Войти
Деталь из книги Рафаэля Афинская школа с Изображение греческого математика - возможно, представляющего Евклида или Архимеда - использующего компас для геометрической конструкции. Евклидова геометрия - это математическая система, приписываемая Александрию греческому математику Евклиду, которуюон описал в своем учебнике по геометрии : Элементы. Метод Евклида состоит в допущении небольшого набора интуитивно привлекательных аксиом и вывод из них многих других утвержденных (теорем ). Хотя многие из результатов Евклида были заявлены более ранними математиками, Евклид был первым, кто показал, как эти предложения могут вписаться в всеобъемлющую дедуктивную и логическую систему. Элементы начинаются с геометрии плоскости,которая до сих пор преподается в средней школе (старшая школа) как первая аксиоматическая система и первые примеры формального доказательства. Он переходит к твердотельной геометрии из трех измерений. Большая часть Элементов констатирует результаты того, что сейчас называется алгеброй и теорией чисел, объясненных на геометрическом языке.
Более двух тысяч лет прилагать «евклидово» "не было необходимости, потому что никакой другойвидрии не был придуман. Аксиомы Евклида казались интуитивно очевидными (за возможное исключение параллельного постулата ), что Сегодня, известно множество других самосогласованных неевклидовых геометрий, первые из которых были обнаружены в начале 19 века. 237>теории общей теории относительности Альберта Эйнштейна, что физическое пространство само по себе не евклидовым, а евклидово пространство является хорошим приближением только в краткосрочнойперспективе (относительно силы гравитационного поля ).
Евклидова геометрия примером синтетической геометрии, поскольку она логически вытекает из аксиом, определяющие основные свойства геометрических объекто в, как точки и линии, предложения об этих объектах, и все это без использования координат для определения этих объектов. В этом отличии от аналитичес кой геометрии, которая использует координаты для геометрических утверждений в алгебраических формулах.
Элементы - это в основном систематизация ранее полученных знаний по геометрии. Улучшение по сравнению с более ранними методами лечения было быстро признано, в результате чего было малоса к сохранению более ранних методов.
В Элементах 13 книг:
В книгах I - IV и VI обсуждается геометрия плоскости. Доказано результатов о плоских фигурах, например: «Влюбом треугольнике два угла меньше взятые вместе любым способом, двух прямых». (Книга 1, предложение 17) и теорема Пифагора «В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, ведущей образ прямой угол, равенство квадратам на сторонах, двойной прямой угол». (Книга I, предложение 47)
Книги V и VII - X имеют дело с теорией чисел, где числа рассматривают геометрически как отрезки линии или области. Введены такие понятия, как простые числа и рациональные ииррациональные числа. Доказано, что простых чисел бесконечно много.
Книги XI - XIII касаются твердой геометрии. Типичный результат - это соотношение 1: 3 между объемом конуса и цилиндра с одинаковой высотой и основанием. Платоновы тела построены.
Постулат параллельности (Постулат 5): Если две прямые пересекают третью таким образом, сумма внутренних углов на одной стороне меньше двух прямых углов, то две прямые неизбежно должны пересекатьсядруг с другом на этой стороне, если расширены достаточно далеко. Евклидова геометрия - это аксиоматическая система, в которой все теоремы («истинные утверждения») выводятся из небольшого числа простых аксиом. До появления неевклидовой геометрии эти аксиомы считались очевидными в физическом мире, так что все теоремы были одинаково верными. Однако рассуждения Евклида от предположений заключению в силе независимо от их физической реальности.
Ближе к началукниги Элементов Евклид дает пять постулатов (аксиом) для плоской геометрии, заявлено в терминах конструкций (как переведено Томасом Хитом):
Хотя Евклид только явно утверждает существование из минусов спроектированные объекты, в его рассуждениях неявно, что они уникальны.
Элементы включают в себя следующие пять «общих понятий»:
Современные науки соглашаются, что постулаты Евклида не обеспечивают полной логической основы, который Евклидовал для своего выступления.>Использовать более обширные и полные наборы аксиом.
Для древних параллельный Найдите такое Доказательство, которое невозможно построить непротиворечивые системы геометрии, как можно построить непротиворечивые системы геометрии, в качестве альтернативы другим аксиомам.. Сам вклид, по-видимому, считал его качественно отличным от других, о чем доказывает эта организация компонентов: его первые 28 утверждений - это те, можно доказать без.
Можно указать альтернативных аксиом, которые логически эквивалентны параллельному постулату (в контексте других аксиом). Например, аксиома Playfair утверждает:
Предложение «не больше» - это все, что необходимо, поскольку с помощью остальных аксиом можно доказать, что существует хотя бы одна параллельная линия.
Доказательство из «Элементов Евклида», что по отрезку прямой можно построитьравносторонний треугольник, который включает отрезок в одной из сторон: равносторонний треугольник ΑΒΓ создается путем рисования окружностей Δ и Ε с центрами в точках Α и Β, и взяв одно пересечение окружностей в третьей вершины треугольника. Евклидова геометрия конструктивна. Постулаты 1, 2, 3 и 5 утверждают существование и уникальность определенных геометрических фигур, и эти утверждения носят конструктивный характер: то есть нам не только говорят,что современные вещи существуют, но также дают методы их создания с помощью не более чем циркуля и линейки без маркировки. В этом смысле геометрия более конкретна, чем многие современные аксиоматические системы, такие как теория множеств, которые часто утверждают существование объектов, не говоря об их построении, или даже утверждают существование объектов, которые не могут быть построены. в рамках теории. Строго говоря, линии на бумаге - это модели объектов,определенных в формальной системе, а не экземпляры этих объектов. Например, евклидова прямая линия не имеет ширины, но любая настоящая нарисованная линия будет. Хотя почти все современные математики считают неконструктивные методы столь же надежными, как и конструктивные, конструктивные доказательства Евклида часто вытесняли ошибочные неконструктивные доказательства - например, некоторые пифагорейские доказательства, которые включают иррациональные числа, которые обычно требуют такогоутверждения, как «как утверждение, как« как утверждение, как «Найдите наивысшую общую меру...»
Евклид часто использует доказательство от противного. Евклидова геометрия также допускает метод наложения, при котором фигура переносится в другую точку пространства. Например, предложение I.4, конгруэнтность одного треугольника сторона-угол-сторона, доказано перемещение из двух треугольников так, чтобы одна из егоадала с равной стороной другого треугольника.. Некоторые современныеметоды лечения использовать шестой постулат, жесткость треугольника, который можно использовать как альтернативу суперпозиции.
Евклидова геометрия имеет два основных типа измерений: угол и расстояние. Угловая шкала является абсолютной, и Евклид использует прямой угол в качестве своей основной единицы, так что, например, угол 45- градусов будет называться половиной прямого угла.. Шкала расстояний относительна; одинраз выбирает отрезок с ненулевой в качестве единицы. Добавление одной линейной сегментной модели на конец другого линейного сегмента для увеличения его длины, и аналогично для вычитания.
Измерения площади и объема производятся на основе расстояний. Например, прямоугольник шириной 3 и длиной 4 имеет, представляющую картину, 12. Эта геометрическая интерпретация умножения ограничена методом прямого измерения произведений четырех или более чисел., в доказательствекниги IX, предложение 20.
Пример сопоставления. Две цифры слева совпадают, а третья похожа на им. Последняя цифра - ни то, ни другое. Конгруэнции изменяют некоторые свойства, такие как местоположение и ориентацию, но оставляют другие изменяют, например, и углы. Второй вид свойств называется инвариантами, и их изучение составляет сущность геометрии. Евклид называет пару линий, пару плоских или твердых фигур «равными» (ἴσος), если их длина, площадь илиобъем равны соответственно, и аналогично для углов. Более сильный термин «конгруэнтный » относится к идее, что вся фигура имеет тот же размер и форму, что и другая фигура. В качестве альтернативы, две фигуры являются конгруэнтными, если одну можно заменить другим, чтобы она точно совпала с ней. (Переворачивание разрешено.) Таким образом, например, прямоугольник 2x6 и прямоугольник 3x4 равны, но не конгруэнтны, а буква R конгруэнтна своему зеркальному отображению. Фигуры, которые были бысовпадающими, за исключением различных размеров, называются похожими. Соответствующие углы в паре схожих форм конгруэнтны, а соответствующие стороны пропорциональны друг другу.
Точки обычно называются заглавными буквами алфавита. Другие фигуры как линии, треугольники или круги, именуются указанными точками, чтобы однозначно указать их из формы, например, треугольник ABC обычно представляетсобой треугольник с вершинами в точках A, B C.
Углы, суммы которых прямым углом, называются дополнительными. Дополнительные углы образуются, когда луч имеет одну и ту же вершину и направлен в направлении, которые находятся между двумя исходными лучами, которые образуют прямой угол. Число лучей между двумя исходными лучами бесконечно.
Углы, сумма которых является прямым углом, являются дополнительными.Дополнительные углы образуются, когда луч имеет одну и ту же вершину и направлен в направлении, которые находятся между двумя исходными лучами, которые находятся между двумя исходными лучами, которые образуют прямой угол (угол образного образа 180 градусов). Число лучей между двумя исходными лучами бесконечно.
В современной терминологии углы обычно измеряются в градусах или радианах.
Современные школьные учебники частоопределяют отдельные цифры, называемые прямые (бесконечные), лучи (полубесконечные) и отрезки линий (конечной длины). Евклид, вместо того, чтобы обсудить луч как объект, который простирается до бесконечности в одном направлении, обычно использовал бы такие выражения, как «если бы линия удлинялась до достаточной длины», хотя он иногда включает «бесконечные линии». «Линия» у Евклида могла быть как прямой, так и изогнутой, при необходимости он использовал более конкретныйтермин «прямая линия».
В pons asinorum или теореме о мосте ослов 'говорится, что в равнобедренном треугольнике α = β и γ = δ.
Теорема о сумме углов треугольника утверждает, что сумма трех углов любого треугольника, в данном случае углов α, β и γ, всегда будет равна 180усам.
Теорема Пифагора утверждает, что сумма площадей двух квадратов на катетах (a и b) прямоугольного треугольника равна площади квадрата нагипотенузе (c).
Теорема Фалеса утверждает, что если AC - прямой, то угол при B - угол.
В pons asinorum (мост ослов) говорится, что в равнобедренных треугольниках углы при основании равны друг другу, и, если равные прямые линии образуются дальше, тогда углы под основанием равны друг другу. Его название может быть связано с первым его ролью в качестве элемента интеллекта читателя и в последующем более сложным предложением. Он также может быть назван такиз-за сходства геометрической фигуры с крутым мостом, который может пройти только уверенный осел.
Конгруэнтность треугольников определяется указанием двух сторон и угла между ними (SAS), два угла и сторона между ними (ASA) или два угла и соответствующая смежная сторона (AAS). Однако указание двух сторон и прилегающего угла (SSA) может дать два различных треугольника, если только угол не является прямым углом. Треугольники конгруэнтны, если у нихвсе три стороны равны (SSS), две стороны и угол между ними равны (SAS), или два угла и сторона (ASA) (Книга I, предложения 4, 8 и 26). Треугольники с тремя равными углами похожи, но не обязательно совпадают. Кроме того, треугольники с двумя равными сторонами и прилегающим углом не обязательно равны или конгруэнтны.
Сумма треугольника равна прямому углу (180 градусов). Это приводит к тому, что равносторонний треугольник имеет три внутренних угла в 60градусов. Кроме того, это приводит к тому, что каждый треугольник имеет как минимум два острых угла и до одного тупого или прямого угла.
Знаменитая теорема Пифагора (книга I, предложение 47) утверждает, что в любом прямом треугольнике площади квадрата, сторона которого является гипотенузой (сторона, противоположная сторона), равна сумме площадей квадратов, стороны которых являются двумя катетами. (две стороны, которые встречаются под прямымуглом).
Теорема Фалеса, названная в честь Фалеса Милетского, гласит, что если A, B и C являются точками на окружности, где прямая AC диаметр окружности, то угол ABC - прямой угол. Кантор предположил, что Фалес доказал свою теорему с помощью Евклида, книга I, предложение 32, по манере Евклида, книга III, предложение 31.
В современной терминологии, площадь плоской фигуры пропорциональна квадрату любогоиз еелинейных размеров, 
Из-зафундаментального статуса евклидовой геометрии в математике, здесь нецелно давать более репрезентативную выборку приложений.
Геодезист использует уровень
Упаковка сфер применяется к стопке апельсинов.
Параболическое зеркало фокусирует параллельные лучи света.
Как следует из этойологии, одной из причин причинения к геометрии было геодезия и некоторые практические результаты евклидовой геометрии, такие как прямоугольности 3-4-5, использовались задолго дотого, как они были формально доказаны. Основными типами измерений в евклидовой геометрии являются расстояния и углы, оба из которых могут быть измерены непосредственно геодезистом. Исторически сложилось так, что расстояния часто измерялись с помощью цепочек, таких как цепь Гюнтера, а углы - с помощью градуированных окружностей, а теодолита.
Применение евклидовой твердотельной геометрии - определение, такие как проблема упаковки наиболее эффективной сфер в nизмерениях. Эта проблема находит применение в обнаружении и исправлении ошибок..
Геометрическая оптика использует евклидову геометрию для анализа фокусировки света линзами и зеркалами.
Геометрия используется в искусстве и источнике энергии.
Водонапорная башня состоит из конуса, цилиндра и полусферы. Его объем можно рассчитать, используя твердотельную геометрию.
Геометрию можно использовать для дизайна оригами.
Геометрия широко используется в городуре.
Геометрия может быть для проектирования оригами. Некоторые классические задачи построения геометрии невозможно с помощью циркуля и линейки, но их можно решить с помощью оригами.
Довольно много САПР (автоматизированное проектирование) и CAM (автоматизированное производство) основан на евклидовой геометрии. Геометрия дизайна обычно состоит из форм, ограниченных плоскостей, цилиндрами, конусами, торами и т. Д. В настоящее время CAD / CAM играетважную роль при проектировании почти, включая автомобили, самолеты, корабли и смартфоны. Несколько десятилетий назад опытные рисовальщики изучили довольно продвинутую евклидову геометрию, включая такие вещи, как теорема Паскаля и теорема Брианшона. Теперь в этом нет необходимости, потому что все геометрические построения выполняются программы САПР.
Евклид считал, что его аксиомы были самоо очевидными утверждениями о физической реальности.Доказательства Евклида, основанные на предположениях, возможно, не очевидные в фундаментальных аксиомах Евклида, в частности, о том, что движения фигур не меняют их геометрических свойств, таких как длина и внутренние углы, так называемые евклидовы движения, которые включают в себя размер, отражение и вращения. фигур. Постулат 2 (продолжение линии), взятый как физическое описание пространства, утверждает, что пространство не имеет дыр или границ (другими словами, пространство однородно инеограниченно ); постулат 4 (равенство прямых углов) гласит, что пространство изотропно и место фигуры могут перемещаться в любое, сохраняя конгруэнтность ; и постулат 5 (параллельный постулат ), что пространство плоское (не имеет внутренней кривизны ).
Как более подробно обсуждается ниже, теория Альберта Эйнштейна теории относительности значительно определяет
Неоднозначный характер аксиом, установленные Евклидом, позволяеткомментаторам расходиться во мнениях относительно других последствий для структуры, например, о, или нет, он бесконечен (см. Ниже) и какова его топология. Современные, более строгие переформулировки системы обычно стремятся к более четкому разделу этого более современного подхода, аксиомы 1-4 согласованы либо с бесконечным, либо с конечным пространством. эллиптической геометрии ), и все пять аксиом согласованы с множеством топологий (например, плоскость, цилиндр или тор для двумерной евклидовой геометрии).
Сфера имеет объем 2/3 и площади ее описывающего цилиндра. Сфера и цилиндр были помещены на гробницу Архимеда по его просьбе. Архимед (ок. 287 г. до н. Э. - ок. 212 г. до н. Э.), Красочная фигура, которая содержит множество исторических анекдотов, вспоминается вместе с Евклидом как один из величайших математиков древности. Хотя основы его работы были заложены Евклидом, его работы, вотличие от Евклида, считаются полностью оригинальными. Он доказал фигур в двух измерениях и провозгласил свойство Архимеда конечных чисел.
Аполлоний Пергский (ок. 262 г. до н. Э. - ок. 190 г. до н. Э.) В основном известен своими исследованиями конических сечений.
Рене Декарт. Портрет после Франса Хальса, 1648. Рене Декарт (1596–1650) разработал аналитическую геометрию, альтернативный метод формализации геометрии, которыйсфокусирован на превращении геометрии в алгебру.
В этом подходе точка на плоскости представлена ее декартовыми (x, y) координатами, линия представлена ее уравнением и поэтому на.
В первоначальном подходе Евклида теорема Пифагора следует из аксиом Евклида. В декартовом подходе аксиомы являются аксиомами алгебры, а уравнение, выражающее теорему Пифагора, является определением одного из терминов в аксиомах Евклида, которые теперь считаются теоремами.
Уравнение
определение расстояния между двумя точками P = (p x, p y) и Q = (q x, q y) тогда называется евклидовой метрикой, другие метрики определяют неевклидову геометрию.
С точки зрения ограничения аналитической геометрии Классическая геометрия для циркуля и линейки ограничения уравнениямипервого и второго порядка, например, y = 2x + 1 (линия) или x + y = 7 (круг).
Также в 17 веке Жирар Дезарг, руководствуясь теорией перспективы, представил концепцию идеальных точек, линий и плоскостей, находящихся на бесконечности. Результат можно рассматривать как обобщенную геометрию, проективной геометрии, но его также можно использовать для получения доказательств в обычной евклидовой геометрии, в которой количество частных сокращено.
Возведение кругав квадрат. : площади этого квадрата и этого круга равны. В 1882 году было доказано, что эта фигура не может быть построена за конечное число шагов с помощью идеализированного циркуля и линейки.Геометры 18 века изо всех сил пытались определить границы Евклидова система. Многие тщетно пытались доказать пятый постулат из первых четырех. К 1763 году было опубликовано по крайней мере 28 различных доказательств, но все они были признаны неверными.
Вплоть до этогопериода геометрии также пытались определить, какие конструкции могут быть выполнены в евклидовой геометрии. Например, проблема деления угла на три части с помощью циркуля и линейки проблема, которая естественным образом возникает в рамках теории, поскольку аксиомы являются к конструктивным операциям, которые могут быть выполнены с помощью этих инструментов. Однако столетия не помогло найти решение этой проблемы, пока Пьерцель не опубликовал в 1837 году доказательствоневозможности такой конструкции. Другие конструкции, которые оказались невозможными, включают удвоение куба и квадрат круга. В случае применения куба невозможность построения из-за того, что методика циркуво и линейки включает уравнения, порядок которых происходит смертью степению, в то время как удвоение куба требует решения двойного порядка.
Эйлер обобщенное обобщение евклидовой геометрии, называемое аффинной геометрией, которое сохраняет пятый постулатнымизменением, в то же время ослабляя постулаты три и четыре таким образом, чтобы исключить понятие угла (из-за чего прямоугольные треугольники теряют смысл) и равенства длины отрезков в целом (из-за чего круги становятся бессмысленными) при сохранении понятий параллелизма как эквивалентности между прямыми и длины длины параллельных отрезков (таким образом, отрезки имеют среднюю точку).
Сравнение эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрии вдвух измерений В начале XIX века Карно и Мебиус систематически развивал использование знаковых углов и отрезков прямых как способ упрощения и объединения.
Наиболее значительный прогресс в геометрии века произошел, когда, примерно в 1830 году, Янош Бойяи и Николай Иванович Лобачевский отдельно опубликовал работу по неевклидовой геометрии, в параллельный постулат не действует. Неевклидова геометрия предположа с евклидовой геометрией, постулатпараллельности не может быть доказан с помощью других постулатов.
В 19 веке было также осознано, что десяти аксиом и общих понятий Евклида недостаточно для доказательства всех теорем, изложенных в Элементах. Например, Евклид неявно предполагал, что любая линия содержит по крайней мере две точки, но это предположение не может быть доказано с помощью других аксиом и, следовательно, должно быть само аксиомой. Самое первое геометрическое доказательство в элементе, показанное на рисункевыше, в том. Евклид строит это обычным образом, рисуя круги вокруг конечных точек и скорость их пересечения в качестве вершины третьей . Его аксиомы, однако, не гарантируют, что круги действительно пересекаются, потому что они не утверждают геометрическое свойство непрерывности, которое в декартовых терминах эквивалентно свойству полноты вещественных чисел. Начиная с Морица Паша в 1882 году, было предложено много усовершенствованных аксиоматических систем для геометрии,наиболее известными из которых являются системы Гильберта, Джорджа Биркгофа и Тарский.
Опровержение евклидовой геометрии как описания физического пространства. В 1919 году при проверке общей теории относительности звезды (отмеченные короткими горизонтальными линиями) были сфотографированы во время солнечного затмения. Лучи звездного света были отклонены гравитацией Солнца на пути к Земле. Это интерпретируется каксвидетельство в пользу предсказания Эйнштейна о том, что гравитация вызовет отклонения от евклидовой геометрии. Теория специальной теории относительности Эйнштейна включает четырехмерное пространство-время, пространство Минковского, которое является неевклидовым. Это показывает, что неевклидовы геометрии, которые были введены несколькими годами ранее для демонстрации невозможности доказательства параллельного постулата, также полезны дляописания физического мира.
Однако трехмерная «пространственная часть» пространства Минковского остается пространством евклидовой геометрии. Это не относится к общей теории относительности, для которой геометрия пространственной части пространства-времени не является евклидовой геометрией. Например, если треугольник состоит из трех лучей света, то в целом внутренние углы не составляют в сумме 180 градусов из-за силы тяжести. Относительно слабое гравитационное поле, такое какземное или солнечное, представлено метрикой, которая приблизительно, но не совсем, евклидова. До 20 века не существовало технологии, способной обнаруживать отклонения от евклидовой геометрии, но Эйнштейн предсказал, что такие отклонения будут. Позже они были подтверждены наблюдениями, такими как небольшое искривление звездного света Солнцем во время солнечного затмения в 1919 году, и теперь такие соображения являются неотъемлемой частью программного обеспечения, работающего с системой GPS.
Евклид иногда явно различал «конечные линии» (например, постулат 2) и «бесконечные линии» (книга I, утверждение 12). Однако он обычно не делал таких различий, если они не были необходимы. Постулаты явно не относятся к бесконечным линиям, хотя, например, некоторые комментаторы интерпретируют постулат 3, существование круга любого радиуса, как подразумевающий, что пространство бесконечно.
Понятие бесконечно малых величин had previously been discussed extensively by the Eleatic School, but nobody had been able to put them on a firm logical basis, with paradoxes such as Zeno's paradox occurring that had not been resolved to universal satisfaction. Euclid used the method of exhaustion rather than infinitesimals.
Later ancient commentators, such as Proclus (410–485 CE), treated many questions about infinity as issues demanding proof and, e.g., Proclusутверждал, что доказал бесконечную делимость прямой, основываясь на доказательстве от противоречия, в котором он рассмотрел случаи четного и нечетного числа точек, составляющих ее.
На рубеже 20-го века Отто Штольц, Поль дю Буа-Реймон, Джузеппе Веронезе и другие подготовили противоречивые работы по неархимедовым моделям евклидовой геометрии, в которых расстояние между двумя точками может быть бесконечным или бесконечно малым, в пределах Ньютона - Лейбница смысл. Пятьдесят лет спустя Авраам Робинсон обеспечил строгую логическую основу для работы Веронезе.
Одна из причин того, что древние считали параллельный постулат менее достоверным, чем другие заключается в том, что физическая проверка потребует от нас осмотра двух линий, чтобы убедиться, что они никогда не пересекались, даже в какой-то очень удаленной точке, и эта проверка потенциально может занять бесконечное количествовремени.>доказательство индукция не развивалась до 17 века, но некоторые более поздние комментаторы считают ее неявной в некоторых доказательствах Евклида, например, доказательстве бесконечности простых чисел.
Предполагаемые парадоксы, включающие бесконечные ряды, такие как Парадокс Зенона, предшествующий Евклиду. Евклид избегал таких обсуждений, дав, например, выражение для частичных сумм геометрического ряда в IX.35, не комментируя возможность позволить количествучлен стать бесконечным.
уриес. Роль примитивных понятий или неопределенных понятий была четко обозначена Алессандро Падоа из делегации Пеано на конференции 1900 года в Париже:... Когда мы начинаем формулировать теорию, мы можем представить, что неопределенные символы полностью лишены смысла и что недоказанные утверждения - это просто условия, наложенные на неопределенные символы.
Тогда система идей, которую мы выбрали изначально, просто одна интерпретация неопределенных символов; но... эту интерпретацию может игнорировать читатель, который волен заменить ее в своем уме другой интерпретацией... которая удовлетворяет условиям...
Таким образом, логические вопросы становятся полностью независимыми от эмпирических или психологических вопросов....
Затем систему неопределенных символов можно рассматривать как абстракцию, полученную из специализированных теорий, которые возникают, когда... система неопределенных символов последовательно заменяется каждой из интерпретаций...
— Падоа, Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introduction logique à une théorie déductive quelconqueТо есть математика - это контекстно-независимое знание в иерархической структуре. Как сказал Бертран Рассел :
. Если наша гипотеза о чем-то, а не о каких-то одной или нескольких конкретных вещах, то наши выводы составляют математику. Таким образом, математику можно определить как предмет, в котором мы никогда не знаем, о чем мыговорим, и о том, являетсяли то, что мы говорим, правдой.
— Бертран Рассел, Математика и метафизикиТакие фундаментальные подходы варьируются между фундаментализм и формализм.
Геометрия - это наука о правильном рассуждении о неправильных числах.
— Джордж Полиа, Как решить, с. 208 | На Викискладе есть материалы, связанные с евклидовой геометрией. |
