Войти
В функциональном анализе, раздел математики, операторная алгебра - это алгебра из непрерывной строки Операторы ar в топологическом векторном пространстве с умножением, заданным композицией отображений.
Результаты, полученные при изучении операторных алгебр, сформулированы в алгебраических терминах, а используемые методы высоко аналитичны. Хотя изучение операторных алгебр обычно классифицируется как раздел функционального анализа, оно имеет прямое приложение к теории представлений, дифференциальной геометрии, квантовой статистической механике, квантовая информация и квантовая теория поля.
Операторные алгебры можно использовать для одновременного изучения произвольных наборов операторов с небольшой алгебраической связью. С этой точки зрения операторные алгебры можно рассматривать как обобщение спектральной теории одного оператора. В общем случае операторные алгебры не- коммутативные кольца.
Обычно требуется, чтобы операторная алгебра была замкнутой в указанной операторной топологии внутри алгебры целых непрерывных линейных операторов. В частности, это набор операторов, обладающих как алгебраическими, так и топологическими свойствами замыкания. В некоторых дисциплинах такие свойства аксиомизируются и предметом исследования становятся алгебры с определенной топологической структурой.
Хотя алгебры операторов изучаются в различных контекстах (например, алгебры псевдодифференциальных операторов, действующих на пространствах распределений), термин операторная алгебра обычно используется в отношении алгебр ограниченные операторы в банаховом пространстве или, еще более конкретно, в отношении алгебр операторов в отделимом гильбертовом пространстве, наделенном оператор норма топология.
В случае операторов в гильбертовом пространстве сопряженное эрмитово отображение операторов дает естественную инволюцию, которая обеспечивает дополнительную алгебраическую структуру, которая может быть наложена на алгебра. В этом контексте наиболее изученными примерами являются самосопряженные операторные алгебры, что означает, что они замкнуты относительно присоединения к ним. К ним относятся C * -алгебры и алгебры фон Неймана. C * -алгебры легко абстрактно охарактеризовать условием, связывающим норму, инволюцию и умножение. Такие абстрактно определенные C * -алгебры можно отождествить с некоторой замкнутой подалгеброй алгебры непрерывных линейных операторов в подходящем гильбертовом пространстве. Аналогичный результат верен для алгебр фон Неймана.
Коммутативные самосопряженные операторные алгебры можно рассматривать как алгебру комплексных значных непрерывных функций на локально компактном пространстве или как алгебру измеримых функций на стандартное измеримое пространство. Таким образом, общие операторные алгебры часто рассматриваются как некоммутативные обобщения этих алгебр или как структура базового пространства, на котором определены функции. Эта точка зрения разработана как философия некоммутативной геометрии, которая пытается изучать различные неклассические и / или патологические объекты с помощью некоммутативных операторных алгебр.
Примеры операторных алгебр, которые не являются самосопряженными, включают:
