Матричная механика

Часть серии о
Квантовая механика
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Задний план Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Амплитуда вероятности Распределение вероятностей Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовый Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна – частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Фокское пространство
Эффекты Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома. Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер Функциональная интеграция
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Множественные миры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Транзакционный
Дополнительные темы Гипотеза термализации собственного состояния Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Blackett Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Candlin Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Рид Ридберг Шредингер Симмонс Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

Матричная механика - это формулировка квантовой механики, созданная Вернером Гейзенбергом, Максом Борном и Паскуалем Джорданом в 1925 году. Это была первая концептуально автономная и логически последовательная формулировка квантовой механики. Его счет квантовых скачков вытеснили модели Бора «сек электронные орбиты. Это было сделано путем интерпретации физических свойств частиц как матриц, эволюционирующих во времени. Это эквивалентно формулировке волнового Шредингера квантовой механики, так как проявляется в дираковской «с Бра и кет.

В некотором отличие от волновой формулировки, он производит спектры (в основном энергетических) операторов чисто алгебраическими методами лестничных операторов. Опираясь на эти методы, Вольфганг Паули получил спектр атома водорода в 1926 году, до развития волновой механики.

• 1 Развитие матричной механики
  • 1.1 Богоявление в Гельголанде
  • 1.2 Три фундаментальных статьи
  • 1.3 Рассуждения Гейзенберга
  • 1.4 Основы работы с матрицами
  • 1.5 Нобелевская премия
• 2 Математическое развитие
  • 2.1 Гармонический осциллятор
  • 2.2 Сохранение энергии
  • 2.3 Уловка дифференцирования - канонические коммутационные соотношения
  • 2.4 Векторы состояния и уравнение Гейзенберга
• 3 Дальнейшие результаты
  • 3.1 Волновая механика
  • 3.2 Теорема Эренфеста
  • 3.3 Теория трансформации
  • 3.4 Правила выбора
  • 3.5 Правила сумм
• 4 См. Также
• 5 ссылки
• 6 Дальнейшее чтение
• 7 Внешние ссылки

В 1925 году Вернер Гейзенберг, Макс Борн и Паскуаль Джордан сформулировали матрично-механическое представление квантовой механики.

Богоявление в Гельголанде

В 1925 году Вернер Гейзенберг работал в Геттингене по проблеме вычисления спектральных линий от водорода. К маю 1925 года он начал попытки описывать атомные системы только с помощью наблюдаемых. 7 июня, чтобы избежать последствий тяжелого приступа сенной лихорадки, Гейзенберг уехал на свободный от пыльцы остров Гельголанд в Северном море. Находясь там, в перерывах между лазанием и заучиванием стихов из « Западно-östlicher Дивана» Гете, он продолжал размышлять над призрачной проблемой и в конце концов понял, что использование наблюдаемых, не передвигающихся на работу, может решить эту проблему. Позже он писал:

Было около трех часов ночи, когда передо мной предстал окончательный результат расчета. Сначала я был глубоко потрясен. Я был так взволнован, что не мог даже думать о сне. Я вышел из дома и стал ждать восхода солнца на вершине скалы.

Три фундаментальных документа

После того, как Гейзенберг вернулся в Геттинген, он показал Вольфгангу Паули свои расчеты, комментируя в одном месте:

Мне все еще неясно и непонятно, но похоже, что электроны больше не будут двигаться по орбитам.

9 июля Гейзенберг передал ту же самую статью своих расчетов Максу Борну, заявив, что «он написал сумасшедшую статью и не осмелился отправить ее для публикации, и что Борну следует прочитать ее и дать ему совет» перед публикацией. Затем Гейзенберг на время уехал, предоставив Борну проанализировать газету.

В статье Гейзенберг сформулировал квантовую теорию без резких электронных орбит. Хендрик Крамерс ранее рассчитал относительные интенсивности спектральных линий в модели Зоммерфельда, интерпретируя коэффициенты Фурье орбит как интенсивности. Но его ответ, как и все другие вычисления в старой квантовой теории, был верен только для больших орбит.

Гейзенберг, после сотрудничества с Крамерсом, начал понимать, что вероятности переходов были не совсем классическими величинами, потому что единственные частоты, которые появляются в рядах Фурье, должны быть те, которые наблюдаются в квантовых скачках, а не вымышленные частоты, которые исходят от Фурье. -анализ острых классических орбит. Он заменил классический ряд Фурье матрицей коэффициентов, размытым квантовым аналогом ряда Фурье. Классически коэффициенты Фурье дают интенсивность испускаемого излучения, поэтому в квантовой механике величина матричных элементов оператора положения была интенсивностью излучения в спектре ярких линий. Величины в формулировке Гейзенберга были классическими положением и импульсом, но теперь они больше не были четко определены. Каждая величина была представлена ​​набором коэффициентов Фурье с двумя индексами, соответствующими начальному и конечному состояниям.

Когда Борн прочитал статью, он понял, что формулировка может быть преобразована и распространена на систематический язык матриц, которому он научился в ходе своего исследования под руководством Якоба Розанеса в Университете Бреслау. Борн с помощью своего помощника и бывшего ученика Паскуаля Джордана немедленно приступил к транскрипции и расширению, и они представили свои результаты для публикации; статья была получена для публикации всего через 60 дней после статьи Гейзенберга.

До конца года все три автора представили для публикации следующий документ. (Краткий обзор роли Борна в разработке формулировки матричной механики квантовой механики вместе с обсуждением ключевой формулы, включающей некоммутивность амплитуд вероятностей, можно найти в статье Джереми Бернстайна. Подробный исторический и технический счет можно найти в книге и Рехенберга в историческом развитии квантовой теории. Том 3. Формулировка матричной механики и его модификаций 1925-1926.)

Три фундаментальных документа:

• W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und Mechanischer Beziehungen, Zeitschrift für Physik, 33, 879-893, 1925 (получено 29 июля 1925 г.). [Английский перевод на: BL van der Waerden, редактор, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN   0-486-61881-1 (английское название: Квантовая теоретическая переинтерпретация кинематических и механических отношений).]
• M. Born и P. Jordan, Zur Quantenmechanik, Zeitschrift für Physik, 34, 858-888, 1925 (получено 27 сентября 1925 г.). [Английский перевод на: BL van der Waerden, редактор, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN   0-486-61881-1 (английское название: On Quantum Mechanics).]
• M. Born, W. Heisenberg и P. Jordan, Zur Quantenmechanik II, Zeitschrift für Physik, 35, 557-615, 1926 (получено 16 ноября 1925 г.). [Английский перевод на: BL van der Waerden, редактор, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN   0-486-61881-1 (английское название: On Quantum Mechanics II).]

До этого времени матрицы редко использовались физиками; они считались принадлежащими к области чистой математики. Густав Ми использовал их в своей статье по электродинамике в 1912 году, а Борн использовал их в своей работе по решеточной теории кристаллов в 1921 году. Хотя в этих случаях использовались матрицы, алгебра матриц с их умножением не входила в картину как они сделали это в матричной формулировке квантовой механики.

Борн, однако, изучил матричную алгебру у Розана, как уже отмечалось, но Борн также изучил теорию интегральных уравнений и квадратичных форм Гильберта для бесконечного числа переменных, как видно из цитаты Борна из работы Гильберта Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen, опубликованный в 1912 году.

Джордан тоже был хорошо подготовлен для этой задачи. В течение ряда лет он был помощником Ричарда Куранта в Геттингене при подготовке книги Куранта и Дэвида Гильберта « Methoden der Mathematischen Physik I», которая была опубликована в 1924 году. математические инструменты, необходимые для дальнейшего развития квантовой механики.

В 1926 году Джон фон Нейман стал помощником Дэвида Гильберта, и он ввел термин « гильбертово пространство» для описания алгебры и анализа, которые использовались при развитии квантовой механики.

Важнейший вклад в эту формулировку был внесен в работе Дирака 1925 года по переинтерпретации / синтезу, в которой были изобретены язык и структура, обычно используемые сегодня, в полном отображении некоммутативной структуры всей конструкции.

Рассуждения Гейзенберга

До матричной механики старая квантовая теория описывала движение частицы по классической орбите с четко определенными положением и импульсом X ( t), P ( t) с ограничением, что интеграл по времени за один период T импульса умножается на скорость должна быть положительным целым числом, кратным постоянной Планка.

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} P \; {dX \ over dt} \; dt = \ int _ {0} ^ {T} P \; dX = nh}$.

Хотя это ограничение правильно выбирает орбиты с более или менее правильными значениями энергии E n, старый квантово-механический формализм не описывал зависящие от времени процессы, такие как испускание или поглощение излучения.

Когда классическая частица слабо связана с полем излучения, так что радиационным затуханием можно пренебречь, она будет испускать излучение в форме, повторяющейся на каждом орбитальном периоде. Частоты, которые составляют расходящуюся волну затем целым кратным орбитальной частоты, и это отражает тот факт, что Х ( т) является периодическим, так что его представление Фурье имеет частоты 2л п / T только.

${\ displaystyle X (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {2 \ pi int / T} X_ {n}}$.

Коэффициенты X n являются комплексными числами. Те с отрицательными частотами должны быть комплексно сопряженными с положительными частотами, так что X ( t) всегда будет действительным,

${\ displaystyle X_ {n} = X _ {- n} ^ {*}}$.

С другой стороны, квантово-механическая частица не может излучать непрерывно, она может излучать только фотоны. Если предположить, что квантовая частица стартовала на орбите номер n, испустила фотон, а затем оказалась на орбите номер m, энергия фотона равна E n - E m, что означает, что его частота равна ( E n - E m) / h.

При большом п и м, но с п - т относительно небольшого, эти классические частоты по Бору «с принципом соответствия

${\ displaystyle E_ {n} -E_ {m} \ приблизительно h (нм) / T}$.

В приведенной выше формуле T - классический период либо орбиты n, либо орбиты m, поскольку разница между ними более высокого порядка по h. Но для малых n и m или для больших n - m частоты не являются целыми кратными какой-либо одной частоте.

Поскольку частоты, которые излучает частица, совпадают с частотами в описании Фурье ее движения, это предполагает, что что- то в зависимом от времени описании частицы колеблется с частотой ( E n - E m) / h. Гейзенберг назвал эту величину X nm и потребовал, чтобы она сводилась к классическим коэффициентам Фурье в классическом пределе. Для больших значений n, m, но при относительно малых n - m, X nm представляет собой ( n - m) -й коэффициент Фурье классического движения на орбите n. Поскольку X nm имеет частоту, противоположную X mn, условие реальности X становится

${\ Displaystyle X_ {нм} = X_ {mn} ^ {*}}$.

По определению, X nm имеет только частоту ( E n - E m) / h, поэтому его временная эволюция проста:

${\ displaystyle X_ {nm} (t) = e ^ {2 \ pi i (E_ {n} -E_ {m}) t / h} X_ {nm} (0)}$.

Это первоначальная форма уравнения движения Гейзенберга.

Имея два массива X nm и P nm, описывающих две физические величины, Гейзенберг мог сформировать новый массив того же типа, объединив члены X nk P km, которые также колеблются с правильной частотой. Поскольку коэффициенты Фурье произведения двух величин представляют собой свертку коэффициентов Фурье каждой из них в отдельности, соответствие с рядами Фурье позволило Гейзенбергу вывести правило, по которому массивы должны быть умножены,

${\ displaystyle (XP) _ {mn} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} X_ {mk} P_ {kn}}$.

Борн указал, что это закон умножения матриц, так что положение, импульс, энергия, все наблюдаемые величины в теории интерпретируются как матрицы. Согласно этому правилу умножения, произведение зависит от порядка: XP отличается от PX.

Х матрица представляет собой полное описание движения квантовой механики частицы. Поскольку частоты в квантовом движении не кратны общей частоте, матричные элементы нельзя интерпретировать как коэффициенты Фурье резкой классической траектории. Тем не менее, как матрицы, X ( t) и P ( t) удовлетворяют классическим уравнениям движения; также см. теорему Эренфеста ниже.

См. Также: Начало Гейзенберга в матричной механике

Основы работы с матрицами

Когда она была представлена ​​Вернером Гейзенбергом, Максом Борном и Паскуалем Джорданом в 1925 году, матричная механика не была сразу принята и поначалу вызвала споры. Позднее Шредингер ввел волновую механику.

Частично причина заключалась в том, что формулировка Гейзенберга была на странном для того времени математическим языком, в то время как формулировка Шредингера была основана на знакомых волновых уравнениях. Но была и более глубокая социологическая причина. Квантовая механика развивалась двумя путями: один во главе с Эйнштейном, который подчеркивал дуальность волна-частица, которую он предложил для фотонов, а другой во главе с Бором, который подчеркивал дискретные энергетические состояния и квантовые скачки, открытые Бором. Де Бройль воспроизвел дискретные энергетические состояния в рамках Эйнштейна - квантовое условие - это состояние стоячей волны, и это дало надежду представителям школы Эйнштейна, что все дискретные аспекты квантовой механики будут включены в механику непрерывных волн.

Матричная механика, с другой стороны, пришла из школы Бора, которая занималась дискретными состояниями энергии и квантовыми скачками. Последователи Бора не ценили физические модели, которые изображали электроны как волны или что-то еще. Они предпочитали сосредотачиваться на количествах, непосредственно связанных с экспериментами.

В атомной физике спектроскопия дала данные наблюдений за атомными переходами, возникающими при взаимодействии атомов с квантами света. Школа Бора требовала, чтобы в теории фигурировали только те величины, которые в принципе можно измерить с помощью спектроскопии. Эти величины включают уровни энергии и их интенсивности, но не включают точное местоположение частицы на ее боровской орбите. Очень трудно представить эксперимент, который мог бы определить, находится ли электрон в основном состоянии атома водорода справа или слева от ядра. Было глубокое убеждение, что на такие вопросы нет ответа.

Формулировка матрицы была построена на предпосылке, что все физические наблюдаемые представлены матрицами, элементы которых индексируются двумя различными уровнями энергии. Набор собственных значений матрицы в конечном итоге понимался как набор всех возможных значений, которые может иметь наблюдаемое. Поскольку матрицы Гейзенберга эрмитовы, собственные значения действительны.

Если наблюдаемое измеряется и результатом является определенное собственное значение, соответствующий собственный вектор представляет собой состояние системы сразу после измерения. Акт измерения в матричной механике «разрушает» состояние системы. Если измерять две наблюдаемые одновременно, состояние системы сводится к общему собственному вектору этих двух наблюдаемых. Поскольку большинство матриц не имеют общих собственных векторов, большинство наблюдаемых невозможно измерить точно в одно и то же время. Это принцип неопределенности.

Если две матрицы имеют общие собственные векторы, они могут быть одновременно диагонализованы. В базисе, где они обе диагональны, ясно, что их произведение не зависит от их порядка, потому что умножение диагональных матриц - это просто умножение чисел. Принцип неопределенности, напротив, является выражением того факта, что часто две матрицы A и B не всегда коммутируют, т. Е. Что AB - BA не обязательно равно 0. Основное соотношение коммутации матричной механики,

${\ displaystyle \ sum _ {k} (X_ {nk} P_ {km} -P_ {nk} X_ {km}) = {ih \ over 2 \ pi} ~ \ delta _ {nm}}$

означает, что нет состояний, которые одновременно имеют определенное положение и импульс.

Этот принцип неопределенности справедлив и для многих других пар наблюдаемых. Например, энергия также не коммутируется с положением, поэтому невозможно точно определить положение и энергию электрона в атоме.

Нобелевская премия

В 1928 году Альберт Эйнштейн выдвинул Гейзенберга, Борна и Джордана на Нобелевскую премию по физике. Объявление Нобелевской премии по физике за 1932 г. было отложено до ноября 1933 г. Именно тогда было объявлено, что Гейзенберг получил премию 1932 г. «за создание квантовой механики, применение которой, среди прочего, привело к к открытию аллотропных форм водорода », а Эрвин Шредингер и Пол Адриен Морис Дирак разделили премию 1933 года« за открытие новых продуктивных форм атомной теории ».

Вполне можно спросить, почему Борн не был удостоен премии в 1932 году вместе с Гейзенбергом, и Бернштейн высказывает предположения по этому поводу. Один из них связан с вступлением Джордана в нацистскую партию 1 мая 1933 года и становлением штурмовиком. Принадлежность Джордана к партии и связи Джордана с Борном вполне могли повлиять на шансы Борна на получение Премии в то время. Бернштейн далее отмечает, что когда Борн наконец получил премию в 1954 году, Джордан был еще жив, в то время как премия была присуждена за статистическую интерпретацию квантовой механики, приписываемой одному Борну.

Реакция Гейзенберга на получение Борном премии за Гейзенберга в 1932 году и на получение Борном премии в 1954 году также поучительна при оценке того, должен ли Борн разделить Премию с Гейзенбергом. 25 ноября 1933 года Борн получил письмо от Гейзенберга, в котором он сказал, что он задержался с написанием из-за «нечистой совести», что он один получил премию «за совместную работу в Геттингене - вы, Джордан и я.. " Далее Гейзенберг сказал, что вклад Борна и Джордана в квантовую механику не может быть изменен «неправильным решением извне».

В 1954 году Гейзенберг написал статью в честь Макса Планка за его проницательность в 1900 году. В этой статье Гейзенберг приписал Борну и Джордану окончательную математическую формулировку матричной механики, а Гейзенберг подчеркнул, насколько велик их вклад в квантовую механику, которая была не "должным образом признан в глазах общественности".

Как только Гейзенберг представил матрицы для X и P, он мог находить их матричные элементы в особых случаях путем предположений, руководствуясь принципом соответствия. Поскольку матричные элементы являются квантово-механическими аналогами коэффициентов Фурье классических орбит, простейшим случаем является гармонический осциллятор, где классические положение и импульс, X ( t) и P ( t), синусоидальны.

Гармонический осциллятор

В единицах, в которых масса и частота осциллятора равны единице (см. Обезразмеривание ), энергия осциллятора равна

${\ displaystyle H = {1 \ over 2} (P ^ {2} + X ^ {2}) ~.}$

В множестве уровней из Н являются орбитами по часовой стрелке, и они являются вложенными кругами в фазовом пространстве. Классическая орбита с энергией E равна

${\ displaystyle X (t) = {\ sqrt {2E}} \ cos (t), \ qquad P (t) = - {\ sqrt {2E}} \ sin (t) ~.}$

Старое квантовое условие диктует, что интеграл от P dX по орбите, которая представляет собой площадь круга в фазовом пространстве, должен быть целым кратным постоянной Планка. Площадь круга радиуса √ 2 E равна 2 πE. Так

${\ displaystyle E = {nh \ over 2 \ pi} ~,}$

или, в натуральных единицах, где ħ = 1, то энергия представляет собой целое число.

Эти компоненты Фурье из X ( т) и Р ( т) являются простыми, и тем более, если они объединены в количествах,

${\ Displaystyle A (t) = X (t) + iP (t) = {\ sqrt {2E}} \, e ^ {- it}, \ quad A ^ {\ dagger} (t) = X (t) -iP (t) = {\ sqrt {2E}} \, e ^ {it}}$.

И A, и A ^† имеют только одну частоту, и X и P могут быть восстановлены из их суммы и разности.

Поскольку A ( t) имеет классический ряд Фурье только с самой низкой частотой, а матричный элемент A mn является ( m - n) -м коэффициентом Фурье классической орбиты, матрица для A отлична от нуля только на линии чуть выше диагональ, где она равна √ 2 E n. Матрица для A ^† также отлична от нуля только на линии ниже диагонали с теми же элементами.

Таким образом, из A и A ^† реконструкция дает

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} X (0) = {\ sqrt {\ frac {h} {2 \ pi}}} \; {\ begin {bmatrix} 0 amp; {\ sqrt {1}} amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; \ cdots \\ {\ sqrt {1}} amp; 0 amp; {\ sqrt {2}} amp; 0 amp; 0 amp; \ cdots \\ 0 amp; {\ sqrt {2}} amp; 0 amp; {\ sqrt {3}} amp; 0 amp; \ cdots \\ 0 amp; 0 amp; {\ sqrt {3} } amp; 0 amp; {\ sqrt {4}} amp; \ cdots \\\ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots amp; \ ddots \\\ end {bmatrix}},}$

а также

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} P (0) = {\ sqrt {\ frac {h} {2 \ pi}}} \; {\ begin {bmatrix} 0 amp; -i {\ sqrt {1}} amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; \ cdots \\ i {\ sqrt {1}} amp; 0 amp; -i {\ sqrt {2}} amp; 0 amp; 0 amp; \ cdots \\ 0 amp; i {\ sqrt {2}} amp; 0 amp; -i {\ sqrt {3}} amp; 0 amp; \ cdots \\ 0 amp; 0 amp; i {\ sqrt {3}} amp; 0 amp; -i {\ sqrt {4}} amp; \ cdots \\\ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots amp; \ ddots \\\ end {bmatrix}},}$

которые, с точностью до выбора единиц, являются матрицами Гейзенберга для гармонического осциллятора. Обе матрицы эрмитовы, так как они построены из коэффициентов Фурье действительных величин.

Нахождение X ( t) и P ( t) является прямым, поскольку они являются квантовыми коэффициентами Фурье, поэтому они просто эволюционируют со временем,

${\ Displaystyle X_ {mn} (t) = X_ {mn} (0) e ^ {i (E_ {m} -E_ {n}) t}, \ quad P_ {mn} (t) = P_ {mn} (0) e ^ {i (E_ {m} -E_ {n}) t} ~.}$

Матричное произведение X и P не эрмитово, но имеет действительную и мнимую части. Действительная часть равна половине симметричного выражения XP + PX, а мнимая часть пропорциональна коммутатору

${\ Displaystyle [X, P] = (XP-PX)}$.

Несложно явно проверить, что XP - PX в случае гармонического осциллятора - это iħ, умноженное на единицу.

Также несложно проверить, что матрица

${\ Displaystyle H = {1 \ более 2} (X ^ {2} + P ^ {2})}$

- диагональная матрица с собственными значениями E i.

Дополнительная информация: квантовый гармонический осциллятор § Метод лестничного оператора

Сохранение энергии

Основная статья: Сохранение энергии

Гармонический осциллятор - важный случай. Найти матрицы проще, чем определить общие условия из этих специальных форм. По этой причине Гейзенберг исследовал ангармонический осциллятор с гамильтонианом

${\ displaystyle H = {1 \ over 2} P ^ {2} + {1 \ over 2} X ^ {2} + \ epsilon X ^ {3} ~.}$

В этом случае матрицы X и P больше не являются простыми недиагональными матрицами, поскольку соответствующие классические орбиты слегка сжаты и смещены, так что они имеют коэффициенты Фурье на каждой классической частоте. Для определения матричных элементов Гейзенберг потребовал, чтобы классические уравнения движения выполнялись как матричные уравнения:

${\ displaystyle {dX \ over dt} = P \ quad {dP \ over dt} = - X-3 \ epsilon X ^ {2} ~.}$

Он заметил, что если это можно сделать, то H, рассматриваемая как матричная функция от X и P, будет иметь нулевую производную по времени.

${\ displaystyle {dH \ over dt} = P * {dP \ over dt} + (X + 3 \ epsilon X ^ {2}) * {dX \ over dt} = 0 ~,}$

где A ∗ B - антикоммутатор,

${\ Displaystyle A * B = {1 \ более 2} (AB + BA) ~}$.

Учитывая, что все недиагональные элементы имеют ненулевую частоту; Постоянство H означает, что H диагональна. Гейзенбергу было ясно, что в этой системе энергия может точно сохраняться в произвольной квантовой системе, и это очень обнадеживающий знак.

Процесс испускания и поглощения фотонов, казалось, требовал сохранения энергии в лучшем случае в среднем. Если волна, содержащая ровно один фотон, проходит над некоторыми атомами, и один из них поглощает его, этот атом должен сообщить другим, что они больше не могут поглощать фотон. Но если атомы находятся далеко друг от друга, любой сигнал не может достичь других атомов во времени, и они могут в конечном итоге поглотить тот же фотон и рассеять энергию в окружающую среду. Когда сигнал достигнет их, другие атомы должны будут каким-то образом вспомнить эту энергию. Этот парадокс заставил Бора, Крамерса и Слейтера отказаться от точного сохранения энергии. Формализм Гейзенберга, когда он был расширен, чтобы включить электромагнитное поле, очевидно собирался обойти эту проблему, намек на то, что интерпретация теории будет включать коллапс волновой функции.

Уловка дифференцирования - канонические коммутационные соотношения

Требование сохранения классических уравнений движения не является достаточно сильным условием для определения матричных элементов. Постоянная Планка не появляется в классических уравнениях, так что матрицы могут быть построены для различных значений ħ и по- прежнему удовлетворяют уравнениям движения, но с различными энергетическими уровнями.

Итак, чтобы реализовать свою программу, Гейзенбергу нужно было использовать старое квантовое условие для фиксации уровней энергии, затем заполнить матрицы коэффициентами Фурье классических уравнений, затем слегка изменить матричные коэффициенты и уровни энергии, чтобы убедиться, что классические уравнения выполнены. Это явно не удовлетворительно. Старые квантовые условия относятся к области, ограниченной острыми классическими орбитами, которых нет в новом формализме.

Самая важная вещь, которую открыл Гейзенберг, - это как перевести старое квантовое условие в простую формулировку матричной механики.

Для этого он исследовал интеграл действия как матричную величину,

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} \ sum _ {k} P_ {mk} (t) {dX_ {kn} \ over dt} dt \, \, {\ stackrel {\ scriptstyle?} {\ приблизительно}} \, \, J_ {mn} ~.}$

Есть несколько проблем с этим интегралом, все проистекающие из несовместимости матричного формализма со старой картиной орбит. Какой период T следует использовать? Полуклассический, он должен быть либо м или п, но разница порядка ħ, и ответ на заказ ħ ищется. Квантовое условие говорит нам, что J млн является 2π п по диагонали, поэтому тот факт, что J классически константа говорит нам, что недиагональные элементы равны нулю.

Его решающее открытие заключалось в том, чтобы дифференцировать квантовое условие по n. Эта идея имеет полный смысл только в классическом пределе, где n - не целое число, а переменная непрерывного действия J, но Гейзенберг проделал аналогичные манипуляции с матрицами, где промежуточные выражения иногда представляют собой дискретные разности, а иногда - производные.

В нижеследующем обсуждении, для ясности, дифференцирование будет выполнено по классическим переменным, а затем будет произведен переход к матричной механике, руководствуясь принципом соответствия.

В классической постановке производная - это производная по J интеграла, определяющего J, поэтому она тавтологически равна 1.

${\ displaystyle {d \ over dJ} \ int _ {0} ^ {T} PdX = 1}$

${\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {T} dt \ left ({dP \ over dJ} {dX \ over dt} + P {d \ over dJ} {dX \ over dt} \ right) = \ int _ {0} ^ {T} dt \ left ({dP \ over dJ} {dX \ over dt} - {dP \ over dt} {dX \ over dJ} \ right) \,}$

где производные dP / dJ и dX / dJ следует интерпретировать как разности относительно J в соответствующие моменты времени на близлежащих орбитах, именно то, что было бы получено, если бы коэффициенты Фурье орбитального движения были дифференцированы. (Эти производные симплектически ортогональны в фазовом пространстве производным по времени dP / dt и dX / dt).

Окончательное выражение поясняется введением переменной, канонически сопряженной с J, которая называется угловой переменной θ: производная по времени является производной по θ с точностью до 2π T,

${\ displaystyle {2 \ pi \ over T} \ int _ {0} ^ {T} dt \ left ({dp \ over dJ} {dX \ over d \ theta} - {dP \ over d \ theta} {dX \ over dJ} \ right) = 1 \,.}$

Таким образом, квантовое состояние интеграл среднего значения в течение одного цикла скобки Пуассона из X и P.

Аналогичное дифференцирование ряда Фурье P dX показывает, что недиагональные элементы скобки Пуассона равны нулю. Скобка Пуассона двух канонически сопряженных переменных, таких как X и P, представляет собой постоянное значение 1, поэтому этот интеграл на самом деле является средним значением 1; так что это 1, как мы знали с самого начала, потому что это, в конце концов, dJ / dJ. Но Гейзенберг, Борн и Джордан, в отличие от Дирака, не были знакомы с теорией скобок Пуассона, поэтому для них дифференцирование эффективно вычисляло { X, P } в координатах J, θ.

Скобка Пуассона, в отличие от интеграла действия, имеет простой перевод в матричную механику - обычно она соответствует мнимой части произведения двух переменных, коммутатору.

Чтобы убедиться в этом, исследуйте (антисимметричное) произведение двух матриц A и B в пределе соответствия, где матричные элементы являются медленно меняющимися функциями индекса, имея в виду, что ответ классически равен нулю.

В пределе соответствия, когда индексы m, n большие и близкие, а k, r малы, скорость изменения матричных элементов в диагональном направлении является матричным элементом J- производной соответствующей классической величины. Таким образом, можно сдвинуть любой матричный элемент по диагонали через соответствие,

${\ Displaystyle А _ {(т + г) (п + г)} - А_ {тп} \ приблизительно р \; \ влево ({дА \ над дДж} \ право) _ {тп} \,}$

где правая часть на самом деле является только ( m - n) -й компонентой Фурье dA / dJ на орбите рядом с m к этому полуклассическому порядку, а не полностью четко определенной матрицей.

Квазиклассическая производная по времени матричного элемента получается с точностью до множителя i путем умножения на расстояние от диагонали,

${\ Displaystyle ikA_ {м (м + к)} \ приблизительно \ влево ({Т \ над 2 \ pi} {dA \ над dt} \ справа) _ {m (m + k)} = \ left ({dA \ над d \ theta} \ right) _ {m (m + k)} \,.}$

поскольку коэффициент A m (m + k) квазиклассически является k -м коэффициентом Фурье m -й классической орбиты.

Мнимую часть произведения A и B можно оценить, сдвигая элементы матрицы, чтобы воспроизвести классический ответ, равный нулю.

Тогда ведущий ненулевой остаток полностью определяется сдвигом. Поскольку все элементы матрицы находятся в индексах, которые находятся на небольшом расстоянии от позиции большого индекса ( m, m), полезно ввести два временных обозначения: A [ r, k ] = A (m + r) (m + k) для матриц и ( dA / dJ) [ r ] для r -ых компонент Фурье классических величин,

${\ Displaystyle (AB-BA) [0, k] = \ sum _ {r = - \ infty} ^ {\ infty} \ left (A [0, r] B [r, k] -A [r, k ] B [0, r] \ right)}$

${\ displaystyle = \ sum _ {r} \ left (\; A [-r + k, k] + (rk) {dA \ over dJ} [r] \; \ right) \ left (\; B [0, kr] + r {dB \ over dJ} [rk] \; \ right) - \ sum _ {r} A [r, k] B [0, r] \,.}$

Перемещая переменную суммирования в первой сумме с r на r ' = k - r, матричный элемент принимает вид,

${\ displaystyle \ sum _ {r '} (\; A [r', k] -r '{dA \ over dJ} [k-r'] \;) \ left (\; B [0, r '] + (k-r ') {dB \ over dJ} [r'] \; \ right) - \ sum _ {r} A [r, k] B [0, r] \,}$

и ясно, что основная (классическая) часть сокращается.

Тогда ведущая квантовая часть без учета произведения производных высшего порядка в остаточном выражении равна

знак равно${\ displaystyle \ sum _ {r '} \ left (\; {дБ \ над dJ} [r'] (k-r ') A [r', k] - {dA \ over dJ} [k-r ' ] r'B [0, r '] \ right)}$

так что, наконец,

${\ displaystyle (AB-BA) [0, k] = \ sum _ {r '} \ left (\; {dB \ over dJ} [r'] i {dA \ over d \ theta} [k-r ' ] - {dA \ over dJ} [k-r '] i {dB \ over d \ theta} [r'] \ right) \,}$

который можно отождествить с i, умноженным на k -ю классическую компоненту Фурье скобки Пуассона.

Первоначальный трюк Гейзенберга с дифференцированием был в конечном итоге расширен до полного полуклассического вывода квантового условия в сотрудничестве с Борном и Джорданом. Как только они смогли установить, что

${\ displaystyle {\ frac {ih} {2 \ pi}} \ {X, P \} _ {\ mathrm {PB}} \ qquad \ qquad \ longmapsto \ qquad \ qquad [X, P] \ Equiv XP-PX = {\ frac {ih} {2 \ pi}} \,}$,

это условие заменило и расширило старое правило квантования, позволяя определять матричные элементы P и X для произвольной системы просто из формы гамильтониана.

Новое правило квантования считалось универсальным, хотя вывод из старой квантовой теории требовал полуклассических рассуждений. (Однако полная квантовая трактовка более сложных аргументов в пользу скобок была оценена в 1940-х годах как расширение скобок Пуассона до скобок Мойала. )

Векторы состояния и уравнение Гейзенберга

Для перехода к стандартной квантовой механике наиболее важным дополнительным дополнением был вектор квантового состояния, который теперь записывается как | г | ⟩, который является вектором, что матрицы действуют на. Без вектора состояния неясно, какое именно движение описывают матрицы Гейзенберга, поскольку они где-то включают все движения.

Интерпретация вектора состояния, компоненты которого записываются как ψ m, была предоставлена ​​Борном. Эта интерпретация является статистической: результат измерения физической величины, соответствующей матрице A, является случайным, со средним значением, равным

${\ displaystyle \ sum _ {mn} \ psi _ {m} ^ {*} A_ {mn} \ psi _ {n} ~.}$

Альтернативно, что эквивалентно, вектор состояния дает амплитуду вероятности ψ n для квантовой системы, которая находится в энергетическом состоянии n.

Как только вектор состояния был введен, матричная механика могла быть повернута к любому базису, где матрица H больше не должна быть диагональной. Уравнение движения Гейзенберга в своей исходной форме утверждает, что A mn эволюционирует во времени как фурье-компонента:

${\ Displaystyle A_ {mn} (t) = e ^ {я (E_ {m} -E_ {n}) t} A_ {mn} (0) ~,}$

которое может быть преобразовано в дифференциальную форму

${\ displaystyle {dA_ {mn} \ over dt} = i (E_ {m} -E_ {n}) A_ {mn} ~,}$

и его можно переформулировать так, чтобы оно было истинным для произвольного базиса, отметив, что матрица H диагональна с диагональными значениями E m,

${\ displaystyle {dA \ over dt} = я (HA-AH) ~.}$

Теперь это матричное уравнение, поэтому оно выполняется в любом базисе. Это современная форма уравнения движения Гейзенберга.

Его формальное решение:

${\ displaystyle \, A (t) = e ^ {iHt} A (0) e ^ {- iHt} ~.}$

Все эти формы приведенного выше уравнения движения говорят об одном и том же, что A ( t) эквивалентно A (0), благодаря повороту базиса на унитарную матрицу e ^iHt, систематическая картина, разъясненная Дираком в его обозначениях на скобках..

И наоборот, поворачивая базис вектора состояния в каждый момент времени на e ^iHt, временная зависимость в матрицах может быть отменена. Теперь матрицы не зависят от времени, но вектор состояния вращается,

${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {- iHt} | \ psi (0) \ rangle, \; \; \; \; {d | \ psi \ rangle \ over dt} = - iH | \ psi \ rangle ~.}$

Это уравнение Шредингера для вектора состояния, и это зависит от времени изменения базиса сводится к преобразованию в картину Шредингера, с ⟨ х | г | ⟩ = г | (х).

В квантовой механике в Гейзенберге картины в векторе состояния, | г | ⟩ не изменяется с течением времени, в то время как наблюдаемые А, удовлетворяет уравнению Гейзенберга движения,

${\ displaystyle {\ frac {dA} {dt}} = {я \ над \ hbar} [H, A] + {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} ~.}$

Дополнительный термин предназначен для таких операторов, как

${\ displaystyle A = (X + t ^ {2} P)}$

которые имеют явную временную зависимость в дополнение к временной зависимости от обсуждаемой унитарной эволюции.

Картина Гейзенберга не отделяет время от пространства, поэтому она лучше подходит для релятивистских теорий, чем уравнение Шредингера. Более того, сходство с классической физикой более очевидно: гамильтоновы уравнения движения для классической механики восстанавливаются заменой коммутатора наверху скобкой Пуассона (см. Также ниже). По теореме Стоуна – фон Неймана картина Гейзенберга и картина Шредингера должны быть унитарно эквивалентными, как подробно описано ниже.

Матричная механика быстро превратилась в современную квантовую механику и дала интересные физические результаты по спектрам атомов.

Волновая механика

Джордан отметил, что коммутационные соотношения гарантируют, что P действует как дифференциальный оператор.

Личность оператора

${\ displaystyle [a, bc] = abc-bca = abc-bac + bac-bca = [a, b] c + b [a, c] \,}$

позволяет вычислить коммутатор P с любой степенью X, и это означает, что

${\ displaystyle [P, X ^ {n}] = - в ~ X ^ {n-1} \,}$

которые вместе с линейности, следует, что P -commutator эффективно дифференцирует любую аналитическую матрицу - функцию X.

Предполагая, что пределы определены разумно, это распространяется на произвольные функции - но это расширение не нужно делать явным, пока не потребуется определенная степень математической строгости,

${\ displaystyle [P, f (X)] = - если '(X) \,.}$

Поскольку X - эрмитова матрица, она должна быть диагонализуемой, и из окончательной формы P будет ясно, что каждое действительное число может быть собственным значением. Это усложняет математику, поскольку для каждой точки пространства существует отдельный собственный вектор.

В базисе с диагональным X произвольное состояние можно записать как суперпозицию состояний с собственными значениями x,

${\ Displaystyle | \ psi \ rangle = \ int _ {x} \ psi (x) | x \ rangle \,}$,

так что ψ ( х) = ⟨ х | г | ⟩, и оператор X умножает каждый собственных векторов по х,

${\ Displaystyle X | \ psi \ rangle = \ int _ {x} x \ psi (x) | x \ rangle ~.}$

Определим линейный оператор D, дифференцирующий ψ,

${\ Displaystyle D \ int _ {x} \ psi (x) | x \ rangle = \ int _ {x} \ psi '(x) | x \ rangle \,}$,

и обратите внимание, что

${\ Displaystyle (DX-XD) | \ psi \ rangle = \ int _ {x} \ left [\ left (x \ psi (x) \ right) '- x \ psi' (x) \ right] | x \ rangle = \ int _ {x} \ psi (x) | x \ rangle = | \ psi \ rangle \,}$,

так что оператор - Ид подчиняется тому же коммутационное соотношение как P. Таким образом, разница между P и - iD должна коммутировать с X,

${\ Displaystyle [P + iD, X] = 0 \,}$,

поэтому его можно одновременно диагонализовать с X: его значение, действующее на любое собственное состояние X, является некоторой функцией f собственного значения x.

Эта функция должна быть реальной, потому что и P, и - iD эрмитовы,

${\ Displaystyle (P + iD) | х \ rangle = f (x) | x \ rangle \,}$,

поворот каждого состояния на фазу f ( x), то есть переопределение фазы волновой функции: ${\ Displaystyle | х \ rangle}$

${\ Displaystyle \ psi (x) \ rightarrow e ^ {- if (x)} \ psi (x) \,}$.

Оператор iD переопределяется на сумму:

${\ Displaystyle iD \ rightarrow iD + f (X) \,}$,

что означает, что в повернутом базисе P равно - iD.

Следовательно, всегда существует база для собственных значений X, где действие P на любую волновую функцию известно:

${\ Displaystyle P \ int _ {x} \ psi (x) | x \ rangle = \ int _ {x} -i \ psi '(x) | x \ rangle \,}$,

а гамильтониан в этом базисе является линейным дифференциальным оператором на компонентах вектора состояния:

${\ displaystyle \ left [{P ^ {2} \ over 2m} + V (X) \ right] \ int _ {x} \ psi _ {x} | x \ rangle = \ int _ {x} \ left [ - {1 \ over 2m} {\ partial ^ {2} \ over \ partial x ^ {2}} + V (x) \ right] \ psi _ {x} | x \ rangle}$

Таким образом, уравнение движения для вектора состояния - это всего лишь знаменитое дифференциальное уравнение,

${\ Displaystyle я {\ partial \ over \ partial t} \ psi _ {t} (x) = \ left [- {1 \ over 2m} {\ partial ^ {2} \ over \ partial x ^ {2}} + V (x) \ right] \ psi _ {t} (x) \,.}$

Смотрите также: картину Шредингера

Поскольку D - дифференциальный оператор, для его разумного определения должны быть собственные значения X, которые соседствуют с каждым заданным значением. Это предполагает, что единственная возможность состоит в том, что пространство всех собственных значений X - это все действительные числа, и что P - это iD, с точностью до поворота фазы.

Чтобы сделать это строгое, требуется разумное обсуждение предельного пространства функций, и в этом пространстве это теорема Стоуна – фон Неймана : любые операторы X и P, которые подчиняются коммутационным соотношениям, можно заставить действовать в пространстве волновых функций, при этом P - производный оператор. Это означает, что изображение Шредингера всегда доступно.

Матричная механика естественным образом легко расширяется до многих степеней свободы. Каждая степень свободы имеет отдельный X- оператор и отдельный эффективный дифференциальный оператор P, а волновая функция является функцией всех возможных собственных значений независимых коммутирующих X- переменных.

${\ displaystyle [X_ {i}, X_ {j}] = 0 \,}$

${\ displaystyle [P_ {i}, P_ {j}] = 0 \,}$

${\ displaystyle [X_ {i}, P_ {j}] = i \ delta _ {ij} \,.}$

В частности, это означает, что система из N взаимодействующих частиц в 3 измерениях описывается одним вектором, компоненты которого в базисе, где все X являются диагональными, являются математической функцией 3 N -мерного пространства, описывающего все их возможные положения, что по сути является очень большим больший набор значений, чем простой набор N трехмерных волновых функций в одном физическом пространстве. Шредингер независимо пришел к такому же выводу и в конце концов доказал эквивалентность своего собственного формализма и формализма Гейзенберга.

Поскольку волновая функция является свойством всей системы, а не какой-либо ее части, описание в квантовой механике не является полностью локальным. Описание нескольких квантовых частиц коррелировало или запутывало их. Эта запутанность приводит к странным корреляциям между удаленными частицами, которые нарушают классическое неравенство Белла.

Даже если частицы могут находиться только в двух положениях, волновая функция для N частиц требует 2 ^N комплексных чисел, по одному на каждую общую конфигурацию положений. Это экспоненциально много чисел в N, поэтому моделирование квантовой механики на компьютере требует экспоненциальных ресурсов. И наоборот, это говорит о том, что можно было бы найти квантовые системы размера N, которые физически вычисляют ответы на проблемы, для решения которых обычно требуется 2 ^N бит. Это стремление к квантовым вычислениям.

Теорема Эренфеста

Основная статья: Теорема Эренфеста

Для зависящих от времени операторов X и P, ∂ / ∂ т = 0, так что уравнение Гейзенберга выше сводится к:

${\ displaystyle i \ hbar {dA \ over dt} = [A, H] = AH-HA}$,

где квадратные скобки [,] обозначают коммутатор. Для гамильтониана, который есть, операторы X и P удовлетворяют: ${\ displaystyle p ^ {2} / 2m + V (x)}$

${\ displaystyle {dX \ over dt} = {P \ over m}, \ quad {dP \ over dt} = - \ nabla V}$,

где первая классическая скорость, а вторая классическая сила или градиент потенциала. Они воспроизводят форму Гамильтона законов движения Ньютона. В картине Гейзенберга операторы X и P удовлетворяют классическим уравнениям движения. Вы можете взять математическое ожидание обеих сторон уравнения, чтобы увидеть, что в любом состоянии | г | ⟩:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle X \ rangle = {\ frac {d} {dt}} \ langle \ psi | X | \ psi \ rangle = {\ frac {1} {m} } \ langle \ psi | P | \ psi \ rangle = {\ frac {1} {m}} \ langle P \ rangle}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle P \ rangle = {\ frac {d} {dt}} \ langle \ psi | P | \ psi \ rangle = \ langle \ psi | (- \ nabla V) | \ psi \ rangle = - \ langle \ nabla V \ rangle \,.}$

Таким образом, законы Ньютона точно подчиняются ожидаемым значениям операторов в любом данном состоянии. Это теорема Эренфеста, которая является очевидным следствием уравнений движения Гейзенберга, но менее тривиальна в картине Шредингера, где ее открыл Эренфест.

Теория трансформации

Основная статья: Теория преобразований (квантовая механика)

В классической механике каноническое преобразование координат фазового пространства - это преобразование, которое сохраняет структуру скобок Пуассона. Новые переменные x ', p' имеют те же скобки Пуассона друг с другом, что и исходные переменные x, p. Временная эволюция - это каноническое преобразование, поскольку фазовое пространство в любой момент времени является таким же хорошим выбором переменных, как и фазовое пространство в любое другое время.

Гамильтонов поток - это каноническое преобразование :

${\ displaystyle x \ rightarrow x + dx = x + {\ partial H \ over \ partial p} dt}$

${\ displaystyle p \ rightarrow p + dp = p - {\ partial H \ over \ partial x} dt ~.}$

Поскольку гамильтониан может быть произвольной функцией от x и p, существуют такие бесконечно малые канонические преобразования, соответствующие каждой классической величине G, где G служит гамильтонианом для создания потока точек в фазовом пространстве для приращения времени s,

${\ displaystyle dx = {\ partial G \ over \ partial p} ds = \ {G, X \} ds \,}$

${\ displaystyle dp = - {\ partial G \ over \ partial x} ds = \ {G, P \} ds \,.}$

Для общей функции A ( x, p) на фазовом пространстве ее бесконечно малое изменение на каждом шаге ds при этом отображении равно

${\ displaystyle dA = {\ partial A \ over \ partial x} dx + {\ partial A \ over \ partial p} dp = \ {A, G \} ds \,.}$

Величина G называется инфинитезимальным генератором канонического преобразования.

В квантовой механике квантовый аналог G теперь является эрмитовой матрицей, а уравнения движения задаются коммутаторами:

${\ Displaystyle dA = я [G, A] ds \,.}$

Бесконечно малые канонические движения могут быть формально интегрированы так же, как уравнение движения Гейзенберга:

${\ Displaystyle A '= U ^ {\ dagger} AU \,}$

где U = е ^IGS и ев произвольный параметр.

Таким образом, определение квантового канонического преобразования - это произвольное унитарное изменение базиса в пространстве всех векторов состояния. U - произвольная унитарная матрица, комплексное вращение в фазовом пространстве,

${\ Displaystyle U ^ {\ dagger} = U ^ {- 1} \,.}$

Эти преобразования оставляют неизменной сумму абсолютных квадратов компонентов волновой функции, в то время как они переводят состояния, кратные друг другу (включая состояния, которые являются мнимыми кратными друг другу), в состояния, которые являются одинаковыми кратными друг другу.

Интерпретация матриц заключается в том, что они действуют как генераторы движений в пространстве состояний.

Например, движение, создаваемое P, можно найти, решив уравнение движения Гейзенберга, используя P в качестве гамильтониана,

${\ Displaystyle dX = я [X, P] ds = ds \,}$

${\ Displaystyle dP = я [P, P] ds = 0 \,.}$

Это переводы матрицы X на единицу, кратную единичной матрице,

${\ Displaystyle X \ rightarrow X + sI ~.}$

Это интерпретация оператора производной D: e ^iPs = e ^D, экспонента оператора производной является переносом (так что оператор сдвига Лагранжа).

Х оператор аналогичным образом генерирует переводы в P. Гамильтониан генерирует трансляции во времени, угловой момент генерирует вращения в физическом пространстве, а оператор X ² + P ² генерирует вращения в фазовом пространстве.

Когда преобразование, подобное вращению в физическом пространстве, коммутирует с гамильтонианом, преобразование называется симметрией (за вырождением) гамильтониана - гамильтониан, выраженный через повернутые координаты, совпадает с исходным гамильтонианом. Это означает, что изменение гамильтониана при генераторе инфинитезимальной симметрии L обращается в нуль,

${\ displaystyle {dH \ over ds} = я [L, H] = 0 \,.}$

Отсюда следует, что изменение генератора при переносе времени также обращается в нуль:

${\ displaystyle {dL \ over dt} = я [H, L] = 0 \,}$

так что матрица L постоянна во времени: она сохраняется.

Взаимно однозначная ассоциация генераторов инфинитезимальной симметрии и законов сохранения была открыта Эмми Нётер для классической механики, где коммутаторы представляют собой скобки Пуассона, но квантово-механические рассуждения идентичны. В квантовой механике любое преобразование унитарной симметрии приводит к закону сохранения, поскольку если матрица U обладает свойством, что

${\ displaystyle U ^ {- 1} HU = H \,}$

из этого следует, что

${\ displaystyle UH = HU}$

и что производная U по времени равна нулю - она ​​сохраняется.

Собственные значения унитарных матриц являются чистыми фазами, так что значение унитарной сохраняющейся величины является комплексным числом единичной величины, а не действительным числом. Другими словами, унитарная матрица - это экспонента от i, умноженная на эрмитову матрицу, так что аддитивная сохраняющаяся действительная величина, фаза, хорошо определена только до целого числа, кратного 2π. Только когда унитарная матрица симметрии является частью семейства, которое сколь угодно близко подходит к единице, сохраняемые действительные величины являются однозначными, и тогда требование их сохранения становится гораздо более строгим ограничением.

Симметрии, которые могут быть непрерывно связаны с идентичностью, называются непрерывными, а смещения, вращения и повышения являются примерами. Симметрии, которые не могут быть непрерывно связаны с идентичностью, являются дискретными, а операция пространственной инверсии или четности и зарядового сопряжения являются примерами.

Интерпретация матриц как генераторов канонических преобразований принадлежит Полю Дираку. Соответствие между симметриями и матрицами было показано Юджином Вигнером как полное, если включить антиунитарные матрицы, которые описывают симметрии, включающие обращение времени.

Правила отбора

Гейзенбергу было физически ясно, что абсолютные квадраты матричных элементов X, которые являются коэффициентами Фурье колебания, дадут скорость испускания электромагнитного излучения.

В классическом пределе больших орбит, если заряд с положением X ( t) и зарядом q колеблется рядом с равным и противоположным зарядом в положении 0, мгновенный дипольный момент равен q X ( t), и изменение во времени этого момент переводится непосредственно в пространственно-временное изменение векторного потенциала, которое дает вложенные исходящие сферические волны.

Для атомов длина волны излучаемого света примерно в 10 000 раз больше атомного радиуса, а дипольный момент является единственным вкладом в радиационное поле, в то время как все другие детали распределения атомных зарядов можно игнорировать.

Пренебрегая обратной реакцией, мощность, излучаемая в каждом исходящем режиме, представляет собой сумму отдельных вкладов из квадрата каждой независимой временной моды Фурье для d,

${\ displaystyle P (\ omega) = {2 \ over 3} {\ omega ^ {4}} | d_ {i} | ^ {2} ~.}$

Теперь, в представлении Гейзенберга, коэффициенты Фурье дипольного момента матричные элементы X. Это соответствие позволило Гейзенбергу установить правило для интенсивностей переходов, долю времени, в течение которой, начиная с начального состояния i, излучается фотон и атом переходит в конечное состояние j,

${\ Displaystyle P_ {ij} = {2 \ более 3} (E_ {i} -E_ {j}) ^ {4} | X_ {ij} | ^ {2} \,.}$

Затем это позволило статистически интерпретировать величину матричных элементов: они дают интенсивность спектральных линий, вероятность квантовых скачков от испускания дипольного излучения.

Поскольку скорости переходов задаются матричными элементами X, везде, где X ij равно нулю, соответствующий переход должен отсутствовать. Они назывались правилами выбора и были загадкой до появления матричной механики.

Произвольное состояние атома водорода без учета спина обозначено | n ; ℓ, m⟩, где значение ℓ является мерой полного орбитального углового момента, а m - его z -компонента, определяющая ориентацию орбиты. Компоненты псевдовектора углового момента равны

${\ displaystyle L_ {i} = \ epsilon _ {ijk} X ^ {j} P ^ {k} \,}$

где продукты в этом выражении не зависят от порядка и действительны, потому что разные компоненты X и P коммутируют.

Коммутационные соотношения L со всеми тремя координатными матрицами X, Y, Z (или с любым вектором) легко найти:

${\ displaystyle [L_ {i}, X_ {j}] = i \ epsilon _ {ijk} X_ {k} \,}$,

который подтверждает, что оператор L генерирует повороты между тремя компонентами вектора координат матрицы X.

Отсюда можно считать коммутатор L z и координатные матрицы X, Y, Z:

${\ displaystyle [L_ {z}, X] = iY \,}$,

${\ displaystyle [L_ {z}, Y] = - iX \,}$.

Это означает, что величины X + iY, X - iY имеют простое правило коммутации:

${\ Displaystyle [L_ {Z}, X + iY] = (X + iY) \,}$,

${\ Displaystyle [L_ {z}, X-iY] = - (X-iY) \,}$.

Подобно матричным элементам X + iP и X - iP для гамильтониана гармонического осциллятора, этот закон коммутации подразумевает, что эти операторы имеют только определенные недиагональные матричные элементы в состояниях с определенным m,

${\ displaystyle L_ {z} ((X + iY) | m \ rangle) = (X + iY) L_ {z} | m \ rangle + (X + iY) | m \ rangle = (m + 1) (X + iY) | m \ rangle \,}$

означает, что матрица ( X + iY) переводит собственный вектор L z с собственным значением m в собственный вектор с собственным значением m + 1. Точно так же ( X - iY) уменьшает m на одну единицу, в то время как Z не меняет значение m.

Итак, в основе | ℓ, m⟩ состояния, в которых L ² и L z имеют определенные значения, матричные элементы любого из трех компонентов позиции равны нулю, за исключением случаев, когда m одинаковое или изменяется на единицу.

Это накладывает ограничение на изменение полного углового момента. Любое состояние можно повернуть так, чтобы его угловой момент был в максимально возможной степени в z- направлении, где m =. Матричный элемент позиции, действующий на | ℓ, m⟩ может производить только значения m, которые больше на единицу, так что если координаты повернуты так, что конечное состояние будет | ', ℓ'⟩, значение ℓ 'может быть не более чем на единицу больше, чем наибольшее значение ℓ, которое встречается в начальном состоянии. Таким образом, 'не превосходит + 1.

Матричные элементы обращаются в нуль при 'gt; ℓ + 1, а обратный матричный элемент определяется эрмитичностью, поэтому они исчезают также при' lt;ℓ - 1: дипольные переходы запрещены при изменении углового момента более чем на одну единицу.

Правила сумм

Уравнение Гейзенберга движения определяет матричные элементы Р в базисе Гейзенберга из матричных элементов X.

${\ Displaystyle P_ {ij} = m {d \ over dt} X_ {ij} = im (E_ {i} -E_ {j}) X_ {ij} \,}$,

что превращает диагональную часть коммутационного соотношения в правило сумм для величин матричных элементов:

${\ displaystyle \ sum _ {j} P_ {ij} x_ {ji} -X_ {ij} p_ {ji} = i \ sum _ {j} 2m (E_ {i} -E_ {j}) | X_ {ij } | ^ {2} = я \,}$.

Это дает соотношение для суммы спектроскопических интенсивностей в любое заданное состояние и из него, хотя, чтобы быть абсолютно правильным, вклады от вероятности радиационного захвата для состояний несвязанного рассеяния должны быть включены в сумму:

${\ displaystyle \ sum _ {j} 2m (E_ {i} -E_ {j}) | X_ {ij} | ^ {2} = 1 \,}$.

• Картинка взаимодействия
• Обозначение бюстгальтера
• Введение в квантовую механику
• Путь Гейзенберга к матричной механике

• Бернштейн, Джереми (2005). «Макс Борн и квантовая теория». Американский журнал физики. Американская ассоциация учителей физики (AAPT). 73 (11): 999–1008. DOI : 10.1119 / 1.2060717. ISSN   0002-9505.
• Макс Борн Статистическая интерпретация квантовой механики. Нобелевская лекция - 11 декабря 1954 г.
• Нэнси Торндайк Гринспен, « Конец определенного мира: жизнь и наука Макса Борна » (Basic Books, 2005) ISBN   0-7382-0693-8. Также опубликовано в Германии: Max Born - Baumeister der Quantenwelt. Биография Эйне ( Spektrum Akademischer Verlag, 2005), ISBN   3-8274-1640-X.
• Макс Джаммер Концептуальное развитие квантовой механики (McGraw-Hill, 1966)
• Джагдиш Мехра и Гельмут Рехенберг Историческое развитие квантовой теории. Том 3. Формулировка матричной механики и ее модификации 1925–1926 гг. (Springer, 2001) ISBN   0-387-95177-6
• Б.Л. ван дер Варден, редактор, Источники квантовой механики (Dover Publications, 1968) ISBN   0-486-61881-1
• Эйчисон, Ян-младший; MacManus, David A.; Снайдер, Томас М. (2004). «Понимание« волшебной »статьи Гейзенберга от июля 1925 года: новый взгляд на детали расчетов». Американский журнал физики. Американская ассоциация учителей физики (AAPT). 72 (11): 1370–1379. arXiv : квант-ph / 0404009. DOI : 10.1119 / 1.1775243. ISSN   0002-9505.
• Томас Ф. Джордан, Квантовая механика в простой матричной форме, (публикации Dover, 2005) ISBN   978-0486445304
• Мерцбахер, Э (1968). «Матричные методы в квантовой механике». Являюсь. J. Phys. 36: 814–821. DOI : 10.1119 / 1.1975154.

• Обзор матричной механики
• Матричные методы в квантовой механике
• Квантовая механика Гейзенберга (Истоки теории и ее историческое развитие 1925-1927)
• Вернер Гейзенберг, 1970, интервью на радио CBC
• Вернер Карл Гейзенберг Соучредитель квантовой механики
• О матричной механике в MathPages