Дифференциальный оператор

редактировать

Обычно линейный оператор, определяемый в терминах дифференцирования функций Гармоническая функция, определенная в кольцевом пространстве. Гармонические функции - это в точности те функции, которые лежат в ядре оператора Лапласа, важного дифференциального оператора.

В математике дифференциал operator - это оператор, определенный как функция от оператора дифференцирования. Полезно, в первую очередь с точки зрения обозначений, рассматривать дифференцирование как абстрактную операцию, которая принимает функцию и возвращает другую функцию (в стиле функции высшего порядка в информатике ).

В этой статье рассматриваются в основном линейные операторы, которые являются наиболее распространенным типом. Однако также существуют нелинейные дифференциальные операторы, такие как производная Шварца.

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Обозначения
  • 3 Del
  • 4 Сопряжение оператора
    • 4.1 Формальное сопряжение в одной переменной
    • 4.2 Несколько переменных
    • 4.3 Пример
  • 5 Свойства дифференциальных операторов
  • 6 Несколько переменных
  • 7 Кольцо полиномиальных дифференциальных операторов
    • 7.1 Кольцо одномерных полиномиальных дифференциальных операторов
    • 7.2 Кольцо многомерных полиномиальных дифференциальных операторов
  • 8 Координатно-независимое описание
    • 8.1 Связь с коммутативной алгеброй
  • 9 Примеры
  • 10 История
  • 11 См. Также
  • 12 Ссылки
  • 13 Внешние ссылки

Определение

Предположим, что существует карта A {\ displaystyle A}A из функционального пространства F 1 {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {1}}{\ mathcal {F}} _ {1} в другое функциональное пространство F 2 {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {2}}{\ mathcal {F}} _ {2} и функцию f ∈ F 2 {\ displaystyle f \ in {\ mathcal { F}} _ {2}}f \ in {\ mathcal {F}} _ {2} , так что f {\ displaystyle f}f является изображением u ∈ F 1 {\ displaystyle u \ in {\ математика al {F}} _ {1}}u \ in {\ mathcal {F}} _ {1} т.е. f = A (u). {\ displaystyle f = A (u) \.}f = A (u) \. A дифференциальный оператор представлен как линейная комбинация, конечно порожденная u {\ displaystyle u}uи его производными, содержащими высшие степень, например

P (x, D) = ∑ | α | ≤ ма α (Икс) D α, {\ Displaystyle P (x, D) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq m} a _ {\ alpha} (x) D ^ {\ alpha} \,}P (x, D) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq m} a _ {\ alpha} (x) D ^ {\ alpha} \,

где набор неотрицательных целых чисел, α = (α 1, α 2, ⋯, α n) {\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ cdots, \ alpha _ {n})}\ alpha = (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ cdots, \ alpha _ {n}) , называется мультииндексным, | α | знак равно α 1 + α 2 + ⋯ + α n {\ displaystyle | \ alpha | = \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ cdots + \ alpha _ {n}}| \ alpha | = \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ cdots + \ alpha _ {n} называется length, a α (x) {\ displaystyle a _ {\ alpha} (x)}a _ {\ alpha} (x) - функции в некоторой открытой области в n-мерном пространстве и D α = D 1 α 1 D 2 α 2 ⋯ D n α n. {\ Displaystyle D ^ {\ alpha} = D_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} D_ {2} ^ {\ alpha _ {2}} \ cdots D_ {n} ^ {\ alpha _ {n} } \.}{\ displaystyle D ^ {\ alpha} = D_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} D_ {2} ^ {\ alpha _ {2}} \ cdots D_ { n} ^ {\ alpha _ {n}} \.} Вышеупомянутая производная - это функция или, иногда, распределения или гиперфункции и D j = - i ∂ ∂ xj {\ displaystyle D_ {j} = - i {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}}}D_ {j} = - i {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} или иногда D j = ∂ ∂ xj {\ displaystyle D_ {j} = {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}}}D_ { j} = {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} .

Обозначения

Самый распространенный дифференциальный оператор - это действие по взятию производной. Общие обозначения для взятия первой производной по переменной x включают:

dd ⁡ x, D, D x, {\ displaystyle {\ operatorname {d} \ over \ operatorname {d} x }, D, \, D_ {x}, \,}{\ displaystyle {\ operatorname {d} \ over \ operatorname {d} x}, D, \, D_ {x}, \,} и ∂ x. {\ displaystyle \ partial _ {x}.}\ partial _ {x}.

При взятии производных высшего порядка n-го порядка оператор также может быть записан:

dnd ⁡ xn, {\ displaystyle {\ operatorname {d} ^ {n} \ над \ operatorname {d} x ^ {n}},}{\ displaystyle {\ operatorname {d} ^ {n} \ over \ operatorname {d} x ^ {n}}, } D n, {\ displaystyle D ^ {n} \,,}D ^ {n} \,, D xn {\ displaystyle D_ {x} ^ {n}}{\ displaystyle D_ {x} ^ {n}} , или ∂ xn {\ displaystyle {\ partial _ {x} ^ {n}} {}}{\ displaystyle {\ partial _ {x} ^ {n}} {}} .

Производная функции f от аргумента x иногда задается как следующее:

[f (x)] ′ {\ displaystyle [f (x)] '\, \!}[f(x)]'\,\!
f ′ (x). {\ displaystyle f '(x). \, \!}f'(x).\,\!

Использование и создание нотации D связано с Оливером Хевисайдом, который рассмотрел дифференциальные операторы вида

∑ k = 0 nck D k {\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} c_ {k} D ^ {k}}\ sum _ {k = 0} ^ {n} c_ {k} D ^ {k}

в своем исследовании дифференциальных уравнений.

Один из наиболее часто встречающихся дифференциальных операторов. является оператором Лапласа, определяемым как

Δ = ∇ 2 = ∑ k = 1 n ∂ 2 ∂ xk 2. {\ displaystyle \ Delta = \ nabla ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ partial ^ {2} \ over \ partial x_ {k} ^ {2}}.}\ Delta = \ nabla ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ partial ^ {2} \ over \ partial x_ {k} ^ {2}}.

Другой дифференциальный оператор - это оператор Θ или тета-оператор, определяемый как

Θ = zddz. {\ displaystyle \ Theta = z {d \ over dz}.}\ Theta = z {d \ over dz}.

Иногда его также называют оператором однородности, поскольку его собственные функции являются одночленами в z:

Θ (zk) = kzk, k = 0, 1, 2,… {\ displaystyle \ Theta (z ^ {k}) = kz ^ {k}, \ quad k = 0,1, 2, \ dots}\ Theta (z ^ {k}) = kz ^ {k}, \ quad k = 0,1,2, \ dots

В n переменных оператор однородности имеет вид

Θ = ∑ k = 1 nxk ∂ ∂ xk. {\ displaystyle \ Theta = \ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}}.}\ Theta = \ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}}.

Как и в одной переменной, собственные подпространства из Θ - это пространства однородных многочленов.

В письменной форме, следуя общепринятому математическому соглашению, аргумент дифференциального оператора обычно помещается справа от самого оператора. Иногда используется альтернативное обозначение: результат применения оператора к функции в левой части оператора и в правой части оператора, а также разница, полученная при применении дифференциального оператора к функциям с обеих сторон, обозначаются стрелками следующим образом:

f ∂ x ← g = g ⋅ ∂ xf {\ displaystyle f {\ overleftarrow {\ partial _ {x}}} g = g \ cdot \ partial _ {x} f}f {\ overleftarrow {\ partial _ {x}}} g = g \ cdot \ partial _ {x} f
е ∂ Икс → g = е ⋅ ∂ xg {\ displaystyle f {\ overrightarrow {\ partial _ {x}}} g = f \ cdot \ partial _ {x} g}f {\ overrightarrow {\ partial _ {x}}} g = f \ cdot \ partial _ {x} g
f ∂ x ↔ g = f ⋅ ∂ xg - g ∂ xf. {\ displaystyle f {\ overleftrightarrow {\ partial _ {x}}} g = f \ cdot \ partial _ {x} gg \ cdot \ partial _ {x} f.}f {\ overleftrightarrow {\ partial _ {x}}} g = f \ cdot \ partial _ {x} gg \ cdot \ partial _ {x} f.

Такое обозначение двунаправленной стрелки часто используется для описания вероятностного тока квантовой механики.

Del

Дифференциальный оператор del, также называемый оператором набла, является важным векторным дифференциальным оператором. Он часто встречается в физике в таких местах, как дифференциальная форма уравнений Максвелла. В трехмерных декартовых координатах del определяется:

∇ = x ^ ∂ ∂ x + y ^ ∂ ∂ y + z ^ ∂ ∂ z. {\ displaystyle \ nabla = \ mathbf {\ hat {x}} {\ partial \ over \ partial x} + \ mathbf {\ hat {y}} {\ partial \ over \ partial y} + \ mathbf {\ hat { z}} {\ partial \ over \ partial z}.}\ nabla = \ mathbf {\ hat {x}} {\ partial \ over \ partial x} + \ mathbf {\ hat {y}} {\ partial \ over \ partial y} + \ mathbf {\ hat {z }} {\ partial \ over \ partial z}.

Del определяет градиент и используется для вычисления curl, дивергенции, и лапласиан различных объектов.

Сопряжение оператора

Дан линейный дифференциальный оператор T

T u = ∑ k = 0 nak (x) D ku {\ displaystyle Tu = \ sum _ {k = 0 } ^ {n} a_ {k} (x) D ^ {k} u}Tu = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} (x) D ^ {k} u

, сопряженный к этому оператору, определяется как оператор T ∗ {\ displaystyle T ^ {* }}T ^ {*} такой, что

⟨T u, v⟩ = ⟨u, T ∗ v⟩ {\ displaystyle \ langle Tu, v \ rangle = \ langle u, T ^ {*} v \ rangle }\ langle Tu, v \ rangle = \ langle u, T ^ { *} v \ rangle

, где запись ⟨⋅, ⋅⟩ {\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle используется для скалярного произведения или внутренний продукт. Следовательно, это определение зависит от определения скалярного произведения.

Формальное сопряжение по одной переменной

В функциональном пространстве интегрируемых с квадратом функций на действительном интервале (a, b) скалярное произведение определяется как

⟨Е, г⟩ знак равно ∫ abf (x) ¯ g (x) dx, {\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} {\ overline {f (x)}} \, g (x) \, dx,}{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} {\ overline {f (x)}} \, g (x) \, dx,}

где прямая над f (x) обозначает комплексное сопряжение f (x). Если, кроме того, добавить условие, что f или g исчезает для x → a {\ displaystyle x \ с a}x \ в и x → b {\ displaystyle x \ to b}x \ to b , можно также определить сопряженный к T как

T ∗ u = ∑ k = 0 n (- 1) k D k [ak (x) ¯ u]. {\ displaystyle T ^ {*} u = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} D ^ {k} [{\ overline {a_ {k} (x)}} u ]. \,}T ^ {*} u = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} D ^ {k} [{\ overline {a_ {k} (x)}} u]. \,

Эта формула не зависит явно от определения скалярного произведения. Поэтому иногда его выбирают как определение сопряженного оператора. Когда T ∗ {\ displaystyle T ^ {*}}T ^ {*} определяется в соответствии с этой формулой, оно называется формальным сопряженным к T.

A (формально) самосопряженный оператор - это оператор, равный своему собственному (формальному) сопряженному.

Несколько переменных

Если Ω - область в R, а P - дифференциальный оператор на Ω, то сопряженный к P определен в L (Ω) по двойственности аналогичным образом:

⟨f, P ∗ g⟩ L 2 (Ω) = ⟨P f, g⟩ L 2 (Ω) {\ displaystyle \ langle f, P ^ {*} g \ rangle _ {L ^ {2} (\ Omega)} = \ langle Pf, g \ rangle _ {L ^ {2} (\ Omega)}}\ langle f, P ^ {*} g \ rangle _ {L ^ {2} (\ Omega)} = \ langle Pf, g \ rangle _ {L ^ {2} (\ Omega)}

для всех гладких L-функций f, g. Поскольку гладкие функции плотны в L, это определяет сопряженный на плотном подмножестве L: P является плотно определенным оператором.

Пример

Оператор Штурма – Лиувилля является хорошо известный пример формального самосопряженного оператора. Этот линейный дифференциальный оператор второго порядка L можно записать в форме

L u = - (pu ′) ′ + qu = - (pu ″ + p ′ u ′) + qu = - pu ″ - p ′ u ′ + qu = (- p) D 2 u + (- p ′) D u + (q) u. {\ displaystyle Lu = - (pu ')' + qu = - (pu '' + p'u ') + qu = -pu' '- p'u' + qu = (- p) D ^ {2} u + (-p ') Du + (q) u. \; \!}Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.\;\!

Это свойство может быть доказано, используя формальное сопряженное определение выше.

L ∗ u = (- 1) 2 D 2 [(- p) u] + (- 1) 1 D [(- p ′) u] + (- 1) 0 (qu) = - D 2 ( pu) + D (p ′ u) + qu = - (pu) ″ + (p ′ u) ′ + qu = - p ″ u - 2 p ′ u ′ - pu ″ + p ″ u + p ′ u ′ + qu = - p ′ u ′ - pu ″ + qu = - (pu ′) ′ + qu = L u {\ displaystyle {\ begin {align} L ^ {*} u {} = (- 1) ^ {2} D ^ {2} [(- p) u] + (- 1) ^ {1} D [(- p ') u] + (- 1) ^ {0} (qu) \\ {} = - D ^ {2} (pu) + D (p'u) + qu \\ {} = - (pu) '' + (p'u) '+ qu \\ {} = - p''u-2p 'u'-pu' '+ p''u + p'u' + qu \\ {} = - p'u'-pu '' + qu \\ {} = - (pu ')' + qu \\ {} = Lu \ end {align}}}{\begin{aligned}L^{*}u{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\{}=-p'u'-pu''+qu\\{}=-(pu')'+qu\\{}=Lu\end{aligned}}

Этот оператор является центральным в теории Штурма – Лиувилля, где собственные функции (аналоги собственных векторов ) этого оператора.

Свойства дифференциальных операторов

Дифференциация линейна, то есть

D (f + g) = (D f) + (D g) {\ displaystyle D (f + g) = (Df) + (Dg) \,}D (f + g) = (Df) + (Dg) \,
D (af) = a (D f) {\ displaystyle D (af) = a (Df) \,}D (af) = a (Df) \,

где f и g - функции, а a - постоянная.

Любой полином в D с функциональными коэффициентами также является дифференциальным оператором. Мы также можем составлять дифференциальные операторы по правилу

(D 1 ∘ D 2) (f) = D 1 (D 2 (f)). {\ displaystyle (D_ {1} \ circ D_ {2}) (f) = D_ {1} (D_ {2} (f)). \,}(D_ {1} \ circ D_ {2}) (f) = D_ {1} (D_ {2} (f)). \,

В этом случае требуется некоторая осторожность: сначала любые коэффициенты функции в оператор D 2 должен быть дифференцируемым столько раз, сколько требуется для применения D 1. Чтобы получить кольцо таких операторов, мы должны предполагать производные всех порядков используемых коэффициентов. Во-вторых, это кольцо не будет коммутативным : оператор gD в целом не то же самое, что Dg. Фактически у нас есть, например, базовое отношение квантовой механики :

D x - x D = 1. {\ displaystyle Dx-xD = 1. \,}Dx-xD = 1. \,

Подкольцо операторов, которые являются полиномами от D с постоянными коэффициентами , напротив, коммутативен. Его можно охарактеризовать иначе: он состоит из трансляционно-инвариантных операторов.

Дифференциальные операторы также подчиняются теореме сдвига.

Несколько переменных

Те же конструкции могут быть выполнены с частными производными, дифференцирование по разным переменные, порождающие коммутирующие операторы (см. симметрия вторых производных ).

Кольцо полиномиальных дифференциальных операторов

Кольцо одномерных полиномиальных дифференциальных операторов

Если R - кольцо, пусть R ⟨D, X⟩ {\ displaystyle R \ langle D, X \ rangle}R \ langle D, X \ rangle - некоммутативное кольцо многочленов над R от переменных D и X, а I - двусторонний идеал, порожденный DX-XD-1, тогда кольцо одномерных полиномиальных дифференциальных операторов над R является кольцом частных R ⟨D, X⟩ / I {\ displaystyle R \ langle D, X \ rangle / I}R \ langle D, X \ rangle / I . Это некоммутативное простое кольцо. Каждый элемент может быть записан уникальным образом как R-линейная комбинация одночленов вида X a D b mod I {\ displaystyle X ^ {a} D ^ {b} \ mod {I}}X ^ {a} D ^ {b} \ mod {I} . Он поддерживает аналог евклидова деления многочленов..

Дифференциальные модули над R [X] {\ displaystyle R [X]}R[X](для стандартного вывода) можно идентифицировать как модули над R ⟨D, X⟩ / I {\ displaystyle R \ langle D, X \ rangle / I}R \ langle D, X \ rangle / I .

Кольцо многомерных полиномиальных дифференциальных операторов

Если R - кольцо, пусть R ⟨D 1,…, D n, X 1,…, X n⟩ {\ displaystyle R \ langle D_ {1}, \ ldots, D_ {n}, X_ {1}, \ ldots, X_ {n } \ rangle}R \ langle D_ {1}, \ ldots, D_ {n}, X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \ rangle быть некоммутативным кольцом многочленов над R от переменных D 1,…, D n, X 1,…, X n {\ displaystyle D_ {1}, \ ldots, D_ {n}, X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}D_ {1}, \ ldots, D_ {n}, X_ {1}, \ ldots, X_ {n} , и I двусторонний идеал, порожденный элементами

(D i X J - Икс J D я) - δ я, J, D я D J - D J D я, Икс я Икс J - Икс j Икс я {\ displaystyle (D_ {i} X_ {j} -X_ {j} D_ {i}) - \ delta _ {i, j}, \ \ \ D_ {i} D_ {j} -D_ {j} D_ {i}, \ \ \ X_ {i} X_ {j} -X_ {j } X_ {i}}{\ displaystyle (D_ {i} X_ {j} -X_ {j} D_ {i}) - \ delta _ {i, j}, \ \ \ D_ {i} D_ {j } -D_ {j} D_ {i}, \ \ \ X_ {i} X_ {j} -X_ {j} X_ {i}}

для всех 1 ≤ i, j ≤ n {\ displaystyle 1 \ leq i, j \ leq n}1 \ leq i, j \ leq n где δ {\ displaystyle \ delta}\ delta равно delta Кронекера, тогда кольцо многомерных полиномиальных дифференциальных операторов над R - это фактор-кольцо R ⟨D 1,…, D n, X 1,…, Икс N⟩ / I {\ Displaystyle R \ langle D_ {1}, \ ldots, D_ {n}, X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \ rangle / I}R \ langle D_ {1}, \ ldots, D_ {n}, X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \ rangle / I .

Это некоммутативный простое кольцо. Каждый элемент может быть записан уникальным образом как R-линейная комбинация одночленов вида X 1 a 1… X nan D 1 b 1… D nbn {\ displaystyle X_ {1} ^ {a_ {1} } \ ldots X_ {n} ^ {a_ {n}} D_ {1} ^ {b_ {1}} \ ldots D_ {n} ^ {b_ {n}}}X_ {1} ^ {a_ {1}} \ ldots X_ {n} ^ {a_ {n}} D_ {1} ^ {b_ {1} } \ ldots D_ {n} ^ {b_ {n}} .

Координатно-независимое описание

В дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии часто бывает удобно иметь координатно-независимое описание дифференциальных операторов между двумя векторными расслоениями. Пусть E и F - два векторных расслоения над дифференцируемым многообразием M. R -линейное отображение участков P: Γ (E) → Γ (F) называется линейным дифференциальным оператором k-го порядка, если оно множится через струйный пучок J (E). Другими словами, существует линейное отображение векторных расслоений

i P: J k (E) → F {\ displaystyle i_ {P}: J ^ {k} (E) \ rightarrow F \,}i_ {P}: J ^ {k} (E) \ rightarrow F \,

такие, что

P = i P ∘ jk {\ displaystyle P = i_ {P} \ circ j ^ {k}}P = i_ {P} \ circ j ^ {k}

где j: Γ (E) → Γ (J (E)) - это продолжение связывает с любым участком E его k-jet.

. Это просто означает, что для данного участка s E значение P (s) в точке x ∈ M полностью определено бесконечно малым поведением s по x порядка k. В частности, это означает, что P (s) (x) определяется ростком s в x, что выражается в том, что дифференциальные операторы локальны. Основополагающим результатом является теорема Петре, показывающая, что верно и обратное: любой (линейный) локальный оператор является дифференциальным.

Связь с коммутативной алгеброй

Эквивалентное, но чисто алгебраическое описание линейных дифференциальных операторов выглядит следующим образом: R -линейное отображение P является линейным дифференциалом k-го порядка оператор, если для любых k + 1 гладких функций f 0,…, fk ∈ C ∞ (M) {\ displaystyle f_ {0}, \ ldots, f_ {k} \ in C ^ {\ infty} (M)}f_ {0}, \ ldots, f_ {k} \ in C ^ {\ infty} (M) мы имеем

[fk, [fk - 1, [⋯ [f 0, P] ⋯]] = 0. {\ displaystyle [f_ {k}, [f_ {k-1] }, [\ cdots [f_ {0}, P] \ cdots]] = 0.}[f_ {k }, [f_ {k-1}, [\ cdots [f_ {0}, P] \ cdots]] = 0.

Здесь скобка [f, P]: Γ (E) → Γ (F) {\ displaystyle [f, P]: \ Gamma (E) \ rightarrow \ Gamma (F)}[f, P]: \ Gamma (E) \ rightarrow \ Gamma (F) определяется как коммутатор

[f, P] (s) = P (f ⋅ s) - f ⋅ P (s). {\ displaystyle [f, P] (s) = P (f \ cdot s) -f \ cdot P (s). \,}[f, P] (s) = P (f \ cdot s) -f \ cdot P (s). \,

Эта характеристика линейных дифференциальных операторов показывает, что они являются частными отображениями между модули над коммутативной алгеброй, позволяя рассматривать концепцию как часть коммутативной алгебры.

Примеры

∂ ∂ z = 1 2 (∂ ∂ x - i ∂ ∂ y), ∂ ∂ z ¯ = 1 2 (∂ ∂ x + i ∂ ∂ y). {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial z}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} - я {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ right) \ quad, \ quad {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {z}}}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({ \ frac {\ partial} {\ partial x}} + i {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ right) \.}{\ frac {\ partial} {\ partial z} } = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} - i {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ right) \ quad, \ quad {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {z}}}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} + i { \ frac {\ partial} {\ partial y}} \ right) \.

Этот подход также используется для изучения функций нескольких сложных переменные и функции моторной переменной.

История

Концептуальный этап написания дифференциального оператора как чего-то отдельно стоящего приписывается Луи Франсуа Антуану Арбогасту в 1800.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-17 05:44:39
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте