Периметр

Путь, окружающий область

Периметр - это расстояние вокруг двухмерной формы, измерение расстояния вокруг чего-либо; длина границы.

A периметр - это путь, который охватывает / окружает двухмерную фигуру. Этот термин может использоваться либо для пути, либо для его длины - в одном измерении. Его можно представить как длину контура фигуры. Периметр круга или эллипса называется его окружностью.

. Вычисление периметра имеет несколько практических применений. Расчетный периметр - это длина забора, необходимая для окружения двора или сада. Периметр колеса / круга (его окружность) описывает, как далеко оно уйдет за один оборот. Точно так же количество струны, намотанной на катушку, зависит от ее периметра; если бы длина веревки была точной, она равнялась бы периметру.

Содержание

• 1 Формулы
• 2 Многоугольники
• 3 Окружность круга
• 4 Восприятие периметра
• 5 Изопериметрия
• 6 Этимология
• 7 См. Также
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Формулы

форма	формула	переменные
круг	$2\; \pi \; r\; =\; \pi \; d\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\; r\; =\; \backslash \; pi\; d\}$	, где $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- радиус окружности, а $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$- диаметр.
треугольник	$a\; +\; b\; +\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; b\; +\; c\; \backslash ,\}$	где $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$и $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$- длины сторон треугольника.
квадрат / ромб	$4\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; 4a\}$	, где $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$- длина стороны.
прямоугольник	$2\; (l\; +\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; (l\; +\; w)\}$	где $l\; \{\backslash \; displaystyle\; l\}$- длина, а $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$- ширина.
равносторонний многоугольник	$n\; \times \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; a\; \backslash ,\}$	, где $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- количество сторон, а $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$- длина одной из сторон.
правильный многоугольник	$2\; nb\; sin\; \; (\pi \; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2nb\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\}$	где $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- количество сторон, а $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$- расстояние между центром многоугольника и одной из вершин многоугольник.
общий многоугольник	$a\; 1\; +\; a\; 2\; +\; a\; 3\; +\; \cdots \; +\; an\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; nai\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; +\; a\_\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{i\}\}$	где $ai\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\}$- длина $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$-я (1-я, 2-я, 3-я... n-я) сторона n-стороннего многоугольника.

кардоид $\gamma :\; [0,\; 2\; \pi ]\; \to \; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma:\; [0,2\; \backslash \; pi]\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}$. ( рисунок с $a\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; 1\}$). $x\; (t)\; =\; 2\; a\; cos\; \; (t)\; (1\; +\; cos\; \; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; 2a\; \backslash \; cos\; (T)\; (1+\; \backslash \; cos\; (t))\}$. $y\; (t)\; =\; 2\; a\; sin\; \; (t)\; (1\; +\; cos\; \; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (t)\; =\; 2a\; \backslash \; sin\; (t))\; (1+\; \backslash \; соз\; (t))\}$. $L\; =\; \int \; 0\; 2\; \pi \; x\; \prime \; (t)\; 2\; +\; y\; \prime \; (t)\; 2\; dt\; =\; 16\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; \text{'}(t)\; ^\; \{2\}\; +\; y\text{'}\; (t)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; =\; 16a\}$

Периметр - это расстояние вокруг формы. Периметры для более общих форм могут быть рассчитаны, как любой путь, с помощью $\int \; 0\; L\; ds\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{L\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; s\; \}$, где $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$- длина пути, а $ds\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\}$- бесконечно малая линия. Элемент. Оба из них должны быть заменены алгебраическими формами, чтобы их можно было практически вычислить. Если периметр задан в виде замкнутой кусочно-гладкой плоской кривой $\gamma :\; [a,\; b]\; \to \; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma:\; [a,\; b]\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}$с

$\gamma \; (t)\; =\; (x\; (t)\; y\; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (t)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; x\; (t)\; \backslash \backslash \; y\; (t)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

, то его длина $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$можно вычислить следующим образом:

$L\; =\; \int \; abx\; \prime \; (t)\; 2\; +\; y\; \prime \; (t)\; 2\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{a\}\; ^\; \{\; b\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; \text{'}(t)\; ^\; \{2\}\; +\; y\text{'}\; (t)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}$

Обобщенное понятие периметра, которое включает гиперповерхности, ограничивающие объемы в $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-мерном евклидовом пространстве, описываются теорией множеств Каччопполи.

Многоугольников

Периметр прямоугольника.

Многоугольники имеют фундаментальное значение для определения периметров не только потому, что они являются простейшими формами, но также потому, что периметры многих форм вычисляются путем аппроксимации их последовательностями . многоугольников, стремящихся к этим формам. Первым математиком, который, как известно, использовал такой подход, был Архимед, который аппроксимировал периметр круга, окружив его правильными многоугольниками.

Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон (ребер). В частности, периметр прямоугольника шириной $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$и длиной $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$равен $2\; ш\; +\; 2\; \ell .\; \{\backslash \; displaystyle\; 2w\; +\; 2\; \backslash \; ell.\}$

равносторонний многоугольник - это многоугольник, все стороны которого имеют одинаковую длину (например, ромб - четырехсторонний равносторонний многоугольник). Чтобы вычислить периметр равностороннего многоугольника, нужно умножить общую длину сторон на количество сторон.

A правильный многоугольник может быть охарактеризован количеством его сторон и его радиусом описанной окружности, то есть постоянным расстоянием между его центром и каждым из его вершин. Длину его сторон можно рассчитать с помощью тригонометрии. Если R - радиус правильного многоугольника, а n - количество его сторон, то его периметр равен

$2\; n\; R\; sin\; \; (180\; \circ \; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; 2nR\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{180\; ^\; \{\backslash \; circ\}\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right).\}$

A разделитель треугольника - это cevian (отрезок от вершины до противоположной стороны), который делит периметр на две равные длины, эта общая длина называется полупериметром треугольника. Все три разделителя треугольника пересекают друг друга в точке Нагеля треугольника.

A Скалыватель треугольника - это отрезок от середины стороны треугольника до противоположной стороны, так что периметр делится на два равных отрезка. Все три ножа треугольника пересекаются друг с другом в центре Шпикера.

Окружность круга

Если диаметр круга равен 1, его длина окружности равна π.

Периметр круг, часто называемый окружностью, пропорционален его диаметру и его радиусу. То есть существует постоянное число pi, π (греческое p для периметра), такое, что если P - периметр круга, а D - его диаметр, то

$P\; =\; \pi \; \cdot \; D.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \backslash \; pi\; \backslash \; cdot\; \{D\}.\; \backslash !\}$

В терминах радиуса r круга эта формула принимает вид

$P\; =\; 2\; \pi \; \cdot \; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; cdot\; r.\}$

Чтобы вычислить периметр круга, достаточно знать его радиус или диаметр и число π. Проблема в том, что π не является рациональным (его нельзя выразить как частное двух целых чисел ) и не является алгебраическим ( это не корень полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами). Таким образом, получение точного приближения π важно при расчетах. Вычисление цифр числа π актуально для многих областей, таких как математический анализ, алгоритмика и информатика.

Восприятие периметра

Чем больше сокращается этой формы меньше площадь и больше периметр. выпуклый корпус остался прежним. Периметр укрепления Нойф-Бризах сложен. Кратчайший путь вокруг него - вдоль его выпуклой оболочки.

Периметр и площадь - это два основных показателя геометрических фигур. Распространенная ошибка - сбивать их с толку, равно как и полагать, что чем больше один из них, тем сильнее должен быть другой. Действительно, обычное наблюдение состоит в том, что увеличение (или уменьшение) формы приводит к увеличению (или уменьшению) ее площади, а также ее периметра. Например, если поле нарисовано на карте масштаба 1/10 000, фактический периметр поля можно вычислить, умножив периметр чертежа на 10 000. Реальная площадь в 10 000 раз больше площади фигуры на карте. Тем не менее, нет никакой связи между площадью и периметром обычной формы. Например, периметр прямоугольника шириной 0,001 и длиной 1000 немного больше 2000, а периметр прямоугольника шириной 0,5 и длиной 2 равен 5. Обе площади равны 1.

Прокл (V век.) сообщил, что греческие крестьяне «справедливо» разделили поля по своему периметру. Однако урожайность поля пропорциональна его площади, а не периметру, поэтому многие наивные крестьяне могли получить поля с длинным периметром, но небольшими площадями (таким образом, мало урожая).

Если убрать кусок из фигуры, его площадь уменьшается, а периметр - нет. В случае очень неправильной формы может возникнуть путаница между периметром и выпуклой оболочкой. Выпуклый корпус фигуры можно представить себе как форму, образованную натянутой вокруг нее резинкой. На анимированной картинке слева все фигуры имеют одинаковую выпуклую оболочку; большой, первый шестиугольник.

Изопериметрия

Изопериметрическая задача состоит в том, чтобы определить фигуру с наибольшей площадью среди тех, которые имеют заданный периметр. Решение интуитивно понятно; это круг . В частности, это можно использовать для объяснения того, почему капли жира на поверхности бульона имеют круглую форму.

Эта задача может показаться простой, но ее математическое доказательство требует некоторых сложных теорем. Изопериметрическую задачу иногда упрощают, ограничивая тип используемых фигур. В частности, найти четырехугольник , треугольник или другую конкретную фигуру с наибольшей площадью среди тех, которые имеют такую ​​же форму и имеют заданный периметр. Решением четырехугольной изопериметрической задачи является квадрат, а решением проблемы треугольника является равносторонний треугольник. В общем, многоугольник с n сторонами, имеющий наибольшую площадь и заданный периметр, является правильным многоугольником, который ближе к окружности, чем любой неправильный многоугольник с таким же количеством сторон.

Этимология

Слово происходит от греческого περίμετρος perimetros от περί peri «вокруг» и μέτρον metron «мера».

См. Также

• Длина дуги
• Площадь
• Парадокс береговой линии
• Обхват (геометрия)
• Теорема Пифагора
• Площадь поверхности
• Объем
• Смачиваемый периметр

Ссылки

1. ^Heath, T. (1981). История греческой математики. 2. Dover Publications. п. 206. ISBN 0-486-24074-6.

Внешние ссылки

Найдите периметр в Викисловаре, бесплатном словаре.

В Викиучебнике Геометрия есть страница по теме: Периметры, площади и объемы

В Викибуке Геометрия есть страница по темам: Периметр и длина дуги

В Викибуке Геометрия есть страница на тему: Дуги

• Вайсштейн, Эрик У. «Периметр». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик У. «Полупериметр». MathWorld.