length, area, volume или каких-либо других атрибутов размерности. Распространенная интерпретация заключается в том, что концепция точки предназначена для отражения понятия уникального местоположения в евклидовом пространстве.

Содержание

1 Точки в евклидовой геометрии
2 Размер точки
- 2.1 Размерность векторного пространства
- 2.2 Топологическая размерность
- 2.3 Размерность Хаусдорфа
3 Геометрия без точек
4 Точечные массы и дельта-функция Дирака
5 См. Также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Точки в евклидовой геометрии

Конечный набор точек в двумерном евклидовом пространстве.

Точки, рассматриваемые в рамках евклидовой геометрии, являются одними из самых фундаментальных объектов. Евклид первоначально определил точку как «то, что не имеет части». В двумерном евклидовом пространстве точка представлена упорядоченной парой (x, y) чисел, где первое число условно представляет горизонтальный и часто обозначается x, а второе число условно представляет вертикальное и часто обозначается y. Эта идея легко обобщается на трехмерное евклидово пространство, где точка представлена упорядоченным триплетом (x, y, z) с дополнительным третьим числом, представляющим глубину, и часто обозначается z. Дальнейшие обобщения представлены упорядоченным кортежем из n терминов (a 1, a 2,…, a n), где n - это размер пространства, в котором расположена точка.

Многие конструкции в евклидовой геометрии состоят из бесконечного набора точек, соответствующих определенным аксиомам. Обычно это представлено набором точек; Например, строка line представляет собой бесконечный набор точек вида $L = {(a 1, a 2,... a n) | а 1 с 1 + а 2 с 2 +... ancn = d} {\ displaystyle \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_ {1}, a_ {2},... a_ {n}) | a_ {1} c_ {1} + a_ {2} c_ {2 } +... a_ {n} c_ {n} = d \ rbrace}}$ $\ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2,... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 +... a_nc_n = d \ rbrace}$ , где c 1 - c n и d - константы, а n это размерность пространства. Существуют аналогичные конструкции, которые определяют плоскость, линейный сегмент и другие связанные понятия. Сегмент линии, состоящий только из одной точки, называется вырожденным сегментом .

В дополнение к определению точек и конструкций, связанных с точками, Евклид также постулировал ключевую идею о точках, что любые две точки могут быть соединены прямой линией. Это легко подтверждается современными расширениями евклидовой геометрии и имело длительные последствия при ее введении, позволяя построить почти все геометрические концепции, известные в то время. Однако постулирование точек Евклида не было ни полным, ни окончательным, и иногда он предполагал факты о точках, которые не вытекали непосредственно из его аксиом, такие как порядок точек на прямой или существование конкретных точек. Несмотря на это, современные расширения системы служат для устранения этих предположений.

Размер точки

В математике существует несколько неэквивалентных определений измерения. Во всех общих определениях точка 0-мерна.

Размерность векторного пространства

Размерность векторного пространства - это максимальный размер линейно независимого подмножества. В векторном пространстве, состоящем из одной точки (которая должна быть нулевым вектором 0 ), нет линейно независимого подмножества. Нулевой вектор сам по себе не является линейно независимым, потому что существует нетривиальная линейная комбинация, делающая его нулевым: $1 ⋅ 0 = 0 {\ displaystyle 1 \ cdot \ mathbf {0} = \ mathbf {0}}$ $1 \ cdot \ mathbf {0} = \ mathbf {0}$ .

Топологическая размерность

Топологическая размерность топологического пространства X определяется как минимальное значение n, такое, что каждая конечная открытая крышка $A {\ displaystyle {\ mathcal {A }}}$ ${\ mathcal {A}}$ X допускает конечное открытое покрытие $B {\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal {B}}$ X, которое уточняет ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ , в котором точка не включена более чем в n + 1 элементов. Если такого минимального n не существует, пространство называется бесконечной покрывающей размерностью.

Точка нульмерна по отношению к измерению покрытия, потому что каждое открытое покрытие пространства имеет уточнение, состоящее из одного открытого множества.

Размерность Хаусдорфа

Пусть X будет метрическим пространством. Если S ⊂ X и d ∈ [0, ∞), d-мерное хаусдорфово содержание матрицы S - это точная нижняя грань множества чисел δ ≥ 0, такая что существует некоторое ( проиндексировано) набор шаров ${B (xi, ri): i ∈ I} {\ displaystyle \ {B (x_ {i}, r_ {i}): i \ in I \} }$ $\ {B (x_i, r_i): i \ in I \}$ покрытие S с помощью r i>0 для каждого i ∈ I, удовлетворяющего $∑ i ∈ I rid < δ {\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta }$ $\ sum_ {i \ in I} r_i ^ d <\ delta$ .

размерность Хаусдорфа пространства X равна определяется как

dim H ⁡ (X): = inf {d ≥ 0: CH d (X) = 0}. {\ displaystyle \ operatorname {dim} _ {\ operatorname {H}} (X): = \ inf \ {d \ geq 0: C_ {H} ^ {d} (X) = 0 \}.}

\ operatorname {dim} _ {\ operatorname {H} } (X): = \ inf \ {d \ ge 0: C_H ^ d (X) = 0 \}.

Точка имеет размерность Хаусдорфа 0, потому что ее можно покрыть одним шаром сколь угодно малого радиуса.

Геометрия без точек

Хотя понятие точки обычно считается фундаментальным в основной геометрии и топологии, есть некоторые системы, которые отказываются от него, например некоммутативная геометрия и бессмысленная топология. «Бессмысленное» или «бессмысленное» пространство определяется не как набор, а через некоторую структуру (алгебраический или логический соответственно), которая выглядит как хорошо- известное функциональное пространство на множестве: алгебра непрерывных функций или алгебра множеств соответственно. Точнее, такие структуры обобщают хорошо известные пространства функций таким образом, что операция «принять значение в этой точке» не может быть определена. Дальнейшая традиция начинается с некоторых книг А. Н. Уайтхед, в котором понятие региона рассматривается как примитив вместе с понятием включения или соединения.

Точечные массы и дельта-функция Дирака

Часто в физике и математике полезно рассматривать точку как имеющую ненулевую массу или заряд (это особенно часто встречается в классический электромагнетизм, где электроны идеализируются как точки с ненулевым зарядом). Дельта-функция Дирака, или δ-функция, является (неформально) обобщенной функцией на линии вещественных чисел, которая везде, кроме нуля, равна нулю, с интеграл от единицы по всей действительной прямой. Дельта-функция иногда рассматривается как бесконечно высокий, бесконечно тонкий всплеск в начале координат с общей площадью, равной единице под иглой, и физически представляет собой идеализированную точечную массу или точечный заряд. Его ввел физик-теоретик Поль Дирак. В контексте обработки сигналов он часто упоминается как символ единичного импульса (или функция). Ее дискретным аналогом является дельта-функция Кронекера, которая обычно определяется в конечной области и принимает значения 0 и 1.

См. Также

Ссылки

Clarke, Bowman, 1985, «Individuals and Points,» Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61–75.
Де Лагуна, Т., 1922, «Точка, линия и поверхность как наборы твердых тел », The Journal of Philosophy 19: 449–61.
Герла, Г., 1995,« Бессмысленная геометрия »в Бюкенхауте, Ф., Кантор, В. ред., Справочник по геометрии падения: здания и фундаменты. Северная Голландия: 1015–31.
Уайтхед, А. Н., 1919. Исследование о принципах естественного знания. Cambridge Univ. Нажмите. 2-е изд., 1925.
Уайтхед, А. Н., 1920. Концепция природы. Cambridge Univ. Нажмите. 2004 г. в мягкой обложке, Книги Прометея. Лекции Тарнера 1919 года, прочитанные в Тринити-колледже.
Уайтхед А.Н., 1979 (1929). Процесс и реальность. Свободная пресса.

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Баллами (математика).