Объем

редактировать
Объем трехмерного пространства
Объем
Простая мерная чашка.jpg A мерный стакан можно использовать для измерения объемов жидкости. Эта чашка измеряет объем в единицах чашек, жидких унций и миллилитров.
Стандартные символыV
единиц СИ кубических метров [м]
Другие единицылитр, жидкая унция, галлон, кварта, пинта, чайная ложка, драм жидкости, in, yd, баррель
В базовых единицах СИ 1 m
Размер L

Объем - это количество в трехмерном пространство, ограниченное замкнутой поверхностью, например, пространство, в котором находится вещество (твердое тело, жидкость, газ или плазма ) или форма занимает или содержит. Объем часто определяется численно с использованием производной единицы СИ, кубического метра. Под объемом контейнера обычно понимается вместимость контейнера; я. е. количество текучей среды (газа или жидкости), которое может вместить контейнер, а не количество пространства, которое сам контейнер вытесняет. Трехмерным математическим фигурам также приписываются объемы. Объемы некоторых простых форм, таких как правильные, прямые и круглые, можно легко вычислить, используя арифметические формулы. Объемы сложных форм можно вычислить с помощью интегрального исчисления, если существует формула для границы формы. Одномерные фигуры (например, линии ) и двумерные формы (например, квадраты ) получают нулевой объем в трехмерном пространстве.

Объем твердого тела (правильной или неправильной формы) может быть определен с помощью вытеснения жидкости. Вытеснение жидкости также можно использовать для определения объема газа. Общий объем двух веществ обычно больше, чем объем только одного из веществ. Однако иногда одно вещество растворяется в другом, и в таких случаях объединенный объем не является аддитивным.

В дифференциальной геометрии объем выражается с помощью формы объема, и является важным глобальным римановым инвариантом. В термодинамике объем является фундаментальным параметром и является сопряженной переменной с давлением.

Содержание

  • 1 Единицы
  • 2 Связанные термины
  • 3 Объем в исчислении
  • 4 Формулы объема
    • 4.1 Соотношения объемов для конуса, сферы и цилиндра одного радиуса и высоты
    • 4.2 Вывод формулы объема
      • 4.2.1 Сфера
      • 4.2.2 Конус
      • 4.2.3 Многогранник
  • 5 Объем в дифференциальной геометрии
  • 6 Объем в термодинамике
  • 7 Вычисление объема
  • 8 См. Также
  • 9 Ссылки
  • 10 Внешние ссылки

Единицы

Измерения объема из 1914 года Справочная работа нового студента.

Любая единица длины дает соответствующую единицу объема: объем куба чьи стороны имеют заданную длину. Например, кубический сантиметр (см) - это объем куба, длина сторон которого составляет один сантиметр (1 см).

В Международной системе единиц (СИ) стандартной единицей объема является кубический метр (м). метрическая система также включает литр (л) как единицу объема, где один литр - это объем 10-сантиметрового куба. Таким образом,

1 литр = (10 см) = 1000 кубических сантиметров = 0,001 кубических метров,

так

1 кубический метр = 1000 литров.

Небольшие количества жидкости часто измеряются в миллилитрах, где

1 миллилитр = 0,001 литра = 1 кубический сантиметр.

Точно так же большие количества могут быть измерены в мегалитрах, где

1 миллион литров = 1000 кубических метров = 1 мегалитр.

Также используются различные другие традиционные единицы измерения объема, включая кубический дюйм, кубический фут, кубический ярд, кубическая миля, чайная ложка, столовая ложка, жидкая унция, жидкая унция, жабра, пинта, кварта, галлон, минимум, бочка, шнур , клевок, бушель, бочка, акр-фут и дощатый фут.

Связанные термины

Вместимость определяется в Оксфордском словаре английского языка как «мера, применяемая к содержимому сосуда, а также к жидкостям, зерну и т.п., которые принимают форму того, что их удерживает». (Слово «емкость» имеет другие несвязанные значения, например, в управление мощностью.) «Емкость» не совпадает по значению с объемом, хотя и тесно связана; вместимость контейнера всегда равна его внутреннему объему. Единицы измерения емкости - это СИ литр и его производные единицы, а также британские единицы, такие как жабры, пинта, галлон и другие. Единицами объема являются кубы единиц длины. В системе СИ единицы объема и вместимости тесно связаны: один литр равен 1 кубическому дециметру, вместимость куба со стороной 10 см. В других системах преобразование нетривиально; Емкость топливного бака транспортного средства редко указывается в кубических футах, например, в галлонах (британский галлон заполняет объем 0,1605 куб. фута).

Плотность объекта определяется как отношение массы к объему. Обратной величиной плотности является удельный объем, который определяется как объем, деленный на массу. Удельный объем является важным понятием в термодинамике, где объем рабочего тела часто является важным параметром изучаемой системы.

объемный расход в гидродинамике - это объем жидкости, который проходит через заданную поверхность за единицу времени (например, кубические метры в секунду [мс]).

Объем в исчислении

В исчислении, ветви математики, объем области D в R равен задано тройным интегралом константы function f (x, y, z) = 1 {\ displaystyle f (x, y, z) = 1}f (x, y, z) = 1 над регионом и обычно записывается как:

∭ D 1 dxdydz. {\ displaystyle \ iiint \ limits _ {D} 1 \, dx \, dy \, dz.}\ iiint \ limits _ {D} 1 \, dx \, dy \, dz.

В цилиндрических координатах интеграл объема равен

∭ D rdrd θ dz, { \ displaystyle \ iiint \ limits _ {D} r \, dr \, d \ theta \, dz,}\ iiint \ limits _ {D} r \, dr \, d \ theta \, dz,

в сферических координатах (используя соглашение для углов с θ {\ displaystyle \ theta}\ theta как азимут и φ {\ displaystyle \ varphi}\ varphi , измеренный от полярной оси; подробнее см. условные обозначения ), интеграл объема равно

∭ D ρ 2 sin ⁡ φ d ρ d θ d φ. {\ displaystyle \ iiint \ limits _ {D} \ rho ^ {2} \ sin \ varphi \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi.}{\ displaystyle \ iiint \ limits _ {D} \ rho ^ {2} \ sin \ varphi \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi.}

Формулы объема

ShapeФормула объемаПеременные
Куб V = a 3 {\ displaystyle V = a ^ {3} \;}{\ displaystyle V = a ^ {3} \;} Wuerfel-1-tab.svg
Кубоид V = abc {\ displaystyle V = abc}{\ displaystyle V = abc} Quader-1-tab.svg
Призма.

(B: площадь основания)

V = B h {\ displaystyle V = Bh}{\ displaystyle V = Bh} Prisma-1-e.svg
Пирамида.

(B: площадь основания)

V = 1 3 B h {\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} Bh}{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} Bh} Pyramide-46-e.svg
параллелепипед V = abc K {\ displaystyle V = abc {\ sqrt {K} }}{\ displaystyle V = abc {\ sqrt {K}}}

К = 1 + 2 соз ⁡ (α) соз ⁡ (β) соз ⁡ (γ) - соз 2 ⁡ (α) - соз 2 ⁡ (β) - соз 2 ⁡ (γ) {\ Displaystyle { \ begin {align} K = 1 + 2 \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) \\ - \ cos ^ {2} (\ alpha) - \ cos ^ {2} ( \ beta) - \ cos ^ {2} (\ gamma) \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} K = 1 + 2 \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) \\ - \ cos ^ {2} (\ alpha) - \ cos ^ {2} (\ beta) - \ cos ^ {2} (\ gamma) \ конец {выровнен}}}

Parallelepiped-1-tab.svg
Правильный тетраэдр V = 2 12 a 3 {\ displaystyle V = {{\ sqrt {2} } \ over 12} a ^ {3} \,}{\ displaystyle V = {{\ sqrt {2}} \ over 12} a ^ {3} \,} Tetraeder-1-tab.svg
Сфера V = 4 3 π r 3 {\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}{\ displaystyle V = {\ frac { 4} {3}} \ pi r ^ {3}} Kugel-1-tab.svg
Эллипсоид V = 4 3 π abc {\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ pi abc}{\ displaystyle V = {\ frac {4} {3 }} \ pi abc} Ellipsoid-1-tab.svg
Круговой цикл nder V = π р 2 час {\ displaystyle V = \ pi r ^ {2} h}{\ displaystyle V = \ pi r ^ {2} h} Zylinder-1-tab.svg
конус V = 1 3 π r 2 h {\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} h}{\ displaystyle V = {\ frac {1} { 3}} \ pi r ^ {2} h} Kegel-1-tab.svg
Сплошной тор V = 2 π 2 R r 2 {\ displaystyle V = 2 \ pi ^ {2} Rr ^ {2}}{\ displaystyle V = 2 \ pi ^ {2} Rr ^ {2}} Torus-1-tab.svg
Твердое тело вращения V = π ⋅ ∫ abf (x) 2 dx {\ displaystyle V = \ pi \ cdot \ int _ {a} ^ {b} f (x) ^ {2} \ mathrm {d} x }{\ displaystyle V = \ pi \ cdot \ int _ {a} ^ {b} f (x) ^ {2} \ mathrm {d} x} Ваза-1- tab.svg
Твердое тело с непрерывной областью.

A (x) {\ displaystyle A (x)}A (x) его поперечных сечений. (пример: твердое тело Штейнмеца )

V = ∫ ab A (x) dx {\ displaystyle V = \ int _ {a} ^ {b} A (x) \ mathrm {d} x}{\ displaystyle V = \ int _ {a} ^ {b} A (x) \ mathrm {d} x} Для тела вращения выше:.

A (x) = π е (x) 2 {\ displaystyle A (x) = \ pi f (x) ^ {2}}{\ displaystyle A (x) = \ pi f (x) ^ {2}}

Объемные отношения для конуса, сферы и цилиндра того же радиуса и высоты

Конус, сфера и цилиндр радиуса r и высоты h

Приведенные выше формулы могут использоваться, чтобы показать, что объемы конуса, сферы и цилиндра одного радиуса и высоты находятся в соотношение 1: 2: 3 следующим образом.

Пусть радиус равен r, а высота равна h (что составляет 2r для сферы), тогда объем конуса равен

1 3 π r 2 h = 1 3 π r 2 (2 r) Знак равно (2 3 π р 3) × 1, {\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} h = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} \ left (2r \ right) = \ left ({\ frac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ right) \ times 1,}{\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} h = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} \ left (2r \ right) = \ left ({\ frac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ right) \ times 1,}

объем сферы равен

4 3 π р 3 знак равно (2 3 π р 3) × 2, {\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} = \ left ({\ frac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ right) \ times 2,}{\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} = \ left ({\ frac { 2} {3}} \ pi r ^ {3} \ right) \ times 2,}

, а объем цилиндра равен

π r 2 h = π r 2 (2 r) = (2 3 π r 3) × 3. { \ displaystyle \ pi r ^ {2} h = \ pi r ^ {2} (2r) = \ left ({\ frac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ right) \ times 3.}{\ displaystyle \ pi r ^ {2} h = \ pi r ^ {2} (2r) = \ left ({\ frac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ right) \ times 3.}

Открытие 2: 3 отношения объемов сферы и цилиндра приписывается Архимеду.

выводам формулы объема

Сфере

Объем сферы - это интеграл бесконечного числа бесконечно малых круглых дисков толщиной dx. Расчет объема сферы с центром 0 и радиусом r следующий.

Площадь поверхности круглого диска равна π r 2 {\ displaystyle \ pi r ^ {2}}\ pi r ^ {2} .

Радиус круглых дисков, заданный таким образом, что ось x разрезает перпендикулярно через них получается

y = r 2 - x 2 {\ displaystyle y = {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}}{\ displaystyle y = {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}}

или

z = r 2 - x 2 {\ displaystyle z = {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}}{\ displaystyle z = {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}}

где y или z могут быть взяты для обозначения радиуса диска при определенном значении x.

Используя y в качестве радиуса диска, объем сферы можно рассчитать как

∫ - r r π y 2 d x = ∫ - r r π (r 2 - x 2) d x. {\ displaystyle \ int _ {- r} ^ {r} \ pi y ^ {2} \, dx = \ int _ {- r} ^ {r} \ pi \ left (r ^ {2} -x ^ { 2} \ right) \, dx.}{\ displaystyle \ int _ {- r} ^ {r } \ pi y ^ {2} \, dx = \ int _ {- r} ^ {r} \ pi \ left (r ^ {2} -x ^ {2} \ right) \, dx.}

Теперь

∫ - rr π r 2 dx - ∫ - rr π x 2 dx = π (r 3 + r 3) - π 3 (r 3 + r 3) Знак равно 2 π r 3 - 2 π r 3 3. {\ displaystyle \ int _ {- r} ^ {r} \ pi r ^ {2} \, dx- \ int _ {- r} ^ {r} \ pi x ^ {2} \, dx = \ pi \ left (r ^ {3} + r ^ {3} \ right) - {\ frac {\ pi} {3}} \ left (r ^ {3} + r ^ {3} \ right) = 2 \ pi r ^ {3} - {\ frac {2 \ pi r ^ {3}} {3}}.}{\ displaystyle \ int _ {- r} ^ {r} \ pi r ^ {2} \, dx- \ int _ {- r} ^ {r} \ pi x ^ {2} \, dx = \ pi \ left (r ^ {3} + r ^ {3} \ right) - {\ frac {\ pi} { 3}} \ left (r ^ {3} + r ^ {3} \ right) = 2 \ pi r ^ {3} - {\ frac {2 \ pi r ^ {3}} {3}}.}

Объединение дает V = 4 3 π r 3. {\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}.}V = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}.

Эту формулу можно получить быстрее, используя формулу для площади поверхности сферы, которая равно 4 π r 2 {\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}4 \ pi r ^ { 2} . Объем сферы состоит из слоев бесконечно тонких сферических оболочек, а объем сферы равен

∫ 0 r 4 π r 2 d r = 4 3 π r 3. {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {r} 4 \ pi r ^ {2} \, dr = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}.}{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {r} 4 \ pi r ^ {2} \, dr = {\ frac {4} {3 }} \ pi r ^ {3}.}

Конус

Конус - это разновидность пирамидальной формы. Фундаментальное уравнение для пирамид, в три раза превышающее высоту основания, умноженную на высоту, применимо и к конусам.

Однако, используя расчет, объем конуса представляет собой интеграл бесконечного числа бесконечно тонких круглых дисков толщиной dx. Расчет объема конуса высотой h, основание которого находится в точке (0, 0, 0) с радиусом r, производится следующим образом.

Радиус каждого кругового диска равен r, если x = 0, и 0, если x = h, и линейно изменяется между ними, то есть

r h - x h. {\ displaystyle r {\ frac {hx} {h}}.}{\ displaystyle r {\ frac {hx} {h} }.}

Тогда площадь поверхности круглого диска равна

π (rh - xh) 2 = π r 2 (h - x) 2 h 2. {\ displaystyle \ pi \ left (r {\ frac {hx} {h}} \ right) ^ {2} = \ pi r ^ {2} {\ frac {(hx) ^ {2}} {h ^ { 2}}}.}{\ displaystyle \ pi \ left (r {\ frac {hx} {h}} \ right) ^ {2 } = \ pi r ^ {2} {\ frac {(hx) ^ {2}} {h ^ {2}}}.}

Объем конуса затем можно рассчитать как

∫ 0 h π r 2 (h - x) 2 h 2 dx, {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {h } \ pi r ^ {2} {\ frac {(hx) ^ {2}} {h ^ {2}}} dx,}{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {h} \ pi r ^ {2} {\ frac {(hx) ^ {2}} {h ^ {2}}} dx,}

и после извлечения констант

π r 2 h 2 ∫ 0 час (час - х) 2 dx {\ displaystyle {\ frac {\ pi r ^ {2}} {h ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {h} (hx) ^ {2} dx}{\ displaystyle {\ frac {\ pi r ^ {2}} {ч ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {h} (hx) ^ {2} dx}

Интегрирование дает нам

π r 2 h 2 (h 3 3) = 1 3 π r 2 h. {\ displaystyle {\ frac {\ pi r ^ {2}} {h ^ {2}}} \ left ({\ frac {h ^ {3}} {3}} \ right) = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} h.}{\ frac {\ pi r ^ {2}} {h ^ {2}}} \ left ({\ frac {h ^ {3}} {3}} \ right) = { \ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} h.

Многогранник

Объем в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии, ветвь математики, форма объема на дифференцируемом многообразии является дифференциальной формой высшей степени (т. е. степень которой равна размерности многообразия), который нигде не равен нулю. Многообразие имеет форму объема тогда и только тогда, когда оно ориентируемо. Ориентируемое многообразие имеет бесконечно много форм объема, поскольку умножение формы объема на функцию, отличную от нуля, дает другую форму объема. На неориентируемых многообразиях вместо этого можно определить более слабое понятие плотности. Интегрирование формы объема дает объем коллектора в соответствии с этой формой.

ориентированное псевдориманово многообразие имеет форму естественного объема. В локальных координатах это может быть выражено как

ω = | г | dx 1 ∧ ⋯ ∧ dxn, {\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {| g |}} \, dx ^ {1} \ wedge \ dots \ wedge dx ^ {n},}{\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {| g |}} \, dx ^ {1} \ wedge \ dots \ wedge dx ^ {n},}

где dxi {\ displaystyle dx ^ {i}}dx ^ {i} - это 1-формы, которые формируют положительно ориентированный базис для котангенсного пучка многообразия, и g {\ displaystyle g}g - это определитель матричного представления метрического тензора на многообразии в терминах того же базиса.

Объем в термодинамике

В термодинамике объем системы является важным обширным параметром для описания его термодинамического состояния. удельный объем, интенсивное свойство - это объем системы на единицу массы. Объем является функцией состояния и взаимозависим с другими термодинамическими свойствами, такими как давление и температура. Например, объем связан с давлением и температурой идеального газа согласно закону идеального газа.

Расчет объема

Задача численного вычисления объема объектов изучается в области вычислительной геометрии в информатике, исследуются эффективные алгоритмы для выполнения этого вычисления, приблизительно или точно для различных типов объектов. Например, метод аппроксимации выпуклого объема показывает, как аппроксимировать объем любого выпуклого тела с помощью оракула членства .

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с Томами.
Последняя правка сделана 2021-06-18 05:19:40
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте