Линейная форма

редактировать

Линейная карта из векторного пространства в его поле скаляров

В линейной алгебре, линейная форма (также известная как линейный функционал, one-form или ковектор ) - это линейная карта из векторного пространства в его поле скаляров. Если векторы представлены как векторы-столбцы (как и соглашение Википедии ), то линейные функционалы представлены как векторы-строки, а их действие на векторы задается матричным произведением с вектором-строкой слева и вектором-столбцом справа. В общем, если V - это векторное пространство над полем k, то линейный функционал f - это функция от V до k, которая является линейной:

f (v → + вес →) знак равно е (v →) + е (вес →) {\ displaystyle f ({\ vec {v}} + {\ vec {w}}) = f ({\ vec {v}}) + f ( {\ vec {w}})}

f (\ vec {v} + \ vec {w}) = f (\ vec { v}) + f (\ vec {w})

для всех

v →, w → ∈ V {\ displaystyle {\ vec {v}}, {\ vec {w}} \ in V}

\ vec {v}, \ vec {w} \ in V

f (av →) = af (v →) {\ displaystyle f (a {\ vec {v}}) = af ({\ vec {v}})}

f (a \ vec {v}) = af (\ vec {v})

для всех

v → ∈ V, a ∈ k. {\ displaystyle {\ vec {v}} \ in V, a \ in k.}

\ vec {v} \ в V, a \ in k.

Набор всех линейных функционалов от V до k, обозначаемых Hom k (V, k), образует векторное пространство над k с операциями сложения и скалярного умножения, определенными поточечно. Это пространство называется двойным пространством V или иногда алгебраическим двойственным пространством, чтобы отличать его от непрерывного двойственного пространства. Часто пишут V, V ', V или V, когда понимают поле k.

Содержание

1 Примеры
- 1.1 Линейные функционалы в R
- 1.2 (Определенное) Интегрирование
- 1.3 Оценка
- 1.4 Не пример
2 Визуализация
3 Приложения
- 3.1 Приложение к квадратуре
- 3.2 В квантовой механике
- 3.3 Распределения
4 Двойные векторы и билинейные формы
5 Связь с базисами
- 5.1 Базис двойного пространства
- 5.2 Двойственный базис и внутренний product
6 Изменение поля
7 В бесконечных измерениях
- 7.1 Характеристика замкнутых подпространств
  - 7.1.1 Гиперплоскости и максимальные подпространства
  - 7.1.2 Взаимосвязи между множественными линейными функционалами
- 7.2 Хан-Банах теорема
- 7.3 Равностепенная непрерывность семейств линейных функционалов
8 См. также
9 Примечания
10 Ссылки
11 Библиография

Примеры

«Функция постоянного нуля», отображение каждый вектор к нулю тривиально является линейным функционалом. Любой другой линейный функционал (например, приведенный ниже) сюръективен (то есть его диапазон равен k).

Линейные функционалы в R

Предположим, что векторы в реальном координатном пространстве R представлены как векторы-столбцы

x → = [x 1 ⋮ x n]. {\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {bmatrix}}.}

\ vec {x} = \ begin {bmatrix} x_1 \\ \ vdots \\ x_n \ end {bmatrix}.

Для каждого вектора-строки [a 1 … a n ] существует линейный функционал f, определенный как

f (x →) = a 1 x 1 + ⋯ + тревога, {\ displaystyle f ({\ vec { x}}) = a_ {1} x_ {1} + \ cdots + a_ {n} x_ {n},}

{\ displaystyle f ({\ vec {x} }) = a_ {1} x_ {1} + \ cdots + a_ {n} x_ {n},}

и каждый линейный функционал может быть выражен в этой форме.

Это может быть интерпретировано либо как произведение матриц, либо как скалярное произведение вектора-строки [a 1... a n ] и вектора-столбца $Икс → {\ Displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ vec {x}}$ :

е (х →) = [a 1… an] [x 1 ⋮ xn]. {\ displaystyle f ({\ vec {x}}) = \ left [a_ {1} \ dots a_ {n} \ right] {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle f ({\ vec {x}}) = \ left [a_ {1} \ dots a_ {n} \ right] {\ begin { bmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {bmatrix}}.}

(Определенное) интегрирование

Линейные функционалы впервые появились в функциональном анализе, исследовании векторных пространств функций. Типичным примером линейного функционала является интегрирование : линейное преобразование, определяемое интегралом Римана

I (f) = ∫ abf (x) dx {\ displaystyle I (f) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}

I (f) = \ int_a ^ bf (x) \, dx

- линейный функционал из векторного пространства C [a, b] непрерывных функций на интервале [a, b] до действительных чисел. Линейность I следует из стандартных фактов об интеграле:

I (f + g) = ∫ ab [f (x) + g (x)] dx = ∫ abf (x) dx + ∫ abg (x) dx = I (f) + I (g) I (α f) = ab α f (x) dx = α ∫ abf (x) dx = α I (f). {\ displaystyle {\ begin {align} I (f + g) = \ int _ {a} ^ {b} [f (x) + g (x)] \, dx = \ int _ {a} ^ { b} f (x) \, dx + \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx = I (f) + I (g) \\ I (\ alpha f) = \ int _ { a} ^ {b} \ alpha f (x) \, dx = \ alpha \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = \ alpha I (f). \ end {выравнивается}}}

{\ displaystyle {\ begin {выровнено} I (f + g) = \ int _ {a} ^ {b} [f (x) + g (x)] \, dx = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx + \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx = I (f) + I (g) \\ I (\ alpha f) = \ int _ {a} ^ {b} \ alpha f (x) \, dx = \ alpha \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = \ alpha I (f). \ end {align}}}

Вычисление

Пусть P n обозначает векторное пространство действительных полиномиальных функций степени ≤n, определенных на интервале [a, b]. Если c ∈ [a, b], тогда пусть ev c : P n→ Rбудет функционалом оценки

ev c ​​⁡ f = f (c). {\ displaystyle \ operatorname {ev} _ {c} f = f (c).}

\ operatorname {ev} _c f = f (c).

Отображение f → f (c) линейно, поскольку

(f + g) (c) = f (c) + g (c) (α f) (c) = α f (c). {\ Displaystyle {\ begin {выровнен} (е + g) (с) = е (с) + г (с) \\ (\ альфа f) (с) = \ альфа е (с). \ конец { выровнено}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (f + g) (с) знак равно е (с) + г (с) \\ (\ альфа е) (с) = \ альфа е (с). \ конец {выровнено}}}

Если x 0,..., x n - это n + 1 отличная точка в [a, b], то оценочные функционалы ev xi, i = 0, 1,..., n образуют базис двойственного пространства к P n. (Лакс (1996) доказывает этот последний факт, используя интерполяцию Лагранжа.)

Не пример

Функция f, имеющая уравнение строки f (x) = a + rx с a 0 (например, f (x) = 1 + 2x) не является линейным функционалом на ℝ, поскольку он не является линейным. Однако это аффинно-линейная.

Визуализация

Геометрическая интерпретация 1-формы α как стека из гиперплоскостей постоянного значения, каждая из которых соответствует те векторы, которые α сопоставляются с данным скалярным значением, показанным рядом с ним, вместе с «смыслом» увеличения. Нулевая плоскость проходит через начало координат.

В конечных размерах линейный функционал может быть визуализирован в терминах его наборов уровней, наборов векторов, которые отображаются на заданное значение. В трех измерениях наборы уровней линейного функционала представляют собой семейство взаимно параллельных плоскостей; в более высоких измерениях это параллельные гиперплоскости. Этот метод визуализации линейных функционалов иногда вводится в текстах общей теории относительности, таких как Gravitation от Misner, Thorne Wheeler (1973).

Applications

Применение к квадратуре

Если x 0,..., x n являются n + 1 различными точками в [a, b], то линейные функционалы ev xi: f → f (x i), определенные выше, образуют базис двойственного пространства P n, пространства многочленов степени ≤ n. Функционал интегрирования I также является линейным функционалом на P n, и поэтому может быть выражен как линейная комбинация этих базовых элементов. В символах есть коэффициенты a 0,..., a n, для которых

I (f) = a 0 f (x 0) + a 1 f (x 1) + ⋯ + anf (xn) {\ displaystyle I (f) = a_ {0} f (x_ {0}) + a_ {1} f (x_ {1}) + \ dots + a_ {n} f ( x_ {n})}

I (f) = a_0 f (x_0) + a_1 f (x_1) + \ dots + a_n f (x_n)

для всех f ∈ P n. Это составляет основу теории числовой квадратуры.

в квантовой механике

Линейные функционалы особенно важны в квантовой механике. Квантово-механические системы представлены гильбертовыми пространствами, которые анти - изоморфны своим собственным двойственным пространствам. Состояние квантово-механической системы можно отождествить с линейным функционалом. Для получения дополнительной информации см. краткое обозначение.

Распределения

В теории обобщенных функций могут быть реализованы некоторые виды обобщенных функций, называемые распределениями. как линейные функционалы на пространствах тестовых функций.

Двойственные векторы и билинейные формы

Линейные функционалы (1-формы) α, βи их сумма σ и векторы u, v, w, в 3d Евклидово пространство. Количество (1-форма) гиперплоскостей, пересекаемых вектором, равно внутреннему произведению.

. Любая невырожденная билинейная форма на конечномерном векторном пространстве V индуцирует изоморфизм V → V: v ↦ v такой, что

v ∗ (w): = ⟨v, w⟩ ∀ w ∈ V, {\ displaystyle v ^ {*} (w): = \ langle v, w \ rangle \ quad \ forall w \ in V,}

{\ displaystyle v ^ {*} (w): = \ langle v, w \ rangle \ quad \ forall w \ in V,}

где билинейная форма на V обозначается ⟨,⟩ (например, в евклидовом пространстве v, w⟩ = v ⋅ w - это скалярное произведение значений v и w).

Обратный изоморфизм - это V → V: v ↦ v, где v - единственный элемент V такой, что

⟨v, w⟩ = v ∗ (w) ∀ w ∈ V. {\ displaystyle \ langle v, w \ rangle = v ^ {*} (w) \ quad \ forall w \ in V.}

{\ displaystyle \ langle v, w \ rangle = v ^ {*} (w) \ quad \ forall w \ in V.}

Определенный выше вектор v ∈ V называется двойственным вектором of v ∈ V.

В бесконечномерном гильбертовом пространстве аналогичные результаты справедливы по теореме о представлении Рисса. Имеется отображение V → V в непрерывное двойственное пространство V.

Связь с базами

Базис двойственного пространства

Пусть векторное пространство V имеет базис $e → 1, e → 2,…, e → n {\ displaystyle {\ vec {e}} _ {1}, {\ vec {e}} _ {2}, \ dots, {\ vec {e} } _ {n}}$ $\ vec {e} _1, \ vec {e} _2, \ dots, \ vec {e} _n$ , не обязательно ортогонально. Тогда двойственное пространство V * имеет базис $ω ~ 1, ω ~ 2,…, ω ~ n {\ displaystyle {\ tilde {\ omega}} ^ {1}, {\ tilde {\ omega}} ^ {2}, \ dots, {\ tilde {\ omega}} ^ {n}}$ $\ tilde {\ omega } ^ 1, \ tilde {\ omega} ^ 2, \ dots, \ tilde {\ omega} ^ n$ называется дуальным базисом, определяемым специальным свойством,

ω ~ i (e → j) = {1 ifi = j 0 ifi ≠ j. {\ displaystyle {\ tilde {\ omega}} ^ {i} ({\ vec {e}} _ {j}) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 \ mathrm {if} \ i = j \ \ 0 \ mathrm {if} \ i \ not = j. \ End {matrix}} \ right.}

\ tilde {\ omega} ^ i (\ vec e_j) = \ left \ {\ begin {matrix} 1 \ mathrm {if} \ i = j \\ 0 \ mathrm {if} \ i \ not = j. \ end {matrix} \ right.

Или, более кратко,

ω ~ i (e → j) = δ ij {\ displaystyle { \ tilde {\ omega}} ^ {i} ({\ vec {e}} _ {j}) = \ delta _ {ij}}

{\ displaystyle {\ tilde {\ omega}} ^ {i} ({\ vec { e}} _ {j}) = \ delta _ {ij}}

, где δ - дельта Кронекера. Здесь верхние индексы базисных функционалов не являются показателями, а являются контравариантными индексами.

Линейный функционал $u ~ {\ displaystyle {\ tilde {u}}}$ ${\ tilde {u}}$ , принадлежащий двойному пространству $V ~ {\ displaystyle {\ tilde {V} }}$ $\ tilde {V}$ может быть выражено как линейная комбинация базисных функционалов с коэффициентами («компонентами») u i,

u ~ = ∑ i = 1 nui ω ~ i. {\ displaystyle {\ tilde {u}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} \, {\ tilde {\ omega}} ^ {i}.}

\ tilde {u} = \ sum_ {i = 1} ^ n u_i \, \ tilde {\ omega} ^ я.

Затем, применяя функциональный $u ~ {\ displaystyle {\ tilde {u}}}$ ${\ tilde {u}}$ к базисному вектору e j дает

u ~ (e → j) = ∑ i = 1 N (пользовательский интерфейс ω ~ я) е → J знак равно ∑ iui [ω ~ я (е → J)] {\ Displaystyle {\ тильда {u}} ({\ vec {e}} _ {j}) = \ сумма _ {i = 1} ^ {n} \ left (u_ {i} \, {\ tilde {\ omega}} ^ {i} \ right) {\ vec {e}} _ {j} = \ sum _ { i} u_ {i} \ left [{\ tilde {\ omega}} ^ {i} \ left ({\ vec {e}} _ {j} \ right) \ right]}

{\ displaystyle {\ tilde {u}} ({\ vec {e}} _ {j}) = \ sum _ { i = 1} ^ {n} \ left (u_ {i} \, {\ tilde {\ omega}} ^ {i} \ right) {\ vec {e}} _ {j} = \ sum _ {i} u_ {i} \ left [{\ тильда {\ omega}} ^ {i} \ left ({\ vec {e}} _ {j} \ right) \ right]}

из-за линейности скаляра кратные функционалов и поточечная линейность сумм функционалов. Тогда

u ~ (e → j) = ∑ i u i [ω ~ i (e → j)] = ∑ i u i δ i j = u j. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ tilde {u}} ({\ vec {e}} _ {j}) = \ sum _ {i} u_ {i} \ left [{\ tilde {\ omega }} ^ {i} \ left ({\ vec {e}} _ {j} \ right) \ right] = \ sum _ {i} u_ {i} {\ delta ^ {i}} _ {j} \ \ = u_ {j}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ tilde {u}} ({\ vec {e}} _ {j}) = \ sum _ {i} u_ {i} \ left [ {\ tilde {\ omega}} ^ {i} \ left ({\ vec {e}} _ {j} \ right) \ right] = \ sum _ {i} u_ {i} {\ delta ^ {i} } _ {j} \\ = u_ {j}. \ end {align}}}

Таким образом, каждый компонент линейного функционала может быть извлечен путем применения функционала к соответствующему базисному вектору.

Двойной базис и внутренний продукт

Когда пространство V содержит внутреннее произведение, тогда можно явно написать формулу для двойственного базиса данного базиса. Пусть V имеет (не обязательно ортогональный) базис $e → 1,…, e → n {\ displaystyle {\ vec {e}} _ {1}, \ dots, {\ vec {e}} _ {n} }$ $\ vec {e} _1, \ dots, \ vec { e} _n$ . В трех измерениях (n = 3) двойственный базис может быть записан явно

ω ~ i (v →) = 1 2 ⟨∑ j = 1 3 ∑ k = 1 3 ε ijk (e → j × e → k) е → 1 ⋅ е → 2 × е → 3, v →⟩, {\ Displaystyle {\ тильда {\ omega}} ^ {я} ({\ vec {v}}) = {1 \ более 2} \, \ left \ langle {\ sum _ {j = 1} ^ {3} \ sum _ {k = 1} ^ {3} \ varepsilon ^ {ijk} \, ({\ vec {e}} _ {j} \ раз {\ vec {e}} _ {k}) \ over {\ vec {e}} _ {1} \ cdot {\ vec {e}} _ {2} \ times {\ vec {e}} _ { 3}}, {\ vec {v}} \ right \ rangle,}

{\ displaystyle {\ tilde {\ omega}} ^ {i} ({\ vec {v}}) = {1 \ over 2} \, \ left \ langle {\ sum _ {j = 1} ^ {3} \ sum _ {k = 1} ^ {3} \ varepsilon ^ {ijk} \, ({\ vec {e}} _ {j} \ times {\ vec {e}} _ {k}) \ over {\ vec {e}} _ {1} \ cdot {\ vec {e}} _ {2} \ times {\ vec {e}} _ {3}}, {\ vec {v}} \ right \ rangle,}

для i = 1, 2, 3, где ε - символ Леви-Чивиты и $⟨,⟩ {\ displaystyle \ langle, \ rangle}$ $\ langle, \ rangle$ внутреннее произведение (или скалярное произведение ) на V.

В более высоких измерениях это обобщается следующим образом:

ω ~ i (v →) = ⟨∑ 1 ≤ i 2 < i 3 < ⋯ < i n ≤ n ε i i 2 … i n ( ⋆ e → i 2 ∧ ⋯ ∧ e → i n) ⋆ ( e → 1 ∧ ⋯ ∧ e → n), v → ⟩, {\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {v}})=\left\langle {\frac {{\underset {{}^{1\leq i_{2}

{\ Displaystyle {\ тильда {\ omega}} ^ {я} ({\ vec {v}}) = \ left \ langle {\ frac {{\ underset {{} ^ {1 \ leq i_ {2} <i_ {3} <\ dots <i_ {n} \ leq n}} {\ sum}} \ varepsilon ^ {ii_ {2} \ dots i_ {n}} (\ star {\ vec {e}} _ {i_ {2}} \ wedge \ dots \ wedge {\ vec {e}} _ {i_ {n}})} {\ star ({\ vec {e}} _ {1} \ wedge \ точки \ клин {\ vec {e}} _ {n})}}, {\ vec {v}} \ right \ rangle,}

, где $⋆ {\ displaystyle \ star}$ $\ star$ - оператор звезды Ходжа.

Изменение поля

Любое векторное пространство X над также является векторным пространством над, наделенное сложной структурой ; то есть существует вещественное векторное подпространство Xℝтакое, что мы можем (формально) записать X = X ℝ ⊕ X ℝ i как ℝ-векторные пространства. Каждый-линейный функционал на X является ℝ-линейным оператором, но он не является ℝ-линейным функционалом на X, потому что его образ (а именно, ℂ) двумерен над ℝ. (И наоборот, диапазон ℝ-линейного функционала слишком мал, чтобы быть be-линейным функционалом.)

Однако каждый-линейный функционал однозначно определяет-линейный функционал на X ℝ по ограничению. Более удивительно то, что этот результат можно обратить: любой-линейный функционал g на X индуцирует канонический ℂ-линейный функционал L g ∈ X, такой что действительная часть L g равна g: define

Lg(x): = g (x) - ig (ix) для всех x ∈ X.

Эта связь была обнаружена в 1934 г. (хотя обычно ее приписывают Ф. Мюррею), и естественным образом обобщается на произвольные конечные расширения поля.

В бесконечных измерениях

Ниже все векторные пространства находятся над действительными числами ℝ или комплексными числами ℂ.

Если V является топологическим векторным пространством , пространство непрерывных линейных функционалов - непрерывных двойственных - часто просто называют двойственным пространством.. Если V является банаховым пространством, то также и его (непрерывное) двойственное. Чтобы отличить обычное двойственное пространство от непрерывного двойственного пространства, первое иногда называют алгебраическим двойственным пространством. В конечных измерениях каждый линейный функционал непрерывен, поэтому непрерывный двойственный - это то же самое, что и алгебраический двойственный, но в бесконечных измерениях непрерывный двойственный является собственным подпространством алгебраического двойственного.

Характеристика замкнутых подпространств

Непрерывные линейные функционалы обладают хорошими свойствами для анализа : линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро замкнуто, а нетривиальный непрерывный линейный функционал - это открытая карта, даже если (топологическое) векторное пространство не является полным.

Гиперплоскости и максимальные подпространства

Определение : A векторное подпространство M векторного пространства X называется собственным, если M ≠ X, и называется максимальным в X, если оно собственное и единственное векторное подпространство X, содержащее M, - это X

Векторное подпространство M пространства X является максимальным в X тогда и только тогда, когда оно является ядром некоторого нетривиального линейного функционала на X (т.е. M = ker f для некоторого нетривиального линейного функционала f на X).

Определение : гиперплоскость в X - это сдвиг максимального векторного подпространства (т.е. это множество вида x + M: = {x + m: m ∈ M}, где M - максимальное векторное подпространство X, а x - любой элемент X.

Подмножество H плоскости X является гиперплоскостью в X тогда и только тогда, когда существует некоторый нетривиальный линейный функционал f на X и некоторый скаляр a такой, что H = {x ∈ X: f (x) = a}, или, что то же самое, тогда и только тогда если существует некоторый нетривиальный линейный функционал f на X такой, что H = {x ∈ X: f (x) = 1}.

Связь между несколькими линейными функционалами

Любые два линейных функционала с одинаковым ядром пропорциональны (т.е. скалярные кратные друг другу). Этот факт можно обобщить до следующей теоремы.

Теорема - Если f, g 1,..., g n являются линейными функционалами на X, то следующее эквивалентно:

f может быть записывается как линейная комбинация из g 1,..., g n (т.е. существуют скаляры s 1,..., s n такие, что f = s 1g1+ ⋅⋅⋅ + s ngn);
∩. i = 1 Ker g i ⊆ Ker f;
существует действительное число r такое, что | f (x) | ≤ r | g i (x) | для всех x ∈ X и всех i.

Если f - нетривиальная линейная функционал на X с ядром N, x ∈ X удовлетворяет f (x) = 1 и U является сбалансированным подмножеством X, то N ∩ (x + U) = ∅ тогда и только тогда, когда | f ( u) | < 1 for all u ∈ U.

Теорема Хана-Банаха

Любой (алгебраический) линейный функционал на векторном подпространстве может быть расширен на все пространство; например, описанные оценочные функционалы приведенное выше может быть расширено до векторного пространства многочленов на всех. Однако это расширение не всегда может быть выполнено, сохраняя непрерывность линейного функционала. Семейство теорем Хана-Банаха дает co Идеи, под которыми можно сделать это расширение. Например,

теорема о доминированном расширении Хана – Банаха (Рудин 1991, Th. 3.2) - Если p: X → ℝ является сублинейной функцией, и f: M → ℝ - это линейный функционал на линейном подпространстве M ⊆ X, в котором p доминируется на M, то существует линейное расширение F: X → ℝ f на все пространство X, в котором доминирует p, т. е. существует линейный функционал F такой, что
F (m) = f (m) для всех m ∈ M,
| F (x) | ≤ p (x) для всех x ∈ X.
Равностепенная непрерывность семейств линейных функционалов
Пусть X - топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывным двойственным пространством Х '.

Для любого подмножества H в X 'следующее эквивалентно:
H равностепенно непрерывно ;
H содержится в полярном некоторой окрестности 0 в X ;
(пред) полярный H является окрестностью 0 в X;
Если H является равностепенно непрерывным подмножеством X ', то следующие множества также равностепенно непрерывны: weak- * замыкание, сбалансированный корпус, выпуклый корпус и выпуклый сбалансированный корпус. Более того, теорема Алаоглу подразумевает, что слабое * замыкание равностепенно непрерывного подмножества X 'является слабо * компактным (и, таким образом, каждое равностепенное подмножество слабо * относительно компактно). также
Разрывная линейная карта
Локально выпуклое топологическое векторное пространство - Векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами
Положительный линейный функционал
Полилинейная форма - Отображение нескольких векторов в базовое поле скаляров, линейное по каждому аргументу
Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости
Примечания
Ссылки
Библиография
Епископ, Ричард ; Голдберг, Сэмюэл (1980), «Глава 4», Тензорный анализ на многообразиях, Dover Publications, ISBN 0-486-64039-6
Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа. Тексты для выпускников по математике. 96 (2-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-97245-5.
Данфорд, Нельсон (1988). Линейные операторы (на румынском языке). Нью-Йорк: Interscience Publishers. ISBN 0-471-60848-3. OCLC 18412261.
Халмос, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства, Springer, ISBN 0-387-90093-4
Лакс, Питер (1996), Линейная алгебра, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-11111-5
Миснер, Чарльз У. ; Торн, Кип. С. ; Уиллер, Джон А. (1973), Гравитация, У. Х. Фримен, ISBN 0-7167-0344-0
; (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Шефер, Гельмут Х. ; (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Schutz, Bernard (1985), «Глава 3», первый курс общей теории относительности, Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 0-521-27703-5
Trèves, François (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.