Длина дуги

Расстояние вдоль кривой После исправления кривая образует отрезок прямой с той же длиной, что и длина дуги кривой. Длина дуги s логарифмической спирали как функция ее параметра θ.

Длина дуги - это расстояние между двумя точками вдоль участка кривой .

Определение длины сегмента неправильной дуги также называется исправлением кривой. Появление исчисления бесконечно малых привело к общей формуле, которая в некоторых случаях дает решения в замкнутой форме.

Содержание

• 1 Общий подход
• 2 Определение гладкой кривой
• 3 Определение длины дуги путем интегрирования
  • 3.1 Численное интегрирование
  • 3.2 Кривая на поверхности
  • 3.3 Другие системы координат
• 4 Простые случаи
  • 4.1 Дуги окружностей
    • 4.1.1 Дуги больших окружностей на Земле
  • 4.2 Длина дуги параболы
• 5 Исторические методы
  • 5.1 Античность
  • 5.2 17 век
  • 5.3 Интегральная форма
• 6 Кривые бесконечной длины
• 7 Обобщение на (псевдо) римановы многообразия
• 8 См. Также
• 9 Ссылки
• 10 Источники
• 11 Внешние ссылки

Общий подход

Аппроксимация несколькими линейными сегментами

A кривая в плоскости может быть аппроксимирована соединением конечного количества точек на кривой, используя линейные сегменты, чтобы создать многоугольный путь. Поскольку легко вычислить длину каждого линейного сегмента (используя, например, теорему Пифагора в евклидовом пространстве), общую длину аппроксимации можно найти с помощью суммирование длин каждого линейного сегмента; это приближение известно как (кумулятивное) хордальное расстояние.

Если кривая уже не является многоугольной траекторией, использование прогрессивно большего количества сегментов меньшей длины приведет к лучшему приближению. Длины последовательных приближений не будут уменьшаться и могут увеличиваться бесконечно, но для гладких кривых они будут стремиться к конечному пределу, поскольку длины отрезков становятся сколь угодно малыми.

Для некоторых кривых существует наименьшее число $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$, то есть верхняя граница длины любого полигонального приближения. Эти кривые называются выпрямляемыми, и число $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$определяется как длина дуги.

Определение гладкой кривой

Пусть $f:\; [a,\; b]\; \to \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; [a,\; b]\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$быть непрерывно дифференцируемой функцией. Длина кривой, определяемая параметром $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, может быть определена как предел суммы длин линейных сегментов для регулярного раздела $[\; a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$, когда количество сегментов приближается к бесконечности. Это означает

$L\; (f)\; =\; lim\; N\; \to \; \infty \; \sum \; i\; =\; 1\; N\; |\; f\; (t\; i)\; -\; f\; (t\; i\; -\; 1)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (f)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{N\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; bigg\; |\}\; f\; (t\_\; \{i\})\; -\; f\; (t\_\; \{i-1\; \})\; \{\backslash \; bigg\; |\}\}$

где $ti\; =\; a\; +\; i\; (b\; -\; a)\; /\; N\; =\; a\; +\; i\; \Delta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\}\; =\; a\; +\; i\; (ba)\; /\; N\; =\; a\; +\; i\; \backslash \; Delta\; t\}$для $i\; =\; 0,\; 1,\dots ,\; N.\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 0,1,\; \backslash \; dotsc,\; N.\}$Это определение эквивалентно стандартному определению длины дуги как интеграла:

$lim\; N\; \to \; \infty \; \sum \; i\; =\; 1\; N\; |\; f\; (t\; i)\; -\; f\; (t\; i\; -\; 1)\; |\; =\; lim\; N\; \to \; \infty \; i\; =\; 1\; N\; |\; f\; (t\; i)\; -\; f\; (t\; i\; -\; 1)\; \Delta \; t\; |\; \Delta \; t\; =\; \int \; a\; b\; |\; f\; \prime \; (t)\; |\; д\; т.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{N\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; bigg\; |\}\; f\; (t\_\; \{i\})\; -\; f\; (t\_\; \{i-1\})\; \{\backslash \; bigg\; |\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{N\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (t\_\; \{i\})\; -\; f\; (t\_\; \{i-1\})\}\; \{\backslash \; Delta\; t\}\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; Delta\; t\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; Big\; |\}\; f\; \text{'}(t)\; \{\backslash \; Big\; |\}\; \backslash \; dt.\}$

Последнее равенство выше истинно по следующим причинам: (i) по теореме о среднем значении, $f\; (ti)\; -\; f\; (ti\; -\; 1)\; \Delta \; t\; =\; f\; \prime \; (ti\; -\; 1\; +\; \theta \; i\; (ti\; -\; ti\; -\; 1)),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (t\_\; \{i\})\; -\; f\; (t\_\; \{i-1\})\}\; \{\backslash \; Delta\; t\}\}\; =\; f\; \text{'}(t\_\; \{i-1\}\; +\; \backslash \; theta\; \_\; \{i\}\; (t\_\; \{i\}\; -t\_\; \{i-1\})),\}$где . (ii) функция $|\; f\; \prime \; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; f\; \text{'}|\}$непрерывно, , следовательно, равномерно непрерывно, поэтому существует положительная действительная функция $\delta \; (ϵ)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (\backslash \; эпсилон)\}$положительного вещественного $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$такое, что подразумевает Это означает

$\sum \; i\; =\; 1\; N\; |\; f\; (t\; i)\; -\; f\; (t\; i\; -\; 1)\; \Delta \; t\; |\; \Delta \; t\; -\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; |\; f\; \prime \; (t\; i)\; |\; \Delta \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (t\_\; \{i\})\; -\; f\; (t\_\; \{i-1\})\}\; \{\backslash \; Delta\; t\}\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; Delta\; t-\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; Big\; |\}\; f\; \text{'}(t\_\; \{i\})\; \{\backslash \; Big\; |\}\; \backslash \; Delta\; t\}$

имеет абсолютное значение меньше $ϵ\; (b\; -\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; (ba)\}$для $N>(b\; -\; a)\; /\; \delta \; (ϵ).\; \{\backslash \; displaystyle\; N>(ba)\; /\; \backslash \; delta\; (\backslash \; epsilon).\}$Это означает, что в пределе $N\; \to \; \infty ,\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty,\}$левый член выше равен правому члену, который является просто интегралом Римана из $|\; f\; \text{'}(t)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; f\text{'}\; (t)\; |\}$на $[a,\; b].\; \{\backslash \; Displaystyle\; [a,\; b].\}$Это определение длины дуги показывает, что длина кривой $f:\; [a,\; b]\; \to \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; [a,\; b]\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$непрерывно дифференцируемые на $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$всегда конечен. Другими словами, кривая всегда спрямляема.

Определение длины дуги гладкой кривой как интеграла от нормы производной эквивалентно определение

$L\; (f)\; =\; sup\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; |\; f\; (ti)\; -\; f\; (ti\; -\; 1)\; |\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; (е)\; =\; \backslash \; sup\; \backslash \; sum\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; bigg\; |\}\; f\; (t\_\; \{i\})\; -\; f\; (t\_\; \{i-1\})\; \{\backslash \; bigg\; |\}\}$

, где верхняя грань берется по всем возможным разделам из $[a,\; b].\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b].\}$Это определение также действительно, если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$просто непрерывный, не дифференцируемый.

Кривую можно параметризовать бесконечно многими способами. Пусть $\phi :\; [a,\; b]\; \to \; [c,\; d]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi:\; [a,\; b]\; \backslash \; to\; [c,\; d]\}$будет любой непрерывно дифференцируемой биекцией. Тогда $g\; =\; е\; \circ \; \phi \; -\; 1:\; [c,\; d]\; \to \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; f\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi\; ^\; \{-\; 1\}:\; [c,\; d]\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{\; n\}\}$- еще одна непрерывно дифференцируемая параметризация кривой, изначально заданной параметром $f.\; \{\backslash \; displaystyle\; f.\}$Длина дуги кривой одинакова независимо от параметризации, используемой для определения кривой:

$L\; (f)\; =\; \int \; a\; b\; |\; f\; \prime \; (t)\; |\; d\; t\; =\; \int \; a\; b\; |\; g\; \prime \; (\phi \; (t))\; \phi \; \prime \; (t)\; |\; d\; t\; =\; \int \; a\; b\; |\; g\; \prime \; (\phi \; (t))\; |\; \phi \; \prime \; (t)\; d\; t,\; поскольку\; \phi \; должно\; быть\; неубывающим\; =\; \int \; c\; d\; |\; g\; \prime \; (u)\; |\; d\; u\; с\; помощью\; интегрирования\; подстановкой\; =\; L\; (g).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; L\; (f)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; Big\; |\}\; f\; \text{'}(t)\; \{\backslash \; Big\; |\}\; \backslash \; dt\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; Big\; |\}\; g\; \text{'}(\backslash \; varphi\; (t))\; \backslash \; varphi\text{'}\; (t)\; \{\backslash \; Big\; |\}\; \backslash \; dt\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; Big\; |\}\; g\; \text{'}(\backslash \; varphi\; (t))\; \{\backslash \; Big\; |\}\; \backslash \; varphi\text{'}\; (t)\; \backslash \; dt\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; textrm\; \{поскольку\}\}\; \backslash \; \backslash \; varphi\; \backslash \; \{\backslash \; textrm\; \{must\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; textrm\; \{be\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; textrm\; \{неубывающая\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \_\; \{c\}\; ^\; \{d\}\; \{\backslash \; Big\; |\}\; g\; \text{'}(u)\; \{\backslash \; Big\; |\}\; \backslash \; du\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; textrm\; \{using\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; textrm\; \{integration\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; textrm\; \{by\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; textrm\; \{substitution\}\}\; \backslash \backslash \; =\; L\; (g).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Определение длины дуги путем интегрирования

Четверть круга

Если плоская кривая в $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}$определяется уравнением $y\; =\; f\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; f\; (x),\}$где $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является непрерывно дифференцируемым, тогда он это просто частный случай параметрического уравнения, где $x\; =\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; t\}$и $y\; =\; f\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; f\; (t).\}$Тогда длина дуги определяется по формуле:

$s\; =\; \int \; a\; b\; 1\; +\; (d\; y\; d\; x)\; 2\; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1+\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; dx.\}$

Кривые с решениями в замкнутой форме для длины дуги включают цепную линию, круг, циклоиду, логарифмическую спираль, парабола, полукубическая парабола и прямая. Отсутствие решения в замкнутой форме для длины дуги эллиптической и гиперболической дуги привело к разработке эллиптических интегралов.

Численное интегрирование

В большинстве случаев, включая даже простые кривые, не существует замкнутых решений для длины дуги, и требуется численное интегрирование. Численное интегрирование интеграла длины дуги обычно очень эффективно. Например, рассмотрим задачу определения длины четверти единичной окружности путем численного интегрирования интеграла длины дуги. Верхняя половина единичного круга может быть параметризована как $y\; =\; 1\; -\; x\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}.\}$Интервал $x\; \in \; [-\; 2/2,\; 2/2]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; [\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; /\; 2,\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; /\; 2]\}$соответствует четверти круга. Поскольку $dy\; /\; dx\; =\; -\; x\; /\; 1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; dy\; /\; dx\; =\; -x\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\}$и $1\; +\; (dy\; /\; dx)\; 2\; =\; 1\; /\; (1\; -\; x\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; 1+\; (dy\; /\; dx)\; ^\; \{2\}\; =\; 1\; /\; (1-x\; ^\; \{2\}),\}$длина четверти единичного круга составляет

$\int \; -\; 2/2\; 2/2\; 1\; 1\; -\; x\; 2\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; /\; 2\}\; ^\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; /\; 2\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash ,\; dx.\}$

Оценка по 15-точечному правилу Гаусса – Кронрода для этого интеграла 1,570796326808177 отличается от истинной длины

$[arcsin\; \; x]\; -\; 2/2\; 2/2\; =\; \pi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; Big\; [\}\; \backslash \; arcsin\; x\; \{\backslash \; Big]\}\; \_\; \{-\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; /\; 2\}\; ^\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; /\; 2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash pi\; \}\; \{2\}\}\}$

на 1,3 × 10 и 16-точечная квадратурная оценка правила Гаусса 1,570796326794727 отличается от истинной длины всего на 1,7 × 10. Это означает, что можно вычислить этот интеграл почти с точностью станка с помощью только 16 вычислений интеграла.

Кривая на поверхности

Пусть $x\; (u,\; v)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (u,\; v)\}$будет отображением поверхности и пусть $C\; (\; t)\; =\; (u\; (t),\; v\; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; (t)\; =\; (u\; (t),\; v\; (t))\}$быть кривой на этой поверхности. Подынтегральное выражение интеграла длины дуги равно $|\; (x\; \circ \; C)\; \prime \; (t)\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{C\})\; \text{'}(t)\; |.\}$Для вычисления производной требуется правило цепочки для векторных полей:

$D\; (x\; \circ \; C)\; =\; (xuxv)\; (u\; \prime \; v\; \prime )\; =\; xuu\; \prime \; +\; xvv\; \prime .\; \{\backslash \; Displaystyle\; D\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{C\})\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{u\}\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{v\})\; \{\backslash \; binom\; \{u\; \text{'}\}\; \{v\text{'}\; \}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{u\}\; u\; \text{'}+\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{v\}\; v\text{'}.\}$

Квадрат нормы этого вектора равен $(xuu\; \prime \; +\; xvv\; \prime )\; \cdot \; (\; xuu\; \prime \; +\; xvv\; \prime )\; знак\; равно\; g\; 11\; (u\; \prime )\; 2\; +\; 2\; g\; 12\; u\; \prime \; v\; \prime \; +\; g\; 22\; (v\; \prime )\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{u\}\; u\; \text{'}+\; \backslash \; mathbf\; \{x\; \}\; \_\; \{v\}\; v\; \text{'})\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{u\}\; u\text{'}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{v\}\; v\; \text{'})\; =\; g\_\; \{11\}\; (u\text{'})\; ^\; \{2\}\; +\; 2g\_\; \{12\}\; u\text{'}v\; \text{'}+\; g\_\; \{22\}\; (v\text{'})\; ^\; \{2\}\}$(где $gij\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{ij\}\}$- это первая фундаментальная форма коэффициент), поэтому подынтегральное выражение интеграла длины дуги можно записать как $gab\; (ua)\; \prime \; (ub)\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\_\; \{ab\}\; (u\; ^\; \{\; a\})\; \text{'}(u\; ^\; \{b\})\text{'}\}\}\}$(где $u\; 1\; =\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; ^\; \{1\}\; =\; u\}$и $u\; 2\; =\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; ^\; \{2\}\; =\; v\}$).

Другие системы координат

Пусть $C\; (t)\; =\; (r\; (t),\; \theta \; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; (t)\; =\; (r\; (\; t),\; \backslash \; theta\; (t))\}$- кривая, выраженная в полярных координатах. Отображение, которое преобразует полярные координаты в прямоугольные, имеет вид

$x\; (r,\; \theta )\; =\; (r\; cos\; \; \theta ,\; r\; sin\; \; \theta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (r,\; \backslash \; theta)\; =\; (r\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta,\; r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta).\}$

Подынтегральное выражение интеграла длины дуги: $|\; (x\; \circ \; C)\; \prime \; (t)\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{C\})\; \text{'}(t)\; |.\}$Цепное правило для векторных полей показывает, что $D\; (x\; \circ \; C)\; =\; xrr\; \prime \; +\; X\; \theta \; \theta \; \prime .\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{C\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{r\}\; r\; \text{'}+\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; \backslash \; theta\text{'}.\}$Таким образом, квадрат подынтегрального выражения интеграла длины дуги равен

$(xr\; \cdot \; xr)\; (r\; \prime )\; 2\; +\; 2\; (xr\; \cdot \; x\; \theta )\; r\; \prime \; \theta \; \prime \; +\; (x\; \theta \; \cdot \; x\; \theta )\; (\theta \; \prime )\; 2\; =\; (г\; \text{'})\; 2\; +\; г\; 2\; (\theta \text{'})\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{r\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{r\}\})\; (r\; \text{'})\; ^\; \{2\}\; +2\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{r\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{\backslash \; theta\})\; r\; \text{'}\backslash \; theta\text{'}\; +\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{\backslash \; theta\})\; (\backslash \; theta\; \text{'})\; ^\; \{2\}\; =\; (r\text{'})\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; theta\; \text{'})\; ^\; \{2\}.\}$

Итак, для кривой, выраженной в полярных координатах, длина дуги составляет

$\int \; t\; 1\; t\; 2\; (drdt)\; 2\; +\; r\; 2\; (d\; \theta \; dt)\; 2\; dt\; =\; \int \; \theta \; (t\; 1)\; \theta \; (t\; 2)\; (drd\; \theta )\; 2\; +\; r\; 2\; d\; \theta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dr\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; theta\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; dt\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; theta\; (t\_\; \{1\})\}\; ^\; \{\backslash \; theta\; (t\_\; \{2\})\}\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dr\}\; \{d\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\}\}\; d\; \backslash \; theta.\}$

Теперь пусть $C\; (t)\; знак\; равно\; (р\; (т),\; \theta \; (т),\; \varphi \; (т))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; (т)\; =\; (г\; (т),\; \backslash \; тета\; (т),\; \backslash \; фи\; (т))\}$- кривая, выраженная в сферических координатах, где $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$- полярный угол, измеренный от положительного значения $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$<178.>-axis и $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$- азимутальный угол. Отображение, которое преобразует сферические координаты в прямоугольные, имеет вид

$x\; (r,\; \theta ,\; \varphi )\; =\; (r\; sin\; \; \theta \; cos\; \; \varphi ,\; r\; sin\; \; \theta \; sin\; \; \varphi ,\; r\; cos\; \; \theta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (r,\; \backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\; =\; (r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi,\; r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi,\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta).\}$

Использование цепного правила снова показывает, что $D\; (x\; \circ \; C)\; =\; xrr\; \prime \; +\; x\; \theta \; \theta \; \prime \; +\; x\; \varphi \; \varphi \; \prime .\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{C\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{r\}\; r\; \text{'}+\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; \backslash \; theta\text{'}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{\backslash \; phi\}\; \backslash \; phi\; \text{'}.\}$Все скалярные произведения $xi\; \cdot \; xj\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{j\}\}$где $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$и $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$различаются равны нулю, поэтому квадрат нормы этого вектора равен

$(xr\; \cdot \; xr)\; (r\; \prime \; 2)\; +\; (x\; \theta \; \cdot \; x\; \theta )\; (\theta \; \prime )\; 2\; +\; (x\; \varphi \; \cdot \; x\; \varphi )\; (\varphi \; \prime )\; 2\; =\; (r\; \prime )\; 2\; +\; r\; 2\; (\theta \; \prime )\; 2\; +\; r\; 2\; sin\; 2\; \; \theta \; (\varphi \; \prime )\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{r\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{r\})\; (r\; \text{'}^\; \{2\})\; +\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{\; x\}\; \_\; \{\backslash \; theta\})\; (\backslash \; theta\; \text{'})\; ^\; \{2\}\; +\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{\backslash \; phi\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{\backslash \; phi\})\; (\backslash \; phi\text{'})\; ^\; \{2\; \}\; =\; (r\; \text{'})\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; theta\text{'})\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; (\backslash \; phi\; \text{'})\; ^\; \{2\}.\}.\}$

Таким образом, для кривой, выраженной в сферических координатах, длина дуги составляет

$\int \; t\; 1\; t\; 2\; (drdt)\; 2\; +\; r\; 2\; (d\; \theta \; dt)\; 2\; +\; r\; 2\; sin\; 2\; \; \theta \; (d\; \varphi \; dt)\; 2\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dr\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; theta\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; phi\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; dt.\}$

Очень похожий расчет показывает, что длина дуги кривой, выраженная в цилиндрических координатах, равна

$\int \; t\; 1\; t\; 2\; (drdt)\; 2\; +\; r\; 2\; (d\; \theta \; дт)\; 2\; +\; (дздт)\; 2\; дт.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dr\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; theta\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dz\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; dt.\}$

Простые случаи

Дуги окружностей

Длины дуги обозначаются буквой s, поскольку латинское слово для обозначения длины (или размера) является пространственным.

В следующих строках $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$представляет радиус окружности , $d\; \{\; \backslash \; displaystyle\; d\}$- его диаметр, $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$- его длина окружности, $s\; \{\; \backslash \; displaystyle\; s\}$- длина дуги окружности, а $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$- угол, под которым дуга проходит в центре круга. Расстояния $r,\; d,\; C,\; \{\backslash \; displaystyle\; r,\; d,\; C,\}$и $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$выражаются в одних и тех же единицах.

• $C\; =\; 2\; \pi \; r,\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; 2\; \backslash \; pi\; r,\}$что то же самое, что и $C\; =\; \pi \; d.\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; \backslash \; pi\; d.\}$Это уравнение является определением $\pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi.\}$
• Если дуга представляет собой полукруг , то $s\; =\; \pi \; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \backslash \; pi\; r.\}$
• Для произвольной дуги окружности:
  • Если $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$находится в радианах тогда $s\; =\; r\; \theta .\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; r\; \backslash \; theta.\}$Это определение радиана.
  • Если $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$находится в градусов, тогда $s\; =\; \pi \; r\; \theta \; 180\; градусов,\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; r\; \backslash \; theta\}\; \{180\; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{deg\}\}\}\},\}$, что аналогично $s\; =\; C\; \theta \; 360\; град.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \{\backslash \; frac\; \{C\; \backslash \; theta\}\; \{360\; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{deg\}\}\}\}.\}$
  • Если $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$находится в града (100 градаций, или оценок, или градианов равны одному прямоугольному ), затем $s\; =\; \pi \; r\; \theta \; 200\; градусов,\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; r\; \backslash \; theta\}\; \{200\; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{grad\}\}\}\},\}$что то же самое, что $s\; =\; C\; \theta \; 400\; град.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \{\backslash \; frac\; \{C\; \backslash \; theta\}\; \{400\; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{grad\}\}\}\}.\}$
  • Если $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$находится в повороты (один оборот - это полный оборот, или 360 °, или 400 градусов, или $2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\}$радиан), тогда $s\; =\; C\; \theta \; /\; поворот\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; C\; \backslash \; theta\; /\; \{\backslash \; text\; \{turn\}\}\}$.

Дуги больших кругов на Земле

Две единицы длины, морская миля и метр (или километр) изначально были определены таким образом, чтобы длины дуг больших окружностей на поверхности Земли были просто численно связаны с углами, которые они образуют в ее центре. Простое уравнение $s\; =\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \backslash \; theta\}$применяется в следующих случаях:

• если $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$находится в морских миль, а $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$находится в угловых минутах (⁄ 60 градусов) или
• , если $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$в километрах, а $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$в градусах по Цельсию (⁄ 100 grad ).

Длины единиц расстояния были выбраны так, чтобы окружность Земли равнялась 40000 километрам или 21600 морским милям. Это числа соответствующих угловых единиц за один полный оборот.

Эти определения метра и морской мили были заменены более точными, но исходные определения по-прежнему достаточно точны для концептуальных целей и некоторых расчетов. Например, они подразумевают, что один километр составляет ровно 0,54 морской мили. Используя официальные современные определения, одна морская миля составляет ровно 1,852 километра, что означает, что 1 километр составляет около 0,53995680 морских миль. Это современное соотношение отличается от рассчитанного по первоначальным определениям менее чем на одну часть из 10 000.

Длина дуги параболы

Исторические методы

Античность

На протяжении большей части истории математики даже величайшие мыслители считали невозможным вычислить длину неправильной дуги. Хотя Архимед первым изобрел способ определения площади под кривой с помощью своего «метода истощения », мало кто верил, что кривые могут иметь определенную длину, как и прямые линии.. Первые шаги в этой области, как это часто бывало в исчислении, былизаложены в приближении. Люди начали вписывать многоугольники в кривые и вычислять длину сторон для некоторого точного измерения длины. Используя больше сегментов и уменьшив длину каждого сегмента, они смогли получить все более и более точное приближение. В частности, вписав многоугольник с множеством сторон в круг, они смогли найти приблизительные значения π.

17 века

В 17 веке метод исчерпания привел к исправлению геометрическими методами несколько трансцендентных кривых : логарифмическая спираль Евангелисты Торричелли в 1645 году (в некоторых источниках говорится, что Джон Уоллис в 1650-х), циклоида Кристофером Реном в 1658 году и цепочка Готфридом Лейбницем в 1691 году.

В 1659 году Уоллис приписал Открытие Уильямом Нилом первого исправления нетривиальной алгебраической <88>{\displaystyle a=t_{0}<89>C=\pi d.<89><90>{\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow M}<90><91>{\displaystyle y=f(x),}<91><92>{\displaystyle N>(b-a)/\delta (\epsilon).}<92><93> y = \textstyle {3 \over 2} {a^{1/2}}(x - a) + f(a). <93>html