Ортонормированный базис

редактировать

В математике, особенно в линейной алгебре, ортонормированный базис для внутреннего пространства продукта V с конечной размерностью является базисом для V, векторы которого ортонормированы, то есть все они единичные векторы и , ортогональные друг другу. Например, стандартный базис для евклидова пространства Rявляется ортонормированным базисом, где соответствующий внутренний продукт - это скалярное произведение векторов. изображение стандартного базиса при повороте или отражении (или любом ортогональном преобразовании ) также является ортонормированным, и каждый ортонормированный базис для R возникает таким образом.

Для общего пространства внутреннего продукта V можно использовать ортонормированный базис для определения нормализованных ортогональных координат на V. При этих координатах внутренний продукт становится скалярным произведением векторов. Таким образом, наличие ортонормированного базиса сводит изучение конечномерного пространства внутреннего произведения к изучению R под скалярным произведением. Каждое конечномерное внутреннее пространство продукта имеет ортонормированный базис, который может быть получен из произвольного базиса с помощью процесса Грама – Шмидта.

В функциональном анализе концепция ортонормированного базиса может быть обобщены на произвольные (бесконечномерные) внутренние пространства продукта. Учитывая предгильбертово пространство H, ортонормированный базис для H - это ортонормированный набор векторов, обладающий тем свойством, что каждый вектор в H может быть записан как бесконечная линейная комбинация векторов в базисе. В этом случае ортонормированный базис иногда называют базисом Гильберта для H. Обратите внимание, что ортонормированный базис в этом смысле обычно не является базисом Гамеля, поскольку требуются бесконечные линейные комбинации. В частности, линейный охват базиса должен быть плотным в H, но он может не быть всем пространством.

Если мы перейдем к гильбертовым пространствам, неортонормированный набор векторов, имеющих ту же линейную длину, что и ортонормированный базис, может вообще не быть базисом. Например, любая интегрируемая с квадратом функция на интервале [−1, 1] может быть выражена (почти всюду ) как бесконечная сумма многочленов Лежандра ( ортонормированный базис), но не обязательно в виде бесконечной суммы мономов x.

Содержание

1 Примеры
2 Базовая формула
3 Неполные ортогональные множества
4 Существование
5 Как однородное пространство
6 См. Также
7 Ссылки

Примеры

Набор векторов {e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1)} (стандартный базис) образует ортонормированный базис R.

Доказательство: Прямое вычисление показывает, что скалярные произведения этих векторов равны нулю, ⟨e 1, e 2 ⟩ = ⟨e 1, e 3 ⟩ = ⟨e 2, e 3 ⟩ = 0 и каждая их величина равна единице, || e 1 || = || e 2 || = || e 3 || = 1. Это означает, что {e 1, e 2, e 3 } является ортонормированным множеством. Все векторы (x, y, z) в R могут быть выражены как сумма базисных векторов, масштабированных

(x, y, z) = xe 1 + ye 2 + ze 3, {\ displaystyle (x, y, z) = xe_ {1} + ye_ {2} + ze_ {3}, \,}

(x, y, z) = xe_ {1} + ye_ {2} + ze_ {3}, \,

, поэтому {e 1, e 2, e 3 } охватывает R и, следовательно, должен быть основой. Также может быть показано, что стандартный базис, повернутый вокруг оси через начало координат или отраженный в плоскости через начало координат, образует ортонормированный базис R.

. Обратите внимание, что ортогональное преобразование стандартного внутреннего пространства продукта $(R n, ⟨⋅, ⋅⟩) {\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {n}, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {n}, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$ может использоваться для построения других ортогональные основания $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .
Множество {f n : n ∈ Z } с f n (x) = exp (2πinx) образует ортонормированный базис пространства функций с конечными интегралами Лебега, L ([0,1]), относительно 2 -norm. Это фундаментально для изучения ряда Фурье.
Множество {e b : b ∈ B} с e b (c) = 1, если b = c и 0 в противном случае образует ортонормированный базис (B).
Собственные функции собственной задачи Штурма – Лиувилля.
Ортогональная матрица - это матрица, векторы-столбцы которой образуют ортонормированное множество.

Основная формула

Если B является ортогональным базисом H, то каждый элемент x из H может быть записан как

x = ∑ b ∈ B ⟨x, b⟩ ‖ b ‖ 2 b. {\ displaystyle x = \ sum _ {b \ in B} {\ langle x, b \ rangle \ over \ lVert b \ rVert ^ {2}} b.}

x = \ sum _ {b \ in B} {\ langle x, b \ rangle \ over \ lVert b \ rVert ^ {2}} b.

Когда B ортонормирован, это упрощается до

x = ∑ b ∈ B ⟨x, b⟩ b {\ displaystyle x = \ sum _ {b \ in B} \ langle x, b \ rangle b}

x = \ sum _ {b \ in B} \ langle x, b \ rangle b

и квадрат нормы x может быть задано как

‖ x ‖ 2 = ∑ b ∈ B | ⟨X, b⟩ | 2. {\ displaystyle \ | x \ | ^ {2} = \ sum _ {b \ in B} | \ langle x, b \ rangle | ^ {2}.}

\ | x \ | ^ {2} = \ sum _ {b \ in B} | \ langle x, b \ rangle | ^ {2}.

Даже если B неисчислим, только счетное число членов в этой сумме будет отличным от нуля, и поэтому выражение хорошо определено. Эта сумма также называется разложением Фурье числа x, и формула обычно известна как тождество Парсеваля.

Если B является ортонормированным базисом H, то H изоморфен ℓ (B) в следующем смысле: существует биективное линейное отображение Φ: H → ℓ (B) такое, что

⟨Φ (x), Φ (y)⟩ = ⟨x, y⟩ {\ displaystyle \ langle \ Phi (x), \ Phi (y) \ rangle = \ langle x, y \ rangle}

\ langle \ Phi (x), \ Phi (y) \ rangle = \ langle x, y \ rangle

для всех x и y в H.

Неполные ортогональные наборы

Для гильбертова пространства H и множества S взаимно ортогональных векторов в H мы можем взять наименьшее замкнутое линейное подпространство V в H, содержащее S. Тогда S будет ортогональным базисом V; который, конечно, может быть меньше самого H, будучи неполным ортогональным набором, или быть H, когда он является полным ортогональным набором.

Существование

Используя лемму Цорна и процесс Грама – Шмидта (или, проще говоря, упорядочивающую и трансфинитную рекурсию), можно показать, что каждое гильбертово пространство допускает базис, но не ортонормированный базис; кроме того, любые два ортонормированных базиса одного и того же пространства имеют одинаковую мощность (это может быть доказано аналогично доказательству обычной теоремы о размерности для векторных пространств, с отдельные случаи в зависимости от того, является ли более крупный кандидат в базис счетным или нет). Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно допускает счетный ортонормированный базис. (Это последнее утверждение можно доказать без использования аксиомы выбора).

Как однородное пространство

Набор ортонормированных базисов для пространства - это главное однородное пространство для ортогональной группы O (n), и называется многообразием Штифеля $V n (R n) {\ displaystyle V_ {n} (\ mathbf {R} ^ {n})}$ $V_ { n} (\ mathbf {R} ^ {n})$ ортонормированного n-фреймы.

Другими словами, пространство ортонормированных базисов похоже на ортогональную группу, но без выбора базовой точки: для данного ортогонального пространства нет естественного выбора ортонормированного базиса, но как только ему дается один, между базисами и ортогональной группой существует взаимно однозначное соответствие. Конкретно, линейное отображение определяется тем, куда оно отправляет заданный базис: так же, как обратимое отображение может переводить любой базис в любой другой базис, ортогональное отображение может переводить любой ортогональный базис в любой другой ортогональный базис.

Другие многообразия Штифеля $V k (R n) {\ displaystyle V_ {k} (\ mathbf {R} ^ {n})}$ $V_ {k} (\ mathbf {R} ^ {n})$ для $k < n {\displaystyle k$ $k <n$ неполных ортонормированные базисы (ортонормированные k-фреймы) по-прежнему являются однородными пространствами для ортогональной группы, но не главными однородными пространствами: любой k-фрейм может быть переведен в любой другой k-фрейм с помощью ортогонального отображения, но это отображение не определено однозначно.

См. Также

Литература

Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.