Окружность

редактировать

Окружность (C черным цветом) круга диаметром (D голубым), радиусом (R красным) и центром (O пурпурным). Окружность = π × диаметр = 2π × радиус.

В геометрии, окружность (от латинского «окружность», что означает «переносить») - это периметр круга или эллипса. Таким образом, длина окружности равна длине дуги окружности, как если бы она была раскрыта и выпрямлена до отрезка линии. В более общем смысле, периметр - это длина кривой вокруг любой замкнутой фигуры. Окружность также может относиться к самой окружности, то есть к геометрическому объекту, соответствующему ребру диска.

Содержание

1 Круг
- 1.1 Взаимосвязь с π
2 Эллипсом
3 Графиком
4 См. также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Окружность

Окружность круга - это расстояние вокруг него, но если, как и во многих элементарных методах лечения, расстояние определяется в терминах прямых линий, это не может использоваться в качестве определения. В этих обстоятельствах окружность круга может быть определена как предел периметров вписанных правильных многоугольников по мере неограниченного увеличения количества сторон. Термин окружность используется при измерении физических объектов, а также при рассмотрении абстрактных геометрических форм.

Когда круг , диаметр равен 1, его длина окружности равна π.

Когда круг радиус равен 1 - это называется единичный круг - его длина равно 2π.

Связь с π

Длина окружности круга связана с одной из наиболее важных математических констант. Эта константа , pi представлена греческой буквой π. Первые несколько десятичных цифр числового значения π равны 3,141592653589793... Pi определяется как отношение длины окружности C к ее диаметру d:

π = C d. {\ displaystyle \ pi = {\ frac {C} {d}}.}

{\ displaystyle \ pi = {\ frac {C} {d}}.}

Или, что то же самое, как отношение длины окружности к удвоенному радиусу. Вышеупомянутая формула может быть преобразована для определения длины окружности:

C = π ⋅ d = 2 π ⋅ r. {\ displaystyle {C} = \ pi \ cdot {d} = 2 \ pi \ cdot {r}. \!}

{C} = \ pi \ cdot {d} = 2 \ pi \ cdot {r}. \!

Использование математической константы π повсеместно в математике, инженерии и науке.

В Измерение круга, написанном около 250 г. до н.э., Архимед показал, что это отношение (C / d, поскольку он не использовал имя π) было больше, чем 310/71, но менее 31/7 путем вычисления периметров вписанного и описанного правильного многоугольника из 96 сторон. Этот метод аппроксимации π использовался веками, достигая большей точности за счет использования многоугольников с все большим и большим количеством сторон. Последний такой расчет был выполнен в 1630 году Кристофом Гринбергером, который использовал многоугольники с 10 сторонами.

Эллипс

Окружность используется некоторыми авторами для обозначения периметра эллипса. Не существует общей формулы для длины окружности эллипса в терминах большой и малой полуосей эллипса, которая использует только элементарные функции. Однако есть приблизительные формулы по этим параметрам. Одно из таких приближений, предложенное Эйлером (1773), для канонического эллипса,

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1, {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1,}

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1,}

равно

эллипс C ∼ π 2 (a 2 + b 2). {\ displaystyle C _ {\ rm {ellipse}} \ sim \ pi {\ sqrt {2 (a ^ {2} + b ^ {2})}}.}

{\ displaystyle C _ {\ rm {ellipse}} \ sim \ pi {\ sqrt {2 (a ^ {2} + b ^ {2})}}.}

Некоторые нижние и верхние границы окружности канонический эллипс с $a ≥ b {\ displaystyle a \ geq b}$ $a \ geq b$ являются

2 π b ≤ C ≤ 2 π a, {\ displaystyle 2 \ pi b \ leq C \ leq 2 \ pi a,}

{\ displaystyle 2 \ pi b \ leq C \ leq 2 \ pi a,}

π (a + b) ≤ C ≤ 4 (a + b), {\ displaystyle \ pi (a + b) \ leq C \ leq 4 (a + b),}

\ pi (a + b) \ leq C \ leq 4 (a + b),

4 a 2 + b 2 ≤ C ≤ π 2 (a 2 + b 2). {\ displaystyle 4 {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ leq C \ leq \ pi {\ sqrt {2 (a ^ {2} + b ^ {2})}}.}.

{\ displaystyle 4 {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ leq C \ leq \ pi {\ sqr t {2 (a ^ {2} + b ^ {2})}}.}

Здесь верхняя граница $2 π a {\ displaystyle 2 \ pi a}$ $2 \ pi a$ - это длина окружности окружности концентрической окружности, проходящей через конечные точки большой оси эллипса, а нижняя граница $4 a 2 + b 2 {\ displaystyle 4 {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$ $4 {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}$ - это периметр вписанного ромба с вершинами на концах большой и малой осей.

Окружность эллипса может быть точно выражена через полный эллиптический интеграл второго рода. Точнее, имеем

C эллипс = 4 a ∫ 0 π / 2 1 - e 2 sin 2 ⁡ θ d θ, {\ displaystyle C _ {\ rm {ellipse}} = 4a \ int _ {0} ^ { \ pi / 2} {\ sqrt {1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ d \ theta,}

{\ displaystyle C _ {\ rm {ellipse}} = 4a \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ sqrt {1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} } \ d \ theta,}

где снова $a {\ displaystyle a}$ $a$ - длина большой полуоси, а $e {\ displaystyle e}$ $e$ - эксцентриситет $1 - b 2 / a 2. {\ displaystyle {\ sqrt {1-b ^ {2} / a ^ {2}}}.}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {1-b ^ {2 } / a ^ {2}}}.}$

График

В теории графов окружность график относится к самому длинному (простому) циклу, содержащемуся в этом графике.

См. также

Ссылки

Внешние ссылки

Викибук Геометрия имеет страницу по теме: Дуги

Найдите окружность в Викисловаре, бесплатный словарь.

Numericana - Окружность эллипса