Отрезок линии

редактировать

Часть линии, ограниченная двумя отдельными конечными точками; линия с двумя конечными точками

Геометрическое определение замкнутого отрезка линии: пересечение всех точек на или справа от A со всеми точками на или слева от B

историческое изображение - создать сегмент линии (1699)

В geometry, сегмент линии является частью линии, которая ограничена двумя отдельными концами points, и содержит каждую точку на линии между его конечными точками. закрытый линейный сегмент включает обе конечные точки, а открытый линейный сегмент исключает обе конечные точки; полуоткрытый линейный сегмент включает в себя ровно одну из конечных точек. В geometry сегмент линии часто обозначается с помощью линии над символами для двух конечных точек (например, $AB ¯ {\ displaystyle {\ overline {AB}}}$ ${\ overline {AB}}$ ).

Примеры линий сегменты включают стороны треугольника или квадрата. В более общем случае, когда обе конечные точки сегмента являются вершинами многоугольника или многогранника, линейный сегмент является либо ребром (этого многоугольника или многогранника), если они являются смежными вершинами, или диагональю. Когда обе конечные точки лежат на кривой (например, на окружности ), отрезок называется хордой (этой кривой).

Содержание

1 В вещественных или комплексных векторных пространствах
2 Свойства
3 В доказательствах
4 Как вырожденный эллипс
5 В других геометрических формах
- 5.1 Треугольники
- 5.2 Четырехугольники
- 5.3 Окружности и эллипсы
6 Направленный отрезок
7 Обобщения
8 См. Также
9 Примечания
10 Ссылки
11 Внешние ссылки

В вещественных или комплексных векторных пространствах

Если V является векторное пространство над $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ или $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ , и L является подмножеством V, тогда L является отрезком линии, если L можно параметризовать как

L = {u + tv ∣ t ∈ [0, 1]} { \ displaystyle L = \ {\ mathbf {u} + t \ mathbf {v} \ mid t \ in [0,1] \}}

L = \ {\ mathbf {u} + t \ mathbf {v} \ mid t \ в [0,1] \}

для некоторых векторов $u, v ∈ V {\ displaystyle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ in V \, \!}$ $\ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ in V \, \!$ . В этом случае векторы u и u+ vназываются конечными точками L.

Иногда необходимо различать «открытые» и «закрытые» отрезки линии. В этом случае можно определить замкнутый линейный сегмент, как указано выше, и открытый линейный сегмент как подмножество L, которое может быть параметризовано как

L = {u + tv ∣ t ∈ (0, 1)} {\ displaystyle L = \ {\ mathbf {u} + t \ mathbf {v} \ mid t \ in (0,1) \}}

L = \ {\ mathbf {u} + t \ mathbf {v} \ mid t \ in (0,1) \}

для некоторых векторов $u, v ∈ V {\ displaystyle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ in V \, \!}$ $\ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ in V \, \!$ .

Эквивалентно, отрезок прямой - это выпуклая оболочка двух точек. Таким образом, линейный сегмент может быть выражен как выпуклая комбинация двух конечных точек сегмента.

В геометрии можно определить точку B как находящуюся между двумя другими точками A и C, если расстояние AB, добавленное к расстоянию BC, равно расстоянию AC. Таким образом, в $R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ отрезок линии с конечными точками A = (a x, a y) и C = (c x, c y) представляет собой следующий набор точек:

{(x, y) | (Икс - сх) 2 + (у - cy) 2 + (х - ах) 2 + (у - ау) 2 = (сх - ах) 2 + (cy - ау) 2} {\ Displaystyle \ {(х, y) | {\ sqrt {(x-c_ {x}) ^ {2} + (y-c_ {y}) ^ {2}}} + {\ sqrt {(x-a_ {x}) ^ {2 } + (y-a_ {y}) ^ {2}}} = {\ sqrt {(c_ {x} -a_ {x}) ^ {2} + (c_ {y} -a_ {y}) ^ { 2}}} \}}

\ {(x, y) | \ sqrt {(x-c_x) ^ 2 + (y-c_y) ^ 2} + \ sqrt {(x-a_x) ^ 2 + (y-a_y) ^ 2} = \ sqrt {(c_x-a_x) ^ 2 + (c_y-a_y) ^ 2} \}

Свойства

Сегмент линии - это соединенный, непустой набор.
Если V - это топологическое векторное пространство, то замкнутый линейный сегмент является замкнутым множеством в V. Однако открытый линейный сегмент является открытым множеством в V тогда и только тогда, когда V является одномерным.
В более общем плане, чем указано выше, понятие сегмента линии может быть определено в упорядоченной геометрии.
Пара сегментов линии может быть любой из следующих : пересекающийся, параллельный, наклон или ни один из них. Последняя возможность - это то, чем отрезки прямых отличаются от прямых: если две непараллельные прямые находятся в одной евклидовой плоскости, то они должны пересекать друг друга, но это не обязательно верно для отрезков.

В доказательствах

В аксиоматической трактовке геометрии понятие промежуточности либо предполагается, что удовлетворяет определенному количеству аксиом, либо определяется в терминах изометрии линии (используемой в качестве системы координат).

Сегменты играют важную роль в других теориях. Например, набор является выпуклым, если сегмент, соединяющий любые две точки набора, содержится в наборе. Это важно, поскольку при этом часть анализа выпуклых множеств преобразуется в анализ отрезка прямой. Постулат сложения сегментов можно использовать для добавления конгруэнтного сегмента или сегментов равной длины и, следовательно, замены других сегментов в другое утверждение, чтобы сделать сегменты конгруэнтными.

Как вырожденный эллипс

Отрезок линии можно рассматривать как вырожденный случай эллипса , в котором малая полуось стремится к нулю, фокусы идут к конечным точкам, а эксцентриситет - к единице. Стандартное определение эллипса - это набор точек, для которых сумма расстояний от точки до двух фокусов является постоянной; если эта константа равна расстоянию между фокусами, результатом будет отрезок линии. Полная орбита этого эллипса дважды пересекает отрезок прямой. Как вырожденная орбита, это радиальная эллиптическая траектория.

В других геометрических формах

В дополнение к появлению в виде ребер и диагоналей многоугольников и многогранники, линейные сегменты также встречаются во многих других местах относительно других геометрических фигур.

Треугольников

Некоторые очень часто рассматриваемые сегменты в треугольнике для включают три высоты (каждая перпендикулярно, соединяющая сторону или ее расширение с противоположной вершиной ), три медианы (каждая из которых соединяет среднюю точку стороны с противоположной вершиной), серединные перпендикулярные сторон (перпендикулярно соединяющие среднюю точку стороны с одной из других сторон) и биссектрисы внутреннего угла (каждая соединяет вершину с противоположной стороной). В каждом случае существуют различные равенства, связывающие эти длины сегментов с другими (обсуждаются в статьях о различных типах сегментов), а также различные неравенства.

Другие интересующие сегменты в треугольник включает те, которые соединяют различные центры треугольника друг с другом, в первую очередь центр, центр описанной окружности, центр с девятью точками, центроид и ортоцентр.

Четырехугольники

Помимо сторон и диагоналей четырехугольника, важными сегментами являются два бимедиана. (соединяющие середины противоположных сторон) и четыре солоды (каждая перпендикулярно соединяет одну сторону со средней точкой противоположной стороны).

Круги и эллипсы

Любой отрезок прямой линии, соединяющий две точки на окружности или эллипсе, называется хордой. Любая хорда в окружности, которая больше не имеет хорды, называется диаметром, а любой сегмент, соединяющий центр окружности (середину диаметра) с точкой на окружности, называется радиус.

В эллипсе самая длинная хорда, которая также является самой длинной диаметром, называется большой осью, а отрезок от средней точки большой оси (центр эллипса) до любая конечная точка большой оси называется большой полуосью. Точно так же наименьший диаметр эллипса называется малой осью, а отрезок от его средней точки (центра эллипса) до любой из его конечных точек называется малой полуосью. Хорды эллипса, которые перпендикулярны к большой оси и проходят через один из его фокусов, называются латеральной прямой частью эллипса. Межфокальный сегмент соединяет два очага.

Направленный сегмент линии

Когда сегменту линии задается ориентация (направление), он предлагает перенос или, возможно, силу стремится сделать перевод. Величина и направление указывают на возможное изменение. Это предложение вошло в математическую физику через концепцию евклидова вектора. Совокупность всех ориентированных линейных сегментов обычно сокращается путем создания «эквивалентной» любой пары, имеющей одинаковую длину и ориентацию. Это применение отношения эквивалентности восходит к введению Джусто Беллавитиса концепции равноправия направленных отрезков прямой в 1835 году.

Обобщения

Аналогично сегментам прямой выше, можно также определить дуги как сегменты кривой.

См. Также

Прерывистая линия
Интервал (математика)
Линия (геометрия)
Пересечение отрезка отрезка, алгоритмическая проблема поиска пересекающихся пар в наборе отрезков отрезка
Спиранг
Постулат добавления отрезка

Примечания

Ссылки

Дэвид Гильберт Основы геометрии. Издательство Open Court, 1950, стр. 4

Внешние ссылки

Викискладе есть материалы, связанные с Отрезок линии.

Найдите отрезок линии в Викисловаре, бесплатном словаре.

Эта статья включает материал из сегмента Line на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.