Алгебра вертексных операторов

В математике алгебра вертексных операторов (VOA ) представляет собой алгебраическую структуру который играет важную роль в двумерной конформной теории поля и теории струн. Помимо физических приложений, алгебры вертексных операторов оказались полезными в чисто математических контекстах, таких как чудовищный самогон и геометрическое соответствие Ленглендса.

Связанное понятие вертексной алгебры было введен Ричардом Борчердсом в 1986 году, мотивированный конструкцией бесконечномерной алгебры Ли, созданной Игорем Френкелем. В ходе этого построения используется пространство Фока, которое допускает действие вершинных операторов, прикрепленных к векторам решетки. Борчердс сформулировал понятие вертексной алгебры, аксиоматизируя отношения между операторами вершин решетки, создав алгебраическую структуру, которая позволяет строить новые алгебры Ли, следуя методу Френкеля.

Понятие вертексной операторной алгебры было введено как модификация понятия вертексной алгебры Френкелем, Джеймсом Леповски и Арне Меурманом в 1988 году, как часть своего проекта по строительству самогонного модуля. Они заметили, что многие вершинные алгебры, которые появляются в природе, имеют полезную дополнительную структуру (действие алгебры Вирасоро) и удовлетворяют свойству ограниченного снизу по отношению к оператору энергии. Мотивированные этим наблюдением, они добавили действие Вирасоро и свойство ограниченного снизу в качестве аксиом.

Теперь у нас есть апостериорная мотивация для этих понятий из физики, вместе с несколькими интерпретациями аксиом, которые изначально не были известны. Физически вершинные операторы, возникающие в результате вставок голоморфных полей в точках (т. Е. Вершинах) в двумерной конформной теории поля, допускают операторные разложения, когда вставки сталкиваются, и они точно удовлетворяют соотношениям, указанным в определении вершинного оператора алгебра. Действительно, аксиомы вертексной операторной алгебры являются формальной алгебраической интерпретацией того, что физики называют киральными алгебрами, или «алгебрами киральных симметрий», где эти симметрии описывают тождества Уорда, которым удовлетворяет данная конформная теория поля, включая конформную инвариантность. Другие формулировки аксиом вертексной алгебры включают более позднюю работу Борчердса по сингулярным коммутативным кольцам, алгебры над некоторыми операдами на кривых, введенные Хуангом, Крисом и другими, а также D-модуль -теоретические объекты, называемые киральными алгебрами, введенные Александр Бейлинсон и Владимир Дринфельд. Хотя эти киральные алгебры связаны между собой, они не совсем то же самое, что объекты с тем же именем, которое используют физики.

Важные базовые примеры алгебр вершинных операторов включают решеточные ВОА (моделирующие решеточные конформные теории поля), ВОА, заданные представлениями аффинных алгебр Каца – Муди (из модели WZW ), ВОА Вирасоро (т.е. ВОА, соответствующих представлениям алгебры Вирасоро ) и модуля самогона V, который отличается своей чудовищной симметрией. Более сложные примеры, такие как и на комплексном многообразии, возникают в теории геометрических представлений и математической физике.

• 1 Формальное определение
  • 1.1 Вершинная алгебра
    • 1.1.1 Данные
    • 1.1. 2 Аксиомы
      • 1.1.2.1 Эквивалентные формулировки аксиомы локальности
  • 1.2 Алгебра вертексных операторов
• 2 Коммутативные вертексные алгебры
• 3 Основные свойства
• 4 Пример: свободный бозон ранга 1
• 5 Пример: Вершинные операторные алгебры Вирасоро
• 6 Пример: вакуумные модули WZW
• 7 Модули
• 8 Вершинная операторная алгебра, заданная четной решеткой
• 9 Вершинные операторные супералгебры
• 10 Суперконформные структуры
• 11 Дополнительные конструкции
• 12 Дополнительные примеры
• 13 Связанные алгебраические структуры
• 14 См. Также
• 15 Примечания
  • 15.1 Цитаты
• 16 Источники

Алгебра вершин

A вершина алгебра - это набор данных, удовлетворяющих определенным аксиомам.

Данные

• a векторное пространство V, называемое пространством состояний. В качестве основного поля обычно принимают комплексные числа, хотя первоначальная формулировка Борчердса допускала произвольное коммутативное кольцо.
• единичный элемент 1 ∈ V, иногда записываемый как $|\; 0⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; 0\; \backslash \; rangle\}$или Ω для обозначения состояния вакуума.
• эндоморфизм T: V → V, называемый «переводом». (Первоначальная формулировка Борчердса включала систему разделенных степеней T, поскольку он не предполагал, что основное кольцо делимо.)
• линейное отображение умножения Y: V ⊗ V → V ((z)), где V ((z)) - это пространство всех формальных рядов Лорана с коэффициентами в V. Эта структура альтернативно представлена ​​как бесконечный набор билинейных произведений u n v или как левый -умножение V → End (V) [[z]], называемое соответствием поля состояний. Для каждого u ∈ V операторнозначное формальное распределение Y (u, z) называется вершинным оператором или полем (вставленным в ноль), а коэффициент при z - оператором u n. Стандартные обозначения для умножения:

$u\; \otimes \; v\; \mapsto \; Y\; (u,\; z)\; v\; =\; \sum \; n\; \in \; Z\; unvz\; -\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; otimes\; v\; \backslash \; mapsto\; Y\; (u,\; z)\; v\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}\; u\_\; \{n\}\; vz\; ^\; \{-\; n-1\}\}$.

Аксиомы

Эти данные необходимы для удовлетворения следующих аксиом:

• Идентичность. Для любого u ∈ V, Y (1, z) u = u = uz и Y (u, z) 1 ∈ u + zV [[z]].
• Перевод. T (1) = 0, и для любых u, v ∈ V

$[T,\; Y\; (u,\; z)]\; v\; =\; TY\; (u,\; z)\; v\; -\; Y\; (u,\; z)\; T\; v\; =\; ddz\; Y\; (u,\; z)\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; [T,\; Y\; (u,\; z)]\; v\; =\; TY\; (u,\; z)\; vY\; (u,\; z)\; Tv\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dz\}\}\; Y\; (u,\; z)\; v\}$

• Локальность (тождество Якоби или тождество Борчердса). Для любых u, v ∈ V существует такое натуральное число N, что:

$(z\; -\; x)\; NY\; (u,\; z)\; Y\; (v,\; x)\; =\; (z\; -\; x)\; NY\; (v,\; x)\; Y\; (u,\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; (zx)\; ^\; \{N\}\; Y\; (u,\; z)\; Y\; (v,\; x)\; =\; (zx)\; ^\; \{N\}\; Y\; (v,\; x)\; Y\; (u,\; z).\}$

Эквивалентные формулировки Аксиома локальности

Аксиома локальности имеет несколько эквивалентных формулировок в литературе, например, Френкель-Леповский-Меурман ввел тождество Якоби:

$\forall \; u,\; v,\; w\; \in \; V:\; z\; -\; 1\; \delta \; (y\; -\; xz)\; Y\; (u,\; x)\; Y\; (v,\; y)\; w\; -\; z\; -\; 1\; \delta \; (-\; y\; +\; xz)\; Y\; (v,\; y)\; Y\; (u,\; x)\; w\; =\; y\; -\; 1\; \delta \; (x\; +\; zy)\; Y\; (Y\; (u,\; z)\; v,\; y)\; вес,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; u,\; v,\; w\; \backslash \; in\; V:\; \backslash \; qquad\; z\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{yx\}\; \{z\}\}\; \backslash \; right)\; Y\; (u,\; x)\; Y\; (v,\; y)\; wz\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{-y\; +\; x\}\; \{z\}\}\; \backslash \; right)\; Y\; (v,\; y)\; Y\; (\; u,\; x)\; w\; =\; y\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\; +\; z\}\; \{y\}\}\; \backslash \; right)\; Y\; (Y\; (u,\; z)\; v,\; y)\; w,\}$

где мы определяем формальный дельта-ряд как:

$\delta \; (y\; -\; xz):\; =\; \sum \; s\; \ge \; 0,\; r\; \in \; Z\; (rs)\; (-\; 1)\; syr\; -\; sxsz\; -\; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{yx\}\; \{z\}\}\; \backslash \; right):\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{s\; \backslash \; geq\; 0,\; r\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{r\}\; \{s\}\; \}\; (-\; 1)\; ^\; \{s\}\; y\; ^\; \{rs\}\; x\; ^\; \{s\}\; z\; ^\; \{-\; r\}.\}$

Изначально Борчердс использовал следующие два тождества: для любых векторов u, v и w и целых чисел m и n имеем

$(um\; (v))\; n\; (w)\; =\; \sum \; i\; \ge \; 0\; (-\; 1)\; i\; (mi)\; (um\; -\; i\; (vn\; +\; i\; (w))\; -\; (-\; 1)\; mvm\; +\; n\; -\; я\; (ui\; (w)))\; \{\backslash \; displaystyle\; (u\_\; \{m\}\; (v))\; \_\; \{n\}\; (w)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; geq\; 0\}\; (-\; 1)\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; binom\; \{m\}\; \{i\}\}\; \backslash \; left\; (u\_\; \{mi\}\; (v\_\; \{n\; +\; i\}\; (w))\; -\; (-\; 1)\; ^\; \{m\}\; v\_\; \{m\; +\; ni\}\; (u\_\; \{i\}\; (w))\; \backslash \; right)\}$

и

$umv\; =\; \sum \; i\; \ge \; 0\; (-\; 1)\; m\; +\; i\; +\; 1\; T\; ii!\; vm\; +\; iu\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{m\}\; v\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; geq\; 0\}\; (-\; 1)\; ^\; \{m\; +\; i\; +\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{T\; ^\; \{i\}\}\; \{i!\}\}\; v\_\; \{\; m\; +\; i\}\; u\}$.

Позже он дал более обширную версию, которая эквивалентна, но проще в использовании: для любых векторов u, v и w, а также целых чисел m, n и q мы имеем

$\sum \; i\; \in \; Z\; (mi)\; (uq\; +\; i\; (v))\; m\; +\; n\; -\; i\; (w)\; =\; \sum \; i\; \in \; Z\; (-\; 1)\; i\; (qi)\; (um\; +\; q\; -\; i\; (vn\; +\; i\; (w))\; -\; (-\; 1)\; qvn\; +\; q\; -\; я\; (um\; +\; i\; (w)))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{m\}\; \{i\}\}\; \backslash \; left\; (u\_\; \{q\; +\; i\; \}\; (v)\; \backslash \; right)\; \_\; \{m\; +\; ni\}\; (w)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; binom\; \{q\}\; \{i\}\}\; \backslash \; left\; (u\_\; \{m\; +\; qi\}\; \backslash \; left\; (v\_\; \{n\; +\; i\}\; (w)\; \backslash \; right)\; -\; (-\; 1)\; ^\; \{q\}\; v\_\; \{n\; +\; qi\}\; \backslash \; left\; (u\_\; \{m\; +\; i\}\; (w)\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$

Наконец, существует формальная функциональная версия локальности: для любых u, v, w ∈ V существует элемент

$X\; (u,\; v,\; w;\; z,\; x)\; \in \; V\; [[z,\; x]]\; [z\; -\; 1,\; x\; -\; 1,\; (z\; -\; x)\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (u,\; v,\; w;\; z,\; x)\; \backslash \; в\; V\; [[z,\; x]]\; \backslash \; left\; [z\; ^\; \{-\; 1\},\; x\; ^\; \{-\; 1\},\; (zx)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right]\}$

такие, что Y (u, z) Y (v, x) w и Y ( v, x) Y (u, z) w - соответствующие разложения $X\; (u,\; v,\; w;\; z,\; x)\; \{\backslash \; dis\; стиль\; игры\; X\; (u,\; v,\; w;\; z,\; x)\}$в V ((z)) ((x)) и V ((x)) ((z)).

Алгебра вертексных операторов

A вершинная операторная алгебра - это вершинная алгебра, снабженная конформным элементом ω, таким, что вершинный оператор Y (ω, z) имеет вес два Поле Вирасоро L (z):

$Y\; (\omega ,\; z)\; =\; \sum \; n\; \in \; Z\; \omega \; nz\; -\; n\; -\; 1\; =\; L\; (z)\; =\; \sum \; n\; \in \; ZL\; nz\; -\; n\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; (\backslash \; omega,\; z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}\; \backslash \; omega\; \_\; \{n\}\; \{z\; ^\; \{-\; n-1\}\}\; =\; L\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \}\; L\_\; \{n\}\; z\; ^\; \{-\; n-2\}\}$

и удовлетворяет следующим свойствам:

• [Lm, L n ] = (m - n) L m + n + (δ m + n, 0 / 12) (m - m) c Id V, где c - постоянная, называемая центральным зарядом, или ранг оператора V. В частности, коэффициенты этого вершинного оператора наделяют V действием алгебры Вирасоро с центральным зарядом c.
• L0действует на V полупросто с целыми собственными значениями, ограниченными снизу.
• При градуировке, обеспечиваемой собственными значениями L 0, умножение на V однородно в том смысле, что если u и v однородны, то u n v однороден степени deg (u) + deg (v) - n - 1.
• Тождество 1 имеет степень 0, а конформный элемент ω - степень 2.
• L−1= T.

A гомоморфизм вершинных алгебр - это карта лежащих в основе векторных пространств, которая учитывает дополнительную структуру идентичности, трансляции и умножения. Гомоморфизмы вертексных операторных алгебр имеют «слабую» и «сильную» формы в зависимости от того, уважают ли они конформные векторы.

Вершинная алгебра V коммутативна, если все вершинные операторы коммутируют друг с другом. Это эквивалентно тому, что все произведения Y (u, z) v лежат в V [[z]]. Учитывая коммутативную вертексную алгебру, постоянные члены умножения наделяют векторное пространство коммутативной кольцевой структурой, а T является производным. Наоборот, любое коммутативное кольцо V с дифференцированием T имеет каноническую структуру вертексной алгебры, где мы полагаем Y (u, z) v = u –1 v z = uv. Если дифференцирование T обращается в нуль, мы можем положить ω = 0, чтобы получить вершинную операторную алгебру, сосредоточенную в нулевой степени.

Любая конечномерная вершинная алгебра коммутативна. В частности, даже самые маленькие примеры некоммутативных вершинных алгебр требуют значительного введения.

Оператор трансляции T в вершинной алгебре индуцирует бесконечно малые симметрии в структуре произведения и удовлетворяет следующим свойствам:

• Y (u, z) 1 = eu
• Tu = u –2 1, поэтому T определяется как Y.
• Y (Tu, z) = d (Y (u, z)) / dz
• eY (u, z) e = Y (eu, z) = Y (u, z + x)
• (кососимметрия) Y (u, z) v = eY (v, –Z) u

Для алгебры вершинных операторов другие операторы Вирасоро обладают аналогичными свойствами:

• xY (u, z) x = Y (xu, xz)
• eY (u, z) e = Y (e (1 – xz) u, z (1 – xz))
• (квазиконформность) $[L\; m,\; Y\; (u,\; z)]\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; m\; +\; 1\; (м\; +\; 1\; К)\; zk\; Y\; (L\; m\; -\; ку,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; [L\_\; \{m\},\; Y\; (u,\; z)]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{m\; +\; 1\}\; \{\; \backslash \; binom\; \{m\; +\; 1\}\; \{k\}\}\; z\; ^\; \{k\}\; Y\; (L\_\; \{mk\}\; u,\; z)\}$для всех m≥ – ​​1.
• (Ассоциативность или Свойство Кузена): для любых u, v, w ∈ V элемент

$X\; (u,\; v,\; w;\; z,\; x)\; \in \; V\; [[z,\; x]]\; [z\; -\; 1,\; x\; -\; 1,\; (\; z\; -\; x)\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (u,\; v,\; w;\; z,\; x)\; \backslash \; in\; V\; [[z,\; x]]\; [z\; ^\; \{-\; 1\},\; x\; ^\; \{-\; 1\},\; (zx)\; ^\; \{-\; 1\}]\}$

дано в определении также расширяется до Y (Y (u, z – x) v, x) w в V ((x)) ((z – x)).

Свойство ассоциативности вершинной алгебры следует из того факта, что коммутатор Y (u, z) и Y (v, x) аннулируется конечной степенью z – x, т. Е. Можно разложить это как конечная линейная комбинация производных формальной дельта-функции в (z – x) с коэффициентами в End (V).

Реконструкция: Пусть V - вершинная алгебра, и пусть {J} - набор векторов с соответствующими полями J (z) ∈ End (V) [[z]]. Если V натянуто на одночлены от положительных весовых коэффициентов полей (т. Е. Конечные произведения операторов J n, примененных к 1, где n отрицательно), то мы можем записать операторное произведение такого одночлена как разделенные производные полей по мощности (здесь нормальный порядок означает, что полярные члены слева перемещаются вправо). В частности,

$Y\; (J\; n\; 1\; +\; 1\; a\; 1\; J\; n\; 2\; +\; 1\; a\; 2...\; J\; n\; k\; +\; 1\; a\; k\; 1,\; z)\; =:\; \partial \; n\; 1\; \partial \; z\; n\; 1\; J\; a\; 1\; (z)\; n\; 1!\; \partial \; N\; 2\; \partial \; Z\; N\; 2\; Дж\; а\; 2\; (г)\; N\; 2!\; \cdots \; \partial \; N\; К\; \partial \; Z\; N\; K\; J\; a\; K\; (Z)\; N\; K!\; :\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; (J\_\; \{n\_\; \{1\}\; +1\}\; ^\; \{a\_\; \{1\}\}\; J\_\; \{n\_\; \{2\}\; +1\}\; ^\; \{a\_\; \{2\}\}...\; J\_\; \{n\_\; \{k\}\; +1\})\; ^\; \{a\_\; \{k\}\}\; 1,\; z)\; =:\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{n\_\; \{1\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; z\; ^\; \{n\_\; \{1\}\}\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{J\; ^\; \{a\_\; \{1\; \}\}\; (z)\}\; \{n\_\; \{1\}!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{n\_\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; z\; ^\; \{n\_\; \{2\}\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{J\; ^\; \{a\_\; \{\; 2\}\}\; (z)\}\; \{n\_\; \{2\}!\}\}\; \backslash \; Cdots\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{n\_\; \{k\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; z\; ^\; \{n\_\; \{k\}\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{J\; ^\; \{a\_\; \{k\}\}\; (z)\}\; \{n\_\; \{k\}!\}\}:\}$

В более общем смысле, если одному дано векторное пространство V с эндоморфизмом T и вектором 1, и один присваивается набору векторов J набор полей J (z) ∈ End (V) [[z]], которые являются взаимно локальными, положительные весовые коэффициенты которых порождают V, и которые удовлетворяют условиям тождества и трансляции, то предыдущая формула описывает структуру вершинной алгебры.

Базовым примером некоммутативной вертексной алгебры является свободный бозон ранга 1, также называемый алгеброй вершинных операторов Гейзенберга. Он «порождается» одним вектором b в том смысле, что, применяя коэффициенты поля b (z) = Y (b, z) к вектору 1, мы получаем остовное множество. Основное векторное пространство - это кольцо многочленов с бесконечными переменными C[x1,x2,...], где для положительного n коэффициент b –n у Y (b, z) действует как умножение на x n, и b n действует как n-кратная частная производная в x n. Действие b 0 - это умножение на ноль, производящее "нулевой импульс" фоковского представления V 0 алгебры Ли Гейзенберга (сгенерированного b n для целых n, с коммутационными соотношениями [b n,bm] = n δ n, –m), т. е. индуцированным тривиальным представлением подалгебры, натянутой на b n, n ≥ 0.

Пространство Фока V 0 может быть преобразовано в вершинную алгебру с помощью следующей реконструкции:

$Y\; (xn\; 1\; +\; 1\; xn\; 2\; +\; 1\; xn\; 3\; +\; 1...\; Xnk\; +1,\; г)\; \equiv \; 1\; п\; 1!\; п\; 2!..\; н\; к!\; :\; \partial \; N\; 1\; b\; (z)\; \partial \; N\; 2\; b\; (z)...\; \partial \; nkb\; (z):\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; (x\_\; \{n\_\; \{1\}\; +1\}\; x\_\; \{n\_\; \{2\}\; +1\}\; x\_\; \{n\_\; \{3\}\; +1\}...\; x\_\; \{n\_\; \{k\}\; +1\}),\; z)\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\_\; \{1\}!\; n\_\; \{2\}!..\; n\_\; \{k\}!\}\}:\; \backslash \; partial\; ^\; \{n\_\; \{1\}\}\; b\; (z)\; \backslash \; partial\; ^\; \{n\_\; \{2\}\}\; b\; (z)...\; \backslash \; partial\; ^\; \{n\_\; \{k\}\}\; b\; (z):\}$

где:..: обозначает нормальный порядок (т. Е. Перемещение всех производных по x вправо). Вершинные операторы также могут быть записаны как функционал от функции многих переменных f как:

$Y\; [f,\; z]\; \equiv :\; f\; (b\; (z)\; 0!,\; B\; \prime \; (z)\; 1!,\; B\; ″\; (z)\; 2!,...):\; \{\backslash \; Displaystyle\; Y\; [f,\; z]\; \backslash \; Equiv:\; f\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{b\; (z)\}\; \{0!\}\},\; \{\backslash \; Frac\; \{b\; \text{'}(z)\}\; \{\; 1!\}\},\; \{\backslash \; Frac\; \{b\; \text{'}\text{'}\; (z)\}\; \{2!\}\},...\; \backslash \; right):\}$

если мы понимаем, что каждый член в раскрытии f является нормально упорядоченным.

Свободный бозон ранга n получается n-кратным тензорным произведением свободного бозона ранга 1. Для любого вектора b в n-мерном пространстве имеется поле b (z), коэффициенты которого являются элементами алгебры Гейзенберга ранга n, чьи коммутационные соотношения имеют дополнительный член внутреннего произведения: [b n,cm] = n (b, c) δ n, –m.

Алгебры вертексных операторов Вирасоро важны по двум причинам: во-первых, конформный элемент в алгебре вертексных операторов канонически индуцирует гомоморфизм из алгебра вершинных операторов Вирасоро, поэтому они играют универсальную роль в теории. Во-вторых, они тесно связаны с теорией унитарных представлений алгебры Вирасоро и играют важную роль в конформной теории поля. В частности, унитарные минимальные модели Вирасоро являются простыми факторами этих вершинных алгебр, а их тензорные произведения обеспечивают способ комбинаторного построения более сложных алгебр вершинных операторов.

Алгебра вершинных операторов Вирасоро определяется как индуцированное представление алгебры Вирасоро : если мы выберем центральный заряд c, существует единственный одномерный модуль для подалгебры C [z] ∂ z + K, для которого K действует через cId, а C [z] ∂ z действует тривиально, и соответствующие индуцированные модуль покрывается многочленами от L –n = –z∂ z, поскольку n пробегает целые числа больше 1. Тогда модуль имеет статистическую сумму

$T\; r\; V\; q\; L\; 0\; Знак\; равно\; \sum \; N\; \in \; R\; dim\; \; V\; nqn\; =\; \prod \; N\; \ge \; 2\; (1\; -\; qn)\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Tr\_\; \{V\}\; q\; ^\; \{L\_\; \{0\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\}\; \backslash \; dim\; V\_\; \{n\}\; q\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 2\}\; (1-q\; ^\; \{n\})\; ^\; \{-\; 1\}\}$.

Это пространство имеет структуру алгебры вершинных операторов, где вершинные операторы определяются следующим образом:

$Y\; (L\; -\; n\; 1\; -\; 2\; L\; -\; n\; 2\; -\; 2...\; L\; -\; nk\; -\; 2\; |\; 0⟩,\; z)\; \equiv \; 1\; n\; 1!\; п\; 2!..\; н\; к!\; :\; \partial \; N\; 1\; L\; (z)\; \partial \; N\; 2\; L\; (z)...\; \partial \; NK\; L\; (z):\; \{\backslash \; Displaystyle\; Y\; (L\; \_\; \{-\; n\_\; \{1\}\; -2\}\; L\; \_\; \{-\; n\_\; \{2\}\; -2\}...\; L\; \_\; \{-\; n\_\; \{k\}\; -2\}\; |\; 0\; \backslash \; rangle,\; z)\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\_\; \{1\}!\; n\_\; \{2\}!..\; n\_\; \{k\}!\}\}:\; \backslash \; partial\; ^\; \{n\_\; \{1\}\}\; L\; (z)\; \backslash \; partial\; ^\; \{n\_\; \{\; 2\}\}\; L\; (z)...\; \backslash \; partial\; ^\; \{n\_\; \{k\}\}\; L\; (z):\}$

и $\omega \; =\; L\; -\; 2\; |\; 0⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; L\; \_\; \{-\; 2\}\; |\; 0\; \backslash \; rangle\}$. Тот факт, что поле Вирасоро L (z) локально по отношению к самому себе, можно вывести из формулы для его самокоммутатора:

$[L\; (z),\; L\; (x)]\; =\; (\partial \; \partial \; x\; L\; (x))\; вес\; -\; 1\; \delta \; (zx)\; -\; 2\; L\; (x)\; x\; -\; 1\; \partial \; \partial \; z\; \delta \; (zx)\; -\; 1\; 12\; cx\; -\; 1\; (\partial \; \partial \; z)\; 3\; \delta \; (zx)\; \{\backslash \; displaystyle\; [L\; (z),\; L\; (x)]\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; L\; (x)\; \backslash \; right)\; w\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right)\; -2L\; (x)\; x\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{12\}\}\; cx\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right)\}$

где c - центральный заряд..

Если дан гомоморфизм вершинной алгебры из вершинной алгебры Вирасоро с центральным зарядом c в любую другую вершинную алгебру, вершинный оператор, присоединенный к образу ω, автоматически удовлетворяет отношения Вирасоро, т. е. образ ω является конформным вектором. Наоборот, любой конформный вектор в вертексной алгебре индуцирует выделенный гомоморфизм вертексной алгебры из некоторой вершинной операторной алгебры Вирасоро.

Алгебры вершинных операторов Вирасоро просты, за исключением случая, когда c имеет вид 1–6 (p – q) / pq для взаимно простых целых чисел p, q строго больше 1 - это следует из формулы определителя Каца. В этих исключительных случаях имеется единственный максимальный идеал, и соответствующий фактор называется минимальной моделью. Когда p = q + 1, вершинные алгебры являются унитарными представлениями Вирасоро, а их модули известны как представления дискретных серий. Они играют важную роль в конформной теории поля отчасти потому, что они необычайно легко поддаются обработке, а при малых p они соответствуют хорошо известным системам статистическойОказывается, это вершинная подалгебра с Y, T и единицей, унаследованными от V., и если S - ВОА с центральным зарядом c S, Коммутант - это ВОА с центральным зарядом c – c S. Например, вложение SU (2) на уровне k + 1 в тензорное произведение двух SU (2) алгебр на уровнях k и 1 дает дискретный ряд Вирасоро с p = k + 2, q = k + 3 и это было использовано для доказательства их существования в 1980-х годах. Опять же с SU (2), вложение уровня k + 2 в тензорное произведение уровня k и уровня 2 дает N = 1 суперконформную дискретную серию.

• алгебра вершин-монстров $V\; ♮\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; ^\; \{\backslash \; natural\; \}\}$(также называемый «модулем самогона»), ключ к доказательству Борчердса гипотез о чудовищном самогоне, был построен Френкелем, Леповски и Меурманом в 1988 году. потому что его статистическая сумма - модулярный инвариант j – 744, а его группа автоморфизмов - самая большая спорадическая простая группа, известная как группа монстров. Он построен путем орбифолдинга решетки Лича VOA с помощью автоморфизма порядка 2, индуцированного отражением решетки Лича в начале координат. Таким образом, можно получить прямую сумму решетки Лича VOA со скрученным модулем и взять неподвижные точки при индуцированной инволюции. Френкель, Леповски и Меурман в 1988 г. предположили, что $V\; ♮\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; ^\; \{\backslash \; natural\}\}$- единственная голоморфная вершинная операторная алгебра с центральным зарядом 24 и статистической суммой j – 744. Эта гипотеза все еще остается открытой.
• Киральный комплекс де Рама: Маликов, Шехтман и Вайнтроб показали, что методом локализации можно канонически привязать систему bcβγ (бозон-фермионное суперполе) к гладкому комплексному многообразию. Этот комплекс пучков имеет выделенный дифференциал, а глобальные когомологии являются вершинной супералгеброй. Бен-Цви, Хелуани и Щесны показали, что риманова метрика на многообразии индуцирует N = 1 суперконформную структуру, которая превращается в структуру N = 2, если метрика кэлерова и Риччи-плоская, а гипер-кэлерова структура индуцирует N = 1. = 4 структура. Борисов и Либгобер показали, что можно получить эллиптический род с двумя переменными компактного комплексного многообразия из когомологий Кирала де Рама - если многообразие является многообразием Калаби-Яу, то этот род является слабым Форма Якоби.

• Если рассматривать только сингулярную часть OPE в вершинной алгебре, можно придти к определению конформной алгебры Ли. Поскольку часто интересует только сингулярная часть ОПЕ, это делает конформные алгебры Ли естественным объектом для изучения. Существует функтор из вершинных алгебр в конформные алгебры Ли, который забывает регулярную часть ОПЕ, и он имеет левый сопряженный, называемый функтором «универсальной вертексной алгебры». Вакуумные модули аффинных алгебр Каца – Муди и вершинных алгебр Вирасоро являются универсальными вершинными алгебрами, и, в частности, их можно очень кратко описать после разработки базовой теории.
• Существует несколько обобщений понятия вершинной алгебры. в литературе. Некоторые мягкие обобщения включают ослабление аксиомы локальности, чтобы сделать возможным монодромию, например, абелевы сплетающие алгебры Донга и Леповски. Их можно грубо рассматривать как объекты вершинной алгебры в плетеной тензорной категории градуированных векторных пространств, во многом так же, как вершинная супералгебра является таким объектом в категории супервекторных пространств. Более сложные обобщения относятся к q-деформациям и представлениям квантовых групп, например, в работах Френкеля – Решетихина, Этингофа – Каждана и Ли.
• Бейлинсон и Дринфельд ввели теоретико-пучковое понятие киральности алгебра, которая тесно связана с понятием вершинной алгебры, но определяется без использования каких-либо видимых степенных рядов. Для алгебраической кривой X киральная алгебра на X является D X -модулем A, снабженным операцией умножения $j\; \ast \; j\; \ast \; (A\; ⊠\; A)\; \to \; ∆\; \ast \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \_\; \{*\}\; j\; ^\; \{*\}\; (A\; \backslash \; boxtimes\; A)\; \backslash \; to\; \backslash \; Delta\; \_\; \{*\}\; A\}$в X × X, который удовлетворяет условию ассоциативности. Они также ввели эквивалентное понятие факторизационной алгебры, которая представляет собой систему квазикогерентных пучков на всех конечных произведениях кривой, вместе с условием совместимости, включающим откаты к дополнению различных диагоналей. Любую трансляционно-эквивариантную киральную алгебру на аффинной прямой можно отождествить с вертексной алгеброй, взяв слой в точку, и есть естественный способ присоединить киральную алгебру на гладкой алгебраической кривой к любой вертексной операторной алгебре.

• Алгебра операторов

Цитаты