Войти
Некоммутативная геометрия (NCG ) - ветвь математики, связанная с геометрическим подходом к некоммутативным алгебрам и построением пространств, которые локально представлены некоммутативными алгебрами функций (возможно, в некоторых обобщенных смысл). Некоммутативная алгебра - это ассоциативная алгебра, в которой умножение не коммутативное, то есть для которой 
Основная мотивация - расширить коммутативную двойственность между пространствами и функциями до некоммутативной ситуации. В математике пространства, имеющие геометрическую природу, могут быть связаны с числовыми функциями на них. В общем, такие функции образуют коммутативное кольцо. Например, можно взять кольцо C (X) непрерывных комплексных -значных функций на топологическом пространстве X. Во многих случаях (например, если X - компакт хаусдорфово пространство ), мы можем восстановить X из C (X), и поэтому имеет смысл сказать, что X имеет коммутативную топологию.
Более конкретно, в топологии компактные хаусдорфовы топологические пространства могут быть восстановлены из банаховой алгебры функций на пространстве (Гельфанд – Наймарк ). В коммутативной алгебраической геометрии, алгебраические схемы представляют собой локально простые спектры коммутативных колец с единицей (А. Гротендик ), и схемы могут быть восстановлены из категорий квазикогерентных пучков модулей на них (П. Габриэль –А. Розенберг). Для топологий Гротендика когомологические свойства узла являются инвариантами соответствующей категории пучков множеств, рассматриваемых абстрактно как топос (А. Гротендик). Во всех этих случаях пространство реконструируется из алгебры функций или ее категорированной версии - некоторой категории пучков на этом пространстве.
Функции в топологическом пространстве можно умножать и складывать поточечно, поэтому они образуют коммутативную алгебру; на самом деле эти операции локальны в топологии базового пространства, следовательно, функции образуют пучок коммутативных колец над базовым пространством.
Мечта некоммутативной геометрии состоит в том, чтобы обобщить эту двойственность на двойственность между некоммутативными алгебрами, или пучками некоммутативных алгебр, или пучковидными некоммутативными алгебраическими или операторно-алгебраическими структурами, и геометрическими объектами определенных видов, и дать взаимодействие между алгебраическим и геометрическим описанием тех через эту двойственность.
В связи с тем, что коммутативные кольца соответствуют обычным аффинным схемам, а коммутативные C * -алгебры - обычным топологическим пространствам, расширение на некоммутативные кольца и алгебры требует нетривиального обобщения топологические пространства как «некоммутативные пространства». По этой причине ведутся разговоры о некоммутативной топологии, хотя этот термин имеет и другие значения.
Некоторые приложения в физике элементарных частиц описаны в статьях Некоммутативная стандартная модель и Некоммутативная квантовая теория поля. Внезапный рост интереса к некоммутативной геометрии в физике последовал после предположений о ее роли в M-теории, сделанных в 1997 году.
Некоторые из Теория, разработанная Аленом Конном для работы с некоммутативной геометрией на техническом уровне, имеет корни в более старых попытках, в частности в эргодической теории. Предложение Джорджа Макки создать теорию виртуальных подгрупп, по отношению к которой эргодические групповые действия стали бы однородными пространствами расширенного типа, к настоящему времени реализовано. включены.
(Формальные двойники) некоммутативных C * -алгебр теперь часто называют некоммутативные пространства. Это аналогично представлению Гельфанда, которое показывает, что коммутативные C * -алгебры двойственны к локально компактным Хаусдорфу. пробелы. Вообще говоря, любой C * -алгебре S можно сопоставить топологическое пространство; см. спектр C * -алгебры.
Для двойственности между σ-конечными пространствами с мерой и коммутативными алгебрами фон Неймана, некоммутативные алгебры фон Неймана называются некоммутативными пространствами с мерой.
Гладкое риманово многообразие M является топологическим пространством с большим количеством дополнительной структуры. По его алгебре непрерывных функций C (M) мы восстанавливаем M только топологически. Алгебраический инвариант, восстанавливающий риманову структуру, - это спектральная тройка. Он построен из гладкого векторного расслоения E над M, например расслоение внешней алгебры. Гильбертово пространство L (M, E) квадратично интегрируемых сечений E несет представление C (M) операторами умножения, и мы рассматриваем неограниченный оператор D в L (M, E) с компактной резольвентой (например, оператор сигнатуры ), такой, что коммутаторы [D, f] ограничены, если f гладкая. Недавняя глубокая теорема утверждает, что M как риманово многообразие может быть восстановлено из этих данных.
Это наводит на мысль, что можно определить некоммутативное риманово многообразие как спектральную тройку (A, H, D), состоящую из представления A в гильбертовом пространстве H вместе с неограниченный оператор D на H с компактной резольвентой, такой что [D, a] ограничен для всех a в некоторой плотной подалгебре A. Исследования спектральных троек очень активны, и было построено много примеров некоммутативных многообразий.
По аналогии с двойственностью между аффинными схемами и коммутативными кольцами, мы определяем категория некоммутативных аффинных схем как двойственная к категории ассоциативных колец с единицей. В этом контексте есть определенные аналоги топологии Зарисского, так что можно приклеивать такие аффинные схемы к более общим объектам.
Существуют также обобщения конуса и Proj коммутативного градуированного кольца, имитирующие теорему Серра о Proj. А именно, категория квазикогерентных пучков O-модулей на Proj коммутативной градуированной алгебры эквивалентна категории градуированных модулей над кольцом, локализованных на подкатегории Серра градуированных модулей конечной длины; аналогичная теорема существует и для когерентных пучков, когда алгебра нётерова. Эта теорема расширена как определение некоммутативной проективной геометрии Майклом Артином и Дж. Дж. Чжаном, которые добавляют также некоторые общие теоретико-кольцевые условия (например, регулярность Артина – Шелтера).
Многие свойства проективных схем распространяются на этот контекст. Например, существует аналог знаменитой двойственности Серра для некоммутативных проективных схем Артина и Чжана.
А. Л. Розенберг создал довольно общую относительную концепцию некоммутативной квазикомпактной схемы (над базовой категорией), абстрагируя исследование Гротендика морфизмов схем и покрытий в терминах категорий квазикогерентных пучков и плоских функторов локализации. Существует также еще один интересный подход через теорию локализации, созданный Фредом Ван Ойстейеном, Люком Уиллаертом и Аленом Вершореном, где основной концепцией является концепция схематической алгебры .
Некоторые из мотивирующих вопросов теории связаны с распространением известных топологических инвариантов на формальные двойники некоммутативных (операторных) алгебр и других замен и кандидатов в некоммутативные пространства. Одной из основных отправных точек направления Алена Конна в некоммутативной геометрии является его открытие новой теории гомологий, связанной с некоммутативными ассоциативными алгебрами и некоммутативными операторными алгебрами, а именно циклической гомологии и ее связь с алгебраической K-теорией (прежде всего через отображение характеров Конна – Черна).
Теория характеристических классов гладких многообразий была распространена на спектральные тройки с использованием инструментов операторной K-теории и циклических когомологий. Некоторые обобщения ставших классической теорем об индексе позволяют эффективно извлекать числовые инварианты из спектральных троек. Фундаментальный характеристический класс в циклических когомологиях, коцикл JLO, обобщает классический характер Черна.
 | Викицитатник содержит цитаты, связанные с: Некоммутативной геометрией |
