Полная алгебра Гейтинга

редактировать

В математике, особенно в теории порядка, полная алгебра Гейтинга является Алгебра Гейтинга, которая является полной как решетка. Полные алгебры Гейтинга - это объекты трех различных категорий ; категория CHey, категория Loc из locales и ее напротив, категория Frm кадров. Хотя эти три категории содержат одни и те же объекты, они различаются по своему морфизму и поэтому получают разные имена. Только морфизмы CHey являются гомоморфизмами полных алгебр Гейтинга.

Локали и фреймы образуют основу бессмысленной топологии, которая вместо построения на топологии с набором точек перерабатывает идеи общей топологии Категорически, как высказывания о фреймах и локали.

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Примеры
  • 3 Фреймы и языковые стандарты
  • 4 Литература
  • 5 Внешние ссылки

Определение

Рассмотрим частично упорядоченный набор (P, ≤), которая является полной решеткой. Тогда P является полной алгеброй Гейтинга, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

  • Для всех элементов x из P и всех подмножеств S множества P выполняется следующий закон бесконечной дистрибутивности :
x ∧ ⋁ s ∈ S s = ⋁ s ∈ S (x ∧ s). {\ displaystyle x \ land \ bigvee _ {s \ in S} s = \ bigvee _ {s \ in S} (x \ land s).}{\ displaystyle x \ land \ bigvee _ {s \ in S} s = \ bigvee _ {s \ in S} (x \ land s).}
  • P - распределительная решетка, т. е. для всех x, y и z в п, мы имеем
Икс ∧ (Y ∨ Z) ​​= (Икс ∧ Y) ∨ (Икс ∧ Z) {\ Displaystyle х \ земля (у \ лор г) = (х \ земля у) \ лор (x \ land z)}{\ displaystyle x \ land (y \ lor z) = (x \ land y) \ lor (x \ land z)}
и операции встречи (x ∧ ⋅) {\ displaystyle (x \ land \ cdot)}{\ displaystyle (x \ land \ cdot)} равны Scott continuous (т.е., сохранить верхнюю грань направленных множеств ) для всех x в P.

Следующее определение импликации Гейтинга : a → b = ⋁ {c | a ∧ c ≤ b}. {\ displaystyle a \ to b = \ bigvee \ {c | a \ land c \ leq b \}.}{\ displaystyle a \ to b = \ bigvee \ {c | a \ land c \ leq b \}.}

Примеры

Система всех открытых множеств данного топологического пространства, упорядоченная по включению, является полной алгеброй Гейтинга.

Фреймы и языковые стандарты

объекты категории CHey, категории Frm фреймов и категории Loc локалей - это полные решетки, удовлетворяющие бесконечному закону распределения. Эти категории различаются тем, что составляет морфизм :

  • Определение алгебр Гейтинга критически включает в себя существование правых сопряженных к бинарной операции встречи, которые вместе определяют дополнительную. Таким образом, гомоморфизм полных алгебр Гейтинга - это морфизм фреймов, который, кроме того, сохраняет импликацию.
  • Морфизм Loc противоположен морфизму Frm, и их обычно называют картами (локалей).

Связь локалей и их отображений с топологическими пространствами и непрерывными функциями можно увидеть следующим образом. Пусть f: X → Y {\ displaystyle f: X \ to Y}е: X \ к Y - любая карта. наборы мощности P (X) и P (Y) являются полными булевыми алгебрами, а отображение f - 1: P (Y) → P (X) {\ displaystyle f ^ {- 1}: P (Y) \ to P (X)}{\ displaystyle f ^ {- 1}: P (Y) \ to P (X)} - гомоморфизм полных булевых алгебр. Предположим, что пространства X и Y являются топологическими пространствами, наделенными топологией O (X) и O (Y) открытых множеств на X и Y. Обратите внимание, что O (X) и O (Y) - это подкадры P (X) и P (Y). Если f {\ displaystyle f}f - непрерывная функция, то f - 1: O (Y) → O (X) {\ displaystyle f ^ {- 1}: O ( Y) \ to O (X)}{\ displaystyle f ^ {- 1}: O (Y) \ к О (X)} сохраняет конечные пересечения и произвольные соединения этих подкадров. Это показывает, что O является функтором из категории Top топологических пространств в Loc, принимая любую непрерывную карту

f: X → Y {\ displaystyle е: X \ к Y}е: X \ к Y

к карте

O (f): O (X) → O (Y) {\ displaystyle O (f): O (X) \ to O (Y)}{\ displaystyle O (f): O (X) \ к O (Y)}

в Loc, который определен в Frm как гомоморфизм кадра обратного изображения

f - 1: O (Y) → O (X). {\ displaystyle f ^ {- 1}: O (Y) \ to O (X).}{\ displaystyle f ^ {- 1 }: O (Y) \ to O (X).}

Дана карта регионов f: A → B {\ displaystyle f: A \ to B}{\ displaystyle f: A \ to B } в Loc обычно пишут f ∗: B → A {\ displaystyle f ^ {*}: B \ to A}{\ displaystyle f ^ {*}: B \ to A} для кадра гомоморфизм, который определяет его в Frm . Используя это обозначение, O (f) {\ displaystyle O (f)}O (f) определяется уравнением O (f) ∗ = f - 1. {\ displaystyle O (f) ^ {*} = f ^ {- 1}.}{\ displaystyle O (f) ^ {*} = f ^ {- 1}.}

И наоборот, любой языковой стандарт A имеет топологическое пространство S (A), называемое его спектром, которое наилучшим образом приближается к языку. Кроме того, любая карта локалей f: A → B {\ displaystyle f: A \ to B}{\ displaystyle f: A \ to B } определяет непрерывную карту S (A) → S (B). {\ displaystyle S (A) \ to S (B).}{\ displaystyle S (A) \ to S (B).} Более того, это присвоение является функториальным: пусть P (1) обозначает локаль, которая получается как набор мощности терминального набора 1 = {∗}, {\ displaystyle 1 = \ {* \},}{\ displaystyle 1 = \ {* \},} точки S (A) - это карты p: P (1) → A {\ displaystyle p: P (1) \ to A}{\ displaystyle p: P (1) \ to A} в Loc, то есть гомоморфизмы каркаса p ∗: A → P (1). {\ displaystyle p ^ {*}: A \ to P (1).}{\ displaystyle p ^ {*}: От A \ до P (1).}

Для каждого a ∈ A {\ displaystyle a \ in A}a \ in A мы определяем U a {\ displaystyle U_ {a}}U_ {a} как набор точек p ∈ S (A) {\ displaystyle p \ in S (A)}{\ display стиль p \ in S (A)} таких, что p ∗ (a) = {∗}. {\ displaystyle p ^ {*} (a) = \ {* \}.}{\ displaystyle p ^ {* } (a) = \ {* \}.} Легко проверить, что это определяет гомоморфизм фреймов A → P (S (A)), { \ displaystyle A \ to P (S (A)),}{\ displaystyle A \ to P (S (A)),} , изображение которого, следовательно, является топологией на S (A). Тогда, если f: A → B {\ displaystyle f: A \ to B}{\ displaystyle f: A \ to B } - карта регионов, для каждой точки p ∈ S (A) {\ displaystyle p \ в S (A)}{\ display стиль p \ in S (A)} мы присваиваем точку S (f) (q) {\ displaystyle S (f) (q)}{ \ displaystyle S (f) (q)} , определяемую, позволяя S (е) (p) ∗ {\ displaystyle S (f) (p) ^ {*}}{\ displaystyle S (f) (p) ^ {*}} быть составом p ∗ {\ displaystyle p ^ {*}}p ^ {*} с f ∗, {\ displaystyle f ^ {*},}f ^ {*}, , следовательно, получаем непрерывное отображение S (f): S (A) → S (B). {\ displaystyle S (f): S (A) \ to S (B).}{\ displaystyle S (f): S (A) \ to S (B).} Определяет функтор S {\ displaystyle S}S из Loc - Top, который сопряжен справа с O.

Любая локаль, изоморфная топологии своего спектра, называется пространственной, а любое топологическое пространство, гомеоморфное спектру своего языка открытых наборов называется трезвый. Связь между топологическими пространствами и регионами ограничивается эквивалентностью категорий между трезвыми пространствами и пространственными регионами.

Любая функция, сохраняющая все соединения (и, следовательно, любой гомоморфизм фреймов), имеет правое сопряженное соединение, и, наоборот, любая функция, сохраняющая все соединения, имеет левое сопряженное соединение. Следовательно, категория Loc изоморфна категории, объектами которой являются фреймы, а морфизмами - функции, сохраняющие пересечения, левые сопряжения которых сохраняют конечные пересечения. Это часто рассматривается как представление Loc, но его не следует путать с самим Loc, морфизмы которого формально совпадают с гомоморфизмами фреймов в противоположном направлении.

Литература

По-прежнему отличный ресурс по регионам и полным алгебрам Гейтинга.
  • Г. Гирц, К. Х. Хофманн, К. Кеймель, Дж. Д. Лоусон, М. Мислав и Д. С. Скотт, Непрерывные решетки и области, In Энциклопедия математики и ее приложений, том 93, Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-80338-1
Включает характеристику с точки зрения непрерывности встреч. 183>Фрэнсис Борсё: Справочник по категориальной алгебре III, том 52 Энциклопедии математики и ее приложений. Издательство Кембриджского университета, 1994.
Удивительно обширный ресурс по местным условиям и алгебрам Гейтинга. Принимает более категоричную точку зрения.
  • Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004)). Категория кал основы. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков. Энциклопедия математики и ее приложений. 97 . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-15 08:13:23
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте