В математике, особенно в теории порядка, полная алгебра Гейтинга является Алгебра Гейтинга, которая является полной как решетка. Полные алгебры Гейтинга - это объекты трех различных категорий ; категория CHey, категория Loc из locales и ее напротив, категория Frm кадров. Хотя эти три категории содержат одни и те же объекты, они различаются по своему морфизму и поэтому получают разные имена. Только морфизмы CHey являются гомоморфизмами полных алгебр Гейтинга.
Локали и фреймы образуют основу бессмысленной топологии, которая вместо построения на топологии с набором точек перерабатывает идеи общей топологии Категорически, как высказывания о фреймах и локали.
Рассмотрим частично упорядоченный набор (P, ≤), которая является полной решеткой. Тогда P является полной алгеброй Гейтинга, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:
Следующее определение импликации Гейтинга :
Система всех открытых множеств данного топологического пространства, упорядоченная по включению, является полной алгеброй Гейтинга.
объекты категории CHey, категории Frm фреймов и категории Loc локалей - это полные решетки, удовлетворяющие бесконечному закону распределения. Эти категории различаются тем, что составляет морфизм :
Связь локалей и их отображений с топологическими пространствами и непрерывными функциями можно увидеть следующим образом. Пусть - любая карта. наборы мощности P (X) и P (Y) являются полными булевыми алгебрами, а отображение - гомоморфизм полных булевых алгебр. Предположим, что пространства X и Y являются топологическими пространствами, наделенными топологией O (X) и O (Y) открытых множеств на X и Y. Обратите внимание, что O (X) и O (Y) - это подкадры P (X) и P (Y). Если - непрерывная функция, то сохраняет конечные пересечения и произвольные соединения этих подкадров. Это показывает, что O является функтором из категории Top топологических пространств в Loc, принимая любую непрерывную карту
к карте
в Loc, который определен в Frm как гомоморфизм кадра обратного изображения
Дана карта регионов в Loc обычно пишут для кадра гомоморфизм, который определяет его в Frm . Используя это обозначение, определяется уравнением
И наоборот, любой языковой стандарт A имеет топологическое пространство S (A), называемое его спектром, которое наилучшим образом приближается к языку. Кроме того, любая карта локалей определяет непрерывную карту Более того, это присвоение является функториальным: пусть P (1) обозначает локаль, которая получается как набор мощности терминального набора точки S (A) - это карты в Loc, то есть гомоморфизмы каркаса
Для каждого мы определяем как набор точек таких, что Легко проверить, что это определяет гомоморфизм фреймов , изображение которого, следовательно, является топологией на S (A). Тогда, если - карта регионов, для каждой точки мы присваиваем точку , определяемую, позволяя быть составом с , следовательно, получаем непрерывное отображение Определяет функтор из Loc - Top, который сопряжен справа с O.
Любая локаль, изоморфная топологии своего спектра, называется пространственной, а любое топологическое пространство, гомеоморфное спектру своего языка открытых наборов называется трезвый. Связь между топологическими пространствами и регионами ограничивается эквивалентностью категорий между трезвыми пространствами и пространственными регионами.
Любая функция, сохраняющая все соединения (и, следовательно, любой гомоморфизм фреймов), имеет правое сопряженное соединение, и, наоборот, любая функция, сохраняющая все соединения, имеет левое сопряженное соединение. Следовательно, категория Loc изоморфна категории, объектами которой являются фреймы, а морфизмами - функции, сохраняющие пересечения, левые сопряжения которых сохраняют конечные пересечения. Это часто рассматривается как представление Loc, но его не следует путать с самим Loc, морфизмы которого формально совпадают с гомоморфизмами фреймов в противоположном направлении.