Линейная форма

Линейная карта из векторного пространства в его поле скаляров

В линейной алгебре, линейная форма (также известная как линейный функционал, one-form или ковектор ) - это линейная карта из векторного пространства в его поле скаляров. Если векторы представлены как векторы-столбцы (как и соглашение Википедии ), то линейные функционалы представлены как векторы-строки, а их действие на векторы задается матричным произведением с вектором-строкой слева и вектором-столбцом справа. В общем, если V - это векторное пространство над полем k, то линейный функционал f - это функция от V до k, которая является линейной:

$f\; (v\; \to \; +\; вес\; \to )\; знак\; равно\; е\; (v\; \to )\; +\; е\; (вес\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; +\; \{\backslash \; vec\; \{w\}\})\; =\; f\; (\{\backslash \; vec\; \{v\}\})\; +\; f\; (\; \{\backslash \; vec\; \{w\}\})\}$для всех $v\; \to ,\; w\; \to \; \in \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\},\; \{\backslash \; vec\; \{w\}\}\; \backslash \; in\; V\}$

$f\; (av\; \to )\; =\; af\; (v\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (a\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\})\; =\; af\; (\{\backslash \; vec\; \{v\}\})\}$для всех $v\; \to \; \in \; V,\; a\; \in \; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; \backslash \; in\; V,\; a\; \backslash \; in\; k.\}$

Набор всех линейных функционалов от V до k, обозначаемых Hom k (V, k), образует векторное пространство над k с операциями сложения и скалярного умножения, определенными поточечно. Это пространство называется двойным пространством V или иногда алгебраическим двойственным пространством, чтобы отличать его от непрерывного двойственного пространства. Часто пишут V, V ', V или V, когда понимают поле k.

• 1 Примеры
  • 1.1 Линейные функционалы в R
  • 1.2 (Определенное) Интегрирование
  • 1.3 Оценка
  • 1.4 Не пример
• 2 Визуализация
• 3 Приложения
  • 3.1 Приложение к квадратуре
  • 3.2 В квантовой механике
  • 3.3 Распределения
• 4 Двойные векторы и билинейные формы
• 5 Связь с базисами
  • 5.1 Базис двойного пространства
  • 5.2 Двойственный базис и внутренний product
• 6 Изменение поля
• 7 В бесконечных измерениях
  • 7.1 Характеристика замкнутых подпространств
    • 7.1.1 Гиперплоскости и максимальные подпространства
    • 7.1.2 Взаимосвязи между множественными линейными функционалами
  • 7.2 Хан-Банах теорема
  • 7.3 Равностепенная непрерывность семейств линейных функционалов
• 8 См. также
• 9 Примечания
• 10 Ссылки
• 11 Библиография

«Функция постоянного нуля», отображение каждый вектор к нулю тривиально является линейным функционалом. Любой другой линейный функционал (например, приведенный ниже) сюръективен (то есть его диапазон равен k).

Линейные функционалы в R

Предположим, что векторы в реальном координатном пространстве R представлены как векторы-столбцы

$x\; \to \; =\; [x\; 1\; ⋮\; x\; n].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; x\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; x\_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Для каждого вектора-строки [a 1 … a n ] существует линейный функционал f, определенный как

$f\; (x\; \to )\; =\; a\; 1\; x\; 1\; +\; \cdots \; +\; тревога,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\{\backslash \; vec\; \{\; x\}\})\; =\; a\_\; \{1\}\; x\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; x\_\; \{n\},\}$

и каждый линейный функционал может быть выражен в этой форме.

Это может быть интерпретировано либо как произведение матриц, либо как скалярное произведение вектора-строки [a 1... a n ] и вектора-столбца $Икс\; \to \; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\}$:

$е\; (х\; \to )\; =\; [a\; 1\dots \; an]\; [x\; 1\; ⋮\; xn].\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\})\; =\; \backslash \; left\; [a\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; right]\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; x\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; x\_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

(Определенное) интегрирование

Линейные функционалы впервые появились в функциональном анализе, исследовании векторных пространств функций. Типичным примером линейного функционала является интегрирование : линейное преобразование, определяемое интегралом Римана

$I\; (f)\; =\; \int \; abf\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (f)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\}$

- линейный функционал из векторного пространства C [a, b] непрерывных функций на интервале [a, b] до действительных чисел. Линейность I следует из стандартных фактов об интеграле:

$I\; (f\; +\; g)\; =\; \int \; ab\; [f\; (x)\; +\; g\; (x)]\; dx\; =\; \int \; abf\; (x)\; dx\; +\; \int \; abg\; (x)\; dx\; =\; I\; (f)\; +\; I\; (g)\; I\; (\alpha \; f)\; =\; ab\; \alpha \; f\; (x)\; dx\; =\; \alpha \; \int \; abf\; (x)\; dx\; =\; \alpha \; I\; (f).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; I\; (f\; +\; g)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; [f\; (x)\; +\; g\; (x)]\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{\; b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; g\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; I\; (f)\; +\; I\; (g)\; \backslash \backslash \; I\; (\backslash \; alpha\; f)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\; a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; alpha\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; alpha\; I\; (f).\; \backslash \; end\; \{выравнивается\}\}\}$

Вычисление

Пусть P n обозначает векторное пространство действительных полиномиальных функций степени ≤n, определенных на интервале [a, b]. Если c ∈ [a, b], тогда пусть ev c : P n→ Rбудет функционалом оценки

$ev\; c\; \; f\; =\; f\; (c).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ev\}\; \_\; \{c\}\; f\; =\; f\; (c).\}$

Отображение f → f (c) линейно, поскольку

$(f\; +\; g)\; (c)\; =\; f\; (c)\; +\; g\; (c)\; (\alpha \; f)\; (c)\; =\; \alpha \; f\; (c).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнен\}\; (е\; +\; g)\; (с)\; =\; е\; (с)\; +\; г\; (с)\; \backslash \backslash \; (\backslash \; альфа\; f)\; (с)\; =\; \backslash \; альфа\; е\; (с).\; \backslash \; конец\; \{\; выровнено\}\}\}$

Если x 0,..., x n - это n + 1 отличная точка в [a, b], то оценочные функционалы ev xi, i = 0, 1,..., n образуют базис двойственного пространства к P n. (Лакс (1996) доказывает этот последний факт, используя интерполяцию Лагранжа.)

Не пример

Функция f, имеющая уравнение строки f (x) = a + rx с a 0 (например, f (x) = 1 + 2x) не является линейным функционалом на ℝ, поскольку он не является линейным. Однако это аффинно-линейная.

Геометрическая интерпретация 1-формы α как стека из гиперплоскостей постоянного значения, каждая из которых соответствует те векторы, которые α сопоставляются с данным скалярным значением, показанным рядом с ним, вместе с «смыслом» увеличения. Нулевая плоскость проходит через начало координат.

В конечных размерах линейный функционал может быть визуализирован в терминах его наборов уровней, наборов векторов, которые отображаются на заданное значение. В трех измерениях наборы уровней линейного функционала представляют собой семейство взаимно параллельных плоскостей; в более высоких измерениях это параллельные гиперплоскости. Этот метод визуализации линейных функционалов иногда вводится в текстах общей теории относительности, таких как Gravitation от Misner, Thorne Wheeler (1973).

Применение к квадратуре

Если x 0,..., x n являются n + 1 различными точками в [a, b], то линейные функционалы ev xi: f → f (x i), определенные выше, образуют базис двойственного пространства P n, пространства многочленов степени ≤ n. Функционал интегрирования I также является линейным функционалом на P n, и поэтому может быть выражен как линейная комбинация этих базовых элементов. В символах есть коэффициенты a 0,..., a n, для которых

$I\; (f)\; =\; a\; 0\; f\; (x\; 0)\; +\; a\; 1\; f\; (x\; 1)\; +\; \cdots \; +\; anf\; (xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (f)\; =\; a\_\; \{0\}\; f\; (x\_\; \{0\})\; +\; a\_\; \{1\}\; f\; (x\_\; \{1\})\; +\; \backslash \; dots\; +\; a\_\; \{n\}\; f\; (\; x\_\; \{n\})\}$

для всех f ∈ P n. Это составляет основу теории числовой квадратуры.

в квантовой механике

Линейные функционалы особенно важны в квантовой механике. Квантово-механические системы представлены гильбертовыми пространствами, которые анти - изоморфны своим собственным двойственным пространствам. Состояние квантово-механической системы можно отождествить с линейным функционалом. Для получения дополнительной информации см. краткое обозначение.

Распределения

В теории обобщенных функций могут быть реализованы некоторые виды обобщенных функций, называемые распределениями. как линейные функционалы на пространствах тестовых функций.

Линейные функционалы (1-формы) α, βи их сумма σ и векторы u, v, w, в 3d Евклидово пространство. Количество (1-форма) гиперплоскостей, пересекаемых вектором, равно внутреннему произведению.

. Любая невырожденная билинейная форма на конечномерном векторном пространстве V индуцирует изоморфизм V → V: v ↦ v такой, что

$v\; \ast \; (w):\; =\; ⟨v,\; w⟩\; \forall \; w\; \in \; V,\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; ^\; \{*\}\; (w):\; =\; \backslash \; langle\; v,\; w\; \backslash \; rangle\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; w\; \backslash \; in\; V,\}$

где билинейная форма на V обозначается ⟨,⟩ (например, в евклидовом пространстве v, w⟩ = v ⋅ w - это скалярное произведение значений v и w).

Обратный изоморфизм - это V → V: v ↦ v, где v - единственный элемент V такой, что

$⟨v,\; w⟩\; =\; v\; \ast \; (w)\; \forall \; w\; \in \; V.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; v,\; w\; \backslash \; rangle\; =\; v\; ^\; \{*\}\; (w)\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; w\; \backslash \; in\; V.\}$

Определенный выше вектор v ∈ V называется двойственным вектором of v ∈ V.

В бесконечномерном гильбертовом пространстве аналогичные результаты справедливы по теореме о представлении Рисса. Имеется отображение V → V в непрерывное двойственное пространство V.

Базис двойственного пространства

Пусть векторное пространство V имеет базис $e\; \to \; 1,\; e\; \to \; 2,\dots ,\; e\; \to \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{1\},\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\; \}\; \_\; \{n\}\}$, не обязательно ортогонально. Тогда двойственное пространство V * имеет базис $\omega \; ~\; 1,\; \omega \; ~\; 2,\dots ,\; \omega \; ~\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; omega\}\}\; ^\; \{1\},\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; omega\}\}\; ^\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; omega\}\}\; ^\; \{n\}\}$называется дуальным базисом, определяемым специальным свойством,

$\omega \; ~\; i\; (e\; \to \; j)\; =\; \{1\; ifi\; =\; j\; 0\; ifi\; \ne \; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; omega\}\}\; ^\; \{i\}\; (\{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{j\})\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; \backslash \; mathrm\; \{if\}\; \backslash \; i\; =\; j\; \backslash \; \backslash \; 0\; \backslash \; mathrm\; \{if\}\; \backslash \; i\; \backslash \; not\; =\; j.\; \backslash \; End\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right.\}$

Или, более кратко,

$\omega \; ~\; i\; (e\; \to \; j)\; =\; \delta \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; tilde\; \{\backslash \; omega\}\}\; ^\; \{i\}\; (\{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{j\})\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\}$

, где δ - дельта Кронекера. Здесь верхние индексы базисных функционалов не являются показателями, а являются контравариантными индексами.

Линейный функционал $u\; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{u\}\}\}$, принадлежащий двойному пространству $V\; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{V\}\; \}\}$может быть выражено как линейная комбинация базисных функционалов с коэффициентами («компонентами») u i,

$u\; ~\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; nui\; \omega \; ~\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{u\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; u\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; omega\}\}\; ^\; \{i\}.\}$

Затем, применяя функциональный $u\; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{u\}\}\}$к базисному вектору e j дает

$u\; ~\; (e\; \to \; j)\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; (пользовательский\; интерфейс\; \omega \; ~\; я)\; е\; \to \; J\; знак\; равно\; \sum \; iui\; [\omega \; ~\; я\; (е\; \to \; J)]\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; тильда\; \{u\}\}\; (\{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{j\})\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (u\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; omega\}\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{j\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; i\}\; u\_\; \{i\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; omega\}\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$

из-за линейности скаляра кратные функционалов и поточечная линейность сумм функционалов. Тогда

$u\; ~\; (e\; \to \; j)\; =\; \sum \; i\; u\; i\; [\omega \; ~\; i\; (e\; \to \; j)]\; =\; \sum \; i\; u\; i\; \delta \; i\; j\; =\; u\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; tilde\; \{u\}\}\; (\{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{j\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; u\_\; \{i\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; omega\; \}\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; u\_\; \{i\}\; \{\backslash \; delta\; ^\; \{i\}\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; \backslash \; =\; u\_\; \{j\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Таким образом, каждый компонент линейного функционала может быть извлечен путем применения функционала к соответствующему базисному вектору.

Двойной базис и внутренний продукт

Когда пространство V содержит внутреннее произведение, тогда можно явно написать формулу для двойственного базиса данного базиса. Пусть V имеет (не обязательно ортогональный) базис $e\; \to \; 1,\dots ,\; e\; \to \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{n\}\; \}$. В трех измерениях (n = 3) двойственный базис может быть записан явно

$\omega \; ~\; i\; (v\; \to )\; =\; 1\; 2\; ⟨\sum \; j\; =\; 1\; 3\; \sum \; k\; =\; 1\; 3\; \epsilon \; ijk\; (e\; \to \; j\; \times \; e\; \to \; k)\; е\; \to \; 1\; \cdot \; е\; \to \; 2\; \times \; е\; \to \; 3,\; v\; \to ⟩,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; тильда\; \{\backslash \; omega\}\}\; ^\; \{я\}\; (\{\backslash \; vec\; \{v\}\})\; =\; \{1\; \backslash \; более\; 2\}\; \backslash ,\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{ijk\}\; \backslash ,\; (\{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; раз\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{k\})\; \backslash \; over\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{\; 3\}\},\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle,\}$

для i = 1, 2, 3, где ε - символ Леви-Чивиты и $⟨,⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle,\; \backslash \; rangle\}$внутреннее произведение (или скалярное произведение ) на V.

В более высоких измерениях это обобщается следующим образом:

, где $\star \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; star\}$- оператор звезды Ходжа.

Любое векторное пространство X над также является векторным пространством над, наделенное сложной структурой ; то есть существует вещественное векторное подпространство Xℝтакое, что мы можем (формально) записать X = X ℝ ⊕ X ℝ i как ℝ-векторные пространства. Каждый-линейный функционал на X является ℝ-линейным оператором, но он не является ℝ-линейным функционалом на X, потому что его образ (а именно, ℂ) двумерен над ℝ. (И наоборот, диапазон ℝ-линейного функционала слишком мал, чтобы быть be-линейным функционалом.)

Однако каждый-линейный функционал однозначно определяет-линейный функционал на X ℝ по ограничению. Более удивительно то, что этот результат можно обратить: любой-линейный функционал g на X индуцирует канонический ℂ-линейный функционал L g ∈ X, такой что действительная часть L g равна g: define

Lg(x): = g (x) - ig (ix) для всех x ∈ X.

Эта связь была обнаружена в 1934 г. (хотя обычно ее приписывают Ф. Мюррею), и естественным образом обобщается на произвольные конечные расширения поля.

Ниже все векторные пространства находятся над действительными числами ℝ или комплексными числами ℂ.

Если V является топологическим векторным пространством , пространство непрерывных линейных функционалов - непрерывных двойственных - часто просто называют двойственным пространством.. Если V является банаховым пространством, то также и его (непрерывное) двойственное. Чтобы отличить обычное двойственное пространство от непрерывного двойственного пространства, первое иногда называют алгебраическим двойственным пространством. В конечных измерениях каждый линейный функционал непрерывен, поэтому непрерывный двойственный - это то же самое, что и алгебраический двойственный, но в бесконечных измерениях непрерывный двойственный является собственным подпространством алгебраического двойственного.

Характеристика замкнутых подпространств

Непрерывные линейные функционалы обладают хорошими свойствами для анализа : линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро ​​ замкнуто, а нетривиальный непрерывный линейный функционал - это открытая карта, даже если (топологическое) векторное пространство не является полным.

Гиперплоскости и максимальные подпространства

Определение : A векторное подпространство M векторного пространства X называется собственным, если M ≠ X, и называется максимальным в X, если оно собственное и единственное векторное подпространство X, содержащее M, - это X

Векторное подпространство M пространства X является максимальным в X тогда и только тогда, когда оно является ядром некоторого нетривиального линейного функционала на X (т.е. M = ker f для некоторого нетривиального линейного функционала f на X).

Определение : гиперплоскость в X - это сдвиг максимального векторного подпространства (т.е. это множество вида x + M: = {x + m: m ∈ M}, где M - максимальное векторное подпространство X, а x - любой элемент X.

Подмножество H плоскости X является гиперплоскостью в X тогда и только тогда, когда существует некоторый нетривиальный линейный функционал f на X и некоторый скаляр a такой, что H = {x ∈ X: f (x) = a}, или, что то же самое, тогда и только тогда если существует некоторый нетривиальный линейный функционал f на X такой, что H = {x ∈ X: f (x) = 1}.

Связь между несколькими линейными функционалами

Любые два линейных функционала с одинаковым ядром пропорциональны (т.е. скалярные кратные друг другу). Этот факт можно обобщить до следующей теоремы.

Теорема - Если f, g 1,..., g n являются линейными функционалами на X, то следующее эквивалентно:

1. f может быть записывается как линейная комбинация из g 1,..., g n (т.е. существуют скаляры s 1,..., s n такие, что f = s 1g1+ ⋅⋅⋅ + s ngn);
2. ∩. i = 1 Ker g i ⊆ Ker f;
3. существует действительное число r такое, что | f (x) | ≤ r | g i (x) | для всех x ∈ X и всех i.

Если f - нетривиальная линейная функционал на X с ядром N, x ∈ X удовлетворяет f (x) = 1 и U является сбалансированным подмножеством X, то N ∩ (x + U) = ∅ тогда и только тогда, когда | f ( u) | < 1 for all u ∈ U.

Теорема Хана-Банаха

Любой (алгебраический) линейный функционал на векторном подпространстве может быть расширен на все пространство; например, описанные оценочные функционалы приведенное выше может быть расширено до векторного пространства многочленов на всех. Однако это расширение не всегда может быть выполнено, сохраняя непрерывность линейного функционала. Семейство теорем Хана-Банаха дает co Идеи, под которыми можно сделать это расширение. Например,

теорема о доминированном расширении Хана – Банаха (Рудин 1991, Th. 3.2) - Если p: X → ℝ является сублинейной функцией, и f: M → ℝ - это линейный функционал на линейном подпространстве M ⊆ X, в котором p доминируется на M, то существует линейное расширение F: X → ℝ f на все пространство X, в котором доминирует p, т. е. существует линейный функционал F такой, что

F (m) = f (m) для всех m ∈ M,

| F (x) | ≤ p (x) для всех x ∈ X.

Равностепенная непрерывность семейств линейных функционалов

Пусть X - топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывным двойственным пространством Х '.

Для любого подмножества H в X 'следующее эквивалентно:

1. H равностепенно непрерывно ;
2. H содержится в полярном некоторой окрестности 0 в X ;
3. (пред) полярный H является окрестностью 0 в X;

Если H является равностепенно непрерывным подмножеством X ', то следующие множества также равностепенно непрерывны: weak- * замыкание, сбалансированный корпус, выпуклый корпус и выпуклый сбалансированный корпус. Более того, теорема Алаоглу подразумевает, что слабое * замыкание равностепенно непрерывного подмножества X 'является слабо * компактным (и, таким образом, каждое равностепенное подмножество слабо * относительно компактно). также