В математическом анализе псевдодифференциальный оператор является расширением понятие дифференциального оператора. Псевдодифференциальные операторы широко используются в теории уравнений в частных производных и квантовой теории поля.
Изучение псевдодифференциальных операторов началось в середине 1960-х годов с работ Кона, Ниренберг, Хёрмандер, Унтербергер и Бокобза.
Они сыграли важную роль во втором доказательстве теоремы Атьи – Зингера об индексе через K- теория. Атия и Сингер поблагодарили Хёрмандера за помощь в понимании теории псевдодифференциальных операторов.
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами,
, который действует на гладкие функции с компактной поддержкой в R . Этот оператор может быть записан как композиция преобразования Фурье, простого умножения на полиномиальную функцию (называемую символом )
и обратное преобразование Фурье в форме:
(1) |
Здесь - это мультииндекс, - комплексные числа, а
- повторная частная производная, где ∂ j означает дифференцирование по j-й переменной ле Мы вводим константы , чтобы облегчить вычисление преобразований Фурье.
Преобразование Фурье гладкой функции u, с компактным носителем в R, равно
и обращение Фурье формула дает
Применяя P ( D) к этому представлению u и используя
получается формула (1).
Чтобы решить дифференциальное уравнение в частных производных
, мы (формально) применяем преобразование Фурье к обоим сторон и получаем алгебраическое уравнение
Если символ P (ξ) никогда не равен нулю, когда ξ ∈ R, то можно разделить на P (ξ):
По формуле обращения Фурье решение:
Здесь предполагается, что:
Последнее предположение может быть ослаблено с помощью теории распределений. Первые два предположения можно ослабить следующим образом.
В последней формуле запишите преобразование Фурье, чтобы получить
Это похоже на формулу (1), за исключением того, что 1 / P (ξ) не является полиномиальной функцией, а является функцией более общий вид.
Здесь мы рассматриваем псевдодифференциальные операторы как обобщение дифференциальных операторов. Расширим формулу (1) следующим образом. Псевдодифференциальный оператор P (x, D) на R - это оператор, значение которого на функции u (x) является функцией x:
(2) |
где является преобразованием Фурье функции u, а символ P (x, ξ) в подынтегральном выражении принадлежит определенному классу символов. Например, если P (x, ξ) - бесконечно дифференцируемая функция на R× Rсо свойством
для всех x, ξ ∈ R, всех мультииндексов α, β, некоторых констант C α, β и некоторое действительное число m, тогда P принадлежит классу символов из Hörmander. Соответствующий оператор P (x, D) называется псевдодифференциальным оператором порядка m и принадлежит классу
Линейные дифференциальные операторы порядка m с гладкими ограниченными коэффициентами являются псевдодифференциальными операторами порядка m. Композиция PQ двух псевдодифференциальных операторов P, Q снова является псевдодифференциальным оператором, а символ PQ может быть вычислен с использованием символов P и Q. Сопряженный и транспонированный псевдодифференциальный оператор является псевдодифференциальным оператором. дифференциальный оператор.
Если дифференциальный оператор порядка m (равномерно) эллиптический (порядка m) и обратим, то его обратный оператор является псевдодифференциальным оператором порядка −m, и его символ может рассчитываться. Это означает, что можно более или менее явно решать линейные эллиптические дифференциальные уравнения, используя теорию псевдодифференциальных операторов.
Дифференциальные операторы являются локальными в том смысле, что нужно только значение функции в окрестности точки, чтобы определить эффект оператора. Псевдодифференциальные операторы являются псевдолокальными, что неформально означает, что при применении к распределению они не создают сингулярности в точках, где распределение уже было гладким.
Так же, как дифференциальный оператор может быть выражен через D = −id / dx в форме
для полинома p в D (который называется символом) псевдодифференциальный оператор имеет символ в более общем классе функций. Часто задачу анализа псевдодифференциальных операторов можно свести к последовательности алгебраических задач, связанных с их символами, и в этом суть микролокального анализа.
Псевдо -дифференциальные операторы могут быть представлены ядрами. Особенность ядра на диагонали зависит от степени соответствующего оператора. Фактически, если символ удовлетворяет указанным выше дифференциальным неравенствам с m ≤ 0, можно показать, что ядро является сингулярным интегральным ядром.