Функциональный анализ

редактировать
Для анализа функциональных уравнений см. Функциональное уравнение. Для оценки и лечения человеческого поведения см. Функциональный анализ (психология). Для функционального анализа лингвистических элементов см. Функциональный анализ (лингвистика). Один из возможных режимов вибрации идеализированной круглой головки барабана. Эти режимы являются собственными функциями линейного оператора в функциональном пространстве, общей конструкции в функциональном анализе.

Функциональный анализ - это отрасль математического анализа, ядро ​​которой составляет изучение векторных пространств, наделенных некоторой структурой, связанной с ограничениями (например, внутренний продукт, норма, топология и т. Д.), И линейных функций, определенных в этих пространствах. и уважая эти структуры в подходящем смысле. Исторические корни функционального анализа лежат в изучении пространств функций и формулировании свойств преобразований функций, таких как преобразование Фурье, как преобразований, определяющих непрерывные, унитарные и т. Д. Операторы между функциональными пространствами. Эта точка зрения оказалась особенно полезной при изучении дифференциальных и интегральных уравнений.

Использование слова « функционал» в качестве существительного восходит к вариационному исчислению, подразумевая функцию, аргументом которой является функция. Этот термин впервые был использован в книге Адамара 1910 года по этому вопросу. Однако общее понятие функционала было ранее введено в 1887 году итальянским математиком и физиком Вито Вольтерра. Теорию нелинейных функционалов продолжили ученики Адамара, в частности Фреше и Леви. Адамара также основал современную школу линейного функционального анализа далее разработанный Рисса и группой из польских математиков вокруг Стефана Банаха.

В современных вводных текстах по функциональному анализу предмет рассматривается как исследование векторных пространств, наделенных топологией, в частности бесконечномерных пространств. Напротив, линейная алгебра имеет дело в основном с конечномерными пространствами и не использует топологию. Важной частью функционального анализа является распространение теории меры, интегрирования и вероятности на бесконечномерные пространства, также известное как бесконечномерный анализ.

СОДЕРЖАНИЕ
  • 1 Нормированные векторные пространства
    • 1.1 Гильбертовы пространства
    • 1.2 Банаховы пространства
  • 2 Линейный функциональный анализ
  • 3 Основные и основополагающие результаты
    • 3.1 Принцип равномерной ограниченности
    • 3.2 Спектральная теорема
    • 3.3 Теорема Хана – Банаха
    • 3.4 Теорема об открытом отображении
    • 3.5 Теорема о замкнутом графике
    • 3.6 Другие темы
  • 4 Основы математики соображения
  • 5 точек зрения
  • 6 См. Также
  • 7 ссылки
  • 8 Дальнейшее чтение
  • 9 Внешние ссылки
Нормированные векторные пространства

Основным и исторически первым классом пространств, изучаемых в функциональном анализе, являются полные нормированные векторные пространства над действительными или комплексными числами. Такие пространства называются банаховыми. Важным примером является гильбертово пространство, где норма возникает из внутреннего продукта. Эти пространства имеют фундаментальное значение во многих областях, включая математическую формулировку квантовой механики, машинное обучение, уравнения в частных производных и анализ Фурье.

В более общем плане функциональный анализ включает изучение пространств Фреше и других топологических векторных пространств, не наделенных нормой.

Важным объектом изучения функционального анализа являются линейные непрерывные операторы, определенные в банаховом и гильбертовом пространствах. Это естественным образом приводит к определению C * -алгебр и других операторных алгебр.

Гильбертовы пространства

Гильбертовые может быть полностью классифицировано: существует единственное гильбертово пространство до изоморфизма для каждой мощности на ортонормированном. Конечномерные гильбертовые пространства полностью понимаются в линейной алгебре, а бесконечномерные сепарабельные гильбертовые пространства изоморфны. Разделимость важна для приложений, поэтому функциональный анализ гильбертовых пространств в основном имеет дело с этим пространством. Одна из открытых проблем функционального анализа - доказать, что каждый ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве имеет собственное инвариантное подпространство. Многие частные случаи этой проблемы инвариантного подпространства уже доказаны. 2 ( 0 ) {\ Displaystyle \ ell ^ {\, 2} (\ алеф _ {0}) \,}

Банаховы пространства

Общие банаховы пространства сложнее гильбертовых пространств, и их нельзя классифицировать так просто, как те. В частности, во многих банаховых пространствах отсутствует понятие, аналогичное ортонормированному базису.

Примерами банаховых пространств являются -пространства для любого действительного числа. Принимая во внимание также является мерой по совокупности, то, иногда также обозначается или, имеет в качестве векторов классов эквивалентности из измеримых функций которых абсолютное значение «S -й мощности имеет конечный интеграл; то есть функции, для которых L п {\ Displaystyle L ^ {p}} п 1 {\ displaystyle p \ geq 1} μ {\ displaystyle \ mu} Икс {\ displaystyle X} L п ( Икс ) {\ Displaystyle L ^ {p} (X)} L п ( Икс , μ ) {\ Displaystyle L ^ {p} (X, \ mu)} L п ( μ ) {\ Displaystyle L ^ {р} (\ му)} [ ж ] {\ Displaystyle [\, е \,]} п {\ displaystyle p} ж {\ displaystyle f}

Икс | ж ( Икс ) | п d μ ( Икс ) lt; + . {\ displaystyle \ int _ {X} \ left | f (x) \ right | ^ {p} \, d \ mu (x) lt;+ \ infty.}

Если - счетная мера, то интеграл можно заменить суммой. То есть нам требуется μ {\ displaystyle \ mu}

Икс Икс | ж ( Икс ) | п lt; + . {\ displaystyle \ sum _ {x \ in X} \ left | f (x) \ right | ^ {p} lt;+ \ infty.}

Тогда нет необходимости иметь дело с классами эквивалентности, и пространство обозначается, проще записывается в случае, когда - множество неотрицательных целых чисел. п ( Икс ) {\ Displaystyle \ ell ^ {p} (X)} п {\ displaystyle \ ell ^ {p}} Икс {\ displaystyle X}

В банаховых пространствах большая часть исследования включает двойственное пространство : пространство всех непрерывных линейных отображений из пространства в лежащее в его основе поле, так называемые функционалы. Банахово пространство можно канонически отождествить с подпространством его двузначного числа, которое является двойственным к его двойственному пространству. Соответствующее отображение является изометрией, но, как правило, не на. Общее банахово пространство и его бидуальное пространство не обязательно должны быть каким-либо образом изометрически изоморфны, в отличие от конечномерной ситуации. Это объясняется в статье о двух пробелах.

Кроме того, понятие производной может быть распространено на произвольные функции между банаховыми пространствами. См., Например, статью о производных Фреше.

Линейный функциональный анализ
Основные и основополагающие результаты

Есть четыре основные теоремы, которые иногда называют четырьмя столпами функционального анализа. Это теорема Хана-Банаха, теорема об открытом отображении, теорема о замкнутом графе и принцип равномерной ограниченности, также известный как теорема Банаха-Штейнгауза. Важные результаты функционального анализа включают:

Принцип равномерной ограниченности

Основная статья: теорема Банаха-Штейнгауза

Принцип равномерной ограниченности или теорема Банаха – Штейнхауза - один из фундаментальных результатов функционального анализа. Вместе с теоремой Хана – Банаха и теоремой об открытом отображении она считается одним из краеугольных камней этой области. В своей основной форме он утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов (и, следовательно, ограниченных операторов), область определения которых является банаховым пространством, точечная ограниченность эквивалентна равномерной ограниченности по операторной норме.

Теорема была впервые опубликована в 1927 году Стефаном Банахом и Хьюго Штайнхаусом, но также была независимо доказана Гансом Ханом.

Теорема (принцип равномерной ограниченности). Пусть X - банахово пространство, а Y - нормированное векторное пространство. Предположим, что F представляет собой совокупность непрерывных линейных операторов из X в Y. Если для всех x в X имеется

Как дела Т F Т ( Икс ) Y lt; , {\ Displaystyle \ sup \ nolimits _ {T \ in F} \ | T (x) \ | _ {Y} lt;\ infty,}

потом

Как дела Т F Т B ( Икс , Y ) lt; . {\ Displaystyle \ sup \ nolimits _ {T \ in F} \ | T \ | _ {B (X, Y)} lt;\ infty.}

Спектральная теорема

Основная статья: Спектральная теорема

Есть много теорем, известных как спектральная теорема, но одна, в частности, имеет множество приложений в функциональном анализе.

Теорема: Пусть ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H. Тогда существуют пространство с мерой ( X, Σ, μ) и вещественнозначная существенно ограниченная измеримая функция f на X и унитарный оператор U: H → L 2μ ( X) такие, что

U * Т U знак равно А {\ Displaystyle U ^ {*} TU = A \;}

где T - оператор умножения :

[ Т φ ] ( Икс ) знак равно ж ( Икс ) φ ( Икс ) . {\ Displaystyle [Т \ varphi] (х) = е (х) \ varphi (х). \;}

и Т знак равно ж {\ Displaystyle \ | Т \ | = \ | е \ | _ {\ infty}}

Это начало обширной области исследований функционального анализа, называемой теорией операторов ; см. также спектральную меру.

Аналогичная спектральная теорема существует и для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственная разница в выводе состоит в том, что now может быть комплексным. ж {\ displaystyle f}

Теорема Хана – Банаха.

Основная статья: теорема Хана – Банаха

Теорема Хана – Банаха - центральный инструмент функционального анализа. Он позволяет расширить ограниченные линейные функционалы, определенные на подпространстве некоторого векторного пространства, на все пространство, а также показывает, что существует «достаточно» непрерывных линейных функционалов, определенных на каждом нормированном векторном пространстве, чтобы сделать изучение двойственного пространства интересным. ".

Теорема Хана-Банаха: Если р  : V → R является функцией сублинеен и φ  : U → R представляет собой линейный функционал на линейном подпространстве U ⊆ V, который преобладает по р на U ; это,

φ ( Икс ) п ( Икс ) Икс U {\ displaystyle \ varphi (x) \ leq p (x) \ qquad \ forall x \ in U}

то существует линейное расширение ф  : V → R из ф на все пространство V ; т. е. существует такой линейный функционал ψ, что

ψ ( Икс ) знак равно φ ( Икс ) Икс U , {\ Displaystyle \ psi (x) = \ varphi (x) \ qquad \ forall x \ in U,}
ψ ( Икс ) п ( Икс ) Икс V . {\ Displaystyle \ psi (x) \ Leq p (x) \ qquad \ forall x \ in V.}

Теорема об открытом отображении

Основная статья: Теорема об открытом отображении (функциональный анализ)

Теорема открытое отображение, также известный как теорема Банаха-Шаудера (имени Стефана Банаха и Юлиуш Шаудером ), является фундаментальным результатом, который гласит, что если непрерывный линейный оператор между банаховых пространств является сюръективны то это открытое отображение. Точнее,:

Теорема об открытом отображении. Если X и Y - банаховы пространства и A  : X → Y - сюръективный непрерывный линейный оператор, то A - открытое отображение (то есть, если U - открытое множество в X, то A ( U) открыто в Y).

Доказательство использует теорему Бэра о категории, и полнота как X, так и Y важна для теоремы. Утверждение теоремы больше не верно, если любое пространство просто предполагается, что является нормированным пространством, но верно, если X и Y взяты как пространства Фреше.

Теорема о замкнутом графике

Основная статья: Теорема о замкнутом графе

Замкнутый график теорема утверждает следующее: Если X является топологическим пространством, а Y представляет собой компактное хаусдорфово пространство, то график линейного отображения Т из X к Y замкнуто тогда и только тогда, когда Т является непрерывным.

Другие темы

Основная статья: Список тем функционального анализа
Основы математики соображения

Большинство пространств, рассматриваемых в функциональном анализе, имеют бесконечную размерность. Чтобы показать существование базиса векторного пространства для таких пространств, может потребоваться лемма Цорна. Однако в функциональном анализе обычно более уместна несколько иная концепция, базис Шаудера. Многие очень важные теоремы требуют теоремы Хана – Банаха, обычно доказываемой с использованием аксиомы выбора, хотя достаточно строго более слабой теоремы о булевом простом идеале. Теорема Бэра о категории, необходимая для доказательства многих важных теорем, также требует формы выбора аксиомы.

Точки зрения

Функциональный анализ в его современном виде включает следующие тенденции:

Смотрите также
использованная литература
дальнейшее чтение
  • Алипрантис, CD, Граница, KC: Анализ бесконечных измерений: Автостопом, 3-е изд., Springer 2007, ISBN   978-3-540-32696-0. Online doi : 10.1007 / 3-540-29587-9 (по подписке)
  • Бахман, Г., Наричи, Л.: Функциональный анализ, Academic Press, 1966. (перепечатка Dover Publications)
  • Банах С. Теория линейных операций. Том 38, Математическая библиотека Северной Голландии, 1987, ISBN   0-444-70184-2
  • Брезис, Х.: Анализируйте Fonctionnelle, Dunod ISBN   978-2-10-004314-9 или ISBN   978-2-10-049336-4
  • Конвей, Дж. Б.: Курс функционального анализа, 2-е издание, Springer-Verlag, 1994, ISBN   0-387-97245-5
  • Данфорд, Н. и Шварц, JT : линейные операторы, общая теория, John Wiley amp; Sons и другие 3 тома, включая диаграммы визуализации
  • Эдвардс, RE: Функциональный анализ, теория и приложения, Холд, Райнхарт и Уинстон, 1965.
  • Эйдельман, Юлий, Виталий Мильман и Антонис Цоломитис: Функциональный анализ: Введение, Американское математическое общество, 2004.
  • Фридман, А.: Основы современного анализа, Dover Publications, издание в мягкой обложке, 21 июля 2010 г.
  • Джайлз, младший: Введение в анализ нормированных линейных пространств, Cambridge University Press, 2000
  • Хирш Ф., Лакомб Г. - «Элементы функционального анализа», Springer, 1999.
  • Хатсон, В., Пим, Дж. С., Облако М.Дж.: Приложения функционального анализа и теории операторов, 2-е издание, Elsevier Science, 2005, ISBN   0-444-51790-1
  • Канторовиц, С., Введение в современный анализ, Oxford University Press, 2003, 2-е изд., 2006.
  • А. Н. Колмогоров, А. Н. и Фомин, С. В. : Элементы теории функций и функционального анализа, Dover Publications, 1999
  • Крейсциг, Э.: Введение в функциональный анализ с приложениями, Wiley, 1989.
  • Лакс, П.: Функциональный анализ, Wiley-Interscience, 2002, ISBN   0-471-55604-1
  • Лебедев Л.П., Ворович II: Функциональный анализ в механике, Springer-Verlag, 2002.
  • Мишель, Энтони Н. и Чарльз Дж. Херже: прикладная алгебра и функциональный анализ, Довер, 1993.
  • Питч, Альбрехт: История банаховых пространств и линейных операторов, Birkhäuser Boston Inc., 2007, ISBN   978-0-8176-4367-6
  • Рид, М., Саймон, Б.: "Функциональный анализ", Academic Press, 1980.
  • Рис, Ф. и С.-Надь, Б.: Функциональный анализ, Dover Publications, 1990.
  • Рудин, В.: Функциональный анализ, McGraw-Hill Science, 1991.
  • Сакс, Карен: Начало функционального анализа, Springer, 2001
  • Шехтер, М.: Принципы функционального анализа, AMS, 2-е издание, 2001 г.
  • Шилов, Георгий Э.: Элементарный функциональный анализ, Довер, 1996.
  • Соболев, С.Л.: Приложения функционального анализа в математической физике, АМН, 1963 г.
  • Фогт, Д., Мейсе, Р.: Введение в функциональный анализ, Oxford University Press, 1997.
  • Йосида, К.: Функциональный анализ, Springer-Verlag, 6-е издание, 1980 г.
внешние ссылки
Последняя правка сделана 2023-03-21 10:39:24
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте