В математике дифференциал operator - это оператор, определенный как функция от оператора дифференцирования. Полезно, в первую очередь с точки зрения обозначений, рассматривать дифференцирование как абстрактную операцию, которая принимает функцию и возвращает другую функцию (в стиле функции высшего порядка в информатике ).
В этой статье рассматриваются в основном линейные операторы, которые являются наиболее распространенным типом. Однако также существуют нелинейные дифференциальные операторы, такие как производная Шварца.
Предположим, что существует карта из функционального пространства в другое функциональное пространство и функцию , так что является изображением т.е. A дифференциальный оператор представлен как линейная комбинация, конечно порожденная и его производными, содержащими высшие степень, например
где набор неотрицательных целых чисел, , называется мультииндексным, называется length, - функции в некоторой открытой области в n-мерном пространстве и Вышеупомянутая производная - это функция или, иногда, распределения или гиперфункции и или иногда .
Самый распространенный дифференциальный оператор - это действие по взятию производной. Общие обозначения для взятия первой производной по переменной x включают:
При взятии производных высшего порядка n-го порядка оператор также может быть записан:
Производная функции f от аргумента x иногда задается как следующее:
Использование и создание нотации D связано с Оливером Хевисайдом, который рассмотрел дифференциальные операторы вида
в своем исследовании дифференциальных уравнений.
Один из наиболее часто встречающихся дифференциальных операторов. является оператором Лапласа, определяемым как
Другой дифференциальный оператор - это оператор Θ или тета-оператор, определяемый как
Иногда его также называют оператором однородности, поскольку его собственные функции являются одночленами в z:
В n переменных оператор однородности имеет вид
Как и в одной переменной, собственные подпространства из Θ - это пространства однородных многочленов.
В письменной форме, следуя общепринятому математическому соглашению, аргумент дифференциального оператора обычно помещается справа от самого оператора. Иногда используется альтернативное обозначение: результат применения оператора к функции в левой части оператора и в правой части оператора, а также разница, полученная при применении дифференциального оператора к функциям с обеих сторон, обозначаются стрелками следующим образом:
Такое обозначение двунаправленной стрелки часто используется для описания вероятностного тока квантовой механики.
Дифференциальный оператор del, также называемый оператором набла, является важным векторным дифференциальным оператором. Он часто встречается в физике в таких местах, как дифференциальная форма уравнений Максвелла. В трехмерных декартовых координатах del определяется:
Del определяет градиент и используется для вычисления curl, дивергенции, и лапласиан различных объектов.
Дан линейный дифференциальный оператор T
, сопряженный к этому оператору, определяется как оператор такой, что
, где запись используется для скалярного произведения или внутренний продукт. Следовательно, это определение зависит от определения скалярного произведения.
В функциональном пространстве интегрируемых с квадратом функций на действительном интервале (a, b) скалярное произведение определяется как
где прямая над f (x) обозначает комплексное сопряжение f (x). Если, кроме того, добавить условие, что f или g исчезает для и , можно также определить сопряженный к T как
Эта формула не зависит явно от определения скалярного произведения. Поэтому иногда его выбирают как определение сопряженного оператора. Когда определяется в соответствии с этой формулой, оно называется формальным сопряженным к T.
A (формально) самосопряженный оператор - это оператор, равный своему собственному (формальному) сопряженному.
Если Ω - область в R, а P - дифференциальный оператор на Ω, то сопряженный к P определен в L (Ω) по двойственности аналогичным образом:
для всех гладких L-функций f, g. Поскольку гладкие функции плотны в L, это определяет сопряженный на плотном подмножестве L: P является плотно определенным оператором.
Оператор Штурма – Лиувилля является хорошо известный пример формального самосопряженного оператора. Этот линейный дифференциальный оператор второго порядка L можно записать в форме
Это свойство может быть доказано, используя формальное сопряженное определение выше.
Этот оператор является центральным в теории Штурма – Лиувилля, где собственные функции (аналоги собственных векторов ) этого оператора.
Дифференциация линейна, то есть
где f и g - функции, а a - постоянная.
Любой полином в D с функциональными коэффициентами также является дифференциальным оператором. Мы также можем составлять дифференциальные операторы по правилу
В этом случае требуется некоторая осторожность: сначала любые коэффициенты функции в оператор D 2 должен быть дифференцируемым столько раз, сколько требуется для применения D 1. Чтобы получить кольцо таких операторов, мы должны предполагать производные всех порядков используемых коэффициентов. Во-вторых, это кольцо не будет коммутативным : оператор gD в целом не то же самое, что Dg. Фактически у нас есть, например, базовое отношение квантовой механики :
Подкольцо операторов, которые являются полиномами от D с постоянными коэффициентами , напротив, коммутативен. Его можно охарактеризовать иначе: он состоит из трансляционно-инвариантных операторов.
Дифференциальные операторы также подчиняются теореме сдвига.
Те же конструкции могут быть выполнены с частными производными, дифференцирование по разным переменные, порождающие коммутирующие операторы (см. симметрия вторых производных ).
Если R - кольцо, пусть - некоммутативное кольцо многочленов над R от переменных D и X, а I - двусторонний идеал, порожденный DX-XD-1, тогда кольцо одномерных полиномиальных дифференциальных операторов над R является кольцом частных . Это некоммутативное простое кольцо. Каждый элемент может быть записан уникальным образом как R-линейная комбинация одночленов вида . Он поддерживает аналог евклидова деления многочленов..
Дифференциальные модули над (для стандартного вывода) можно идентифицировать как модули над .
Если R - кольцо, пусть быть некоммутативным кольцом многочленов над R от переменных , и I двусторонний идеал, порожденный элементами
для всех где равно delta Кронекера, тогда кольцо многомерных полиномиальных дифференциальных операторов над R - это фактор-кольцо .
Это некоммутативный простое кольцо. Каждый элемент может быть записан уникальным образом как R-линейная комбинация одночленов вида .
В дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии часто бывает удобно иметь координатно-независимое описание дифференциальных операторов между двумя векторными расслоениями. Пусть E и F - два векторных расслоения над дифференцируемым многообразием M. R -линейное отображение участков P: Γ (E) → Γ (F) называется линейным дифференциальным оператором k-го порядка, если оно множится через струйный пучок J (E). Другими словами, существует линейное отображение векторных расслоений
такие, что
где j: Γ (E) → Γ (J (E)) - это продолжение связывает с любым участком E его k-jet.
. Это просто означает, что для данного участка s E значение P (s) в точке x ∈ M полностью определено бесконечно малым поведением s по x порядка k. В частности, это означает, что P (s) (x) определяется ростком s в x, что выражается в том, что дифференциальные операторы локальны. Основополагающим результатом является теорема Петре, показывающая, что верно и обратное: любой (линейный) локальный оператор является дифференциальным.
Эквивалентное, но чисто алгебраическое описание линейных дифференциальных операторов выглядит следующим образом: R -линейное отображение P является линейным дифференциалом k-го порядка оператор, если для любых k + 1 гладких функций мы имеем
Здесь скобка определяется как коммутатор
Эта характеристика линейных дифференциальных операторов показывает, что они являются частными отображениями между модули над коммутативной алгеброй, позволяя рассматривать концепцию как часть коммутативной алгебры.
Этот подход также используется для изучения функций нескольких сложных переменные и функции моторной переменной.
Концептуальный этап написания дифференциального оператора как чего-то отдельно стоящего приписывается Луи Франсуа Антуану Арбогасту в 1800.