Ориентация (векторное пространство)

редактировать

Выбор точки отсчета для различения объекта и его зеркального изображения

Левосторонняя ориентация показана слева, а правая справа.

В математике, ориентация - это геометрическое понятие, которое в двух измерениях позволяет сказать, когда цикл вращается по часовой стрелке или против часовой стрелки и в трех измерениях, когда фигура левша или правша. В линейной алгебре понятие ориентации имеет смысл в произвольной конечной размерности. В этой настройке ориентация упорядоченного базиса представляет собой своего рода асимметрию, которая делает невозможным воспроизведение отражения посредством простого поворота. Таким образом, в трех измерениях невозможно превратить левую руку человеческой фигуры в правую, применяя только вращение, но можно сделать это, отразив фигуру в зеркале. В результате в трехмерном евклидовом пространстве две возможные базисные ориентации называются правосторонней и левосторонней (или правохиральной и левохиральной).

Ориентация в реальном векторном пространстве - это произвольный выбор того, какие упорядоченные основания ориентированы «положительно», а какие «отрицательно». В трехмерном евклидовом пространстве правые основания обычно объявляются положительно ориентированными, но выбор является произвольным, так как им также может быть назначена отрицательная ориентация. Векторное пространство с выбранной ориентацией называется ориентированным векторным пространством, тогда как пространство без выбранной ориентации называется неориентированным .

Содержание

1 Определение
- 1.1 Нульмерное case
- 1.2 На прямой
2 Альтернативные точки зрения
- 2.1 Полилинейная алгебра
- 2.2 Теория групп Ли
- 2.3 Геометрическая алгебра
3 Ориентация на многообразиях
4 См. также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Определение

Пусть V будет конечномерным реальным векторным пространством, и пусть b 1 и b 2 - два упорядоченных базиса для V. Стандартным результатом линейной алгебры является то, что существует единственное линейное преобразование A: V → V, которое принимает b 1 на b 2. Считается, что основания b 1 и b 2 имеют одинаковую ориентацию (или последовательно ориентированы), если A имеет положительный определитель ; в противном случае они имеют противоположную ориентацию. Свойство иметь одинаковую ориентацию определяет отношение эквивалентности на множестве всех упорядоченных базисов для V. Если V не равно нулю, существует ровно два класса эквивалентности, определяемых этим соотношением.. Ориентация на V - это присвоение +1 одному классу эквивалентности и -1 - другому.

Каждый упорядоченный базис живет в том или ином классе эквивалентности. Таким образом, любой выбор привилегированного упорядоченного базиса для V определяет ориентацию: класс ориентации привилегированного базиса объявляется положительным.

Например, стандартная основа на R обеспечивает стандартную ориентацию на R (в свою очередь, ориентация стандартного базиса зависит от ориентации декартовой системы координат, на которой он построен). Любой выбор линейного изоморфизма между V и R затем обеспечит ориентацию на V.

Упорядочение элементов в основе имеет решающее значение. Два базиса с разным порядком будут отличаться некоторой перестановкой. Они будут иметь одинаковую / противоположную ориентацию в зависимости от того, равна ли подпись этой перестановки ± 1. Это связано с тем, что определитель матрицы перестановок равен сигнатуре соответствующей перестановки.

Аналогично, пусть A будет неособым линейным отображением векторного пространства R в R . Это отображение сохраняет ориентацию, если его определитель положительный. Например, в R поворот вокруг декартовой оси Z на угол α сохраняет ориентацию:

A 1 = (cos ⁡ α - sin ⁡ α 0 sin ⁡ α cos ⁡ α 0 0 0 1) {\ displaystyle \ mathbf {A} _ {1} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha - \ sin \ alpha 0 \\\ sin \ alpha \ cos \ alpha 0 \\ 0 0 1 \ end {pmatrix}}}

{ \ Displaystyle \ mathbf {A} _ {1} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha - \ sin \ alpha 0 \\\ sin \ alpha \ cos \ alpha 0 \\ 0 0 1 \ end {pmatrix}} }

в то время как отражение от декартовой плоскости XY не сохраняет ориентацию:

A 2 = (1 0 0 0 1 0 0 0 - 1) {\ displaystyle \ mathbf {A} _ { 2} = {\ begin {pmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 -1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} _ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 -1 \ end {pmatrix}}}

Нульмерный случай

В нульмерном случае концепция ориентации вырождается. Нульмерное векторное пространство имеет только одну точку - нулевой вектор. Следовательно, единственной основой нульмерного векторного пространства является пустой набор $∅ {\ displaystyle \ emptyset}$ $\ emptyset$ . Следовательно, существует единственный класс эквивалентности упорядоченных базисов, а именно класс ${∅} {\ displaystyle \ {\ emptyset \}}$ ${\ displaystyle \ {\ emptyset \}}$ , единственным членом которого является пустое множество. Это означает, что ориентация нульмерного пространства - это функция

{{∅}} → {± 1}. {\ displaystyle \ {\ {\ emptyset \} \} \ to \ {\ pm 1 \}.}

{\ displaystyle \ {\ {\ emptyset \} \} \ to \ {\ pm 1 \}.}

Следовательно, можно ориентировать точку двумя разными способами: положительным и отрицательным.

Поскольку существует только один упорядоченный базис $∅ {\ displaystyle \ emptyset}$ $\ emptyset$ , нульмерное векторное пространство совпадает с нульмерным векторным пространством с упорядоченным базисом.. Выбор ${∅} ↦ + 1 {\ displaystyle \ {\ emptyset \} \ mapsto +1}$ ${\ displaystyle \ {\ emptyset \} \ mapsto +1}$ или ${∅} ↦ - 1 {\ displaystyle \ {\ emptyset \} \ mapsto -1}$ ${\ displaystyle \ {\ emptyset \} \ mapsto -1}$ поэтому выбирает ориентацию каждого базиса каждого нульмерного векторного пространства. Если всем нульмерным векторным пространствам присвоена эта ориентация, то, поскольку все изоморфизмы среди нульмерных векторных пространств сохраняют упорядоченный базис, они также сохраняют ориентацию. Это отличается от случая многомерных векторных пространств, где нет способа выбрать ориентацию так, чтобы она сохранялась при всех изоморфизмах.

Однако бывают ситуации, когда желательно дать разным ориентирам разные точки. Например, рассмотрим фундаментальную теорему исчисления как пример теоремы Стокса. Отрезок [a, b] - это одномерное многообразие с краем, а его границей является множество {a, b}. Чтобы получить правильную формулировку основной теоремы исчисления, точка b должна быть ориентирована положительно, а точка a - отрицательно.

На строке

В одномерном случае рассматривается линия, по которой можно пройти в одном из двух направлений. У линии линии есть две ориентации, как и у окружности две ориентации. В случае линейного сегмента (связанного подмножества линии) две возможные ориентации приводят к направленным линейным сегментам. Ориентируемая поверхность иногда имеет выбранную ориентацию, обозначенную ориентацией линии, перпендикулярной поверхности.

Альтернативные точки зрения

Полилинейная алгебра

Для любого n-мерного действительного векторного пространства V мы можем сформировать k-ю - внешнюю степень V, обозначенную ΛV. Это реальное векторное пространство размерности $(n k) {\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}$ ${\ tbinom {n} {k}}$ . Следовательно, векторное пространство ΛV (называемое верхней внешней степенью) имеет размерность 1. То есть ΛV - это просто вещественная линия. Нет никакого априорного выбора того, какое направление на этой линии является положительным. Ориентация - как раз такой выбор. Любая ненулевая линейная форма ω на ΛV определяет ориентацию V, объявляя, что x находится в положительном направлении, когда ω (x)>0. Чтобы связать с базисной точкой зрения, мы говорим, что положительно ориентированные базисы - это те, на которых ω оценивается в положительное число (поскольку ω является n-формой, мы можем вычислить ее на упорядоченном наборе из n векторов, давая элемент R ). Форма ω называется формой ориентации . Если {e i } является привилегированной основой для V и {e i } является двойным базисом, то форма ориентации, дающая стандартную ориентацию, будет e 1 ∧ e 2 ∧… ∧ e n.

Связь этого с детерминантной точкой зрения состоит в следующем: детерминант эндоморфизма $T: V → V {\ displaystyle T: V \ to V}$ ${\ displaystyle T: V \ to V}$ можно интерпретировать как индуцированное воздействие на верхнюю внешнюю мощность.

Теория групп Ли

Пусть B - множество всех упорядоченных базисов для V. Тогда общая линейная группа GL (V) действует свободно и транзитивно на B. (на причудливом языке B - это GL (V) - торсор ). Это означает, что как многообразие, B (неканонически) гомеоморфно GL (V). Обратите внимание, что группа GL (V) не связана, а имеет два связанных компонента в зависимости от того, является ли определитель преобразования положительным или отрицательным (за исключением GL 0, которая является тривиальной группой и, следовательно, имеет одну компоненту связности; это соответствует канонической ориентации в нульмерном векторном пространстве). Компонент идентичности группы GL (V) обозначается GL (V) и состоит из преобразований с положительным определителем. Действие GL (V) на B не транзитивно: есть две орбиты, которые соответствуют компонентам связности B. Эти орбиты и есть в точности классы эквивалентности, упомянутые выше. Поскольку B не имеет выделенного элемента (то есть привилегированной основы), нет естественного выбора, какой компонент является положительным. Сравните это с GL (V), у которого есть привилегированный компонент: компонент идентичности. Конкретный выбор гомеоморфизма между B и GL (V) эквивалентен выбору привилегированного базиса и, следовательно, определяет ориентацию.

Более формально: $π 0 (GL ⁡ (V)) = (GL ⁡ (V) / GL + ⁡ (V) = {± 1} {\ displaystyle \ pi _ {0} ( \ operatorname {GL} (V)) = (\ operatorname {GL} (V) / \ operatorname {GL} ^ {+} (V) = \ {\ pm 1 \}}$ $\ pi _ {0} (\ operatorname {GL} (V)) = (\ operatorname {GL} (V) / \ operatorname {GL} ^ {+} (V) = \ {\ pm 1 \}$ , а многообразие Штифеля из n-кадров в $V {\ displaystyle V}$ $V$ - это $GL ⁡ (V) {\ displaystyle \ operatorname {GL} (V)}$ $\ operatorname {GL } (V)$ -торсор, поэтому $V n (V) / GL + ⁡ (V) {\ displaystyle V_ {n} (V) / \ operatorname {GL} ^ {+} (V)}$ $V_ {n} (V) / \ operatorname {GL} ^ {+} (V)$ - это торсор над ${± 1} {\ displaystyle \ {\ pm 1 \}}$ $\ {\ pm 1 \}$ , т. Е. Его 2 точки и одна из них на выбор из них - ориентация.

Геометрическая алгебра

Параллельные плоские сегменты с одинаковым отношением, величиной и ориентацией, все соответствующие одному и тому же бивектору a∧ b.

Различные объекты геометрической алгебры наделены тремя атрибутами или характеристиками: отношением, ориентацией и величиной. Например, вектор вектор имеет положение, заданное параллельной ему прямой линией, ориентацию, заданную b y его смысл (часто обозначается стрелкой) и величина, определяемая его длиной. Точно так же бивектор в трех измерениях имеет положение, заданное семейством плоскостей, связанных с ним (возможно, задаваемых нормальной линией, общей для этих плоскостей), ориентация (иногда обозначается изогнутой стрелкой на плоскости), указывающая на выбор направления пересечения его границы (его циркуляции), и величина, заданная площадью параллелограмма, определяемой двумя его векторами.

Ориентация на коллекторах

Ориентация объема может определяться ориентацией на его границе, обозначенной вращающимися стрелками.

Каждая точка p на n-мерном дифференцируемом многообразии имеет касательное пространство TpM, которое является n-мерным вещественным векторным пространством. Каждому из этих векторных пространств можно назначить ориентацию. Некоторые ориентации «плавно меняются» от точки к точке. Из-за определенных топологических ограничений это не всегда возможно. Многообразие, допускающее плавный выбор ориентации касательных пространств, называется ориентируемым.

См. Также

Соглашение о знаках
Формализмы вращения в трех измерениях
Хиральность (математика)
Право -ручное правило
Четные и нечетные перестановки
Декартова система координат
Псевдовектор - Псевдовекторы являются следствием ориентированных пространств.
Ориентируемость - Обсуждение возможности ориентации в пространстве.
Ориентация векторного пучка

Ссылки

Внешние ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]